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  • 性函数基础学习 1. 什么是性函数? ...性函数的两个定义: ... (1) 性函数:对于任意互质的整数a和b性质f(ab)=...观察以上对性函数的定义,我们可以找关于此类函数的特点: (1) 在性函数的定义f(ab)=f...

    积性函数基础学习

     


     

    1. 什么是积性函数?

    积性函数的两个定义:

        (1) 积性函数:对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数

        (2) 完全积性函数:对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

    观察以上对积性函数的定义,我们可以找出关于此类函数的特点:

        (1) 在积性函数的定义f(ab)=f(a)*f(b)中,要求a和b都是整数

           (2) 对于普通的积性函数而言,存在额外的条件,要求a和b都互质(GCD(a,b)==1)

        (3) 所有积性函数满足f(ab)=f(a)*f(b)的运算规则。

     


     

    2. 积性函数有什么性质?

    性质一:

    与算术基本定理有关。

    若将n表示成质因子分解式
    则有
    给这句话再多添几笔,就是:
     
    这里的意思是f(ab)=f(a)*f(b)其实是可以通过唯一分解定理推广成f(abcd。。。)=f(a)*f(b)*f(c)*f(d)*。。。(a,b,c,d。。。之间两两互质)的形式的。关于这个性质,一种最简单的理解是,我们其实可以将右式的f(a)*f(b)*f(c)*f(d)*。。。的任意两个函数化成一个函数(容易看出这两个函数是满足积性函数运算规则的),每一步操作右边就会少一个函数,最终右式会只下剩f(A)*f(B)这两个函数(且A*B==abcd。。。),将其带回原式,并进行一定的变换,整个式子就会又回到了f(ab)=f(a)*f(b)的形式。
     

    性质二:

    f为积性函数且有
    f为完全积性函数。
     

     

    3. 有哪些积性函数?

    积性:

      φ(n) -欧拉函数,计算与n互质的正整数之数目

      μ(n) -莫比乌斯函数,关于非平方数的质因子数目

      gcd(n,k)-最大公因子,当k固定的情况

      d(n) -n的正因子数目

      σ(n) -n的所有正因子之和

      σk(n)-因子函数,n的所有正因子的k次幂之和,当中k可为任何复数。

      1(n) -不变的函数,定义为 1(n) = 1 (完全积性)

      Id(n)-单位函数,定义为 Id(n) = n(完全积性)

      Idk(n)-幂函数,对于任何复数、实数k,定义为Idk(n) = n^k(完全积性)

      ε(n) -定义为:若n = 1,ε(n)=1;若 n > 1,ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”(完全积性)

      λ(n) -刘维尔函数,关于能整除n的质因子的数目

      γ(n),定义为γ(n)=(-1)^ω(n),在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目

        另外,所有狄利克雷特征均是完全积性的[1]

    非积性:

      冯·曼戈尔特函数:当n是质数p的整数幂,Λ(n)=ln(p),否则Λ(n)=0

      不大于正整数n的质数的数目π(n)

      整数拆分的数目P(n):一个整数能表示成正整数之和的方法的数目[2]

     


     

    4. 积性函数实战! 

    例题1:[Hdu1452]Happy 2004

    题意:

        多组数据,每一次给你一个数X,定义函数F(A)为A的所有正因子之和,求F(2004^X)%29的值(1<=x<=10000000)。

    分析:

        X极大,2004^X更大,模的条件看上去帮不上太大的忙。鉴于这个函数的比较复杂的定义,让正因子相乘的做法又太过于暴力。

    于是我们只能尝试挖掘这个函数本身的性质的方面下手了。

        还记得我们曾在上面提到过的典型积性函数吗?其中有两个函数就可能在这里被我们用上。

      σ(n) -n的所有正因子之和

      σk(n)-因子函数,n的所有正因子的k次幂之和,当中k可为任何复数。

        没错,我们所要求的F(2004^X)正是这里的σ(n),F(2004^X) --> FX(2004)正是这里的σk(n),他们都是积性函数。

        我们将2004唯一分解化,2004 --> 2^2*3*167。根据上面所提到过的积性函数的性质,

           f(abcd...)=f(a)*f(b)*f(c)*f(d)*...(a,b,c,d...之间两两互质)

