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  • 中心对称:如果一个函数的图像沿一个旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该称为该函数的对称中心。2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)常数...

    一、对称性的概念及常见函数的对称性

    1、对称性的概念

    函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。

    中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。

    2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)

    常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

    一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

    二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为x=-b/(2a)。

    反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴。

    指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。

    对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。

    幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y轴;而其他的幂函数不具备对称性。

    正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0)是它的对称中心,x=kπ+π/2是它的对称轴。

    正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移,对称轴不会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化。

    余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=kπ是它的对称轴,(kπ+π/2,0)是它的对称中心。

    正切函数:不是轴对称,但是是中心对称,其中(kπ/2,0)是它的对称中心,容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是(kπ,0)。

    对号函数:对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴,例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f(1.5),我在教学时总是问学生:你可看见过老师将“√”两边画得一样齐?学生们立刻明白并记忆深刻。

    三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

    绝对值函数:这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数,它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如y=│lnx│就没有对称性,而y=│sinx│却仍然是轴对称。

    二、函数的对称性猜测

    1、具体函数特殊的对称性猜测

    一个函数一般是不会关于x轴的

    这是由函数定义决定的,因为一个x不会对应两个y的值。但我们在此略微引申,一个曲线是可能关于x轴对称的。

    例1判断曲线y^2=4x的对称性。

    函数关于y轴对称

    例2判断函数y=cos(sin(x))的对称性。

    函数关于原点对称

    例3判断函数y=(x^3)×sinx的对称性。

    函数关于y=x对称

    例4判断函数y=1/x的对称性。

    函数关于y=-x对称

    例5判断函数y=-4/x的对称性。

    总结:设(x,y)为原曲线图像上任一点,

    如果(x,-y)也在图像上,则该曲线关于x轴对称;

    如果(-x,y)也在图像上,则该曲线关于y轴对称;

    如果(-x,-y)也在图像上,则该曲线关于原点对称;

    如果(y,x)也在图像上,则该曲线关于y=x对称;

    如果(-y,-x)也在图像上,则该曲线关于y=-x轴对称。

    2、抽象函数的对称性猜测

    轴对称

    例6如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x),求该函数的所有对称轴。(任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4),正中间2.5,从而该函数关于x=2.5对称)

    例7如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x),求该函数的所有对称轴。(按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0,可见偶函数是特殊的轴对称)

    例8如果f(x)为偶函数,并且f(x+1)=f(x+3),求该函数的所有对称轴。(因为f(x+1)=f(-x-3),按上例可以猜出对称轴x=-1,又因为它以2为周期,所以x=k是它所有的对称轴,k∈Z)

    中心对称

    例9如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6,求该函数的对称中心。(因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为(3.5,3),这就是它的对称中心)

    例10如果函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0,求该函数的所有对称中心。(按上例一样的方法可以猜出对称中心为(0,0),可见奇函数是特殊的中心对称)

    例11如果f(x)为奇函数,并且f(x+1)+f(x+3)=0,求该函数的所有对称中心和对称轴。(由周期性定义知周期为4,又f(x+1)=-f(x+3),从而f(x+1)=f(-x-3),按上例知x=-1为对称轴,所以x=-1+2n为对称轴,(2k,0)为对称中心,其中k∈Z)

    总结:

    当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论,因为很容易与后面的结论相混淆。

    而当x前面的符号相同时告诉我们的是周期性。例如f(x+1)=f(x-5)是告诉我们它以6为周期。

    当x前面的符号相同,同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性,因为奇偶性有制造负号的能力。

    3、两个抽象函数之间的对称性猜测

    例12求y=f(x+2)与y=f(1-x)的对称轴方程。(当第一个函数的x取0时,值为f(2),这时第二个函数的x必须取-1才也对应那么多,他们的正中间为-1.5,因而猜测对称轴为x=-1.5)

    总结:

    当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,其中的对称为多少我们仍然可以用特殊值代入来猜测,这里仍然不主张记结论,因为很容易与前面的结论相混淆。

    而当x前面的符号相同时告诉我们的是图像平移。例如y=f(x+2)与y=f(x-1),前者是由后者向左移三个单位得到。

    三、对称性的证明

    如果在解答大题时仅仅猜测出结论是不够的,我们要辅以完整的证明才行。

    1、一个函数的对称性证明

    例13证明如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则该函数关于直线x=(a+b)/2对称。

    证明:在y=f(x)上任取点(m,n),则n=f(m),而点(m,n)关于x=(a+b)/2的对称点为(a+b-m,n),又因为f(a+b-m)=f(a+(b-m))=f(b-(b-m))=f(m)=n,这正表明(a+b-m,n)也在原函数图像上,从而原函数关于直线x=(a+b)/2对称。

