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  • 向量加减法,向量的点(乘),向量的叉积(乘) 向量 是用来表示既大小又方向的量,不过向量在空间中没有具体的位置,通常用一个加粗的小写字母来表示一个向量,或者不加粗顶上带小箭头的小写字母来表示 ...

    1. 向量

    向量 是用来表示既有大小又有方向的量,不过向量在空间中没有具体的位置,通常用一个加粗的小写字母来表示一个向量,或者不加粗顶上带有小箭头的小写字母来表示

    在这里插入图片描述

    A 点指向 B 点的一个有向线段,称为向量 a

    a = B - A 用有向线段的结束点B减去起始点A就得到这个向量 a

    |a| 表示向量a的长度

    â 表示单位向量
    â = a / |a|

    2. 向量的矩阵表示

    在这里插入图片描述

    如上图中向量 a 在X轴和Y轴的分量分别为4和3,那么可以用这两个分量以矩阵的形式表示这个向量,
    上图中纵向排列的被称为列向量,转置后被称为行向量,它们都表示同一个向量

    3 向量加法

    向量加法不同于普通数学加法,它还具有方向属性,因此向量加法采用三角形定则平行四边形定则计算

    3.1 三角形定则

    在这里插入图片描述

    将各个向量依次首尾顺次相接,结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点
    向量a加向量b,将ab首尾相连后,由a的起点指向b的终点,就是 a + b

    3.2 平行四边形定则

    在这里插入图片描述

    将两个向量平移至公共起点,以这两个向量绘制平行四边形,从公共起点到公共终点的向量为相加结果
    将向量a和向量b的起点移到左下角的公共起点,然后以这两个向量绘制平行四边形,由公共起点指向公共终点就是 a + b

    4 向量减法

    向量减法一般使用三角形定则运算
    在这里插入图片描述

    将两个向量平移至公共起点O,从减数向量的终点B指向被减向量的终点A为相减结果
    将向量a和向量b的起点移到左下角的公共起点O,从点B指向点A的向量就是 a - b

    向量相减也可以当做加上一个负的向量,负向量代表大小相等方向相反的向量
    在这里插入图片描述

    将向量相减当做加上一个负的向量,即 a - b = a + (-b)

    5 向量的点积(乘)

    5.1 点积介绍

    在这里插入图片描述
    两个向量的点积(乘),记作 a · b

    两个向量的点积等于两个向量的长度相乘再乘以两个向量夹角的余弦值

    a · b = |a| |b| cosθ

    两个向量夹角的余弦值等于两个向量的点积除以两个向量的长度的积

    在这里插入图片描述

    两个向量夹角的余弦值也等于两个向量的单位向量的点乘

    在这里插入图片描述

    5.2 向量点乘矩阵表示法

    二维向量点乘矩阵表示法
    在这里插入图片描述
    三维向量点乘矩阵表示法
    在这里插入图片描述

    5.3 向量点乘适用的运算定律

    交换律 a · b = b · a
    分配律 a · (b + c) = a · b + a · c
    结合律 (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)

    5.4 一个向量投影到另一个向量

    在这里插入图片描述

    向量 b⊥ 为向量 b 在向量 a 上的投影向量
    向量 b⊥ 与向量 a 方向相同,若向量 a 是单位向量则有,

    在这里插入图片描述

    通过三角函数的性质,可以得出

    |b⊥| = |b|cosθ

    5.5 向量点乘的应用

    5.5.1 计算两个向量的夹角

    在这里插入图片描述
    已知两个向量,可以通过以上公式求出cosθ, 然后通过反余弦函数计算出夹角θ

    5.5.2 判断两个向量的方向

    在这里插入图片描述

    先将向量a和向量b做归一化处理
    在这里插入图片描述
    上述公式可变换为 a · b = cosθ

    如果 a · b 等于1,说明夹角是0度或360度,两个向量重合
    如果 a · b 大于0小于1,说明夹角在0度到90度之间或270度与360度之间,即向量 a 与向量 b 是相同的方向
    如果 a · b 等于0,说明夹角是90度或270度,两个向量垂直
    如果 a · b 小于0大于-1,说明夹角在90度到270度之间 (不包括180度),即向量 a 与向量 b 方向相反
    如果 a · b 等于-1,说明夹角是180度,两个向量方向相反,如上图中向量 a 与向量 b2

