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  • 上节课主要介绍了计算微分的几种数值方法,对一阶微分,最简单的莫过于两点前向差分、后向差分和中心差分这三种方法,其中中心差分的精度最高,这三种差分公式都可以通过推导泰勒展开式得到,而通过泰勒展开式还可以...

    上节课主要介绍了计算微分的几种数值方法,对一阶微分,最简单的莫过于两点前向差分、后向差分和中心差分这三种方法,其中中心差分的精度最高,这三种差分公式都可以通过推导泰勒展开式得到,而通过泰勒展开式还可以推导出三点前向差分和三点后向差分。对二阶微分,则可以推导出三点中心差分、三点前向差分、三点后向差分公式。这些数值方法均可以推广到数值偏微分的领域,且对于两个精度不高的数值算法,还可以使用Richardson外推加速算法得到一个精度更高的算法。本节课主要介绍计算积分的数值方法。

    1. 矩形和中点法

    image.png

    区间\([a,b]\)上的积分表示的是曲线\(f(x)\)\([a,b]\)内的面积,若将\([a,b]\)分解为\(n\)个小区间:\(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)\(J_i=[x_{i-1},x_i]\)区间内的面积可以估算为一个黎曼和:\(A_i=f(x^*_i)\Delta x_i\),其中\(x^*_i\)表示\(J_i\)内的某个点,\(\Delta x_i = x_i-x_{i-1}\),此时积分即为黎曼求和的极限:\[ I(f)=\int^b_{a}f(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty,\Delta x \rightarrow 0}\sum^n_{i=1}f(x^*_i)\Delta x_i \] 其中\(\Delta x = \max {\Delta x_i}\)

    1.1 左点法与右点法

    image.png

    左点法是一种矩形法,每个小区间\([x_{i-1},x_i]\)的面积使用矩形公式来计算,其中高取为区间左端点的函数值\(f(x_{i-1})\),宽取为小区间的长度\(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\)\(\Delta x_i = x_i-x_{i-1}\), \[ I_{i}(f)=f(x_{i-1})\Delta x_i \]
    \[I(f)=\sum^n_{i=1}I_i(f)=\sum^n_{i=1}f(x_{i-1})\Delta x_i \]
    右点法与左点法相对,高取为右端点的函数值\(f(x_i)\)
    \[I_{i}(f)=f(x_{i})\Delta x_i\]
    \[I(f)=\sum^n_{i=1}I_i(f)=\sum^n_{i=1}f(x_{i})\Delta x_i\]

    1.2 中点法

    image.png
    中点法使用区间\([x_{i-1},x_i]\)的中点函数值\(f(\frac{x_{i-1}+x_i}{2})\)作为高,区间的面积为:\[I_i(f)=f(\frac{x_{i-1}+x_i}{2})\Delta x_i\]
    \[I(f)=\sum^n_{i=1}I_i(f)=\sum^n_{i=1}f(\frac{x_{i-1}+x_i}{2})\Delta x_i\]
    下面以线性函数\(y=x\)为例,讨论如何控制左点法的结果在想要的误差范围内。区间\([a,b]\)取为\([0,1]\)\(y=x\)在该区间上积分的真实值为\(\frac{1}{2}\),利用左点法计算,将\([0,1]\)等分为\(n\)个小区间,每个小区间的宽度为\(h=\frac{1}{n}\),左点法计算的积分值为:\[h*(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+...+\frac{n-1}{n})=\frac{n-1}{2n}\] 计算误差为\(\frac{1}{2n}\),如果想要将误差的量级控制在\(10^{-4}\)以内,则 至少需要将区间分为\(10^4\)个小区间。而在该例中,中点法计算是没有误差的。

