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  • 一、庞加莱半平面在半平面 中定义如下度规 得到黎曼空间称为庞加莱半平面,它具有负常数曲率 , 根据Levi-Civita联络系数公式: 容易算出仅有4个不为0分量为: , 从而可列出测地线方程为 为了化简方程,将...

    一、庞加莱半平面

    在半平面

    equation?tex=%5C%7B%28x%2Cy%29%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%7Cy%3E0%5C%7D 中定义如下的度规

    equation?tex=ds%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7By%5E2%7D%28dx%5E2%2Bdy%5E2%29

    得到的黎曼空间称为庞加莱半平面,它具有负的常数曲率

    equation?tex=R%3D-2 , 根据Levi-Civita联络系数公式:

    equation?tex=%5CGamma%5Ek_%7Bij%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%5E%7Bkl%7D%28%5Cpartial_ig_%7Bjl%7D%2B%5Cpartial_jg_%7Bil%7D-%5Cpartial_lg_%7Bij%7D%29

    容易算出仅有的4个不为0的分量为:

    equation?tex=%5CGamma%5E1_%7B12%7D%3D%5CGamma%5E1_%7B21%7D%3D%5CGamma%5E2_%7B22%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D
    equation?tex=%5CGamma%5E2_%7B11%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D

    从而可列出测地线方程为

    equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+%5Cddot%7Bx%7D-%5Cfrac%7B2%5Cdot%7Bx%7D%5Cdot%7By%7D%7D%7By%7D%3D0%5C%5C++%5Cddot%7By%7D-%5Cfrac%7B%5Cdot%7By%7D%5E2-%5Cdot%7Bx%7D%5E2%7D%7By%7D%3D0+%5Cend%7Bcases%7D

    为了化简方程,将方程的求导参数从仿射参数换成

    equation?tex=x ,我们有

    equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+%5Cdot%7Bx%7D%5Cfrac%7Bd%5Cdot%7Bx%7D%7D%7Bdx%7D-%5Cfrac%7B2%5Cdot%7Bx%7D%5E2%7D%7By%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D0%5C%5C++%5Cdot%7Bx%7D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cdot%7Bx%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D-%5Cfrac%7B%5Cdot%7Bx%7D%5E2%7D%7By%7D%28%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%29%5E2%2B%5Cfrac%7B%5Cdot%7Bx%7D%5E2%7D%7By%7D%3D0+%5Cend%7Bcases%7D

    将2式联立得

    equation?tex=%5Cdot%7Bx%7D%5E2%28%5Cfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D%28%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%29%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D%29%3D0

    除了

    equation?tex=x 为常数的情况,考虑方程

    equation?tex=yy%27%27%2B%28y%27%29%5E2%2B1%3D0

    作换元

    equation?tex=y%3D%5Csqrt%7Bz%7D 可得

    equation?tex=%5Csqrt%7Bz%7D%5Cfrac%7Bz%27%27%5Csqrt%7Bz%7D-z%27%28%5Cfrac%7Bz%27%7D%7B2%5Csqrt%7Bz%7D%7D%29%7D%7B2z%7D%2B%28%5Cfrac%7Bz%27%7D%7B2%5Csqrt%7Bz%7D%7D%29%5E2%2B1%3D0

    即有

    equation?tex=z%27%27%2B2%3D0 ,容易解出
    equation?tex=z%3Da%2Bbx-x%5E2 其中
    equation?tex=a%2Cb 为积分常数,即有

    equation?tex=y%5E2%3Da%2Bbx-x%5E2%3Dr%5E2-%28x-x_0%29%5E2

    其中

    equation?tex=x_0%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2%7D ,
    equation?tex=r%3D%5Csqrt%7Ba%2B%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B4%7D%7D

    总结起来,测地线有如下两种:

    1、垂直于x轴的射线

    equation?tex=x%3Dx_0%2Cy%3E0

    2、垂直于x轴的半圆弧

    equation?tex=y%3D%5Csqrt%7Br%5E2-%28x-x_0%29%5E2%7D%2Cx%5Cin%28x_0-r%2Cx_0%2Br%29

    二、两点间的距离

    对于垂直于x轴的射线有

    equation?tex=dx%3D0 ,从而
    equation?tex=ds%3D%5Cfrac%7B1%7D%7By%7Ddy%3Dd%5Cln+y ,从而

    equation?tex=d%3D%7C%5Cln%5Cfrac%7By_2%7D%7By_1%7D%7C

    用圆心角参数化半圆弧有

    equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+x%3Dx_0%2Br%5Ccos%5Cphi%5C%5C+y%3Dr%5Csin%5Cphi+%5Cend%7Bcases%7D%28%5Cphi%5Cin%280%2C%5Cpi%29%29

    代入线元公式得

    equation?tex=ds%3D%5Cfrac%7Bd%5Cphi%7D%7B%5Csin%5Cphi%7D%3Dd%5Cln%5Ctan%7B%5Cfrac%7B%5Cphi%7D%7B2%7D%7D ,即有

    equation?tex=d%3D%7C%5Cln%5Cfrac%7B%5Ctan%7B%5Cphi_2%2F2%7D%7D%7B%5Ctan%5Cphi_1%2F2%7D%7C

    由公式

    equation?tex=%5Ctan%5Cfrac%7B%5Cphi%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Cphi%2F2%7D%7B%5Ccos%5Cphi%2F2%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1-%5Ccos%5Cphi%7D%7B1%2B%5Ccos%5Cphi%7D%7D