    总结:核心是间接法,即在函数上任取一点,对称点如果仍在函数图像上,我们就可以下结论该函数关于它对称。

    2、两个函数之间的对称性的证明

    例14证明函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)关于直线x=(b-a)/2对称。(注意不是(a-b)/2,证明的方法类似于上例方法)

    总结:仍是间接法,但是多一次,需在函数上任取一点,对称点如果在对方函数图像上,同时在对方函数上任取一点,对称点又在该函数图像上,我们才可以下结论该函数关于它对称。取两次的原因是以免两个图像一个只是另一个对称过来图像的一部分。

    3、特别地关于y=x对称性的证明

    例15证明y=(2x+1)/(3x-2)关于y=x对称。(只需求出它的反函数是自己即可)

    总结:

    一个函数自身关于y=x对称不需要用上面的间接法,只需要证明它的反函数是自己就可以了。

    两个函数关于y=x对称性证明也不需要用上面那么繁琐的方法,只需证明两个函数互为反函数,即求一个的反函数为另外一个就可以了。

    反过来这句话也成立,如果需要证明两个函数互为反函数,只需要证明它们的图像关于y=x对称即可。

    四、对称性的运用

    1、求值

    例16已知f(x)=4^x/(4^x+1),求f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。(我们只需要考虑当两个自变量加起来为0时函数值的和是否为定值,验证果然。而这里显然隐含的是函数的对称性)

    总结:“配对”,对称性主要是考查一对函数值之间的关系。

    2、“对称性+对称性”可以推导出周期性

    例17如果函数y=f(x)满足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x),求该函数的最小正周期。(因为f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))

    =f(5-(-2-x))=f(7+x)所以周期为4)

    总结:两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号,从而得出周期性。

    3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性

    这在前面已经提到,还是因为奇偶性有制造负号的能力。

    4、三角函数的奇偶性

    例18如果函数y=3sin(2x+θ+π/4)(其中0

    总结:几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用,先求出所有的对称轴,然后y轴是其中的一条(或者先求出所有的对称中心,然后原点是其中的一个)。

    5、关于y=x对称的应用

    例19求函数f(x)=e^(x+1)与函数g(x)=ln(x+1)的对称轴方程。(因为f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数,关于y=x对称,而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一个单位得到,g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到,因而对称轴也跟着左移一个单位,即y=x+1)

    6、对称性的本义

    例20如果y=asinx+bcosx关于x=π/4对称,求直线ax+by+3=0的直线的斜率。(既然关于x=π/4对称,则f(0)=f(π/2)代入求出a和b的关系即可)

    总结:对称性的本义就是关于对称中心(或对称轴)对称的两个自变量的函数值的紧密关系。

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  • 公式总之,遇到 型的式子,①若是括号内x符号不同,则说明有对称性,如2, ,由 ,得对称轴为 ② 若是括号外符号也不同,则说明具有点对称,如3, ,由 ,得对称中心 ③若是括号内外符号都相同,则说明具有周期性。...

    公式

    总之,遇到

    型的式子,

    ①若是括号内x符号不同,则说明有对称性,如2,

    ,得对称轴为

    ② 若是括号外符号也不同,则说明具有点对称,如3,

    ,得对称中心

    ③若是括号内外符号都相同,则说明具有周期性。

    2、常见题型

    对称性有什么用呢?① 以利用性质,把图像补充完整; ②可求出相应的函数值;

    题型一:补充图像,求解析式

    例:识别条件,画图或是求解析式即可

    ·································································································································

    题型二:对应数值的关系,关于轴x=a对称有

    关于点(a,b)对称有

    例1:坐标之和思路:两个函数的交点具体值没法求,所以交点肯定具有某种关系,通过条件可知,f(x)与y都是关于x=1对称的函数,交点也都关于x=1对称,对称的两交点满足

    ,即

    ,一共有

    对交点,所以选B

    PS:所有涉及横坐标之和,或是纵坐标之和,多半要考虑对称性

    ····································································································································

    题型三:其他对称(利用特殊点处理)

    例2:(设点)

    思路:关于y=-x对称,要求f(x)不太容易,可以从点考虑

    一般有:

    关于

    对称的点

    ,设题中的点

    关于

    对称点

    关于

    对称点

    ,带入函数

    ,得

    ,又

    ,所以

    PS:关于其他对称,设出相应点,好做很多

    ····································································································································

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  • 这篇文章始于群中看到的一个题目:如果熟悉导数中常见的函数模型,那么很容易就知道C1,C2关于(1,0)中心对称,因为函数y=xe^x与y=x/e^x关于原点对称,C2是由y=x/e^x向右平移两个单位之后得来的,知道两函数的对称...