        也就是说,我们将FX(2004)变化成FX(2)*FX(2)*FX(3)*FX(167),而对于这几个函数,我们易知:

           FX(2)=1+2^1+2^2+...+2^X=2^(X+1)-1 (正因子只有2)

        FX(3)=1+3^1+3^2+...+3^X=(3^(3+1)-1)/2 (正因子只有3)

        因为是在%29条件下进行的运算,FX(167)=FX(22)

        FX(22)=1+22^1+22^2+...+22^X=(22^(X+1)-1)/21 (正因子只有167,现变为22,当然你也可以就带入167) 

        (P.S. 以上运算类似于等比数列求和公式:1+A^1+A^2...+A^X=(A^(X+1)-1)/A-1,只是因为他们的正因子仅为他们自己和1才会有这样的公式)   

      以上式子由于涉及模运算,除一个数就等于乘与它的乘法逆元(这个结论不会的同学可以搜索一下),好在29是素数,我们可以用费马小定理求出逆元,幂运算的操作用快速幂完成即可。  

    代码:

    #include <map>
    #include <cmath>
    #include <ctime>
    #include <queue>
    #include <stack>
    #include <cstdio>
    #include <vector>
    #include <bitset>
    #include <cstring>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #define LL long long
    #define INF (0x3f3f3f3f)
    
    using namespace std;
    
    const int mod=29;
    
    int n;
    
    int QuickPow (int a,int k) 
    {
        int cal=1;
        while(k>0) 
        {
            if (k&1) cal=cal*a%mod;
            a=a*a%mod;
            k>>=1;
        }
        return cal;
    }
    
    int Inv (int a)
    {
        return QuickPow(a, mod-2);
    }
    
    int main () 
    {
        while(cin >> n)
        {
            if (!n) break;
            int a=(QuickPow(2, 2*n+1)-1)%mod;
            int b=(QuickPow(3, n+1)-1)*Inv(2)%mod;
            int c=(QuickPow(22, n+1)-1)*Inv(21)%mod;
            int ans=a*b*c%mod;
            cout << ans << endl;
        }
        return 0;
    } 

     

     


     

    资料来源&推荐博客:

        (1)百度百科:https://baike.baidu.com/item/%E7%A7%AF%E6%80%A7%E5%87%BD%E6%95%B0/8354949?fr=aladdin

       (2)博客|浅谈一类积性函数的前缀和(已经全部是更后面的知识了,转载):http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009

         (3)博客|积性函数、线性筛、莫比乌斯反演和一堆乱七八糟的题目:http://jcvb.is-programmer.com/posts/41846.html

    转载于:https://www.cnblogs.com/ToMySoul/p/7657863.html

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  • 再论口号“,用手机”

    千次阅读 2018-08-28 05:29:57
    ​ ​今年7月22日,“,用手机”口号正式亮相,由此演绎微积分手机版中国故事。  ​ ​今天早上,使用百度检索“微积分手机版”关键词,相关搜索结果大约为118.000个。由此可见,“微积分手机版”已经...

        ​    ​今年7月22日,“学微积,用手机”口号正式亮相,由此演绎出微积分手机版中国故事。

        ​    ​今天早上,使用百度检索“微积分手机版”关键词,相关搜索结果大约为118.000个。由此可见,“微积分手机版”已经成为一个流行词。

        ​    ​ “学微积,用手机”,这是中国的故事,而且是世界上仅有的现代故事。

         ​    ​注:这里所说的“手机”,泛指台式机、平板电脑以及各类宽屏移动手持设备。

              袁萌 陈启清      8月28日

    附:

    公告:学微积,用手机,手脑并用学真知

        ​    ​经过多次测试,获得成功。据此,我们正式宣布:

         ​    00后大学生学习微积分可以使用手机,随时随地,自主学习微积分,手脑并用学真知。

        ​    ​大家知道,微积分学属于基础科学,学懂、学透、会用,终生受益不尽。

         ​    ​特此公告!