    2. 梯形法(Trapezoidal Method)

    image.png

    梯形法是对矩形法的一种改善,采用线性函数来计算积分,对点\((a,f(a))\)\((b,f(b))\)进行牛顿插值,得到:\[f(x)=f(a)+(x-a)f[a,b]=f(a)+(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] 将区间\([a,b]\)的积分值计算为梯形面积,有:\[I(f)=f(a)(b-a)+\frac{1}{2}[f(b)-f(a)](b-a)=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)\] 对区间进行划分\(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b\),则:\[I_i(f)=\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx=\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}(x_i-x_{i-1})\] \[I(f)=\sum^n_{i=1}I_i(f)=\sum^n_{i=1}\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}(x_i-x_{i-1})=\frac{h}{2}[f(a)+f(b)]+h\sum^{n-1}_{i=2}f(x_i)\]
    image.png
    MATLAB实现:

    function I = trapezoidal(Fun,a,b,N)
    % trapezoidal numerically integrate using the Composite Trapezoidal Method.
    % Input Variables:
    % Fun Name for the function to be integrated.
    % (Fun is assumed to be written with element-by-element calculations.).
    % a  Lower limit of integration.
    % b  Upper limit of integration.
    % N  Number of subintervals.
    % Output Variable:
    % I  Value of the integral.
     
    h = (b-a)/N;
    x=a:h:b;
    F=Fun(x);
    I=h*(F(1)+F(N+1))/2+h*sum(F(2:N));

    3. Simpson 方法

    3.1 Simpson 1/3 法

    梯形法是采用线性函数插值,来估算区间面积,一种改进方法是使用非线性插值,包括二次插值、三次插值。Simpson 1/3 法采用二次插值法。
    image.png
    取区间\([a,b]\)内的三点\(x_1=a,x_3=b,x_2=\frac{a+b}{2}\),使用牛顿多项式插值法,过这三个点的曲线方程为:\[p(x)=\alpha+\beta (x-x_1)+\gamma (x-x_1)(x-x_2)\] 求解可得 \[\alpha=f(x_1),\beta = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{h}\],\[\gamma = \frac{f[x_3,x_2]-f[x_2,x_1]}{x_3-x_1}= \frac{\frac{f(x_3)-f(x_2)}{h}-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{h}}{2h}=\frac{f(x_3)-2f(x_2)+f(x_1)}{2h^2}\] 使用曲线\(p(x)\)代替原曲线计算积分,\[I(f)=\alpha*(x_3-x_1)+\beta*(x_3-x_1)^2*\frac{1}{2}+\gamma \int^{x_3}_{x_1}(x-x_1)(x-x_2)dx\] \[=2hf(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{h}\frac{4h^2}{2}+...=\frac{h}{3}[f(x_1)+4f(x_2)+f(x_3)] \]
    现在将区间\([a,b]\)等分成\(N\)(偶数)个小区间:\[a=x_1<x_2<x_3<\cdots < x_N<x_{N+1}=b\],则区间\([x_{i-1},x_{i+1}]\)内的积分值为:\[ I_i(f)=\frac{h}{3}[f(x_{i-1})+4f(x_i)+f(x_{i+1})]\]
    image.png

    对所有小区间积分值求和,有:\[ I(f)=\frac{h}{3}[f(a)+4f(x_2)+f(x_3)+f(x_3)+4f(x_4)+f(x_5)+...+f(x_{N-1})+4f(x_N)+f(b)] \]
    \[ =\frac{h}{3}[f(a)+4\sum_{i=2,4,6}^Nf(x_i)+2\sum_{j=3,5,7}^{N-1}+f(b)] \]

    3.2 Simpson 3/8 法

    在Simpson 3/8 法中,对每四个点进行三次插值:\[p(x)=c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0\] image.png 小区间的积分值为:\[\frac{3}{8}h[f(a)+3f(x_2)+3f(x_3)+f(b)]\] 因此将区间\([a,b]\)等分为\(N\)(3的倍数)个小区间,对每个小区间进行三次插值计算积分后求和,可得:\[ I(f)=\frac{3h}{8}[f(a)+3f(x_2)+3f(x_3)+f(x_4)+f(x_4)+3f(x_5)+3f(x_6)+f(x_7)+ \]
    \[ ...+f(x_{N-2})+3f(x_{N-1})+3f(x_N)+f(b)] \]
    \[ =\frac{3h}{8}[f(a)+3\sum^{N-1}_{i=2,5,8}[f(x_i)+f(x_{i+1})]+2\sum^{N-2}_{j=4,7,10}f(x_j)+f(b)] \]

