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  • 中心投影中心投影法——投射线汇交于投射中心的投影方法。 平行投影法 平行投影法——投射线互相平行的投影方法。

    中心投影法

    中心投影法——投射线汇交于投射中心的投影方法。

    平行投影法

    平行投影法——投射线互相平行的投影方法。

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  • 根据投影中心投影平面(观察平面)之间的距离(或者说,投影线是否相交于一点,或者说是否保持对象的比例),分为平行投影 和 透视投影。 平行投影 根据投影方向(视线方向)与投影平面的夹角是否垂直,平行...

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    投影变换

    平行投影

    正投影

    斜投影

    透视投影 (属于中心投影)

    点的透视投影

    平行线段的透视变换

    透视投影分类


    投影变换

    根据投影中心投影平面(观察平面)之间距离(或者说,投影线是否相交于一点,或者说是否保持对象的比例),分为平行投影 和 透视投影。

    平行投影

    根据投影方向(视线方向)投影平面夹角是否垂直,平行投影可分为正平行投影(简称正投影)和斜平行投影(简称斜投影)。

    正投影

    根据投影平面坐标轴是否垂直,正投影又可分为:三视图 和 正轴测投影。

    正轴测投影

    根据投影平面坐标轴之间的三个夹角相等的个数(或者说三个轴向变形系数相等的个数),可分为正等测投影、正二测投影、正三测投影。

    斜投影

    根据投影方向与投影平面夹角a的大小(tana=1 tana=2),斜投影可分为 斜等侧投影斜二测投影。

    透视投影(属于中心投影)

    根据投影平面与坐标轴相交的个数,分为一点透视,两点透视,三点透视。

    透视投影属于中心投影

    点的透视投影

    平行线段的透视变换

    透视投影分类

    一点透视,两点透视,三点透视。

     

    参考:计算机图形学基础(OpenGL版)清华大学出版社 主编 徐文鹏

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  • 根据投影面不同,几何投影分为圆锥投影、圆柱投影和平面(方位)投影,本文将从概念、经纬线形状、变形、应用场景三个方面逐个解释上述投影的特点。 01圆锥投影 假定以圆锥面作为投影面,使圆锥面和地球体相切...

    根据投影面不同,几何投影分为圆锥投影、圆柱投影和平面(方位)投影,本文将从概念、经纬线形状、变形、应用场景三个方面逐个解释上述投影的特点。

     

     01 圆锥投影

     

    假定以圆锥面作为投影面,使圆锥面和地球体相切或相割,将球面上的经纬线投影到圆锥面上,然后将圆锥面沿着一条经线剪开展为平面,称为圆锥投影

     

    当圆锥面与地球相切时,称为切圆锥投影,当圆锥面与地球相割时,称为割圆锥投影

     

    根据圆锥轴与地球地轴的位置不同,又分为正轴、横轴和斜轴圆锥投影三种。

     

     

    对于正轴圆锥投影,纬线投影为同心圆弧,经线投影为同心圆弧的半径,两经线间的夹角与相应的经度差成正比。

     

    • 圆锥投影的变形特点

     

    圆锥投影中,圆锥面与球面相切或者相割的纬线在投影后是不变形的线,叫做标准纬线。标准纬线通常位于制图区域的中间部位。从标准纬线向南向北,变形逐渐增大

     

    割圆锥投影带有两条标准纬线,标准纬线之间与标准纬线之外的部分变形模式是不同的。通常,割线投影的整体变形程度小于切线投影。

     

    • 圆锥投影的应用

     

    该投影适用于中纬度地带沿纬线方向伸展地区的地图,我国的地图多用此投影。

     

    1、百万分一地形图

     

    自1978年以来,我国采用等角圆锥投影作为百万分一地形图的数学基础。

     

    百万分一地图具有一定的国际性,同一个时期内各国编制出版的百万分一地图,采用相同的规格,即地图投影、分幅编号、图式规范等基本一致,可促使该比例尺地图得到较广泛的国际应用和交往。

     

    1962年国际制图会议规定:百万分一地图按照国际标准分幅,采用双标准纬线等角圆锥投影。自赤道起按纬差4° 分带,对每带单独进行投影。北纬84°以北和南纬80°以南的地区,则采用等角方位投影