    可得

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+d%26%3D%7C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cln%5Cfrac%7B%281%2B%5Ccos%5Cphi_1%29%281-%5Ccos%5Cphi_2%29%7D+%7B%281-%5Ccos%5Cphi_1%29%281%2B%5Ccos%5Cphi_2%29%7D%7C%5C%5C%26++%3D%7C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cln%5Cfrac%7B1-%5Ccos%5Cphi_1%5Ccos%5Cphi_2%2B%28%5Ccos%5Cphi_1-%5Ccos%5Cphi_2%29%7D%7B1-%5Ccos%5Cphi_1%5Ccos%5Cphi_2-%28%5Ccos%5Cphi_1-%5Ccos%5Cphi_2%29%7D%7C%5C%5C%26+%3D%7C%5Cmathrm%7Bartanh%7D%5Cfrac%7B%5Ccos%5Cphi_1-%5Ccos%5Cphi_2%7D%7B1-%5Ccos%5Cphi_1%5Ccos%5Cphi_2%7D%7C%5C%5C%26+%3D%5Cmathrm%7Barcosh%7D%5Cfrac%7B1-%5Ccos%5Cphi_1%5Ccos%5Cphi_2%7D%7B%5Csqrt%7B%281-%5Ccos%5Cphi_1%5Ccos%5Cphi_2%29%5E2-%28%5Ccos%5Cphi_1-%5Ccos%5Cphi_2%29%5E2%7D%7D%5C%5C%26%3D+%5Cmathrm%7Barcosh%7D%5Cfrac%7B1-%5Ccos%5Cphi_1%5Ccos%5Cphi_2%7D%7B%5Csin%5Cphi_1%5Csin%5Cphi_2%7D%5C%5C%26+%3D%5Cmathrm%7Barcosh%7D%5Cfrac%7Br%5E2-%28x_1-x_0%29%28x_2-x_0%29%7D%7By_1y_2%7D+%5Cend%7Balign%7D

    为了求出过

    equation?tex=%28x_1%2Cy_1%29%2C%28x_2%2Cy_2%29 的半圆,我们需要求出这两点的垂直平分线,它与x轴的交点就是圆心,利用直线的点法式方程

    equation?tex=%28x_2-x_1%29%28x-%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%29%2B%28y_2-y_1%29%28y-%5Cfrac%7By_1%2By_2%7D%7B2%7D%29%3D0

    equation?tex=y%3D0 有:

    equation?tex=x_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28x_1%2Bx_2%2B%5Cfrac%7By_2%5E2-y_1%5E2%7D%7Bx_2-x_1%7D%29

    从而

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%26r%5E2-%28x_1-x_0%29%28x_2-x_0%29%5C%5C+%3D%26%28x_1-x_0%29%5E2%2By_1%5E2-%28x_1-x_0%29%28x_2-x_0%29%5C%5C+%3D%26%28x_1-x_0%29%28x_1-x_2%29%2By_1%5E2%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28%28x_2-x_1%29%5E2%2B%28y_2%5E2-y_1%5E2%29%29%2By_1%5E2%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28%28x_2-x_1%29%5E2%2B%28y_1%5E2%2By_2%5E2%29%29%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28%28x_2-x_1%29%5E2%2B%28y_2-y_1%29%5E2%29%2By_1y_2+%5Cend%7Balign%7D

    综合得

    equation?tex=d%3D%5Cmathrm%7Barcosh%7D%281%2B%5Cfrac%7B%28x_2-x_1%29%5E2%2B%28y_2-y_1%29%5E2%7D%7B2y_1y_2%7D%29%3D%5Cmathrm%7Barcosh%7D%281%2B%5Cfrac%7Bd_E%5E2%7D%7B2y_1y_2%7D%29

    其中

    equation?tex=d_E%3D%5Csqrt%7B%28x_1-x_2%29%5E2%2B%28y_2-y_1%29%5E2%7D 是两点的欧氏距离。

    还可以利用

    equation?tex=%5Ccosh+d%3D1%2B2%5Csinh%5E2%5Cfrac%7Bd%7D%7B2%7D 得到:
    equation?tex=d%3D2%5Cmathrm%7Barsinh%7D%5Cfrac%7Bd_E%7D%7B2%5Csqrt%7By_1y_2%7D%7D

    再看射线的情况,对于射线

    equation?tex=x_1%3Dx_2 ,从而
    equation?tex=d_E%3D%7Cy_2-y_1%7C ,于是

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+d%26%3D2%5Cmathrm%7Barsinh%7D%5Cfrac%7B%7Cy_2-y_1%7C%7D%7B2%5Csqrt%7By_1y_2%7D%7D%3D2%5Cln%28%5Cfrac%7B%7Cy_2-y_1%7C%7D%7B2%5Csqrt%7By_1y_2%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%28y_2-y_1%29%5E2%7D%7B4y_1y_2%7D%2B1%7D%29%5C%5C%26+%3D%5Cln%28%5Cfrac%7B%7Cy_2-y_1%7C%2By_1%2By_2%7D%7B2%5Csqrt%7By_1y_2%7D%7D%29%5E2%3D%5Cln%5Cfrac%7B%5Cmax%28y_1%2Cy_2%29%5E2%7D%7By_1y_2%7D%5C%5C+%26%3D%7C%5Cln%5Cfrac%7By_2%7D%7By_1%7D%7C+%5Cend%7Balign%7D

    从而距离公式对所有情况均适用。

    三、余弦定理

    75dd060e97596c40dc82c4461d80dbc6.png
    图1

    由上图可知

    equation?tex=%5Ccos+A%3D%5Cpm%5Cfrac%7B%28x_A-x_b%29%28x_A-x_c%29%2By_A%5E2%7D%7Br_br_c%7D

    其中当

    equation?tex=x_B%3Cx_A%3Cx_C 时取负号,否则取正号,也就是说符号与
    equation?tex=%28x_A-x_B%29%28x_A-x_C%29 一致。

    首先由上一节推导可知

    equation?tex=x_c%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28x_A%2Bx_B%2B%5Cfrac%7By_A%5E2-y_B%5E2%7D%7Bx_A-x_B%7D%29

    因此

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+r_c%5E2%26%3D%28x_A-x_c%29%5E2%2By_A%5E2%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7B%28%28x_A-x_B%29%5E2%2By_B%5E2-y_A%5E2%29%5E2%2B4y_A%5E2%28x_A-x_B%29%5E2%7D%7B4%28x_A-x_B%29%5E2%7D%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7B%28c_E%5E2%2B2y_A%28y_B-y_A%29%29%5E2%2B4y_A%5E2%28x_A-x_B%29%5E2%7D%7B4%28x_A-x_B%29%5E2%7D%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7Bc_E%5E4%2B4y_A%28y_B-y_A%29c_E%2B4y_A%5E2c_E%5E2%7D%7B4%28x_A-x_B%29%5E2%7D%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7Bc_E%5E2%28c_E%5E2%2B4y_Ay_B%29%7D%7B4%28x_A-x_B%29%5E2%7D+%5Cend%7Balign%7D