    ​          袁萌 陈启清     2018年7月22日

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  • 在学习了刚体运动的指数坐标表示和运动旋量后,我又对使用指数法(PoE)对机械臂进行正运动建模,相比于DH参数法,感觉PoE还是非常简单直接的,在此对我的学习进行总结,如错误欢迎指出。 2.指数公式建立过程 ...

    基于指数积的机械臂正运动学算法

    1.前言

    在学习了刚体运动的指数坐标表示和运动旋量后,我又对使用指数积法(PoE)对机械臂进行正运动学建模,相比于DH参数法,感觉PoE还是非常简单直接的,在此对我的学习进行总结,如有错误欢迎指出。

    2.指数积公式建立过程

    在使用PoE建立正运动学模型时,我们需要获得以下参数:

    • 建立基坐标系(惯性系)和末端坐标系
    • 写出初始时刻的末端坐标系相对于惯性系的位姿MM
    • 写出各个关节的运动旋量,即SS,内含单位角速度和原点线速度,可以参考上一篇博客刚体运动旋量讲解
    • 获得关节角度,即正运动学算法的输入参数
    • 对位姿MM不断进行左乘运动旋量的矩阵指数,即可获得运动学表达式
      T(θ)=e[S1]θ1...e[Sn1]θn1e[Sn]θnM T(\theta)=e^{[S_1]\theta_1}...e^{[S_{n-1}]\theta_{n-1}}e^{[S_n]\theta_n}M
      可见,使用PoE算法可以不用为每个关节建立关节坐标系,省去了坐标系的繁琐,且通用性更高,针对不同的机械臂,只需修改运动旋量即可,而无需重新建立坐标系。

    3.PoE实例

    这里的实例采用《现代机器人学》这本书中的例子,选择了一个3DoF的例子进行讲解,其余自由度以及平移关节推导过程类似。
    在这里插入图片描述
    首先,写出初始状态下的末端执行器位姿为
    M=[001L10100100L20001] M= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & L_1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -L_2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]
    然后,写出每个关节的运动旋量。首先是角速度部分,因为采用的是单位角速度ω=1\left|| \omega \right||=1,故角速度部分也就是旋转轴相对于惯性系的表达,注:只取方向表达,不用考虑旋转轴位移
    ω1=(0,0,1)ω2=(0,1,0)ω3=(1,0,0) \omega_1=(0,0,1) \\\omega_2=(0,-1,0) \\\omega_3=(1,0,0)
    接着,写出线速度部分,该线速度指的是刚体绕关节轴旋转时,惯性系的原点在该旋转中的线速度,故需要选择一条从旋转轴到原点的矢径,该矢径在惯性系中的表达为qq,但当其代入线速度计算时,需要反向,因为是从旋转轴指向原点,即
    v=ω×q v=-\omega\times q
    根据旋转轴是条直线,可以无限延长来合适的选择旋转轴上的点,可以简化该计算,本例中选择qq
    q1=(0,0,0)q2=(L1,0,0)q3=(0,0,L2) q_1=(0,0,0) \\q_2=(L_1,0,0) \\q_3=(0,0,-L_2)
    因此计算得到原点因各个关节旋转而获得的线速度为
    v1=(0,0,0)v2=(0,0,L1)v3=(0,L2,0) v_1=(0,0,0) \\v_2=(0,0,-L_1) \\v_3=(0,-L_2,0)
    从而获得了运动旋量,将其写为李代数形式,代入上述正运动学公式即可获得正运动学表达式,不再赘述,可参考前面的文章。

    4.PoE与DH对比

    在参数个数上,DH占有优势,仅用4n个参数即可描述机械臂,而PoE则需要6n个参数来表达运动旋量,还有n个关节角参数,共计7n个。

    但是PoE在建模时更加方便直观,对于旋转和移动关节都能够很好的进行表达。

    DH参数坐标系的建立还依赖于两个关节轴的公法线,当相邻的两关节轴平行的时候,建立了一个理论上的坐标系,但是因为制造等误差,让一组关节轴偏离了精确平行或相交于一点的位置时,所建立的坐标系即为错误的,这将对进行DH参数的精确测量和辨识增加困难。而PoE则因没有关节坐标系而可以更加方便的进行参数辨识等。

    展开全文
  • 很长一段时间没有在CSDN中转载过博文了,总结起来大致两点原因吧,第一点,好博文很多,但快速浏览并解决心中疑惑后似乎总缺少点什么——“味同爵蜡”。知识不是靠传授,靠的是领悟。因此不希望将博客写成...

