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  • 如何得到一个数据流中的中位数?如果从数据流中读出奇数个数值,那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值,那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。 思路:由于...

    题目描述

    如何得到一个数据流中的中位数?如果从数据流中读出奇数个数值,那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值,那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

    思路:由于数据是从数据流中读取出来的,数据的个数随着时间的变化而增加。因此我们需要一个数据容器来保存读取出来的数据。

    解法1:用数组来保存数据。如果数组无序,则找到中位数最优的算法时间复杂度为O(n),插入一个数字的时间复杂度为O(1);

    解法2:还可以让数组一直保持有序,有可能需要移动O(n)个数,因此插入一个数字的时间复杂度为O(n),找到中位数只需O(1)时间即可完成;

    解法3:用排序的链表来保存数据。插入一个数字需要O(n)时间,如果定义两个指针指向链表中间的结点,找到中位数只需O(1)时间;

    解法4:用二叉搜索树保存数据。插入和查找中位数平均时间可以做到log(n),最坏情况下同样需要O(n)时间;

    解法5:用AVL树。稍微修改可以做到用O(logn)时间插入一个数字,O(1)时间得到中位数;

    如果数据在容器中已经排好序,那么中位数可以有P1和P2指向的数得到。如果数据个数为奇数个,则P1和P2指向同一个数。


    通过观察发现,整儿数据容器被分隔成两部分,位于容器左边的数比右边的数小,而且,P1指向的数据是左边部分最大数,P2指向的数据是右边部分最小数。这一发现很重要,即使P1左边和P2右边的数据没有排序,我们也可以根据左边最大值和右边最小值来得到中位数。那么如何才能快速得到一个容器中的最大值和最小值呢?我们先到了大顶堆和小顶堆。

    解法6:用大顶堆实现左边的的数据容器,小顶堆实现右边的数据容器。往堆中插入一个数据时间复杂度为O(logn),而得到最大值(或最小值)只需O(1)时间。有一点需要注意,我们要保证数据被平均分配到两个堆中(想想为什么?),因此两堆大小之差不能超过1。实现方法是数据流中奇数位的数插入小顶堆中,偶数位的数插入大顶堆中。同时还要保证大顶堆中的所有数都要小于小顶堆中的数。考虑一种特殊情况,例如,插入偶数位的数,按照分配规则应该插入大顶堆中,但是这个数大于小顶堆的最小值怎么办?如果直接插入大顶堆,就不符合大顶堆所有值都小于小顶堆的值这一条件。可以这样解决:想把该数插入小顶堆,然后进行堆排序,接着讲小顶堆的最小值拿出来插入到大顶堆中,这样就满足所有条件了。同理插入奇数位的数时也要考虑这种特殊情况。

    代码实现如下:

    class Solution {
    public:
    	//插入原则:奇数位的数插入小顶堆,偶数位数的插入大顶堆,除特殊情况外
    	void Insert(int num)
    	{
    		/*特殊情况1:当插入奇数位的数num时,应插入小顶堆里,但是当num小于大顶堆的最大值时,
    		应将其插入大顶堆,然后将大顶堆的最大值插入小顶堆中*/
    		if (((min.size() + max.size()) & 1) == 0)                   
    		{
    			if (max.size() > 0 && num < max[0])
    			{
    				max.push_back(num);
    				push_heap(max.begin(), max.end());              //进行堆排序
    				num = max[0];                                   //找到最大值
    				pop_heap(max.begin(), max.end());               //将最大值移除堆(其实就是将最大值放在数组最后一位)
    				max.pop_back();                                 //删除
    			}
    			min.push_back(num);
    			push_heap(min.begin(), min.end(),greater<int>());       //构建小顶堆
    		}
    		else
    		{
    			/*特殊情况2:当插入偶数位的数num时,应插入大顶堆里,但是当num大于小顶堆的最小值时,
    			应将其插入小顶堆,然后将小顶堆的最小值插入大顶堆中*/
    			if (min.size() > 0 && num > min[0])
    			{
    				min.push_back(num);
    				push_heap(min.begin(), min.end(),greater<int>());             //进行排序
    				num = min[0];                                                 //找到最小值
    				pop_heap(min.begin(), min.end(),greater<int>());              //将最小值移除堆(同上)
    				min.pop_back();                                               //删除
    			}
    			max.push_back(num);
    			push_heap(max.begin(), max.end());
    		}
    	}
    
    	double GetMedian()
    	{
    		int size = min.size() + max.size();
    		if (size == 0)
    			return 0;
    		if ((size & 1) == 1)
    			return min[0];
    		else
    			return (double)(max[0] + min[0]) / 2;
    	}
    
    private:
    	vector<int> min;                 //用来模拟小顶堆
    	vector<int> max;                 //用来模拟大顶堆
    };

