中心投影法
中心投影法——投射线汇交于投射中心的投影方法。
平行投影法
平行投影法——投射线互相平行的投影方法。

目录

投影变换

平行投影

正投影

斜投影

透视投影 (属于中心投影)

点的透视投影

平行线段的透视变换

透视投影分类

投影变换

根据投影中心与投影平面（观察平面）之间的距离（或者说，投影线是否相交于一点，或者说是否保持对象的比例），分为平行投影 和 透视投影。



平行投影

根据投影方向（视线方向）与投影平面的夹角是否垂直，平行投影可分为正平行投影（简称正投影）和斜平行投影（简称斜投影）。

正投影

根据投影平面与坐标轴是否垂直，正投影又可分为：三视图 和 正轴测投影。







正轴测投影

根据投影平面与坐标轴之间的三个夹角相等的个数（或者说三个轴向变形系数相等的个数），可分为正等测投影、正二测投影、正三测投影。





斜投影

根据投影方向与投影平面夹角a的大小（tana=1 tana=2），斜投影可分为 斜等侧投影 和斜二测投影。





透视投影(属于中心投影)

根据投影平面与坐标轴相交的个数，分为一点透视，两点透视，三点透视。

透视投影属于中心投影。



点的透视投影





平行线段的透视变换





透视投影分类

一点透视，两点透视，三点透视。





 

参考：计算机图形学基础（OpenGL版）清华大学出版社 主编 徐文鹏

根据投影面不同，几何投影分为圆锥投影、圆柱投影和平面（方位）投影，本文将从概念、经纬线形状、变形、应用场景三个方面逐个解释上述投影的特点。

 

 01 圆锥投影

 

假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面沿着一条经线剪开展为平面，称为圆锥投影。

 

当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影，当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影。

 

根据圆锥轴与地球地轴的位置不同，又分为正轴、横轴和斜轴圆锥投影三种。

 





 

对于正轴圆锥投影，纬线投影为同心圆弧，经线投影为同心圆弧的半径，两经线间的夹角与相应的经度差成正比。

 


	
圆锥投影的变形特点
	
 

圆锥投影中，圆锥面与球面相切或者相割的纬线在投影后是不变形的线，叫做标准纬线。标准纬线通常位于制图区域的中间部位。从标准纬线向南向北，变形逐渐增大。



 

割圆锥投影带有两条标准纬线，标准纬线之间与标准纬线之外的部分变形模式是不同的。通常，割线投影的整体变形程度小于切线投影。

 


	
圆锥投影的应用
	
 

该投影适用于中纬度地带沿纬线方向伸展地区的地图，我国的地图多用此投影。

 

1、百万分一地形图

 

自1978年以来，我国采用等角圆锥投影作为百万分一地形图的数学基础。

 

百万分一地图具有一定的国际性，同一个时期内各国编制出版的百万分一地图，采用相同的规格，即地图投影、分幅编号、图式规范等基本一致，可促使该比例尺地图得到较广泛的国际应用和交往。

 

1962年国际制图会议规定：百万分一地图按照国际标准分幅，采用双标准纬线等角圆锥投影。自赤道起按纬差4° 分带，对每带单独进行投影。北纬84°以北和南纬80°以南的地区，则采用等角方位投影。

 

2、中国地图或者分省地图

 

由于我国处于中纬度地区，中国地图和分省地图经常采用割圆锥投影如Lambert（正轴等角割圆锥）投影或者Albers（正轴等积割圆锥）投影。

 

中国地图的中央经线常位于东经105°或110°，两条标准纬线分别为北纬25°和北纬47°。各省的参数可以根据地理位置和轮廓形状加以判定。例如甘肃省的参数为：中央经线101°，两条标准纬线分别为北纬34°和北纬41°。

 

 02 圆柱投影

 

以圆柱面作为投影面，把地球上的经纬线网投影到圆柱面上，然后沿着圆柱面的一根经线剪开展成平面，就得到圆柱投影。

 

当圆柱面与地球体相切时，称为切圆柱投影，当圆柱面与地球体相割时，称为割圆柱投影。

 

根据圆柱轴与地球地轴的位置不同，又分为正轴、横轴和斜轴圆柱投影三种。

 



 

在圆柱投影中，经线投影为平行直线，平行线间的距离和经差成正比。纬线投影为一组与经线正交的平行直线，平行线间的距离由投影变形性质（等角、等积或者任意）和投影条件（透视、切或割等）决定。

 



 


	
圆柱投影的变形特点
	
 

圆柱投影中的变形变化特征是以赤道为对称轴，南北同名纬线上的变形大小相同。

 

因标准纬线不同可分为切（切于赤道）圆柱及割圆柱（割于南北同名纬线）圆柱投影。

在切圆柱投影中，赤道上没有变形，自赤道向两侧随着纬度的增大变形增大。在割圆柱投影中，两条标准纬线上没有变形，自标准纬线向内（向赤道）及向外（向两极）增大。

 

