目录
 
一、集中趋势分析
 
二、众数（M0）
 
  三、中位数（Me）
 

 
一、集中趋势分析
 
概念：
 
1.一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度。
 
2.测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值。
 
3.不同类型的数据用不同的集中趋势测度值。
 
4.低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次的数据的测度值并不适用于低层次的测量数据。
 
二、众数（M0）
 
1.一组数据中出现次数最多的变量值
 
2.适用于数据量较多时使用
 
3.不受极端值的影响
 
4.一组数据中可能没有众数或有几个众数
 
5.主要用于分类数据，也可用于顺序数据或数值型数据
 
 
在集中趋势分析中众数的三个表现形式
 
 
例1：
 
 
 在这道题中，品类为分类变量，频数就是变量值，日化用品频数为150，占的比例最大，所以众数为日化用品这个品类，即M0=日化用品
 
 
例2：
 
 
 在这道题中，数据为顺序数据，变量为回答类别，住户对超市表示满意的户数最多，为100，所以众数为“满意”这一类别，所以M0=满意
 
例3：
 
 
  三、中位数（Me）
 
1.排序后处于中间位置上的值
 
2.不受极端值的影响（重要）
 
3.主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据
 
4.各变量值与中位数的离差绝对值之和最小
 
位置和数值的确定
 
中位数位置：½（n+1）
 
数值的确定：
 
 
例1：
 
 
 中位数的位置：½（n+1）=½（300+1）=150.5
 
数值的确定：在累计频数来看，150.5处在一般这一类别中，所以中位数Me=一般
 
例2：
 
 
中位数位置：½（9+1）=5
 
所以中位数Me=1080
 
 median()
 

即一组数据距离数据中心的靠近程度，反应了一组数据中心的位置所在
 
数据集中趋势度量的指标有：众数、平均数、中位数、几何平均数等。
 
众数：即出现次数最多的，常用在不同类别的数量统计中，不受峰值的影响，一组数据中可能会存在多个众数，不具备唯一性，数据量较少时意义不大。
 
平均数：可分为简单平均数和加权平均数，简单平均数即一组数据的平均值，加权平均数即根据分组数据计算的平均数。平均数是一组数据的重心，是经多次测量正负误差互相抵消后事物特征的真实反映。
 
中位数：一组数据排序后，处于中间位置的那个数据，主要用于顺序数据的集中趋势度量，不适用于分类数据。
 
几何平均数：即对n个数据相乘后，开n次方，，几何平均数主要用于计算平均比率。比如一直股票的年收益率数据，计算平均每年的收益率，用几何平均数才是合理的，要注意几何平均数的变量不能是负数和0。
 
下面针对几何平均数与简单平均数的差异进行说明：
 
from functools import reduce
import math

#假设一只股票持有了5年，每年的年收益率数据如下,原始投入成本10000元
rate = [0.045,0.021,0.255,0.019]

#简单平均收益率
sig_G = sum(rate)/len(rate)
print ('简单平均收益率',sig_G)
简单平均收益率 0.085

#几何平均收益率
j_G = math.pow(reduce(lambda x,y:x*y,[1+i for i in rate]),1/len(rate))-1
print ('几何平均收益率',j_G)
几何平均收益率 0.08078668483359586

#实际收入
rel_cont = 10000*(1+0.045)*(1+0.021)*(1+0.255)*(1+0.019)

print ('实际收入',rel_cont)
实际收入 13644.572785249995

#按照简单平均收益率计算

sig_cont=10000*(1+sig_G)**4

print('简单平均收益',sig_cont)
简单平均收益 13858.587006249998

#按照几何平均收益率计算
j_cont=10000*(1+j_G)**4

print('几何平均收益',j_cont)
几何平均收益 13644.572785249995
 
可以看到简单平均收益与实际收益不符

 
1 案例：计算出下面数据中的均值、众数、中位数
 
 
 
超市一天收款账单的金额分别为：
 
 
​ 21,100,30,25,26,27,26,10
 
 
均值：33.125
 
众数：26
 
中位数：26
 
计算有限个数的数据的中位数的方法是：把所有的同类数据按照大小的顺序排列。 如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数。
 