    关于heap算法可参考:http://blog.csdn.net/yf_li123/article/details/70242850


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  • 题目描述如何得到一个数据流中的中位数?如果从数据流中读出奇数个数值,那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值,那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

    题目描述

    如何得到一个数据流中的中位数?如果从数据流中读出奇数个数值,那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值,那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

    分析

    获取中位数有多种方法,但是各种方法的时间效率不一。下面是多种方法的时间复杂度的比较:有图可以知道使用AVL二叉平衡树的方法和使用最大堆最小堆的方法是总的时间复杂度最优的。但是AVL二叉平衡树没有现成的数据结构的实现,因此可以考虑java集合中的PriorityQueue优先队列(也就是堆,默认为小根堆)来实现比较高校的中位数查找。

    获取中位数的多种方法时间复杂度比较

    思路:考虑将数据序列从中间开始分为两个部分,左边部分使用大根堆表示,右边部分使用小根堆存储。每遍历一个数据,计数器count增加1,当count是偶数时,将数据插入小根堆;当count是奇数时,将数据插入大根堆。当所有数据遍历插入完成后(时间复杂度为O(logn),如果count最后为偶数,则中位数为大根堆堆顶元素和小根堆堆顶元素和的一半;如果count最后为奇数,则中位数为小根堆堆顶元素。

    牛客AC:

    import java.util.PriorityQueue;
    import java.util.Comparator;
    
    public class Solution {
    
        private int count = 0;  // 数据流中的数据个数
        // 优先队列集合实现了堆,默认实现的小根堆
        private PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
        // 定义大根堆,更改比较方式
        private PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<Integer>(15, new Comparator<Integer>() {
            @Override
            public int compare(Integer o1, Integer o2) {
                return o2 - o1;     // o1 - o2 则是小根堆
            }
        });
    
        public void Insert(Integer num) {
            if ((count & 1) == 0) {
                // 当数据总数为偶数时,新加入的元素,应当进入小根堆
                // (注意不是直接进入小根堆,而是经大根堆筛选后取大根堆中最大元素进入小根堆)
                // 1.新加入的元素先入到大根堆,由大根堆筛选出堆中最大的元素
                maxHeap.offer(num);
                int filteredMaxNum = maxHeap.poll();
                // 2.筛选后的【大根堆中的最大元素】进入小根堆
                minHeap.offer(filteredMaxNum);
            } else {
                // 当数据总数为奇数时,新加入的元素,应当进入大根堆
                // (注意不是直接进入大根堆,而是经小根堆筛选后取小根堆中最大元素进入大根堆)
                // 1.新加入的元素先入到小根堆,由小根堆筛选出堆中最小的元素
                minHeap.offer(num);
                int filteredMinNum = minHeap.poll();
                // 2.筛选后的【小根堆中的最小元素】进入小根堆
                maxHeap.offer(filteredMinNum);
            }
            count++;
        }
    
    
        public Double GetMedian() {
            // 数目为偶数时,中位数为小根堆堆顶元素与大根堆堆顶元素和的一半
            if ((count & 1) == 0) {
                return new Double((minHeap.peek() + maxHeap.peek())) / 2;
            } else {
                return new Double(minHeap.peek());
            }
        }
    
    }

    参考
    1. 何海涛,剑指offer名企面试官精讲典型编程题(纪念版),电子工业出版社

    展开全文
  • Offer--064-数据流中的中位数

    千次阅读 2016-07-14 12:44:39
    1 链接 牛客OJ:数据流之中的中位数 九度OJ:未收录 ...| 牛客OJ | 九度OJ | CSDN题解 | GitHub代码 | | ————- |:————-:| —–:| —–:||064-数据流之中的中位数 | 未收录 | 剑Offer–064-数据

    1 链接


    牛客OJ:数据流之中的中位数

    九度OJ:未收录

    GitHub代码: 064-数据流之中的中位数

    CSDN题解:剑指Offer–064-数据流之中的中位数

    牛客OJ 九度OJ CSDN题解 GitHub代码
    064-数据流之中的中位数 未收录 剑指Offer–064-数据流之中的中位数 064-数据流之中的中位数

    2 题意


    题目描述

    如何得到一个数据流中的中位数?如果从数据流中读出奇数个数值,那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值,那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

    3 分析


    数据结构 插入的时间效率 得到的中位数的时间效率
    没有排序的数组 O(1) O(n)
    排序的数组 O(n) O(1)
    排序的链表 O(n) O(1)
    二叉搜索树 平均O(logn), 最差O(n) 平均O(logn), 最差O(n)
    AVL树 O(logn) O(1)
    最大堆和最小堆 O(logn) O(1)

