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  • 考研数学是考研的重中之重,也是比较耗费时间的一个科目,最近有很多同学再咨询中值定理相关的问题,为了让大家在强化阶段得到更好的训练,昨晚专门抽时间把中值定理这块详细的整理了一下,这块有问题的同学可以看看...

    考研数学是考研的重中之重,也是比较耗费时间的一个科目,最近有很多同学再咨询中值定理相关的问题,为了让大家在强化阶段得到更好的训练,昨晚专门抽时间把中值定理这块详细的整理了一下,这块有问题的同学可以看看,有其他问题的同学可以私信我,尽量解答,码字不易,记得点个赞哟~~~

    关于含中值ξ等式的证明,主要是考九个定理,分别是零点定理,介值定理,费马引理,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西,泰勒,积分中值定理以及积分第一中值定理。其中重要的是这五个,分别是零点定理,介值定理,罗尔定理,拉氏定理和积分第一中值定理。

    今天我们就先说说关于零点的问题,他常考的题眼,解题方法以及用途如下:

    5f7261c286f273f6514ea3f5d60a8365.png

    证明函数零点(方程的根)的问题,要考虑两个方面,一个是零点的存在性问题,另一个是唯一性的问题也就是零点个数的问题。

    其中证明存在性,主要是考察零点定理以及罗尔定理,具体如何选择呢?

    当题目中出现了不等号的时候,用零点定理。当题目中出现了导数的时候,用罗尔定理。

    为了帮助大家更好的理解以及运用,专门抽取讲解两道比较典型的例题。

    下面是两道例题:

    例1.

    c27c983dda0293a0c6c11981522567d6.png

    首先看到题目,要知道题目考察的是什么东西,这个也就结合了我们总结的题眼——“待证结论含有f(aξ+b)=f(cξ+d)时,用零点定理”(图一中有)

    ,这样我们就确定了这一题考察的是零点定理,后面就是基本操作。这道例题还有一个需要注意的点,那就是我们在用零点定理取点的时候,要注意定义域,这道题就有一个陷阱在这里。

    例题2.

    d366a311b7725763d5a94df145bea1dd.png

    零点定理近年来都没有直接考大题,一般都是放在证明题里用来找点用的(罗尔定理找点)。这个就先放在下期介绍罗尔定理找点的时候再详细介绍。

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  • 3.1中值定理1. 费马定理设函数在点的某邻域内有定义并且在处可导, 如果对任意的,有(或),那么2....课堂索引:3.1中值定理3.1.3例题点击进入视频讲解4. 拉格朗日中值定理(微分中值定理)如果函数在闭区间上连续...

    3.1中值定理

    1. 费马定理

    设函数在点的某邻域内有定义并且在处可导, 如果对任意的,有(或),那么

    2. 罗尔定理

    如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且在区间端点的函数值相等,即,那么在内至少有一点,使得函数在该点的导数等于零,即

    3. 例题

    证明方程有且仅有一个小于的正实根.

    课堂索引:3.1中值定理
    3.1.3例题

    点击进入视频讲解

    4. 拉格朗日中值定理(微分中值定理)

    如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点,使等式成立.

    5. 例题

    证明:当时,

    课堂索引:3.1中值定理
    3.1.5例题

    点击进入视频讲解

    6. 拉格朗日中值定理推论

    如果函数在区间上的导数恒为零 ,那么在区间上是一个常数 .

    7. 例题

    证明:  ().

    课堂索引:3.1中值定理
    3.1.7例题

    点击进入视频讲解

    8. 柯西(Cauchy)中值定理

    如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且内每一点处均不为零,那么在内至少有一点 ,使等式成立.

    9. 例题

    设函数上连续,在内可导,证明:至少存在一点,使 

    课堂索引:3.1中值定理
    3.1.9例题

    点击进入第三章讲解

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  • 内容总结、参考课件及相关资料:《导数、微分与最优化》内容总结、题型、典型题与参考课件《罗尔定理、拉格朗日中值定理》内容小结、题型、典型例题与参考课件《柯西中值定理与洛必达法则》内容小结、题型、典型例题...