    这篇文章始于群中看到的一个题目:

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    如果熟悉导数中常见的函数模型,那么很容易就知道C1,C2关于(1,0)点成中心对称,因为函数y=xe^x与y=x/e^x关于原点对称,C2是由y=x/e^x向右平移两个单位之后得来的,知道两函数的对称中心,则题目就很容易做了,可设出l与C1的切点A,利用导数求出切点A的横坐标,根据对称中心即可求出P点横坐标。

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    注意,与C1,C2相切的公切线不止一条,若题目C1中x<0,则对应的图像如下:

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    之后查了一下高考中与指数函数对称中心有关的题目,发现最近的一次是2010年上海的春季高考题,题目如下:

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    这种题目难度并不大,设出原函数上的一个点坐标,根据对称中心可得到另外一个在函数上的点,带入原函数即可求出对称中心,步骤如下:

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    从上面过程中能看出求对称中心方法虽然简单,但计算起来还是比较费时间的,那么有没有分式型指数函数的对称中心的统一形式呢?

    分式型指数函数可以分两类,一类是不连续的分式形式,定义域不为R,在间断点处取得对称中心,这种形式类似于反比例函数形式,另外一类是连续的分式形式,对称中心在函数上,无论哪种形式,这里研究的都是分式函数中为相同底数和相同指数的形式,以下为常见的分式型指数函数对称中心的结论:

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    关于结论1,2中如果把分母的常数1或分子的1换成其他数字,则对称中心的表达形式会变的复杂,在此不给出,注意上面框住的结论,此类型对称中心的横坐标与指数有关,若把结论中分子部分转化为常数形式:

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    以上六种为常见的分式型指数函数对称中心的统一公式,求对称中心的方法依旧利用最开始题目中求解的方法,很多相似的变形可根据上述结论直接求出对称中心,无须再设对称点计算,例如刚才的上海春季高考题:

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    关于分式型指数函数对称性问题的考查方式并不是很多,在数列求和中有一种倒序相加法,在函数中也出现过,这种题目通常根据所求的式子就能猜出来函数的对称中心,例如在函数中:

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    题目是以反比例的形式出现的,根据题设可知函数的对称点肯定为½,只需要求出对称点的纵坐标即可,若把题目中的函数换成指数函数,即:

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    最后:函数的对称性一般会结合零点问题进行考查,特别是多个零点之和为定值的题目,分式型指数函数是常见对称函数的补充,考试中并不多见,求对称中心也比较容易,了解即可。

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    公众号ID:damoedu

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  • 函数的对称性与周期性一、基础知识(一)函数的对称性1、对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称2、轴对称的等价描述:4、对称性的作用:最突出的作用为“知一半...

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    函数的对称性与周期性

    一、基础知识

    (一)函数的对称性

    1、对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称

    2、轴对称的等价描述:

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    4、对称性的作用:最突出的作用为“知一半而得全部”,即一旦函数具备对称性,则只需要分析一侧的性质,便可得到整个函数的性质,主要体现在以下几点:

    (1)可利用对称性求得某些点的函数值

    (2)在作图时可作出一侧图像,再利用对称性得到另一半图像

    (3)极值点关于对称轴(对称中心)对称

    (4)在轴对称函数中,关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反;在中心对称函数中,关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同

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    7、函数周期性的作用:简而言之“窥一斑而知全豹”,只要了解一个周期的性质,则得到整个函数的性质。

    (1)函数值:可利用周期性将自变量大小进行调整,进而利用已知条件求值

    (2)图像:只要做出一个周期的函数图象,其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”

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    注:其中(3)(4)在三角函数中应用广泛,可作为检验答案的方法

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    (1)本题是单调性与对称性的一个结合,入手点在于发现条件的自变量关系,与所求函数值关系,而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性,所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用,进而与所求产生联系