    4. 高斯求积

    前面几种算法一般要求小区间的宽度相同,即将区间等距划分,高斯法则不要求等距,其一般形式为:\[\int^b_{a}f(x)dx \approx \sum^n_{i=1}C_if(x_i)\] 其中\(C_i\)为点\(x_i\)对应的权重,点\(x_i\)是待定的高斯点。现在考虑\([-1,1]\)区间:\[ \int^1_{-1}f(x)dx \approx \sum^n_{i=1}C_i f(x_i)\]\(n=2\)的情况,有:
    \[\int^1_{-1}1dx=C_1+C_2=2\]
    \[\int^1_{-1}xdx=C_1x_1+C_2x_2=0\]
    \[\int^1_{-1}x^2dx=C_1x^2_1+C_2x^2_2=\frac{2}{3}\]
    \[\int^1_{-1}x^3dx=C_1x^3_1+C_2x^3_2=0\]
    这是一组非线性方程,存在无数个解,因此,额外提出对称性要求,即\(x_1=-x_2\),则可求解得:\[ C_1=1,C_2=1,x_1=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-0.57735027,x_2=\frac{1}{\sqrt{3}}=0.57735027 \]
    \[\int^1_{-1}f(x)dx \approx f(-\frac{1}{\sqrt{3}})+ f(\frac{1}{\sqrt{3}})\]
    同样地,可以推导出\(n=3\)的情况,当\(n\)越大时,计算的精度越高。下表给出了\(n=2,3,4,5,6\)时,对应的高斯点和权重:
    image.png

    上述推导过程是以\([-1,1]\)区间为例,对积分区间\([a,b]\),可以通过如下线性变换,将积分区间变换为\([-1,1]\)\[x=\frac{1}{2}[t(b-a)+a+b],dx = \frac{1}{2}(b-a)dt\]
    \[\int^b_{a}f(x)dx=\int^1_{-1}f(\frac{(b-a)t+a+b}{2})\frac{(b-a)}{2}dt\]

    5. 总结

    本节课主要介绍函数积分的数值算法,最简单的有矩形法(左右点法)和中点法,在中点法的基础上,线性插值法提供了一种梯形求解算法,而采用非线性插值,则可以推导出Simpson 1/3 法和 3/8 法。这几种算法都要求对区间等距划分,最后介绍的高斯求积法则是确定高斯点和相应的权重来直接计算积分值。与数值微分类似,在数值积分算法中,也可以用Richardson外推加速算法将两个精度不高的方法组合构建出一个精度更高的数值积分算法,这里不做详细讨论,包括多重积分、多元积分等相关知识,这里暂不做深入研究,如果后面要使用,再进一步讨论。至此,暑期学校数值方法与计算课程的内容已经整理完毕。原本打算两周内整理好,后来因为各种事情耽搁了,以后尽量避免长线作战,趁热打铁方能加深印象。

    转载于:https://www.cnblogs.com/SweetZxl/p/11338004.html

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  • 对曲线求导(具体实现)

    千次阅读 2019-09-22 14:00:37
    差分(difference) ...差分运算可以分为 前向差分、后向差分 中心差分 三种。 设 hhh 为步长,为常数,等距节点 xk=x0+khx_k = x_0 + khxk​=x0​+kh 前向差分 xk=x0+kh,   (k=0,1,...,n)x_k ...