    其中

    equation?tex=c_E 是弧
    equation?tex=c 的弦的欧氏距离,另一方面:

    equation?tex=%5Csinh%5E2+c%3D%281%2B%5Cfrac%7Bc_E%5E2%7D%7B2y_Ay_B%7D%29%5E2-1%3D%5Cfrac%7Bc_E%5E2%28c_E%5E2%2B4y_Ay_B%29%7D%7B4y_A%5E2y_B%5E2%7D

    从而

    equation?tex=r_c%3D%5Cfrac%7By_Ay_B%7D%7B%7Cx_A-x_B%7C%7D%5Csinh+c

    又由:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+x_A-x_c%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28x_A-x_B-%5Cfrac%7By_A%5E2-y_B%5E2%7D%7Bx_A-x_B%7D%29%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7B%28x_A-x_B%29%5E2-y_A%5E2%2By_B%5E2%7D%7B2%28x_A-x_B%29%7D%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7Bc_E%5E2%2B2y_Ay_B-2y_A%5E2%7D%7B2%28x_A-x_B%29%7D%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7By_Ay_B%7D%7Bx_A-x_B%7D%281%2B%5Cfrac%7Bc_E%5E2%7D%7B2y_Ay_B%7D%29-%5Cfrac%7By_A%5E2%7D%7Bx_A-x_B%7D%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7By_Ay_B%7D%7Bx_A-x_B%7D%5Ccosh+c-%5Cfrac%7By_A%5E2%7D%7Bx_A-x_B%7D+%5Cend%7Balign%7D

    对余弦公式的分子分母同乘以

    equation?tex=%28x_A-x_B%29%28x_A-x_C%29 ,分母的绝对值符号和前面的正负号抵消,得到

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%5Ccos+A%26%3D%5Cfrac%7B%28y_Ay_C%5Ccosh+b-y_A%5E2%29%28y_Ay_B%5Ccosh+c-y_A%5E2%29%2By_A%5E2%28x_A-x_B%29%28x_A-x_C%29%7D%7B%28y_Ay_C%5Csinh+b%29%28y_Ay_B%5Csinh+c%29%7D%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7B%5Ccosh+b%5Ccosh+c-%5Cfrac%7By_A%7D%7By_C%7D%5Ccosh+c-%5Cfrac%7By_A%7D%7By_B%7D%5Ccosh+b%2B%5Cfrac%7By_A%5E2%2B%28x_A-x_B%29%28x_A-x_C%29%7D%7By_By_C%7D%7D%7B%5Csinh+b%5Csinh+c%7D+%5Cend%7Balign%7D

    带入距离公式有:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%26%5Cfrac%7By_A%7D%7By_B%7D%5Ccosh+b%2B%5Cfrac%7By_A%7D%7By_B%7D%5Ccosh+b-%5Cfrac%7By_A%5E2%2B%28x_A-x_B%29%28x_A-x_C%29%7D%7By_By_C%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7By_A%7D%7By_B%7D%281%2B%5Cfrac%7Bb_E%5E2%7D%7B2y_Ay_C%7D%29%2B%5Cfrac%7By_A%7D%7By_C%7D%281%2B%5Cfrac%7Bc_E%5E2%7D%7B2y_Ay_B%7D%29-%5Cfrac%7By_A%5E2%2B%28x_A-x_B%29%28x_A-x_C%29%7D%7By_By_C%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7Bb_E%5E2%2Bc_E%5E2-2y_A%28y_A-y_B-y_C%29-2%28x_A-x_B%29%28x_A-x_C%29%7D%7B2y_By_C%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7Bb_E%5E2%2Bc_E%5E2-2%28x_A-x_B%29%28x_A-x_C%29-2%28y_A-y_B%29%28y_A-y_C%29%7D%7B2y_By_C%7D%2B1%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B%28x_B-x_C%29%5E2%2B%28y_B-y_C%29%5E2%7D%7B2y_By_C%7D%2B1%5C%5C%3D%26%5Ccosh+a+%5Cend%7Balign%7D

    对于有一条边是射线的情况,如果是对边,那么上面的证明仍然可用,对于射线是邻边的情况,不妨设它为边c:

    0468fe4391f3c8019db42dc6e9d9ac35.png
    图2

    由上图有

    equation?tex=%5Ccos+A%3D%5Cpm%5Cfrac%7Bx_A-x_b%7D%7Br_b%7D

    其中开口向左上和右下的角取正号,开口向右上和左下的角取负号,也就是与

    equation?tex=%28y_B-y_A%29%28x_A-x_C%29 同号。

    由之前的推导有

    equation?tex=%5Ccos+A%3D%5Cpm%5Cfrac%7B%5Ccosh+b-%5Cfrac%7By_A%7D%7By_C%7D%7D%7B%5Csinh+b%7D

    且此时

    equation?tex=x_A-x_C 的符号已被消掉,符号只由
    equation?tex=y_B-y_A 确定,注意到:

    equation?tex=%5Csinh+c%3D%5Csinh+%7C%5Cln%5Cfrac%7By_B%7D%7By_A%7D%7C%3D%5Cfrac%7B%7Cy_B%5E2-y_A%5E2%7C%7D%7B2y_Ay_B%7D

    equation?tex=%5Ccosh+c%3D%5Ccosh%7C%5Cln%5Cfrac%7By_B%7D%7By_A%7D%7C%3D%5Cfrac%7By_A%5E2%2By_B%5E2%7D%7B2y_Ay_B%7D

    对分子分母同乘以

    equation?tex=%5Csinh+c ,前面的正负号去掉了分子的绝对值,得到:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%5Ccos+A%26%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B%28y_B%5E2-y_A%5E2%29%7D%7B2y_Ay_B%7D%28%5Ccosh+b-%5Cfrac%7By_A%7D%7By_C%7D%29%7D%7B%5Csinh+b%5Csinh+c%7D%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7B%28%5Ccosh+c-%5Cfrac%7By_A%7D%7By_B%7D%29%28%5Ccosh+b-%5Cfrac%7By_A%7D%7By_C%7D%29%7D%7B%5Csinh+b%5Csinh+c%7D%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7B%5Ccosh+b%5Ccosh+c-%5Cfrac%7By_A%7D%7By_B%7D%5Ccosh+b-%5Cfrac%7By_A%7D%7By_C%7D%5Ccosh+c%2B%5Cfrac%7By_A%5E2%7D%7By_By_C%7D%7D%7B%5Csinh+b%5Csinh+c%7D+%5Cend%7Balign%7D