    5.5.3 判断两个向量是否接近

    判断两个向量是否接近,其实是判断方向的更近一步的应用,上面提到如果两个向量点乘等于1说明两个向量重合,那么两个向量点乘越接近1说明两个向量越接近,这个性质在光反射模型中计算高光时非常有用,先简单说一下,在近似镜面反射中,如果反射光的方向与人眼观察方向很接近,那么在一定的范围内可以观察到物体表面的高光

    6 向量的叉积(乘)

    6.1 叉积(乘)介绍

    两个向量的叉积(乘)的结果是一个向量,记作c = a x b
    在这里插入图片描述
    向量叉乘结果方向确定
    使用右手螺旋法则确定向量 c 的方向,首先做出点赞手势,四指方向从向量 a 旋转到向量 b,这时拇指方向就是向量 c 的方向

    向量叉乘的一些性质

    向量 a 叉乘向量 b 的结果为向量 c
    向量 c 垂直于向量 a, 向量 c 垂直于向量 b,继而向量 c 垂直于向量 a与向量 b组成的平面

    向量 a 叉乘向量 b 等于负的向量 b 叉乘向量 a
    a x b = -b x a

    两个向量的叉乘的模长等于两个向量的模长相乘再乘以两个向量夹角的正弦值
    |a x b| = |a| |b| sinΦ

    两个向量平行,因为sin0 = 0,则得到 |a x b| = 00 代表0向量
    |a x b| 的值是以向量 a 和向量 b 为边组成的平行四边形的面积

    6.2 向量叉乘矩阵表示法

    向量的叉乘可以写成一个向量对应的矩阵乘以另一个向量
    在这里插入图片描述
    通过矩阵乘法规则推理得出下面结果
    在这里插入图片描述

    6.3 向量叉乘适用的运算定律

    分配律 a x (b + c) = a x b + a x c
    结合律 a x (kb) = k(a x b)

    6.4 向量叉乘的应用

    6.4.1 判断一个向量在另一个的左侧还是右侧

    根据右手螺旋定则,如果向量 a 叉乘向量 b 的结果 > 0,右手旋转时时从 a 向量转向 b 向量,所以 b 向量在 a 向量的左侧,若叉乘结果< 0,则 b 向量在 a 向量的右侧

    向量 a 叉乘向量 b > 0, b 向量在 a 向量的左侧
    向量 a 叉乘向量 b < 0, b 向量在 a 向量的右侧

    6.4.2 判断一个点是否在三角形内部

    在这里插入图片描述
    判断一个点是否在三角形内部的步骤

    1. 把三角形的三条边按一定的顺序依次连接,组成三个向量,上图中是按逆时针方向连接
    2. 取其中的一个向量AB,构造一个向量AP,从向量的起点A指向P点,向量AB叉乘向量AP,结果 > 0,所以 APAB 的左侧
    3. 取下一个向量BC,计算向量BC叉乘向量BP,结果 > 0, 得到BP 也在 BC 的左侧
    4. 取下一个向量CA,计算向量CA叉乘向量CP,结果 > 0, 得到CP 也在 CA 的左侧
    5. 由第2,3,4步的结果推断出P点在三角形内部,如果第2,3,4步中有一个结果有一个不在左侧则P点不在三角形内部

    如果开始连接三角形时按逆时针方向连接,即三条边的向量为AC,CB,BA,则第2,3,4步叉乘的结果都<0,说明P点与三条边的向量起点组成的向量均在对应边向量的一侧,也可以判断P点在三角形内部,实际上判断点是否在三角形内部的依据是,边向量的起点与要判断的点组成的向量是否在三个边向量的同一侧

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    谁有复何求积公式和高斯求积公式在matlab中实现的代码

    时间:2019-5-17

    谁有复何求积公式和高斯求积公式在matlab中实现的代码

    谁有复何求积公式和高斯求积公式在matlab中实现的代码

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    匿名网友:

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    矩阵的半张量积_一个便捷的新工具.pdf11页

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    2011 年 第 56 卷 第 32 期:2664 ~ 2674 《中国科学》杂志社