    背景:

    近期发现,床头和书柜的书已然许久没有翻过了,看来还是太懒惰了。也有很长一段时间没有在CSDN中转载过博文了,总结起来大致有两点原因吧,第一点,好博文有很多,但快速浏览并解决心中疑惑后似乎总缺少点什么——“味同爵蜡”。知识不是靠传授,靠的是领悟。因此不希望将博客写成简单的记录大牛神作的黄页,而是希望随着时间慢慢沉淀出自己的感悟后再写点什么出来;第二点,好博文都是别人付出脑力和体力劳动所创造出来的,是其整个思维体系中的一部分,倘若单独转载某一“篇”生怕破坏了原本完美的逻辑,对后来者产生误导。

    PS: 还有一个原因就是CSDN并未开放直接转载的功能,即使同是CSDN的博文,so没有些许自己的感悟,我又怎好意思厚着脸皮转载呢。Σ( ° △ °|||)︴


    近期看了一篇关于学习习惯的博文,跟自己一直一来希望做的很相似,自己也尽力坚持,原始出处是UCSB在Coursera上开放的一门热门公开课“Learning How to Learn: Powerful mental tools to help you master tough subjects”,下面就转一下Coursera工程师董飞发表在百度百科上的译文。

    *****永远支持原创,坚决抵制盗文

    这里写图片描述

    学习的十大好习惯和坏习惯

    Learning How to Learn: Powerful mental tools to help you master tough subjects 是UCSB在Coursera上开放的一门热门公开课,介绍如何学习方法论。下面介绍一下课程介绍的学习十大好习惯和坏习惯。

    摘录:数字思维:如何在攻克数学和科学,by Barbara Oakley, Penguin, July, 2014

    十大好习惯

    1.使用回忆(recall)。在阅读一页,看看远方,停下来回忆。不要在你还没有牢记之前做记号。尝试回忆在你学习之外,比如当你走路,上课或在不同的房间。掌握回忆,从自身产生联想的能力,是成为很好的学习者的关键指标。

    2.测试自己。在任何时间任何事物去测试。记忆卡片是你的朋友。

    3.分块问题。分块是理解和问题的解决方案练习,以便它在脑海中全部闪现。当你解决了一个问题,就去排练。确保你可以理解每一步。假设这是一首歌曲,学会在你的心中再次播放一遍,把信息整合到连续的一块,你可以随时串起来。

    4.空间的重复。就像一个运动员,每天一步步计划安排你的学习。你的大脑就像肌肉 - 它可以一次处理有限数量的运动。

    5.交替练习不同解决问题的技巧。千万不要用练习时间过长,也不要在任何一个会话中用同一个解决问题的方法,这样的话你会产生思维定势。混合起来,在不同类型的问题下工作。整理考试与作业题,找出错误,搞清为什么犯错,然后重新做一遍。记忆卡片有助于高效学习,把问题写在(手写,别打字)卡片的一面,解法写在另一面。(手写比起打字能建立更牢固的神经网络)你可以把卡片照下来存到手机里。随机检测自己不同种类的问题。你也可以随便翻开书本的某页,找一道题看看能不能做出来。

    6.采取休息。面对新的问题,第一次解不出来很正常。这也是问什么每天学一点比天天埋头苦读好很多的原因。。当你感到沮丧与数学或科学问题,休息一下,使你的头脑的另一部分可以接管并在后台工作。

    7.使用解释和简单的类比。当你疲于应付一个概念,问自己怎么能解释这一点给10岁儿童?比喻确实有帮助,电流就像水流。不要仅仅脑子想,要大声说出来,或写下来。口语和写作的努力可以让你更深入地进行编码(即转换成神经内存结构)。

    8.聚焦。关闭所有手机和电脑消息提醒,打开一个定时器25分钟。专注专心为那25分钟,并努力尝试你可以工作。计时器完了,可以给自己一个小的,好玩的奖励。

    9.先吃你的青蛙。在一天中最清醒的早晨,把最难的任务解决。

    10.勿忘初心。想想你从哪里来,学习又会把你带到哪里去。在工作空间贴一张激励你的海拔,提醒你的梦想。当你发现松懈后,这将让你重新燃起激情找回信心!

