考研数学是考研的重中之重，也是比较耗费时间的一个科目，最近有很多同学再咨询中值定理相关的问题，为了让大家在强化阶段得到更好的训练，昨晚专门抽时间把中值定理这块详细的整理了一下，这块有问题的同学可以看看，有其他问题的同学可以私信我，尽量解答，码字不易，记得点个赞哟~~~
关于含中值ξ等式的证明，主要是考九个定理，分别是零点定理，介值定理，费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西，泰勒，积分中值定理以及积分第一中值定理。其中重要的是这五个，分别是零点定理，介值定理，罗尔定理，拉氏定理和积分第一中值定理。
今天我们就先说说关于零点的问题，他常考的题眼，解题方法以及用途如下：
证明函数零点（方程的根）的问题，要考虑两个方面，一个是零点的存在性问题，另一个是唯一性的问题也就是零点个数的问题。
其中证明存在性，主要是考察零点定理以及罗尔定理，具体如何选择呢？
当题目中出现了不等号的时候，用零点定理。当题目中出现了导数的时候，用罗尔定理。
 为了帮助大家更好的理解以及运用，专门抽取讲解两道比较典型的例题。
下面是两道例题：
例1.
首先看到题目，要知道题目考察的是什么东西，这个也就结合了我们总结的题眼——“待证结论含有f(aξ+b)＝f(cξ+d)时，用零点定理”（图一中有）
，这样我们就确定了这一题考察的是零点定理，后面就是基本操作。这道例题还有一个需要注意的点，那就是我们在用零点定理取点的时候，要注意定义域，这道题就有一个陷阱在这里。
例题2.
零点定理近年来都没有直接考大题，一般都是放在证明题里用来找点用的（罗尔定理找点）。这个就先放在下期介绍罗尔定理找点的时候再详细介绍。

	

3.1中值定理
1. 费马定理
设函数在点的某邻域内有定义并且在处可导，
如果对任意的，有(或),那么
2. 罗尔定理
如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且在区间端点的函数值相等，即,那么在内至少有一点,使得函数在该点的导数等于零，即
3. 例题
证明方程有且仅有一个小于的正实根.
课堂索引：3.1中值定理
3.1.3例题
点击进入视频讲解
4. 拉格朗日中值定理(微分中值定理)
如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点，使等式成立.
5. 例题
证明：当时,
课堂索引：3.1中值定理
3.1.5例题
点击进入视频讲解
6. 拉格朗日中值定理推论
如果函数在区间上的导数恒为零 ,那么在区间上是一个常数 .
7. 例题
证明:  ().
课堂索引：3.1中值定理
3.1.7例题
点击进入视频讲解
8. 柯西(Cauchy)中值定理
如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那么在内至少有一点 ,使等式成立.
9. 例题
设函数在上连续,在内可导,证明:至少存在一点,使 
课堂索引：3.1中值定理
3.1.9例题
点击进入第三章讲解
高等数学全册讲解
学习讨论QQ群：869161567
课程地址：https://t.1yb.co/6xGH

	

点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦！
内容总结、参考课件及相关资料：
《导数、微分与最优化》内容总结、题型、典型题与参考课件
《罗尔定理、拉格朗日中值定理》内容小结、题型、典型例题与参考课件
《柯西中值定理与洛必达法则》内容小结、题型、典型例题解析
《函数的多项式逼近与泰勒公式》内容小结、题型与典型题解析
《函数的单调性判定及其应用》内容小结、题型、典型题与参考课件
《函数凹凸性与图形绘制》内容小结、题型、典型题与参考课件
《弧微分与曲率》内容小结、题型、典型题与参考课件
《微分中值定理及其应用》内容小结与典型例题
知识点与题型解析
用罗尔定理证明中值命题的基本概念、步骤与典型题思路分析
拉格朗日中值定理证明中值命题的基本思路与典型例题分析
柯西中值定理证明中值命题的基本思路与典型例题分析
泰勒中值定理与泰勒公式计算思路与典型题分析
经典型题实例解析：借助导数验证函数不等式的一般思路与步骤
经典题型实例解析：用泰勒中值定理证明中值等式与不等式
中值定理证明与辅助函数构造思路与方法(一)
中值定理证明与辅助函数构造思路与方法(二)
专题：基本中值命题应用、基本题型与典型例题分析
微分中值等式命题证明的常数K值法原理及典型题分析
典型习题与知识点、解题思路总结：
典型题解析：导数应用之函数不等式的证明
根的存在性和唯一性的常用证明思路与步骤(以一个习题一题多解为例)
习题5.1-《极值与最优化》专题练习专题练习与参考解答
习题5.2-《微分中值定理及其应用》专题练习专题练习与参考解答
习题5.3-《泰勒公式及其应用》专题练习与参考解答
习题5.4-《函数单调性与凹凸性及其应用》专题练习及参考解答
习题5.5-《曲率》专题练习及参考解答
单元测试与参考解答：
《微分中值定理及导数应用》单元测试题(一)及参考解析
《微分中值定理及导数应用》单元测试题(二)及参考解答
更多典型例题请参见菜单“高数线代”下的“《高数数分》每日一题”. 详细历史推文分类导航请点击公众号会话框下面的底部各菜单选项！《高等数学》系列专题请点击菜单“高数线代”下的“在线课堂专题讲座”选项，在打开的面板中选择“专题讲座”浏览！
微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath) 大学数学公共基础课程分享交流平台！支持本号请点赞分享！
↓↓↓点查看更多相关内容