    特邀评述 SCIENCE CHINA PRESS

    矩阵的半张量积: 一个便捷的新工具

    程代展, 赵寅

    中国科学院数学与系统科学研究院系统科学研究所, 北京 100190

    E-mail: dcheng@

    2011-06-26 收稿, 2011-08-17 接受

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    mysql> describe t_group;

    +-------+-------------+------+-----+---------+----------------+| Field | Type | Null | Key | Default | Extra |

    +-------+-------------+------+-----+---------+----------------+| id | int(11) | NO | PRI | NULL | auto_increment |

    | name | varchar(45) | NO | | NULL | |

    +-------+-------------+------+-----+---------+----------------+

    mysql> describe t_group_roles;

    +----------+-------------+------+-----+---------+-------+| Field | Type | Null | Key | Default | Extra |

    +----------+-------------+------+-----

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    2021-04-27 14:00:42
    是的,橘子和苹果无论怎么加,都不会什么问题的,但是,如果考虑橘子乘橘子, 或者橘子乘苹果,这问题就不大容易说清了。 又如复数,如果仅仅定义复数为数对(a,b),仅仅在线性空间的层面看待C2,那就未免太简单了。...
  • 瀹 大莘学报(自然 版 l S’ JOURNAL OF YUZHOU UNIVERSITY(Nat.Scien.Edit.) 1998车 9月 Sep.1998 @ f ( r 欧氏空间的内与线性变换’ 塞竖 移f 、 f (精州大学数学 与计算机科学幕 ,重 庆,4~ 33) 摘 要 ...
  • 监督学习最常见的四种算法

    千次阅读 2021-01-19 22:15:00
    而监督型学习(Supervised learning)就是训练样本,带属性标签,也可以理解成样本输入输出。 所有的回归算法和分类算法都属于监督学习。回归(Regression)和分类(Classification)的算法区别在于输出变量...
  • 学习迁移

    千次阅读 2021-01-24 21:56:02
    迁移坏。 (二)迁移的分类(P181)单选 【解析】 迁移的分类(单选题备考,掌握名称-例子): 1.迁移性质与结果: (1)正迁移:一种学习对另一种学习产生积极的促进作用。比如你学会骑 自行车,后来...
  • 根据现有的马、老虎的照片以及“斑马的外形像马,身上条纹”这条信息,我们尝试让学习器通过马的数据可以识别出马的外形,通过老虎的数据让学习器可以识别动物身上的条纹,如果学习器发现一张输入的照片马的...
  • 普通人python意义吗-普通人python意义吗?前言一、python的历史二、为什么要学习python?1.python的优点2.python到底难不难?3.python小练习4.学习网址总结 前言 很多人都一些顾虑,我不是名校毕业,听说...
  • 机器人,平面2R机器人完整建模及控制。
  • 如果将下游任务抽象成查询(query),就可 以归纳注意力机制的通用形式,即将源文本看成 是键-值对序列,用K=(k1,…,kN )和V=(v1,…,vN )分 别表示键序列和值序列,用 Q=(q1,…,qM)表示查询序列,那么...
  • 5.1 向量的内、长度及正交性 定义1 设nnn维向量 x=[x1x2...xn],y=[y1y2...yn]x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ .\\ .\\ .\\ x_n \end{bmatrix},y = \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ .\\ .\\ .\\ y_n \end{bmatrix} x=...
  • 自适应复化求法.doc

    2021-04-24 02:18:42
    自适应复化求法实 验 报 告实验课程名称 数值计算方法实验项目名称 自适应复化梯形求法年 级 2012级专 业 应用数学学生姓名 号理 院实验时间: 2014 年 4月 24日学生所在学院:理学院 专业:应用数学 班级...
  • C++描述 LeetCode 5243. 同元组

    千次阅读 多人点赞 2021-01-17 14:19:56
    元组   大家好,我叫亓官劼(qí guān jié ),在CSDN中记录学习的点滴历程,时光荏苒,未来可期,加油~博主目前仅在CSDN中写博客,唯一博客更新的地址为:亓官劼的博客 ,同时正在尝试在B站中做一些内容...

空空如也

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