     

    2、中国地图或者分省地图

     

    由于我国处于中纬度地区,中国地图和分省地图经常采用割圆锥投影如Lambert(正轴等角割圆锥)投影或者Albers(正轴等积割圆锥)投影。

     

    中国地图的中央经线常位于东经105°或110°,两条标准纬线分别为北纬25°和北纬47°。各省的参数可以根据地理位置和轮廓形状加以判定。例如甘肃省的参数为:中央经线101°,两条标准纬线分别为北纬34°和北纬41°。

     

     02 圆柱投影

     

    以圆柱面作为投影面,把地球上的经纬线网投影到圆柱面上,然后沿着圆柱面的一根经线剪开展成平面,就得到圆柱投影

     

    当圆柱面与地球体相切时,称为切圆柱投影,当圆柱面与地球体相割时,称为割圆柱投影。

     

    根据圆柱轴与地球地轴的位置不同,又分为正轴、横轴和斜轴圆柱投影三种。

     

     

    在圆柱投影中,经线投影为平行直线,平行线间的距离和经差成正比。纬线投影为一组与经线正交的平行直线,平行线间的距离由投影变形性质(等角、等积或者任意)和投影条件(透视、切或割等)决定。

     

     

    • 圆柱投影的变形特点

     

    圆柱投影中的变形变化特征是以赤道为对称轴,南北同名纬线上的变形大小相同。

     

    因标准纬线不同可分为切(切于赤道)圆柱及割圆柱(割于南北同名纬线)圆柱投影。

    在切圆柱投影中,赤道上没有变形,自赤道向两侧随着纬度的增大变形增大。在割圆柱投影中,两条标准纬线上没有变形,自标准纬线向内(向赤道)及向外(向两极)增大。

     

    圆柱投影中经线表现为平行直线,与低纬度地区经线近似平行一致,因此圆柱投影一般适于低纬度沿纬线伸展的地区。

     

     

    • 圆柱投影的应用

     

    该投影方式一般适用于编制赤道附近地区的地图和世界地图。

     

    1、墨卡托投影

     

    墨卡托投影是最常用的圆柱投影之一,又叫正轴等角切圆柱投影,是16世纪荷兰地图学家墨卡托(Mercator)所设计。

     

     

     

    墨卡托投影没有角度变形,由每一点向各方向的长度比相等,它的经纬线都是平行直线,且相交成直角,经线间隔相等, 纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。 

     

    在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点,墨卡托投影地图常用作航海图航空图。如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行, 方向不变可以一直到达目的地, 因此它对船舰在航行中定位、 确定航向都具有有利条件, 给航海者带来很大方便。

     

    2、高斯-克吕格投影

     

    高斯-克吕格投影(Gauss–Krüger projection)又称横轴墨卡托投影,是由数学家高斯于19世纪20年代拟定,后经地图学家克吕格补充而形成的一种地图投影方式。

     

    高斯-克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影:假想一个平面卷成圆筒套在球体外面,圆柱的中心轴线通过地球的中心且与赤道面夹角为零,球面上一根子午线与圆柱面相切。这样,该子午线在圆柱面上的投影为一直线,赤道面与圆柱面的交线是一条与该子午线投影垂直的直线。将圆柱面展开成平面,由这两条正交直线就构成高斯-克吕格平面直角坐标系。为减少投影变形,高斯-克吕格投影分为3°带和6°带投影。

     

    每次投影,只使用中央经线两侧3º范围内的图,即一次投影的宽度为6度(或3度),全球形成60(或120)个投影带,东西半球各30(或60)个带,以赤道为轴线,把这些带连接在一起,形成一个类似西瓜切开形态的分瓣投影。带的编号从本初子午线向东,第一带的中央经线是3度经线。

     

     

    3、通用横轴墨卡托投影(UTM)

     

    UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影”,是一种“等角横轴割圆柱投影”。圆柱割地球于南纬80°、北纬84°两条等高圈,投影后两条相割的经线上没有变形,而中央经线上长度比为0.9996。

     

    UTM投影分带方法与高斯-克吕格投影相似,是自西经180°起每隔经差6°自西向东分带,将地球划分为60个投影带。

     