    4 堆排序策略


    对于数据流,对应的就是在线算法了,一道很经典的题目就是在1亿个数中找到最大的前100个数,这是一道堆应用题,找最大的前100个数,那么我们就创建一个大小为100的最小化堆,每来一个元素就与堆顶元素比较,因为堆顶元素是目前前100大数中的最小数,前来的元素如果比该元素大,那么就把原来的堆顶替换掉。

    那么对于这一道题呢?如果单纯的把所有元素放到一个数组里,每次查找中位数最快也要O(n),综合下来是O(n^2)的复杂度。我们可以利用上面例子中的想法,用一个最大堆来维护当前前n/2小的元素,那么每次找中位数只到取出堆顶就可以了。但是,有一个问题,数据要动态增长,有可能之前被替换掉的元素随着元素的增加又跑回来了,所以我们不能单纯得向上题一样把元素丢掉,我们可以再用一个最小化堆来存前n/2大的元素。

    #include <iostream>
    #include <vector>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    
    
    
    //  调试开关
    #define __tmain main
    
    #ifdef __tmain
    
    #define debug cout
    
    #else
    
    #define debug 0 && cout
    
    #endif // __tmain
    
    
    
    class Solution
    {
    protected:
        vector<int>     m_min; //数组中的后一半元素组成一个最小化堆
        vector<int>     m_max; //数组中的前一半元素组成一个最大化堆
    
    public:
        /*  将元素插入的堆中, 
         *  为了保证数据平均的分配到两个堆中, 两个堆的数据数目之差不能超过1
         *  插入的元素会两个堆元素的平衡, 因此两个堆都必须调整
         *
         *  比如将元素插在后半段(最小堆)中,
         *  则最小堆调整后的堆顶(最小值)需要弹出并压入到前半段中才能保证平衡
         * 也就是说, 在最小堆中插入元素, 最后完成调整后将导致最大堆中元素+1
         *
         *  因此我们可以假定, 0 <= m_min.size( ) - m_max.size( ) <= 1
         *  那么
         *
         *  插入前如果整个数组的元素个数为偶数, 说明两个堆中元素个数相等
         *  则最终元素应该插入m_min中,即先把元素插入到m_max中在调整到m_min中
         *
         *  插入前如果整个数组的元素个数为奇数, 说明m_max元素多了1个
         *  则最终元素应该插入m_max中,
         *  即先把元素插入到m_min中在调整到m_max中
         *  */
        void Insert(int num)
        {
            if(((m_min.size( ) + m_max.size( )) & 1) == 0)
            {
                /*  偶数数据的情况下
                 *  直接将新的数据插入到数组的后半段
                 *  即在最小堆中插入元素
                 *
                 *  此时最小堆中多出一个元素,
                 *  即最小元素, 将其弹出后, 压入前半段(即最大堆中)
                 *  */
                if(m_max.size( ) > 0 && num < m_max[0])
                {
                    m_max.push_back(num);
                    push_heap(m_max.begin( ), m_max.end( ), less<int>( ));
    
                    num = m_max[0];
                    pop_heap(m_max.begin(), m_max.end(), less<int>());
                    m_max.pop_back();
                }
                m_min.push_back(num); //把前一半找到的最大值放到后一半中
                push_heap(m_min.begin( ), m_min.end( ), greater<int>( ));
                debug <<"left = " <<m_max.size( ) <<", " <<m_min.size( ) <<endl;
            }
            else
            {
                /*  否则数组中元素是奇数
                 *  将
                 *
                 * */
                if(m_min.size( ) > 0 && num > m_min[0])    //  奇数数据的情况下,则在最大堆中插入元素
                {
                    m_min.push_back(num);
                    push_heap(m_min.begin(), m_min.end(), greater<int>());
                    num=m_min[0];
                    pop_heap(m_min.begin(), m_min.end(), greater<int>());
                    m_min.pop_back();
                }
                m_max.push_back(num); //把后一半找到的最大值放到前一半中
                push_heap(m_max.begin(), m_max.end(), less<int>());
            }
        }
    