    其中:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%26%5Cfrac%7By_A%7D%7By_B%7D%5Ccosh+b%2B%5Cfrac%7By_A%7D%7By_C%7D%5Ccosh+c-%5Cfrac%7By_A%5E2%7D%7By_By_C%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7By_A%7D%7By_B%7D%281%2B%5Cfrac%7Bb_E%5E2%7D%7B2y_Ay_C%7D%29%2B%5Cfrac%7By_A%7D%7By_C%7D%281%2B%5Cfrac%7Bc_E%5E2%7D%7B2y_Ay_B%7D%29-%5Cfrac%7By_A%5E2%7D%7By_By_C%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B%28x_A-x_C%29%5E2%2B%28y_A-y_C%29%5E2%2B%28y_A-y_B%29%5E2-2y_A%28y_A-y_C-y_B%29%7D%7B2y_By_C%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B%28x_B-x_C%29%5E2%2B%28y_B-y_C%29%5E2%2B2y_By_C%7D%7B2y_By_C%7D%5C%5C+%3D%26%5Ccosh+a+%5Cend%7Balign%7D

    总结起来就是:

    equation?tex=%5Ccos+A%3D%5Cfrac%7B%5Ccosh+b%5Ccosh+c+-%5Ccosh+a%7D%7B%5Csinh+b%5Csinh+c%7D

    四、正弦定理

    由余弦定理有:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%5Csin+A%26%3D%5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7B%28%5Ccosh+b%5Ccosh+c-%5Ccosh+a%29%5E2%7D%7B%5Csinh%5E2b%5Csinh%5E2c%7D%7D%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Csinh%5E2b%5Csinh%5E2c-%28%5Ccosh+b%5Ccosh+c-%5Ccosh+a%29%5E2%7D%7D%7B%5Csinh+b%5Csinh+c%7D%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%281-%5Ccosh%5E2b%29%281-%5Ccosh%5E2c%29-%5Ccosh%5E2b%5Ccosh%5E2c%2B2%5Ccosh+a%5Ccosh+b%5Ccosh+c-%5Ccosh%5E2a%7D%7D%7B%5Csinh+b%5Csinh+c%7D%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2B2%5Ccosh+a%5Ccosh+b%5Ccosh+c-%5Ccosh%5E2a-%5Ccosh%5E2+b-%5Ccosh%5E2+c%7D%7D%7B%5Csinh+b%5Csinh+c%7D+%5Cend%7Balign%7D

    从而

    equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csinh+a%7D%7B%5Csin+A%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csinh+a%5Csinh+b%5Csinh+c%7D%7B%5Csqrt%7B1%2B2%5Ccosh+a%5Ccosh+b%5Ccosh+c-%5Ccosh%5E2a-%5Ccosh%5E2+b-%5Ccosh%5E2+c%7D%7D

    等号右边关于

    equation?tex=a%2Cb%2Cc 对称,从而

    equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csinh+a%7D%7B%5Csin+A%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csinh+b%7D%7B%5Csin+B%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csinh+c%7D%7B%5Csin+C%7D

    五、面积公式

    由线元公式

    equation?tex=ds%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7By%5E2%7D%28dx%5E2%2Bdy%5E2%29 可得面积元:

    equation?tex=d%5Csigma%3D%5Csqrt%7B%5Cdet+g%7Ddx%5Cwedge+dy%3D%5Cfrac%7B1%7D%7By%5E2%7Ddx%5Cwedge+dy

    首先我们考虑一段圆弧上方的面积

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+S_%7B12%7D%26%3D%7C%5Cint%5E%7Bx_2%7D_%7Bx_1%7D%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7B%5Csqrt%7Br%5E2-%28x-x_0%29%5E2%7D%7D%5Cfrac%7B1%7D%7By%5E2%7Ddydx%7C%5C%5C%26+%3D%7C%5Cint%5E%7Bx_2%7D_%7Bx_1%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Br%5E2-%28x-x_0%29%5E2%7D%7Ddx%7C%5C%5C%26+%3D%7C%5Carcsin%5Cfrac%7Bx_2-x_0%7D%7Br%7D-%5Carcsin%5Cfrac%7Bx_1-x_0%7D%7Br%7D%7C%5C%5C%26+%3D%7C%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cphi_2%29-%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cphi_1%29%7C%5C%5C%26%3D%5Cphi_%7B12%7D+%5Cend%7Balign%7D

    这里

    equation?tex=%5Cphi_%7B12%7D%3D%7C%5Cphi_2-%5Cphi_1%7C 是这段弧的圆心角,特别地规定射线上两点的圆心角为0,显然它们上方的面积也是0。

    考虑一个点在三角形上逆时针运动一周,那么它在下方转动角度为负的圆心角,上方转动了正的圆心角,其代数和就是三角形的面积的负数,同时还在三个角处转动了3个外角,从而

    equation?tex=-S%2B%28%5Cpi-A%29%2B%28%5Cpi-B%29%2B%28%5Cpi-C%29%3D2%5Cpi

    化简得:

    equation?tex=S%3D%5Cpi-%28A%2BB%2BC%29

    附录一:平面三角公式

    1、余弦定理

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+a%5E2%26%3D%7C%5Cvec%7BBC%7D%7C%5E2%3D%28%5Cvec%7BAC%7D-%5Cvec%7BAB%7D%29%5E2%3D%5Cvec%7BAC%7D%5E2%2B%5Cvec%7BAB%7D%5E2-2%5Cvec%7BAC%7D%5Ccdot%5Cvec%7BAB%7D%5C%5C%26+%3Db%5E2%2Bc%5E2-2bc%5Ccos+A+%5Cend%7Balign%7D

    从而

    equation?tex=%5Ccos+A%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%2Bc%5E2-a%5E2%7D%7B2bc%7D

    2、正弦定理

    由三角形面积公式

    equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%5Csin+C

    equation?tex=%5Cfrac%7Bc%7D%7B%5Csin+C%7D%3D%5Cfrac%7Babc%7D%7Bab%5Csin+C%7D%3D%5Cfrac%7Babc%7D%7B2S%7D