    UTM投影改善了高斯-克吕格投影在低纬度地区的变形。我国的卫星影响资料常用UTM投影。

     

     03 平面(方位)投影

     

    平面投影也称为方位投影天顶投影,是以平面作为投影面,使平面与地球表面相切或相割,将球面上的经纬线投影到平面上 所得到的图形。

     

    根据投影面与地球球面相切位置不同,可分为三类:当投影面切于地球极点时,称为正轴方位投影。当投影面切于赤道时,称为横轴方位投影。当投影面切于既不在极点也不在赤道时,称为斜轴方位投影。

     

     

     

    正轴方位投影的投影中心为极点,纬线为同心圆,经线为同心圆的半径,两条经线之间的夹角与实地相等。等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。

     

    对于横轴或者斜轴方位投影,则等高圈投影后为同心圆,垂直圈投影后为同心圆的半径,两垂直圈之间的交角与实地方位角相等。

     

    • 方位投影变形

     

    方位投影中,等变形线与纬圈一致。

     

    在切方位投影中,切点上无变形,随着远离切点,变形增大。

     

    在割方位投影中,在所割的小圆上无变形,长度变形与面积变形自所割小圆向内与向外增大。

     

     

    • 方位投影的应用

     

    方位投影最适合表示具有圆形轮廓的地区,例如制作两极地区图宜采用正方位投影,亚洲地区图多采用斜方位投影。

     

    本文大多数内容为参考了各方教材、文献、网络资料整理而来,难免有疏漏之处,如有发现理解不到位的地方,欢迎留言指正。

     


     

    参考资料:

    [1] 地图投影 Map Projections,E.W.格拉法伦德等,ISBN 978-3-540-36701-7。

    [2] 地图学原理与方法,王家耀,孙群等,ISBN 7-03-016498-9。

    [3] 维基百科-地图投影:https://zh.wikipedia.org/wiki/地图投影。

    [4] 百度百科-地图投影:https://baike.baidu.com/item/地图投影。

    [5] https://www.whu-cveo.com/2018/07/26/coordinate-projection/ 。

    [6] http://support.supermap.com.cn/datawarehouse/webdochelp/idesktop/features/dataprocessing/projection/AboutMapProjection.htm 。

    [7] NNU_Group (2020). 任意投影, Concept & Semantic, OpenGMS, https://geomodeling.njnu.edu.cn/repository/concept/b8517263-7235-4848-9f6b-08269aea4405

     

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  • 目录 投影几何性质 平行线(Parallel Lines) 消失点(Vanishing Point) 投影几何性质 all right,让我们快速谈谈透视投影...所以这是我的投影中心O(如图2),我看到某些点在平面内,这是图像中的那一点(如...

    目录

    投影几何性质

    平行线(Parallel Lines)

    消失点(Vanishing Point)


    投影几何性质

    all right,让我们快速谈谈透视投影的几个几何属性。这个数字试图展示的是一些事情。

    首先是点到点。这看起来很清楚。我在这里有一些点(如图1),我要把这一点放在我的地平面上,right?所以这是我的投影中心O(如图2),我看到某些点在平面内,这是图像中的那一点(如图3),right?因为它只是穿过的单一射线。

    1 2

    在透视投影中其他一些事情就是线条,所以这里是一条线(如图1),投影。考虑它的一种方法就是,这是我的原点(如图2),想想它经过这里,经过那里,它扫过整个平面(如图3)。

    1 2

    3 4

    并且该平面与此相交(如图1),由该线在地面上形成的平面和点,中心投影沿着该线与图像平面相交(如图2)。这就是说,点不仅指向点,还要点线。

    1 2

    如果直线到直线,点到点,多边形会变成什么? 它们变成水星(Mercury)。不是,多边形会变成多边形,all right? 不是复杂的事(rocket science),但这是透视投影中的线条不变形性,线条映射到我们充分利用的线条。

    平行线(Parallel Lines)

    透视投影中的一件很酷的事情,你已经知道的是,世界上的平行线几乎总是在图像中的某个点上相遇。 所以这是一个例子(如图),它是地平面上的两条平行线,它们投射到图像中的两条线(如图2)。 你可以看到它们在这一点相遇,有时被称为图像中的“消失”(Vanishing)点。 典型的例子是铁路轨道,轨道本身都收敛到某一点(如图3),所以我们可以直观地思考这个问题,但真正酷的是你可以直接从数学中看到它。