    十大坏习惯

    避免这些,它们浪费你的时间,甚至欺骗你以为你在学习!

    1.被动重读,被动地坐着而你的眼球回到了同一个页面。除非你能自己复述一边,证明材料已经被吸收,否则重复阅读是浪费时间。

    2.太多标注。突出文字可以欺骗你的头脑,以为你把东西在你的大脑,所有你做的是只是移动你的手。有一点标注是好的,它可以在标记重点帮助。但是,如果您使用的是突出作为存储工具,请确保您有什么标记也进入你的大脑。

    3.先看答案,你以为你知道该怎么做。这是最糟糕的错误。你需要能够一步一步解决问题,不看答案。

    4.临时抱佛脚。你会挤在最后一分钟,如果你是练田径运动会?你的大脑就像肌肉 - 它可以处理一次一个受试者运动只有有限数量。

    5.反复求解同一类型问题。如果你只是坐在那里解决实践中类似的问题,你实际上并不准备进行测试,就像只是在练习运球,而不是篮球比赛。

    6.把学习小组变成聊天小组. 和你的朋友互相批改答案,互相测试,找到问题,可以让学习更有趣,更深度。如果你的学习小组在完成任务前变成玩游戏,就是在浪费时间,而你最好换一个学习小组。

    7. 做作业前不复习课本。你会下水之前知道如何游泳呢?课本是你的游泳教练—它引导你找出答案。你要是不复习就做题便是在浪费时间。顺便,在开始阅读前,扫读章节名以了解知识框架。

    8.不和导师或同学来讨论困惑点。教授是用来给学生进行指导,这是我们的工作来帮助你。我们担心学生是谁不来。

    9.认为被干扰时还能学下去。每一条短信都会损耗大脑学习的力气。每一个干扰都会阻碍神经的形成。

    10.缺觉。睡眠帮助你的大脑拼凑解决问题的技巧。你的大脑在睡眠时会整合信息。过度疲劳会在脑内产生毒素,扰乱神经元的连接,让你无法敏锐的思考。

    ZSSURE:

    好习惯可能不一定适用于每个人,但是坏习惯我们每个人多少都会有一些。生活和学习中时刻提醒自己,避免上述坏习惯,必定会有所收获。
    上述坏习惯的2、6、9,我本人生活中经常会犯,比如就像我博客一样,会把其中我认为重点的地方标记出来,期望加深大家的印象。日常生活中使用记笔记时也是如此,后来想想或许这就是常常觉得自己一知半解的根源所在吧,自认为记住了重点,殊不知却只懂得皮毛;之前三五好友讨论问题时,也常常难免会陷入“侃大山”的境地,大家相互畅想未来,却耽误了正常的工作;另外平日里都会在闲暇时间看一些专业书籍,例如周末看电视、电影空挡,睡觉前用pad浏览一下等等诸如此类。总觉得看了终究是有收获的,殊不知既没有休息好,也没有学到什么知识。所以以后学习生活要身体力行,改掉坏习惯,培养好习惯——只要踏出一步,路就在前方!






    原创:Barbara Oakley
    译者:董飞
    转帖:zssure@163.com
    时间:2015-03-29

    展开全文
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  • min_25筛学习小记

    2018-09-08 21:53:44
    min_25筛是洲阁筛的简化版,虽然我并不会洲阁筛。 min_25筛可以筛一些特殊性函数...至于min_25能筛的性函数哪些要求,在博客后面会讨论 所有时间复杂度证明见朱大佬2018国家预备队论文。 筛的本质: 1−n1...
  • 在竹笛、长笛、即兴伴奏、乐理、合唱指挥、钢琴方面了较大的发展和提高。通过这些实践使我积累了一定的教学经验。在紧张的学习之余,我积极参加各种社会公益活动,多次参加校内外文艺演出和比赛。宝剑锋从磨砺,...

空空如也

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