    结果关于

    equation?tex=a%2Cb%2Cc 对称,从而

    equation?tex=%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csin+A%7D%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Csin+B%7D%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7B%5Csin+C%7D

    3、海伦公式

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+S%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%5Csin+C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%5Csqrt%7B1-%28%5Cfrac%7Ba%5E2%2Bb%5E2-c%5E2%7D%7B2ab%7D%29%5E2%7D%5C%5C%26%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Csqrt%7B4a%5E2b%5E2-%28a%5E2%2Bb%5E2-c%5E2%29%5E2%7D%5C%5C%26%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Csqrt%7B2a%5E2b%5E2%2B2a%5E2c%5E2%2B2b%5E2c%5E2-a%5E4-b%5E4-c%5E4%7D%5C%5C%26%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Csqrt%7B-a%5E4%2B2%28b%5E2%2Bc%5E2%29a%5E2-%28b%5E2-c%5E2%29%5E2%7D%5C%5C%26%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Csqrt%7B%28-a%5E2%2B%28b%2Bc%29%5E2%29%28a%5E2-%28b-c%29%5E2%29%7D%5C%5C%26%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Csqrt%7B%28b%2Bc%2Ba%29%28b%2Bc-a%29%28a%2Bb-c%29%28a-b%2Bc%29%7D%5C%5C%26%3D+%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Ba%2Bb%2Bc%7D%7B2%7D%29%28%5Cfrac%7Bb%2Bc-a%7D%7B2%7D%29%28%5Cfrac%7Ba%2Bc-b%7D%7B2%7D%29%28%5Cfrac%7Ba%2Bb-c%7D%7B2%7D%29%7D+%5Cend%7Balign%7D

    附录二:球面三角公式

    1、余弦定理

    equation?tex=N_A 为球面上一点
    equation?tex=A 在3维欧氏空间中对应的单位向量,而
    equation?tex=A 还代表球面三角形的内角,定义为大圆弧切线的夹角,它还等于两圆弧所在平面的二面角。

    于是

    equation?tex=%5Ccos+A%3D%5Cfrac%7B%28N_A%5Ctimes+N_B%29%5Ccdot%28N_A%5Ctimes+N_C%29%7D%7B%7CN_A%5Ctimes+N_B%7C%7C%7CN_A%5Ctimes+N_C%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%28N_A%5Ctimes+N_B%29%5Ccdot%28N_A%5Ctimes+N_C%29%7D%7B%5Csin+b%5Csin+c%7D

    利用公式

    equation?tex=%28A%5Ctimes+B%29%5Ccdot%28C%5Ctimes+D%29%3D%28A%5Ccdot+C%29%28B%5Ccdot+D%29-%28A%5Ccdot+D%29%28B%5Ccdot+C%29

    equation?tex=%5Ccos+A%3D%5Cfrac%7BN_B%5Ccdot+N_C-%28N_A%5Ccdot+N_C%29%28N_A%5Ccdot+N_B%29%7D%7B%5Csin+b%5Csin+c%7D

    从而

    equation?tex=%5Ccos+A%3D%5Cfrac%7B%5Ccos+a-%5Ccos+b%5Ccos+c%7D%7B%5Csin+b%5Csin+c%7D

    equation?tex=N_a%3D%5Cfrac%7BN_B+%5Ctimes+N_C%7D%7B%7CN_B+%5Ctimes+N_C%7C%7D ,考虑
    equation?tex=N_b%5Ctimes+N_c%3D%5Cfrac%7B%28N_C%5Ctimes+N_A%29%5Ctimes%28N_A%5Ctimes+N_B%29%7D%7B%7CN_C%5Ctimes+N_A%7C%7C%7CN_A%5Ctimes+N_B%7C%7D

    利用公式

    equation?tex=A%5Ctimes%28B%5Ctimes+C%29%3D%28A%5Ccdot+C%29B-%28A%5Ccdot+B%29C ,有

    equation?tex=N_b%5Ctimes+N_c%3D%5Cfrac%7B%28N_C%5Ctimes+N_A%29%5Ccdot+N_B%7D%7B%7CN_C%5Ctimes+N_A%7C%7C%7CN_A%5Ctimes+N_B%7C%7DN_A

    即有

    equation?tex=N_A%3D%5Csigma%5Cfrac%7BN_b+%5Ctimes+N_c%7D%7B%7CN_b+%5Ctimes+N_c%7C%7D ,其中
    equation?tex=%5Csigma 是混合积
    equation?tex=%28N_A%5Ctimes+N_B%29%5Ccdot+N_C 的符号,则有

    equation?tex=%5Ccos+a%3DN_B%5Ccdot+N_C%3D%5Csigma%5E2%5Cfrac%7B%28N_c%5Ctimes+N_a%29%5Ccdot%28N_a%5Ctimes+N_b%29%7D%7B%7CN_c%5Ctimes+N_a%7C%7C%7CN_a%5Ctimes+N_b%7C%7D%3D-%5Cfrac%7B%28N_a%5Ctimes+N_c%29%5Ccdot%28N_a%5Ctimes+N_b%29%7D%7B%7CN_a%5Ctimes+N_c%7C%7C%7CN_a%5Ctimes+N_b%7C%7D

    即有

    equation?tex=%5Ccos+a%3D%5Cfrac%7B%5Ccos+B%5Ccos+C-%5Ccos+A%7D%7B%5Csin+B%5Csin+C%7D

    2、正弦定理

    equation?tex=%5Csin+A%3D%5Cfrac%7B%7C%28N_A%5Ctimes+N_B%29%5Ctimes%28N_A%5Ctimes+N_C%29%7C%7D%7B%7CN_A%5Ctimes+N_B%7C%7C%7CN_A%5Ctimes+N_C%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%7C%28N_A%5Ctimes+N_B%29%5Ctimes%28N_A%5Ctimes+N_C%29%7C%7D%7B%5Csin+b%5Csin+c%7D

    利用公式

    equation?tex=A%5Ctimes%28B%5Ctimes+C%29%3D%28A%5Ccdot+C%29B-%28A%5Ccdot+B%29C ,得

    equation?tex=%5Csin+A%3D%5Cfrac%7B%7C%28N_A%5Ctimes+N_B%29%5Ccdot+N_C%7C%7D%7B%5Csin+b%5Csin+c%7D