    差分(difference)

    差分反映了离散量的变化,相当于连续函数的微分运算。微分和差分其实是一个东西,只不过连续对应微分,离散对应差分。差分运算可以分为 前向差分后向差分中心差分 三种。

    一阶差分 是离散函数中连续相邻两项之差,当自变量从 x 变到 x+1 时,函数 f(x) 的该变量 f(x+1)-f(x) 称为函数 f(x) 在 x 点的一阶差分,记作:
    Δf(x)=f(x+1)f(x) \Delta f(x) = f(x+1) - f(x)

    二阶差分 是当自变量从 x 变到 x+1 时,一阶差分的差分,记作:(二阶前向差分)
    Δ(Δf)=Δfx+1Δfx=(fx+2fx+1)(fx+1fx)=fx+22fx+1+fx=Δ2fx \begin{aligned} \Delta (\Delta f) &= \Delta f_{x+1} - \Delta f_{x} \\ &= (f_{x+2}-f_{x+1})-(f_{x+1}-f_x) \\ &= f_{x+2} - 2f_{x+1} + f_x \\ = \Delta ^2 f_x \end{aligned}

    三阶差分 是当自变量从 x 变到 x+1 时,二阶差分的差分,记作:(三阶前向差分)
    Δ3fx=Δ2fx+1Δ2fx=(fx+32fx+2+fx+1)(fx+22fx+1+fx)=fx+33fx+2+3fx+1fx \begin{aligned} \Delta ^3f_x & = \Delta^2f_{x+1} - \Delta ^2f_x \\ & = (f_{x+3}-2f_{x+2}+f_{x+1})-(f_{x+2}-2f_{x+1}+f_x) \\ & = f_{x+3} -3f_{x+2}+3f_{x+1}-f_x \end{aligned}

    1. 前向差分

    hh 为步长,为常数,等距节点 xk=x0+kh,   (k=0,1,...,n)x_k = x_0 + kh, \ \ \ (k=0,1,...,n)

    函数 f(x)f(x) 在每个小区间上的增量 Δf(x)\Delta f(x) 为函数 f(x)f(x) 的一阶前向差分:
    Δf(xk)=f(xk+1)f(xk) \Delta f(x_k) = f(x_{k+1}) - f(x_k)
    其中 Δ\Delta 为前向差分算子。

    2. 后向差分

    一阶后向差分:
    f(xk)=f(xk)f(xk1) \nabla f(x_k) = f(x_k) - f(x_{k-1})
    其中 \nabla 为后向差分算子。

    3. 中心差分(Central difference)

    一阶中心差分:
    δf(xk)=12(f(xk+1)f(xk1)) \delta f(x_k) = \frac{1}{2}(f(x_{k+1}) - f(x_{k-1}))
    其中 δ\delta 为后向差分算子。

    推导:

    由泰勒公式 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+...f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + ... 知:

    ① 取 x=xk+1x = x_{k+1}x0=xkx_0 = x_k 可得一阶前向差分公式:
    f(xk)=f(xk+1)f(xk)xk+1xk f'(x_k) = \frac{f(x_{k+1}) - f(x_k)}{x_{k+1} - x_k}

    ② 取 x=xk1x = x_{k-1}x0=xkx_0 = x_k 可得一阶后向差分公式:
    f(xk)=f(xk)f(xk1)xkxk1 f'(x_k) = \frac{f(x_{k}) - f(x_{k-1})}{x_k - x_{k-1}}

    ③ 取 x0=xkx_0 = x_kxx 分别取 xk1x_{k-1}xk+1x_{k+1},然后将两式相减,得一阶中心差分公式:
    f(xk)=f(xk+1)f(xk1)xk+1xk1 f'(x_k) = \frac{f(x_{k+1}) - f(x_{k-1})}{x_{k+1} - x_{k-1}}

    由泰勒公式:f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2(xx0)2f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2

    x0=xkx_0 = x_kxx 分别取 xk1x_{k-1}xk+1x_{k+1},然后将两式相加,得二阶中心差分公式:
    f(xk)=f(xk+1)2f(xk)+f(xk1)h2 f''(x_k) = \frac{f(x_{k+1}) - 2f(x_k) + f(x_{k-1})}{h^2}

    4. 对轮廓曲线的差分

    对曲线的求导,在具体实现时一般采用中心差分,对曲线轮廓的 L 个控制点的 x,y 坐标分别求差分:
    一阶差分(1)
    一阶差分(2)
    二阶差分

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  • 我们如何从有限的点集(波形或曲线)得到...一般我们有三种近似求法,前向差分、后向差分和中心差分中心差分误差最小。具体信息见参考资料。下面是三种方法定义的截图。 参考资料 Numerical Differentiation ...