    (2)数形结合的关键点有三个:第一个是中心对称图像的特点,不仅仅是单调性相同,而且是呈“对称”的关系,从而在图像上才能看出

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    (1)周期函数处理零点个数时,可以考虑先统计一个周期的零点个数,再看所求区间包含几个周期,相乘即可。如果有不满一个周期的区间可单独统计

    (2)在为周期函数分段时有一个细节:“一开一闭”,分段的要求时“不重不漏”,所以在给周期函数分段时,一端为闭区间,另一端为开区间,不仅达到分段要求,而且每段之间保持队型,结构整齐,便于分析。

    (3)当一个周期内含有对称轴(或对称中心)时,零点的统计不能仅限于已知条件,而要看是否由于对称产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入,二是可以通过图像,将零点和对称轴标在数轴上,看是否有由对称生成的零点(这个方法更直观,不易丢解)

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    【来源】每日一题学好高中数学。转自:乐学数韵。

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  • 主要体现在以下几:(1) 函数的定义域关于对称轴或者对称中心对称;(2) 可利用对称性求得某些的函数值;(3) 在作图时,只需要作出一侧的图像,另外一侧利用对称性即可画出;(4) 极值关于对称轴或者对称中心对称...
  • 由函数解析式判断其有无对称性,我有个好主意江西南昌新建一中 程波 事情要从一个题开始....此时一位小伙伴提醒:应该是有对称中心……. 按照题中的两组和,猜想中心应为(π/2,π/2),并且能证明猜想是正确...
  • 展开全部公式:ε=qφ(其中ε为电势能,q为电荷量,φ为电势),即φ=ε/q均匀带电球内的电场分布和距离球心的距32313133353236313431303231363533e4b893e5b19e31333431363565离r成正比。解析:由于正电荷均匀分布在...
  • 今天同事发了这样一道题,说是一个六年级的学生在AoPS上找的:题意: 点与点 是双曲线 上两点,点 是点 关于原点的对称点(a)证明点 在此双曲线上;(b)令 是 的外接圆, 点 是 上一点, 是直径.证明点 也在双曲线...
  • FIR脉冲响应的中心对称性的一个重要的。为了方便起见,经常可以将这一点定义成第0次采样时刻,这样的滤波器描述就是a-causal(中心符号)。对于奇数长度的FIR,a-caus时滤波器模型如下:  FIR的周期响应可以...
  • 在本文中,我们探索了... 我们推导了一个四阶函数在1 / N处的积分公式,并使用它来计算中心电荷,混沌指数和一些异常尺寸。 我们描述了一个问题,如果人们试图找到具有连续全局对称性的2D SYK样CFT,则会出现该问题。
  • camera ---(6)双摄成像原理

    千次阅读 2018-03-15 11:22:41
    该引理的内容为,像关于光心的中心对称点A”在AO连线上。证明在物方介质折射率等于像方折射率时有垂轴放大率公式其中h’和h分别为像和物的高度,l’和l分别为像和物到透镜的距离。要证明”像关于光心的中心对称点A”...
  • 逻辑回归讲解和推导

    2019-10-08 10:43:15
    逻辑回归讲解及推导1. Sigmod函数2.逻辑斯谛分布3. 分布函数和密度函数4. 模型参数的估计5.... 逻辑回归又称logistic回归,逻辑斯谛回归,是一种广义的线性回归分析...它以0中心对称公式如下: 当x值接近负...
  • 机器学习之_逻辑回归

    2018-10-13 13:09:53
    逻辑回归又称logistic回归,逻辑斯谛回归,是一种广义的线性回归分析模型。... 它以0中心对称公式如下:  当x值接近负无穷时,分母很大,S(x)接近0,当x接近正无穷时,分母接近1,S(x)接近1,当x为0时,S...
  • 共形光谱的反射