    即有

    equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csin+a%7D%7B%5Csin+A%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin+a%5Csin+b%5Csin+c%7D%7B%7C%28N_A%5Ctimes+N_B%29%5Ccdot+N_C%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin+a%5Csin+b%5Csin+c%7D%7B6V_%7B%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93OABC%7D%7D

    从而

    equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csin+a%7D%7B%5Csin+A%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin+b%7D%7B%5Csin+B%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin+c%7D%7B%5Csin+C%7D

    3、面积公式

    定义球面二角形是两个大圆相交将球面分割而成的部分,二角形的面积应当正比于它的二面角

    equation?tex=%5Cfrac%7BS_%5Calpha%7D%7B4%5Cpi%7D%3D%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%5Cpi%7D ,从而球面二角形的面积为
    equation?tex=S_%5Calpha%3D2%5Calpha

    考虑将球面三角形的3条边延长,这将球面分为8个部分,其中相对的2个部分是全等的,记三角形

    equation?tex=ABC
    equation?tex=AB
    equation?tex=AC 延长后交于
    equation?tex=A%27 ,类似得到
    equation?tex=B%27%2CC%27 ,于是

    equation?tex=2%28S_%7BABC%7D%2BS_%7BA%27BC%7D%2BS_%7BAB%27C%7D%2BS_%7BABC%27%7D%29%3D4%5Cpi

    注意三角形

    equation?tex=ABC
    equation?tex=A%27BC 共同构成了一个二角形,且它的平面角为
    equation?tex=A ,于是

    equation?tex=S_%7BABC%7D%2BS_%7BA%27BC%7D%3D2A

    于是

    equation?tex=S_%7BA%27BC%7D%3D2A-S_%7BABC%7D ,对另外2个三角形做同样处理带入原式有

    equation?tex=S_%7BABC%7D%2B2A-S_%7BABC%7D%2B2B-S_%7BABC%7D%2B2C-S_%7BABC%7D%3D2%5Cpi

    即有

    equation?tex=A%2BB%2BC-S_%7BABC%7D%3D%5Cpi ,从而得出球面三角形面积公式

    equation?tex=S%3DA%2BB%2BC-%5Cpi

    附录三:圆周长和面积公式

    1、球面圆周长和面积公式

    首先球面上2点的距离就是它们的球心角,而它们的欧氏距离是弦长,从而

    equation?tex=d_E%3D2%5Csin%5Cfrac%7Bd%7D%7B2%7D

    从而圆周长公式为

    equation?tex=C%3D2%5Cpi+r_E%3D4%5Cpi%5Csin%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D

    面积公式需要用球坐标的面积元

    equation?tex=d%5Csigma%3D%5Csin%5Ctheta+d%5Ctheta%5Cwedge+d%5Cphi

    equation?tex=S%3D%5Cint%5E%7B2%5Cpi%7D_%7B0%7D%5Cint%5E%7Br%7D_%7B0%7D%5Csin%5Ctheta+d%5Ctheta+d%5Cphi%3D2%5Cpi%281-%5Ccos+r%29%3D4%5Cpi%5Csin%5E2%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D

    2、庞加莱半平面圆周长和面积公式

    由庞加莱半平面距离公式可得圆的方程

    equation?tex=%5Ccosh+r%3D1%2B%5Cfrac%7B%28x-x_0%29%5E2%2B%28y-y_0%29%5E2%7D%7B2yy_0%7D

    化简可得

    equation?tex=%28x-x_0%29%5E2%2B%28y-y_0%5Ccosh+r%29%5E2%3D%28y_0%5Csinh+r%29%5E2

    也就是说庞加莱半平面上的圆还是圆,但是圆心从

    equation?tex=%28x_0%2Cy_0%29 变到了
    equation?tex=%28x_0%2Cy_0%5Ccosh+r%29 ,欧氏空间半径为
    equation?tex=y_0%5Csinh+r 。注意到
    equation?tex=%5Ccosh+r%3E%5Csinh+r ,从而圆总是位于x轴上方,不会出现有一部分在半平面外的情况。

    直接用圆心角参数化

    equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+x%3Dx_0%2By_0%5Csinh+r%5Ccos%5Cphi%5C%5C+y%3Dy_0%5Ccosh+r%2By_0%5Csinh+r%5Csin%5Cphi+%5Cend%7Bcases%7D

    带入线元公式得

    equation?tex=ds%5E2%3D%5Cfrac%7Bdx%5E2%2Bdy%5E2%7D%7By%5E2%7D%3D%28%5Cfrac%7By_0%5Csinh+rd%5Cphi%7D%7By_0%5Ccosh+r%2By_0%5Csinh+r%5Csin%5Cphi%7D%29%5E2

    即有

    equation?tex=ds%3D%5Cfrac%7Bd%5Cphi%7D%7B%5Ccoth+r%2B%5Csin%5Cphi%7D ,从而

    equation?tex=C%3D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D%5Cfrac%7Bd%5Cphi%7D%7B%5Ccoth+r%2B%5Csin%5Cphi%7D

    直接用万能公式

    equation?tex=%5Cphi%3D2%5Carctan+t%2C%5Csin%5Cphi%3D%5Cfrac%7B2t%7D%7B1%2Bt%5E2%7D 换元得:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+C%26%3D%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7B-%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2dt%7D%7B%281%2Bt%5E2%29%5Ccoth+r%2B2t%7D%5C%5C%26+%3D2%5Ctanh+r%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7B-%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bdt%7D%7B%5Cmathrm%7Bsech%7D%5E2+r%2B%28t%2B%5Ctanh+r%29%5E2%7D%5C%5C%26+%3D2%5Ctanh+r%5B%5Ccosh+r%5Carctan%28%28t%2B%5Ctanh+r%29%5Ccosh+r%29%5D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7B-%5Cinfty%7D%5C%5C%26+%3D2%5Ctanh+r%28%5Ccosh+r%5Ccdot%5Cpi%29%5C%5C%26+%3D2%5Cpi%5Csinh+r+%5Cend%7Balign%7D