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    内容总结、参考课件及相关资料:

    • 《导数、微分与最优化》内容总结、题型、典型题与参考课件

    • 《罗尔定理、拉格朗日中值定理》内容小结、题型、典型例题与参考课件

    • 《柯西中值定理与洛必达法则》内容小结、题型、典型例题解析

    • 《函数的多项式逼近与泰勒公式》内容小结、题型与典型题解析

    • 《函数的单调性判定及其应用》内容小结、题型、典型题与参考课件

    • 《函数凹凸性与图形绘制》内容小结、题型、典型题与参考课件

    • 《弧微分与曲率》内容小结、题型、典型题与参考课件

    • 《微分中值定理及其应用》内容小结与典型例题

    知识点与题型解析

    • 用罗尔定理证明中值命题的基本概念、步骤与典型题思路分析

    • 拉格朗日中值定理证明中值命题的基本思路与典型例题分析

    • 柯西中值定理证明中值命题的基本思路与典型例题分析

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    • 经典型题实例解析:借助导数验证函数不等式的一般思路与步骤

    • 经典题型实例解析:用泰勒中值定理证明中值等式与不等式

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    单元测试与参考解答:

    • 《微分中值定理及导数应用》单元测试题(一)及参考解析

    • 《微分中值定理及导数应用》单元测试题(二)及参考解答

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  • 目录引言定理介值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理例题引用材料写在后面 引言 笔者是一名大一学生,在学习高数时发现定理应用证明题挺有意思的,下面将自己的一些的心得和笔记整理如下,与大家分享交流,...

    引言

    笔者是一名大一学生,在学习高数时发现定理应用证明题挺有意思的,下面将自己的一些的心得和笔记整理如下,与大家分享交流,因为水平有限,难免有错误和考虑不周全之处,请大家见谅。
    这篇博客主要是给跟我一样的大一学生学术交流(应付期末考试)用的。

    定理

    介值定理

    设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的断电取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,
    则对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C (a<v<b)。

    不明白的同学可以去画一下图,你会发现有前面的条件在,根本就画不出f(x)不为C的情况(因为它是连续的)。
    这样可以比较不严谨的初步验证它的成立。

    罗尔定理

    如果函数f(x)满足
    (1)在闭区间[a,b]上连续;
    (2)在开区间(a,b)内可导;
    (3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)
    那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得f’(ξ)=0
    证明:
    在这里插入图片描述

    拉格朗日中值定理

    如果函数f(x)满足
    (1)在闭区间[a,b]上连续;
    (2)在开区间(a,b)内可导,
    那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式
    f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)
    证明:
    在这里插入图片描述
    仔细观察,拉氏定理其实就是罗尔定理的拓展,也就是说,罗尔定理是拉氏定理的一种特殊情况,当我们把图3-2正过来的时候,是不是跟罗尔定理的那个图很像呢。

    柯西中值定理

    如果函数f(x)及F(x)满足
    (1)在闭区间[a,b]上连续;
    (2)在开区间(a,b)内可导;
    (3)对任一x∈(a,b),F’(x)≠0,
    那么在(a,b)内至少有一点ξ,使等式
    f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f’(ξ)/F’(ξ)
    在这里插入图片描述
    这个定理怎么证的我也没有去管它,看着挺好记的我就直接记下来了hhh。
    想知道怎么证明的同学------->用五种方法证明柯西中值定理

    例题

    这里的例题引自下述的链接中
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    小结

    公式编辑器有点麻烦,我就直接手写了,凑合看看哈。

    介值定理

    用介值定理来证明时往往是一边小于0,一边大于0,中间存在一个值等于0(例题4)

    拉氏(罗尔)定理常见的三种题型

    在这里插入图片描述(例题中的1.2对应这里的2.3)
    这个辅助函数的意义是:
    令f’(ξ)=0的时候能把要证的不等式凑出来,对一个其他函数求导来间接得到所求式子,(打工仔?)所以我们称它为辅助函数。
    这些公式的证明建议大家对它进行求导,然后就可以轻松证明了。
    没有灵感的时候我们可以直接把定理f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)写出来,把要求证的式子尽量往这个形式靠拢。
    比如说第三种题型,我们观察定理左边是f(b)-f(a),它的变量是分离开的并且两个变量共用一个法则f,因此我们会想到两边同时除去ab,从而进行求证。

    柯西中值定理

    常与拉氏定理一起使用。

    做题顺序

    一、观察式子特点
    这点比较重要,如果求证式子中没有导数,则一般往介值定理的方向去想,如果存在导数且看上去只有一个法则f则有可能是拉氏(罗尔)定理,两个法则则有可能是柯西中值定理。有二次导数出现时一般要使用两次定理(例题3)。
    二、猜测所用的定理
    尝试对式子进行求导,变形
    把可能的定理写在旁边然后往这个方向去发展(为了获得灵感)
    三、动手求证
    这一点有时候证明时会用到小区间存在则大区间也存在的性质,有时候会用(例题3)
    还有如果题目分一、二小题时请不要忘记使用第一小题证明的结论(例题4)。

    引用材料

    考研:微分中值定理的证明题汇总
    高数微分中值定理(四大定理)
    这个拿去练练手吧~(无答案): 与微分中值定理有关的证明题

    写在后面

    2020年就要到了,在这里我祝大家考的全会,蒙的全对,还有就是新的一年请继续努力吧!

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