    我们如何从有限的点集(波形或曲线)得到它们的导数?比如电路中的波形。
    在这里插入图片描述
    一般我们有三种近似求法,前向差分、后向差分和中心差分,中心差分误差最小。具体信息见参考资料。下面是三种方法定义的截图。

    在这里插入图片描述

    参考资料

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  • 是关于 的函数,在 轴上有 个等距网格,记 我们知道前向差分,后向差分和中心差分,以二阶导数的中心差分为例: 从主误差项可知,以上数值微分为2阶精度。现在问题来了:有时我们并不满足于已有公式的精度,想要在...

    1. 有限差分 Taylor Table

    这是在数值微分中常用的技巧。可以用等距网格中给定几个点的线性组合表示某一点处的微分,乃至高阶微分,并可顺便求出该差分方法的精度。

    是关于
    的函数,在
    轴上有
    个等距网格,记

    我们知道前向差分,后向差分和中心差分,以二阶导数的中心差分为例:

    从主误差项可知,以上数值微分为2阶精度。

    现在问题来了:

    1. 有时我们并不满足于已有公式的精度,想要在等式右边加入更多点,以推导出精度更高的公式;
    2. 在网格的边界处,例如
      处,我们不能得到
      ,因而不能根据上述公式求出

    是否有一种方法,能方便地推导有限差分公式呢?我们引入 Taylor Table,以下例子中可以看到,表中的每一行都是一个泰勒展开。通过将尽可能多的低阶误差项系数(列元素之和)变为0,我们可以的得到理论上精度最高的有限差分公式。

    e.g. find most accurate formula for

    using

    let

    ,construct Taylor Table:

    f01ad874120847b015f10b4836b68bcc.png
    Taylor Table

    To get the highest accuracy, we must set as many of the low-order terms to zero as possible. We have 4 free coefficients; therefore, we can set the coefficients of the first 4 terms to zero.

    Thus, the leading error term is:

    Formula:

    The order of the term is 3.

    2. 分式的泰勒展开

    这是我自己总结的一个小技巧。

    问题:有分式

    ,求
    处的泰勒展开式.

    以上问题中虽然要在0处展开,但很容易扩展到在任意处的泰勒展开。

    解决问题的传统步骤是分别计算

    的各阶导数,然后按公式展开,但由于是分式,所以这种方法比较麻烦且容易算错。对于这类分式泰勒展开问题,我们可以推导出如下较为方便的解法:
    1. 分别计算
      的泰勒展开,假设展开为:

    1. 如要将
      展开至第
      项,则构造下三角矩阵
      如下:

    1. 解方程组
      ,其中
    2. 可得
      在0处的泰勒展式:

    举个例子:

    所以有:

    这和直接对

    做泰勒展开的结果相同。
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    3.20 定义资源的公式(工作中心) OP21 32 3.21 定义带缺省值的参数文件 OPN1 33 3.22 定义BOM用途的优先订单 OS31 35 3.23 定义应用程序 OS30 36 3.24 定义MRP的可选确定 SPRO 37 3.25 定义“生产—能力需求计划—...
  • 通常性能上较ArrayList,而LinkedList使用双向链表实现存储,按序号索引数据需要进行前向或后向遍历,但是插入数据时只需要记录本项的前后项即可,所以插入速度较快。 11、EJB是基于哪些技术实现的?并说出...
  • 3.2.1 前向传播与反向传播? 95 3.2.2 如何计算神经网络的输出? 97 3.2.3 如何计算卷积神经网络输出值? 98 3.2.4 如何计算Pooling层输出值输出值? 101 3.2.5 实例理解反向传播 102 3.3 超参数 105 3.3.1 什么是超...

空空如也

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中心差分和前向差分