    对于圆的面积,由于庞加莱半平面关于沿x轴的平移是对称的,我们只需要考虑圆心在正半y轴上的圆的面积。

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+S%26%3D%5Cint%5E%7By_0%5Csinh+r%7D_%7B-y_0%5Csinh+r%7D%5Cint%5E%7By_0%5Ccosh+r%2B%5Csqrt%7By_0%5E2%5Csinh%5E2r-x%5E2%7D%7D_%7By_0%5Ccosh+r-%5Csqrt%7By_0%5E2%5Csinh%5E2r-x%5E2%7D%7D%5Cfrac%7B1%7D%7By%5E2%7Ddydx%5C%5C%26+%3D%5Cint%5E%7By_0%5Csinh+r%7D_%7B-y_0%5Csinh+r%7D%28%5Cfrac%7B1%7D%7By_0%5Ccosh+r-%5Csqrt%7By_0%5E2%5Csinh%5E2r-x%5E2%7D%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7By_0%5Ccosh+r%2B%5Csqrt%7By_0%5E2%5Csinh%5E2r-x%5E2%7D%7D%29dx%5C%5C%26+%3D%5Cint%5E%7By_0%5Csinh+r%7D_%7B-y_0%5Csinh+r%7D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7By_0%5E2%5Csinh%5E2r-x%5E2%7D%7D%7By_0%5E2%2Bx%5E2%7Ddx%5C%5C%26+%3D4%5Cint%5E%7By_0%5Csinh+r%7D_0%5Cfrac%7B%5Csqrt%7By_0%5E2%5Csinh%5E2r-x%5E2%7D%7D%7By_0%5E2%2Bx%5E2%7Ddx%5C%5C%26++%5Cend%7Balign%7D

    作换元

    equation?tex=x%3D%5Cfrac%7By_0%5Csinh+r%7D%7B%5Csqrt%7B1%2Bt%5E2%7D%7D 有:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+S%26%3D4%5Csinh%5E2+r%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7B0%7D%5Cfrac%7Bt%2F%5Csqrt%7B1%2Bt%5E2%7D%7D%7B1%2B%5Csinh%5E2r%2F%281%2Bt%5E2%29%7D%5Cfrac%7Btdt%7D%7B%281%2Bt%5E2%29%5E%7B3%2F2%7D%7D%5C%5C%26+%3D4%5Csinh%5E2r%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7B0%7D%5Cfrac%7Bt%5E2%7D%7B%281%2Bt%5E2%29%28%5Ccosh%5E2+r%2Bt%5E2%29%7Ddt%5C%5C%26+%3D4%5Csinh%5E2r%5Cint%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7B0%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csinh%5E2r-%5Ctanh%5E2+r%7D%28%5Cfrac%7B%5Csinh%5E2r%7D%7B%5Ccosh%5E2r%2Bt%5E2%7D-%5Cfrac%7B%5Ctanh%5E2r%7D%7B1%2Bt%5E2%7D%29dt%5C%5C%26+%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Ctanh%5E2+r%7D%5B%5Csinh+r%5Ctanh+r%5Carctan%5Cfrac%7Bt%7D%7B%5Ccosh+r%7D-%5Ctanh%5E2r%5Carctan+t%5D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7B0%7D%5C%5C%26+%3D2%5Cpi%28%5Ccosh+r-1%29%5C%5C%26%3D4%5Cpi%5Csinh%5E2%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D+%5Cend%7Balign%7D
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  • 线结构光中心线提取方法有阈值法、灰度重心法、 算法等。最近研究了 算法原理,在这里记录一下自己理解并展开一些细节,由于时间匆促没有进行实验验证。本文大部分摘自---光条中心线提取-Steger算法(基于...

    线结构光中心线的提取方法有阈值法、灰度重心法、

    equation?tex=steger 算法等。最近研究了
    equation?tex=steger 算法的原理,在这里记录一下自己的理解并展开一些细节,由于时间匆促没有进行实验验证。

    本文大部分摘自---光条中心线提取-Steger算法(基于Hessian矩阵)_人工智能_Dangkie的专栏-CSDN博客,中间有些自己的补充。

    • Steger算法原理

    equation?tex=Steger 算法基于
    equation?tex=Hessian 矩阵,能够实现光条中心亚像素精度定位。光条中心线截面光强分布类似高斯分布如图:

    5c65a0bc675550b633086e4787ddbdfc.png

    那么光条中心点就是高斯分布顶点位置,最终所要求得的位置。为什么使用

    equation?tex=Hessian 矩阵来计算中心点,因为:

    对于二维图像的某点的

    equation?tex=Hessian矩阵,其最大特征值和其对应的特征向量对应其邻域二维曲线最大曲率的强度和方向,即山坡陡的那面;最小特征值对应的特征向量对应与其垂直的方向,即平缓的方向。

    首先通过

    equation?tex=Hessian 矩阵能够得到光条的法线方向,然后在法线方向利用泰勒展开得到亚像素位置。 对于图像中激光条纹上的任意一点
    equation?tex=%28x%2Cy%29
    equation?tex=Hessian 矩阵可以表示为:

    equation?tex=H%28x%2Cy%29%3D%5Cleft%5B+r_%7Bxx%7D+r_%7Bxy%7D+%5C%5C+r_%7Byy%7Dr_%7Byx%7D%5Cright%5D

    其中

    equation?tex=r_%7Bxx%7D 表示图像沿
    equation?tex=x 的二阶偏导数,其他参数类似。需要注意的是在求
    equation?tex=Hessian 矩阵之前需要对图像进行高斯滤波,高斯滤波时,根据文献[1]中,设置高斯方差
    equation?tex=%CF%83%3C%5Cfrac%7Bw%7D%7B%5Csqrt%7B%CF%83%7D%7D ,其中
    equation?tex=w 为光条宽度。
    equation?tex=Hessian 矩阵最大特征值对应的特征向量对应于光条的法线方向,用
    equation?tex=%28n_%7Bx%7D%2Cn_%7By%7D%29 表示,以点
    equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D%29 为基准点,则光条中心的亚像素坐标为:

    6ea5571faf231de3a3dcf03fd1168e7c.png

    公式中

    748b34de06c99bcd44b5e21bf873754c.png

    如果

    78a1be390f45bd05ca0b94c1c6d6d484.png

    ,即一阶导数为零的点位于当前像素内(找拐点附近的点,因为实际中心截面不是规则的曲线),且

    equation?tex=%28n_%7Bx%7D%2Cn_%7By%7D%29 方向的二阶导数大于指定的阈值(确定是极值点),则该点
    equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D%29 为光条的中心点,
    equation?tex=%28p_%7Bx%7D%2Cp_%7By%7D%29 则为亚像素坐标。
    equation?tex=%28tn_%7Bx%7D%2Ctn_%7By%7D%29 是中心点与亚像素的偏移量,所以其绝对值不能超过0.5,超过0.5就跑出该像素的范围。

    equation?tex=t 是如何得到的?根据论文[1]这样一段话:

    2157ec1b4a938d6a1a5cf72661cf2c7f.png

    函数

    equation?tex=r
    equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D%29所在的函数,那么
    equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D%29附近点的精确亚像素点的函数可以用泰勒公式近似。于是有
    equation?tex=p%28x%29 。其中
    equation?tex=x%3D%E4%BA%9A%E5%83%8F%E7%B4%A0%E7%82%B9-x_%7B0%7D 。极值点是在导数为零的地方。但是t具体如何计算,现在还没看懂。

    关于之前t如何求解的补充

    由于前面已经求得激光线上点的Hessian矩阵,因此可得到矩阵最大特征值及其向量,该向量是激光线的法向量,现在想要得到激光线中心点亚像素位置,那么亚像素位置一定在其法向量与激光点邻域的交线上,激光点邻域可以使用二阶泰勒进行近似,那么激光点

    equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D%29 邻域点使用二阶泰勒表示为
    equation?tex=f%28x%2Cy%29 ,法向量为
    equation?tex=%28n_%7Bx%7D%2Cn_%7By%7D%29,那么该函数沿法向量的方向导数为:

    equation?tex=%5CDelta+f%28x%2Cy%29%3D%5Cfrac%7Bn_x%7D%7B%5Csqrt%7Bn_x%5E%7B2%7D%2Bn_y%5E%7B2%7D%7D%7Df_x%7B%27%7D%28x%2Cy%29%2B%5Cfrac%7Bn_y%7D%7B%5Csqrt%7Bn_x%5E%7B2%7D%2Bn_y%5E%7B2%7D%7D%7Df_y%7B%27%7D%28x%2Cy%29

    该方向导数为0的点即是亚像素的中心点,因为它是最高点,变化率为0,所以令

    equation?tex=%5CDelta+f%28x%2Cy%29%3D0 ,求出对应的
    equation?tex=%28x%2Cy%29 值,并将
    equation?tex=%28x_0%2Btn_%7Bx%7D%2Cy_0%2Btn_%7By%7D%29带入,即可求出t的值。

    1.Steger C. An unbiased detector of curvilinear structures. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis & Machine Intelligence, 1998, 20(2):113-125.

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    公式

    曲率半径:

    ecb082c67bf265f2ec4fa3ff83e05ce7.png

    曲率半径公式

    曲率中心:

    9b49e07bbcb7de1be35b4f7b349c0b8d.png

    曲率中心公式

    定义

    类比于圆的两切线的垂直平分线交于圆心,我们假设任一曲线无限接近于一点P(x。,y。)的两切线的垂直平分线也交于一点,如下图

    4b3324a32246f4f043b3a63cbd839bba.png

    示例图形

    推导过程

    有了定义,那我们就直接开门见山,开始推导曲率中心的公式吧:

    l1:y-f(x。)=-(1/f'(x。))(x-x。)

    l2:y-f(x。+Δ x)=-(1/f'(x。+Δ x))[x-(x。+Δ x)] ,其中Δ x->0

    我们把y消去后就可以得到

    f(x。)-(x-x。)/f'(x。)=f(x。+Δ x)-[x-(x。+Δ x)]/f'(x。+Δ x)

    移项得

    {[f'(x。+Δ x)-f'(x。)](x-x。)-f'(x。)Δ x}/(f'(x。)f'(x。+Δ x))=f(x。+Δ x)-f(x。)——(1)式

    由于当Δ x->0时,有

    f'(x。)=[f(x。+Δ x)-f(x。)]/Δ x

    f''(x。)=[f'(x。+Δ x)-f'(x。)]/Δ x

    因此(1)式等号两边同除Δ x->0得

    [f''(x。)(x-x。)-f'(x。)]/(f'(x。)f'(x。+Δ x))=f'(x。) ——(2)式

    由于Δ x->0,

    因此,f'(x。+Δ x)=f'(x。)

    所以(2)式可以写成

    [f''(x。)(x-x。)-f'(x。)]/(f'(x。)^2)=f'(x。)

    移项得

    x=x。-[f'(x。)^3+f'(x。)]/f''(x。)

    代入y-f(x。)=-(1/f'(x。))(x-x。)得

    y=f(x。)+[f'(x。)+1]/f''(x。)

    至此,曲率中心的公式就推导出来了

    f7dd57023e8a6c81839a24bba0576883.png

    曲率中心公式

    由距离公式得

    r=|PM|,其中P的坐标是(x。,y。),M的坐标就是曲率中心,我们不难得到曲率半径的公式

    6685df5d96a289978b07e6225126bb92.png

    曲率半径公式

    哈哈,怎么样?是不是简单易懂,其实很多复杂的微积分都可以变得很简单,只要你勇于探索,你就可以发现更多美妙的方法。

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    打开CAD看图王软件,并打开图纸,切换到编辑模式CAD工作空间;

    601752889ee1d1f280578d2dc316c3e4.png

    在扩展工具菜单下,在测量功能区,找到测量坐标的命令;

    aa189cf229c7b036f423df524982fbce.png

    点击测量坐标命令,根据图纸上的操作提示,进行操作,在图纸上选择点,并;

    088fe91c7e2c0fc9595957f3d37cebfc.png

    图纸上某个点的测量坐标结果显示在下方阴影处,下方的数据会根据点的不同而随时更新点的坐标,同时,点击右侧的“√”号,可以将测量的坐标保存在侧量记录中,方便之后的查看。

    275744a55945af0d1bfcec76d713e6a0.png
    04460e0a157f1d0d3bb51fc1c94ed42d.png

    以上就是浩辰CAD看图王中,遇到需要测量图纸上点的坐标的时候,图纸上点坐标可以使用测量坐标的功能,按照提示进行操作,就可以测量出相关点的坐标,也可以将测量的数据记录下来,然后在测量记录中可以查到,对以后的查看数据有帮助。

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中心坐标的公式