目录
引言
定理
介值定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
例题
小结
介值定理
拉氏（罗尔）定理常见的三种题型
柯西中值定理
做题顺序
引用材料
写在后面

引言
笔者是一名大一学生，在学习高数时发现定理应用证明题挺有意思的，下面将自己的一些的心得和笔记整理如下，与大家分享交流，因为水平有限，难免有错误和考虑不周全之处，请大家见谅。

这篇博客主要是给跟我一样的大一学生学术交流(应付期末考试)用的。
定理
介值定理
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的断电取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,

则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C　(a<v<b)。
不明白的同学可以去画一下图，你会发现有前面的条件在，根本就画不出f(x)不为C的情况(因为它是连续的)。

这样可以比较不严谨的初步验证它的成立。
罗尔定理
如果函数f(x)满足

(1)在闭区间[a,b]上连续；

(2)在开区间(a,b)内可导；

(3)在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f’(ξ)=0

证明:


拉格朗日中值定理
如果函数f(x)满足

(1)在闭区间[a,b]上连续；

(2)在开区间(a,b)内可导，

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式

f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)

证明:



仔细观察，拉氏定理其实就是罗尔定理的拓展，也就是说，罗尔定理是拉氏定理的一种特殊情况，当我们把图3-2正过来的时候，是不是跟罗尔定理的那个图很像呢。
柯西中值定理
如果函数f(x)及F(x)满足

(1)在闭区间[a,b]上连续；

(2)在开区间(a,b)内可导；

(3)对任一x∈(a,b),F’(x)≠0，

那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式

f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f’(ξ)/F’(ξ)



这个定理怎么证的我也没有去管它，看着挺好记的我就直接记下来了hhh。

想知道怎么证明的同学------->用五种方法证明柯西中值定理
例题
这里的例题引自下述的链接中




小结
公式编辑器有点麻烦，我就直接手写了，凑合看看哈。
介值定理
用介值定理来证明时往往是一边小于０，一边大于０，中间存在一个值等于０(例题4)
拉氏（罗尔）定理常见的三种题型
(例题中的1.2对应这里的2.3)

这个辅助函数的意义是:

令f’(ξ)=0的时候能把要证的不等式凑出来，对一个其他函数求导来间接得到所求式子，(打工仔?)所以我们称它为辅助函数。

这些公式的证明建议大家对它进行求导，然后就可以轻松证明了。

没有灵感的时候我们可以直接把定理f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)写出来，把要求证的式子尽量往这个形式靠拢。

比如说第三种题型，我们观察定理左边是f(b)-f(a)，它的变量是分离开的并且两个变量共用一个法则f，因此我们会想到两边同时除去ab，从而进行求证。
柯西中值定理
常与拉氏定理一起使用。
做题顺序
一、观察式子特点

这点比较重要，如果求证式子中没有导数，则一般往介值定理的方向去想，如果存在导数且看上去只有一个法则f则有可能是拉氏(罗尔)定理，两个法则则有可能是柯西中值定理。有二次导数出现时一般要使用两次定理(例题3)。

二、猜测所用的定理

尝试对式子进行求导，变形

把可能的定理写在旁边然后往这个方向去发展(为了获得灵感）

三、动手求证

这一点有时候证明时会用到小区间存在则大区间也存在的性质，有时候会用(例题3)

还有如果题目分一、二小题时请不要忘记使用第一小题证明的结论(例题4)。
引用材料
考研：微分中值定理的证明题汇总

高数微分中值定理(四大定理)

这个拿去练练手吧~(无答案):　与微分中值定理有关的证明题
写在后面
2020年就要到了，在这里我祝大家考的全会，蒙的全对，还有就是新的一年请继续努力吧！