        /*  由于假定, 0 <= m_min.size( ) - m_max.size( ) <= 1
         *  因此
         *  当总元素个数为偶数时, 中位数即(m_max[0] + m_min[0]) / 2
         *  当总元素个数为奇数时, 中位数即m_min[0];  */
        double GetMedian()
        {
            int size = m_min.size( ) + m_max.size( );
            if(size==0) return -1;
            double median = 0;
            if((size & 1) != 0)
            {
                median = (double) m_min[0];
            }
            else
            {
                median = (double) (m_max[0] + m_min[0]) / 2;
            }
            return median;
        }
    };
    
    int __tmain( )
    {
        Solution s;
        int array[] = {5, 2, 3, 4, 1, 6, 7, 0, 8};
        vector<int> vec(array, array + 9);
    
        for (int i = 0; i < vec.size( ); i++)
        {
            s.Insert(vec[i]);
            cout << s.GetMedian( ) << endl;
        }
        return 0;
    }

    5 哈希set-multiset策略


    类似的策略, 我们可以采用multiset来实现, set和multiset会根据特定的排序准则,自动将元素进行排序。不同的是后者允许元素重复而前者不允许

    class Solution
    {
    protected :
        multiset<int>   left;       /*  左半部分  */
        multiset<int>   right;      /*  右半部分  */
    
    public    :
    
        void Insert(int n)
        {
            int tmp = n;
            if(((left.size( ) + right.size( )) & 1) == 0)
            {
                if (right.empty( ) != true && n > *right.begin())
                {
                    right.insert(n);
                    tmp = *right.begin( );
                    right.erase(right.find(tmp));
                }
                left.insert(tmp);
            }
            else
            {
                if (left.empty() != true && n < *left.rbegin())
                {
                    left.insert(n);
                    tmp = *left.rbegin();
                    left.erase(left.find(tmp));
                }
                right.insert(tmp);
            }
    
        }
    
        double GetMedian( )
        {
    #ifdef __tmain
            cout <<"left[" <<left.size( ) <<"] : ";
            copy(left.begin( ), left.end( ), ostream_iterator<int>(cout," "));
            cout <<"right[" <<right.size( ) <<"] : ";
            copy(right.begin( ), right.end( ), ostream_iterator<int>(cout," "));
            cout <<endl;
    #endif
    
            if(((left.size( ) + right.size( )) & 1) == 0)
            {
                debug <<*left.rbegin( ) <<", " <<*right.begin( ) <<endl;
                return (double)(*left.rbegin( ) + *right.begin( )) / 2.0;
            }
            else
            {
                debug <<(double)*left.rbegin( ) <<endl;
                return (double)*left.rbegin( );
            }
        }
    };
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  • 中位数

    千次阅读 2013-03-19 10:23:57
    中位数(Medians)统计学名词,是将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列起来,形成一个数列,处于变量数列中间位置的变量值就称为中位数,用Me表示。当变量值的项数N为奇数时,处于中间位置的变量值即为中位数...

           中位数(Medians)统计学名词,是指将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列起来,形成一个数列,处于变量数列中间位置的变量值就称为中位数,用Me表示。当变量值的项数N为奇数时,处于中间位置的变量值即为中位数;当N为偶数时,中位数则为处于中间位置的2个变量值的平均数。

    中位数的作用

           中位数的作用与算术平均数相近,也是作为所研究数据的代表值。在一个等差数列或一个正态分布数列中,中位数就等于算术平均数。 在数列中出现了极端变量值的情况下,用中位数作为代表值要比用算术平均数更好,因为中位数不受极端变量值的影响;如果研究目的就是为了反映中间水平,当然也应该用中位数。在统计数据的处理和分析时,可结合使用中位数。

    中位数的计算

           确定中位数,必须将总体各单位的标志值按大小顺序排列,最好是编制出变量数列。

           这里有两种情况:

           1、观测数据量较小时

                对于未分组的原始资料,首先必须将标志值按大小排序。设排序的结果为:

                                         

               则中位数就可以按下面的方式确定:

                                        

               例:2、3、4、5、6、7 中位数:中间的两个数相加后除2=(4+5)/2=4.5

           2、观测数据量很大时。

                观测数据量很大时,中位数的计算开销很大,可以利用“分组资料”的方法确定中位数的近似值。

               由组距数列确定中位数,应先按的公式求出中位数所在组的位置,然后再按下限公式或上限公式确定中位数。

               下限公式:

               上限公式:

       式中:

    Me——中位数;
    L——中位数所在组下限;
    U——中位数所在组上限;
    fm——为中位数所在组的次数;
    ∑f——总次数;
    d——中位数所在组的组距;
    Sm − 1——中位数所在组以下的累计次数;
    Sm + 1——中位数所在组以上的累计次数。

    例:根据上面例表的数据,计算50名工人日加工零件数的中位数。

    解(某企业50名工人加工零件中位数计算表):


    由上表可知,中位数的位置=50/2=25,即中位数在120~125这一组,L=120,Sm − 1 = 16,U=125,Sm + 1 = 20fm = 14,d=5,根据中位数公式得:



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