圆柱投影中经线表现为平行直线，与低纬度地区经线近似平行一致，因此圆柱投影一般适于低纬度沿纬线伸展的地区。

 



 


	
圆柱投影的应用
	
 

该投影方式一般适用于编制赤道附近地区的地图和世界地图。

 

1、墨卡托投影

 

墨卡托投影是最常用的圆柱投影之一，又叫正轴等角切圆柱投影，是16世纪荷兰地图学家墨卡托（Mercator）所设计。

 



 

 

墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等， 纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。 

 

在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图。如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行， 方向不变可以一直到达目的地， 因此它对船舰在航行中定位、 确定航向都具有有利条件， 给航海者带来很大方便。

 

2、高斯-克吕格投影

 

高斯-克吕格投影（Gauss–Krüger projection）又称横轴墨卡托投影，是由数学家高斯于19世纪20年代拟定，后经地图学家克吕格补充而形成的一种地图投影方式。

 

高斯-克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影：假想一个平面卷成圆筒套在球体外面，圆柱的中心轴线通过地球的中心且与赤道面夹角为零，球面上一根子午线与圆柱面相切。这样，该子午线在圆柱面上的投影为一直线，赤道面与圆柱面的交线是一条与该子午线投影垂直的直线。将圆柱面展开成平面，由这两条正交直线就构成高斯-克吕格平面直角坐标系。为减少投影变形，高斯-克吕格投影分为3°带和6°带投影。

 

每次投影，只使用中央经线两侧3º范围内的图，即一次投影的宽度为6度（或3度），全球形成60（或120）个投影带，东西半球各30（或60）个带，以赤道为轴线，把这些带连接在一起，形成一个类似西瓜切开形态的分瓣投影。带的编号从本初子午线向东，第一带的中央经线是3度经线。

 



 

3、通用横轴墨卡托投影（UTM）

 

UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影”，是一种“等角横轴割圆柱投影”。圆柱割地球于南纬80°、北纬84°两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上长度比为0.9996。

 

UTM投影分带方法与高斯-克吕格投影相似，是自西经180°起每隔经差6°自西向东分带，将地球划分为60个投影带。

 

UTM投影改善了高斯-克吕格投影在低纬度地区的变形。我国的卫星影响资料常用UTM投影。

 

 03 平面（方位）投影

 

平面投影也称为方位投影或天顶投影，是以平面作为投影面，使平面与地球表面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上 所得到的图形。

 

根据投影面与地球球面相切位置不同，可分为三类：当投影面切于地球极点时，称为正轴方位投影。当投影面切于赤道时，称为横轴方位投影。当投影面切于既不在极点也不在赤道时，称为斜轴方位投影。

 



 

 

正轴方位投影的投影中心为极点，纬线为同心圆，经线为同心圆的半径，两条经线之间的夹角与实地相等。等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。

 

对于横轴或者斜轴方位投影，则等高圈投影后为同心圆，垂直圈投影后为同心圆的半径，两垂直圈之间的交角与实地方位角相等。

 


	
方位投影变形
	
 

方位投影中，等变形线与纬圈一致。

 

在切方位投影中，切点上无变形，随着远离切点，变形增大。

 

在割方位投影中，在所割的小圆上无变形，长度变形与面积变形自所割小圆向内与向外增大。

 



 


	
方位投影的应用
	
 

方位投影最适合表示具有圆形轮廓的地区，例如制作两极地区图宜采用正方位投影，亚洲地区图多采用斜方位投影。

 

本文大多数内容为参考了各方教材、文献、网络资料整理而来，难免有疏漏之处，如有发现理解不到位的地方，欢迎留言指正。

 



 

参考资料：

[1] 地图投影 Map Projections，E.W.格拉法伦德等，ISBN 978-3-540-36701-7。

[2] 地图学原理与方法，王家耀，孙群等，ISBN 7-03-016498-9。

[3] 维基百科-地图投影：https://zh.wikipedia.org/wiki/地图投影。

[4] 百度百科-地图投影：https://baike.baidu.com/item/地图投影。

[5] https://www.whu-cveo.com/2018/07/26/coordinate-projection/ 。

[6] http://support.supermap.com.cn/datawarehouse/webdochelp/idesktop/features/dataprocessing/projection/AboutMapProjection.htm 。

[7] NNU_Group (2020). 任意投影, Concept & Semantic, OpenGMS, https://geomodeling.njnu.edu.cn/repository/concept/b8517263-7235-4848-9f6b-08269aea4405

 



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目录

投影几何性质

平行线（Parallel Lines）

消失点（Vanishing Point）

投影几何性质

all right，让我们快速谈谈透视投影的几个几何属性。这个数字试图展示的是一些事情。



首先是点到点。这看起来很清楚。我在这里有一些点（如图1），我要把这一点放在我的地平面上，right？所以这是我的投影中心O（如图2），我看到某些点在平面内，这是图像中的那一点（如图3），right？因为它只是穿过的单一射线。