2 均值、众数、中位数对比
 
2.1 均值
 
 
优点：充分利用所有数据，适用性强
 
 
缺点：容易受到极端值的影响【上面例子中的100就可以理解为极端值，在数据处理中这类值需要注意，可能是异常值】
 
 
2.2 中位数
 
 
优点：不受极端值影响
 
 
缺点：缺乏敏感性【只关注中间的数字】
 
 
2.3 众数
 
优点：代表性好
缺点：缺乏唯一性【有时可能存在多个众数】
 
3 偏态
 
3.1 概率密度函数
 
这里加入概率密度函数相关概念有利于理解下面的偏态分布。
 
 
3.2 偏态分布
 
 
 
 
偏态分布为统计学概念，即统计数据峰值与平均值不相等的频率分布。根据峰值小于或大于平均值可分为正偏函数和负偏函数，其偏离的程度可用偏态系数刻画.
 
 
左偏分布也被称为负偏态，右偏分布也会称为正偏态。
 
用均值、中位数、众数三者的位置关系判定和查看
 
 
用中位数查看
 
  
将数据一分为二（中位数的位置），哪边数据少，就是往哪边偏。
 
 
用众数描述
 
  
众数位置哪边尾巴长，就是往哪边偏。
 
 
数据分布往哪边偏，均值被拉往哪边
 
 
 
 
偏度本身是相对于均值左右数据的多少。这里拿右偏分布举例，也就是说数据在均值左侧的数量较多，**所以为了达到所有数据于均值之差和为0,应该存在较大的数与之平衡，所有分布图里有一个很长的右端的拖尾（就是右端必须存在很大的值）。既然均值左侧的数比较多，对比中位数左右两侧数一样多，则均值必在中位数的右侧（即这样围成面积才大于0.5)。**另外，右偏的图像围成面积为0.5的分界点应该在峰值点的右侧，所以中位数大于众数。所以就有众小于中小于均。
 
 
作者：雪绒花与蚊子
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3.3 偏度计算
 
 
3.3 峰度
 
peakedness;kurtosis）又称峰态系数。表征概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。直观看来，峰度反映了峰部的尖度。
 
 
计算:
 
 
峰度定义为四阶标准矩，可以看出来和上面偏度的定义非常的像，只不过前者是三阶的。
 
相关链接：
 
1左偏和右偏 - 简书
 
2偏态 - 搜索结果 - 知乎 (zhihu.com)
 
3 概率统计-方差与正态分布（高斯分布）_Hello_Ray的博客-CSDN博客_正态分布方差
 
4 一文搞懂“正态分布”所有需要的知识点 - 知乎 (zhihu.com)
 
5 偏度和峰度的计算 - 小舔哥 - 博客园 (cnblogs.com)

统计学中，常用均值、中位数、众数来对数据进行集中趋势度量。我们平时说的平均值在统计学中往往指的就是这三种统计量，而不仅仅指均值。下面，详细介绍这三个统计量。
 
一、均值
 
计算方法
 
$\mu =\frac{\sum x}{n}$ 或 $\mu =\frac{\sum f\cdot x}{\sum f}$
 备注：x表示数据种每个数字；n表示数据个数；f表示每个数字对应的频数。
 
适用情况
 
在数据非常对称，且只显示一种趋势时。
 
二、中位数
 
计算方法
 
将数据从小到大先进行排序，
 当数据个数为奇数个时，第$\frac{n+1}{2}$个数就是中位数；
 当数据个数为偶数个时，第$\frac{n}{2}$个数和第$\frac{n}{2}+1$个数的均值就是中位数；
 
适用情况
 
在数据有异常值，使得数据有右偏斜或左偏斜，没有办法通过均值来表示数据的典型值时。
 
备注：均值>中位数，表示数据右偏斜；均值<中位数，表示数据左偏斜。
 
三、众数
 
计算方法
 
数据中频数最多的数（可以是1个，也可以是多个）。
 
适用情况
 
①数据中有多组，使得数据有多个趋势或多个典型值。
 ②要衡量的是类别型数据而非数值型数据。对于类别型数据，只有众数才能衡量集中趋势。