    2020-04-06 18:52:14
    我们使用模不变性和共形场理论的交叉对称性,揭示了在中心电荷大的情况下二维空间中的分配函数和在规模大的情况下任何维度中四函数的频谱分解中的近似反射对称性 外部操作员的尺寸Δ0。 我们使用这些对称性来激发...
  • 2.电荷为中心的球体,电通量为 Q/ε0, 与距离无关。 推论:任意形状的闭合曲面都符合该公式。即为高斯定律  它也是麦克斯韦方程组的第一个方程。 3. 球对称----利用高斯定律以及自然界的对称法则, 经常需要...
  • 作者:vxbomath ...很多的同学面对抽象不等式求周期的问题感觉头大,要解决这样的问题,就要掌握什么样的情况想周期、什么情况想奇偶性、什么情况想对称轴、什么情况想对称中心,要解决这些问题老师给同学们总...
  • 随着离高斯模版中心点越远,权值越小,这使得高斯滤波器比起普通的平滑滤波器能更好地保留图像细节。如果距离越远的权值越重的话,那图像就会失真。 高斯函数的傅立叶变换还是它本身,于是其频谱图是一个单瓣,既...
  • c趣味程序百例 1

    2021-01-30 01:41:47
    嘛,寒假无事,100k纯C萌新刚来,就当做个记录吧~ #绘制圆 首先,绘制是以每一行为单位的(每体现for循环),即书里常用的 y,由每个确定的y,以及R^...由圆的公式求出的X是第一个距离中心的长度,若圆的半径定义为10
  • 其中卷积和空间域滤波有一点不同,是两种不同的空间域滤波,卷积还需要将模板以中心对称旋转180度,然后再按照公式计算。 相关滤波函数imfilter和fspecial,一个完成滤波操作,后一个是创建一些预定义的2维滤波器...
  • 该方法的中心点是,这是具有第二类约束条件的理论,因此量化程序必须考虑它们。 我们认为拉格朗日语中所有与保留叶面不对称对称性都兼容的项,直到z = 2阶,这是幂计数可归一化性指示的最小阶。 路径积分的度量...
  • 高斯核函数

    2018-09-09 18:18:00
    通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数, 可记作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即当x远离xc时函数取值很小。 高斯核函数 - 常用公式 最常用的径向基函数是高斯核函数 ,形式为 k(|...
  • 大C超保形圆环块

    2020-03-23 17:11:25
    我们在专用于N $$ \ mathcal {N} $$ = 1 Neveu-Schwarz扇区的单超级块的圆环上研究大型c SCFT2。 考虑到与大中心电荷限制有关的Neveu-Schwarz超代数的不同收缩,我们明确计算了三个超级块,osp(1 | 2)全局超级块...
  • 多年来,重离子碰撞中的受限QCD物质一直是最重要的话题。 相对论重离子对撞机(RHIC)和... 我们主要集中在中心点,$$ N_ \ text {part} $$ Npart和横向动量,$$ \ Upsilon(1S)$$Υ(1S)和$$$$$ p_ {T} $$ pT依赖性
  • 地理信息系统算法基础

    千次下载 热门讨论 2009-06-20 10:57:53
    2.22中心点的计算 2.23过作垂线 2.24作平行线 2.25过作平行线 2.26线段延长 2.27三点画圆 2.28线段打断 2.29前方交会 2.30距离交会 2.31极坐标作 思考题 第3章空间数据的变换算法 3.1平面坐标变换 ...
  • 3.对称矩阵的对角化和若当阵简介 2.二次型 1.二次型的引入 2.二次型的矩阵表示 3.利用相似矩阵将二次型转化为标准形 3.相似矩阵及二次型的应用 习题五 6. 概率论的基本概念 1.概率的引入 1. 样本空间 2. 随机...
  • GSP5.exe

    2020-04-01 09:16:40
    旋转和缩放需要一个中心点,所以在实施这两种变换前要先确定一个中心点。同样,反射需要一个镜面,在反射前要先确定一个镜面。 标签 所谓标签,也就是给作出的、线、圆、圆弧等几何图形起个名字。用几何画板作出的...
  • 3、聚类中心的选择 4、聚类个数K的选择 5、应用——图片压缩 6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类 7、运行结果 六、PCA主成分分析(降维) 1、用处 2、2D-->1D,nD-->kD 3、主成分分析PCA与线性...
  • 至少有两值得指出: 首先,作者完全采用了一种问答的形式来组织和介绍相关内容。全书从头到尾共设计了472个问题(很多是由学生提出来的),有问有答,循序渐进,逐步将各种图像技术依次介绍。这种形式除能帮助...
  • 数学基础研究基本数学概念(数、几何形状、集合、函数...),及其 如何构成更复杂结构和概念的 层次结构,特别是一类 也被称为元数学概念的 基础性重要结构,用它们来形成数学语言(公式、理论、以及它们的 用来表意...

空空如也

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中心对称点公式