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在透视投影中其他一些事情就是线条，所以这里是一条线（如图1），投影。考虑它的一种方法就是，这是我的原点（如图2），想想它经过这里，经过那里，它扫过整个平面（如图3）。

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并且该平面与此相交（如图1），由该线在地面上形成的平面和点，中心投影沿着该线与图像平面相交（如图2）。这就是说，点不仅指向点，还要点线。

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如果直线到直线，点到点，多边形会变成什么? 它们变成水星（Mercury）。不是，多边形会变成多边形，all right? 不是复杂的事（rocket science），但这是透视投影中的线条不变形性，线条映射到我们充分利用的线条。

平行线（Parallel Lines）

透视投影中的一件很酷的事情，你已经知道的是，世界上的平行线几乎总是在图像中的某个点上相遇。 所以这是一个例子（如图），它是地平面上的两条平行线，它们投射到图像中的两条线（如图2）。 你可以看到它们在这一点相遇，有时被称为图像中的“消失”（Vanishing）点。 典型的例子是铁路轨道，轨道本身都收敛到某一点（如图3），所以我们可以直观地思考这个问题，但真正酷的是你可以直接从数学中看到它。

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我们来想一下什么是3维空间中的直线。3维空间中的直线可以参数化为单个值和单个参数。在这种情况下，我们要用 t 。我们有x (t) y (t) z (t) （如图1）当 t 从负无穷到正无穷 或者 0 到任意值时，你会沿着这条线移动。3维空间中的直线从3维空间中的某一点开始，这里是x0 y0 z0（如图2），然后它沿着某个向量移动，现在，我们用向量a b c（如图3）。a在x方向上，b在y方向上，c在z方向上，乘以 t 的值。

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现在，让我们来看看这条直线上的所有点在图像平面中的位置，all right? 对于每个x y z，已知 t 的x '和y '是多少? 我们知道 x y z 到x '的投影方程就是 fx / z ，对于 y就是 fy / z （如图1）。在这里，我们把它代入另一边关于 t 的表达式中。这就是直线上所有点的位置（如图2），但当 t 变大时，会发生什么呢? 在 t 的极限趋于无穷时，我现在假设 c 不为 0，我们等下会讲到，okay? x '的极限是fa / c。y '的极限是fb / c（如图3）。

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缺失的是什么? 缺少的是x0 y0 z0 ? 换句话说，这条线从世界的哪个点出发并不重要，我可以从这里开始，我可以从这里开始，我可以从这里开始（教授比手势）。只要这些点都朝a b c的方向移动，它们都会在图像中的这一点收敛（如图1）。这就是为什么在世界上平行的线都会收敛于一个点。轨道和沿着轨道的感觉，因为它们在同一个方向平行，它们都会聚到同一个点。

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c 等于 0 是什么意思?（如图）c 等于 0意味着 z 值不变。假设我像这样拿着相机，我的像平面是垂直的，所以 z 是垂直的。如果z值不变，则表示世界上的直线与我的像平面平行。它不会离得更远或更近，它会保持平行，这些线都会保持平行线。这就是为什么我说世界上几乎所有的平行线都收敛于一点。如果平行线是垂直的或与像平面对齐的，它们不会收敛。

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消失点（Vanishing Point）

这些点称为消失点（Vanishing Point）。 这里证明了每组平行线（如图），即它们都在同一方向，在不同的点上相遇。 另一件事是，平行线都在同一平面上，它们都会收敛到共线消失点。 你知道这是地平线，这是世界上一组平行线， 他们在这里收敛（如图2）。 这是另一组平行线，他们会收敛在一起（如图3）。 如果我有相同的平行线离开相机，他们就会像这样收敛，all right？

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而地平线就是这条线（如图）， 那是因为我绘制的所有平行线都在地平面上，所以它们的消失点都会收敛在地平线上。 



顺便说一句，当你把图像放在一起时，它会使消失点保持一致。 就像，你在这里拍摄一块建筑物，并在那里放置其他东西，而不是实际拍照，实际上有点难。 所以如果你想尝试找一个假的图像。 也就是说，这些内容已被Photoshop整合在一起。 去你当地的超市小报，您经常可以找到消失点看起来不正确的图片，这是因为它是由图像的一部分组成的，这些图像不是用相机与这些平行线对齐的，而是以相同的方式对齐。

还有一点，也许你们中的一些人真的上过艺术课，在你们决定失去灵魂成为一名工程师之前。也许他们教会了你三点透视法。这是一张三点透视图（如图1）。基本上他们说的是如果我有一个立方体在空中，它定义了三组平行线。像左边的脸，右边的脸，和下面的。你可以看到这里画的这就是它的来源，平行线会聚到不同的消失点。

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这是另一个例子（如图），我认为这是Zisserman的产品，我不确定，所以只是一个非常古雅的旧建筑。右边有一个消失点（如图2），在电线上，左边有一个消失点（如图3）。不用讨论其他的，你可以看到地平线的位置，okay，就在那边（如图4），那里的所有线路，例如地面上的会收敛的线。

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 ——学会编写自己的代码，才能练出真功夫。