    1 2

    3 4

    我们来想一下什么是3维空间中的直线。3维空间中的直线可以参数化为单个值和单个参数。在这种情况下,我们要用 t 。我们有x (t) y (t) z (t) (如图1)当 t 从负无穷到正无穷 或者 0 到任意值时,你会沿着这条线移动。3维空间中的直线从3维空间中的某一点开始,这里是x0 y0 z0(如图2),然后它沿着某个向量移动,现在,我们用向量a b c(如图3)。a在x方向上,b在y方向上,c在z方向上,乘以 t 的值。

    1 2

    现在,让我们来看看这条直线上的所有点在图像平面中的位置,all right? 对于每个x y z,已知 t 的x '和y '是多少? 我们知道 x y z 到x '的投影方程就是 fx / z ,对于 y就是 fy / z (如图1)。在这里,我们把它代入另一边关于 t 的表达式中。这就是直线上所有点的位置(如图2),但当 t 变大时,会发生什么呢? 在 t 的极限趋于无穷时,我现在假设 c 不为 0,我们等下会讲到,okay? x '的极限是fa / c。y '的极限是fb / c(如图3)。

    1 2

    3

    缺失的是什么? 缺少的是x0 y0 z0 ? 换句话说,这条线从世界的哪个点出发并不重要,我可以从这里开始,我可以从这里开始,我可以从这里开始(教授比手势)。只要这些点都朝a b c的方向移动,它们都会在图像中的这一点收敛(如图1)。这就是为什么在世界上平行的线都会收敛于一个点。轨道和沿着轨道的感觉,因为它们在同一个方向平行,它们都会聚到同一个点。

    1

    c 等于 0 是什么意思?(如图)c 等于 0意味着 z 值不变。假设我像这样拿着相机,我的像平面是垂直的,所以 z 是垂直的。如果z值不变,则表示世界上的直线与我的像平面平行。它不会离得更远或更近,它会保持平行,这些线都会保持平行线。这就是为什么我说世界上几乎所有的平行线都收敛于一点。如果平行线是垂直的或与像平面对齐的,它们不会收敛。

    消失点(Vanishing Point)

    这些点称为消失点(Vanishing Point)。 这里证明了每组平行线(如图),即它们都在同一方向,在不同的点上相遇。 另一件事是,平行线都在同一平面上,它们都会收敛到共线消失点。 你知道这是地平线,这是世界上一组平行线, 他们在这里收敛(如图2)。 这是另一组平行线,他们会收敛在一起(如图3)。 如果我有相同的平行线离开相机,他们就会像这样收敛,all right?

     1 2

     3 4

    而地平线就是这条线(如图), 那是因为我绘制的所有平行线都在地平面上,所以它们的消失点都会收敛在地平线上。 

    顺便说一句,当你把图像放在一起时,它会使消失点保持一致。 就像,你在这里拍摄一块建筑物,并在那里放置其他东西,而不是实际拍照,实际上有点难。 所以如果你想尝试找一个假的图像。 也就是说,这些内容已被Photoshop整合在一起。 去你当地的超市小报,您经常可以找到消失点看起来不正确的图片,这是因为它是由图像的一部分组成的,这些图像不是用相机与这些平行线对齐的,而是以相同的方式对齐。

    还有一点,也许你们中的一些人真的上过艺术课,在你们决定失去灵魂成为一名工程师之前。也许他们教会了你三点透视法。这是一张三点透视图(如图1)。基本上他们说的是如果我有一个立方体在空中,它定义了三组平行线。像左边的脸,右边的脸,和下面的。你可以看到这里画的这就是它的来源,平行线会聚到不同的消失点。

    1

    这是另一个例子(如图),我认为这是Zisserman的产品,我不确定,所以只是一个非常古雅的旧建筑。右边有一个消失点(如图2),在电线上,左边有一个消失点(如图3)。不用讨论其他的,你可以看到地平线的位置,okay,就在那边(如图4),那里的所有线路,例如地面上的会收敛的线。

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     ——学会编写自己的代码,才能练出真功夫。 

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中心投影的基本性质有