根据投影面不同，几何投影分为圆锥投影、圆柱投影和平面（方位）投影，本文将从概念、经纬线形状、变形、应用场景三个方面逐个解释上述投影的特点。

 

 01 圆锥投影

 

假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面沿着一条经线剪开展为平面，称为圆锥投影。

 

当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影，当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影。

 

根据圆锥轴与地球地轴的位置不同，又分为正轴、横轴和斜轴圆锥投影三种。

 

 

对于正轴圆锥投影，纬线投影为同心圆弧，经线投影为同心圆弧的半径，两经线间的夹角与相应的经度差成正比。

 

• 圆锥投影的变形特点

 

圆锥投影中，圆锥面与球面相切或者相割的纬线在投影后是不变形的线，叫做标准纬线。标准纬线通常位于制图区域的中间部位。从标准纬线向南向北，变形逐渐增大。

 

割圆锥投影带有两条标准纬线，标准纬线之间与标准纬线之外的部分变形模式是不同的。通常，割线投影的整体变形程度小于切线投影。

 

• 圆锥投影的应用

 

该投影适用于中纬度地带沿纬线方向伸展地区的地图，我国的地图多用此投影。

 

1、百万分一地形图

 

自1978年以来，我国采用等角圆锥投影作为百万分一地形图的数学基础。

 

百万分一地图具有一定的国际性，同一个时期内各国编制出版的百万分一地图，采用相同的规格，即地图投影、分幅编号、图式规范等基本一致，可促使该比例尺地图得到较广泛的国际应用和交往。

 

1962年国际制图会议规定：百万分一地图按照国际标准分幅，采用双标准纬线等角圆锥投影。自赤道起按纬差4° 分带，对每带单独进行投影。北纬84°以北和南纬80°以南的地区，则采用等角方位投影。

 

2、中国地图或者分省地图

 

由于我国处于中纬度地区，中国地图和分省地图经常采用割圆锥投影如Lambert（正轴等角割圆锥）投影或者Albers（正轴等积割圆锥）投影。

 

中国地图的中央经线常位于东经105°或110°，两条标准纬线分别为北纬25°和北纬47°。各省的参数可以根据地理位置和轮廓形状加以判定。例如甘肃省的参数为：中央经线101°，两条标准纬线分别为北纬34°和北纬41°。

 

 02 圆柱投影

 

以圆柱面作为投影面，把地球上的经纬线网投影到圆柱面上，然后沿着圆柱面的一根经线剪开展成平面，就得到圆柱投影。

 

当圆柱面与地球体相切时，称为切圆柱投影，当圆柱面与地球体相割时，称为割圆柱投影。

 

根据圆柱轴与地球地轴的位置不同，又分为正轴、横轴和斜轴圆柱投影三种。

 

 

在圆柱投影中，经线投影为平行直线，平行线间的距离和经差成正比。纬线投影为一组与经线正交的平行直线，平行线间的距离由投影变形性质（等角、等积或者任意）和投影条件（透视、切或割等）决定。

 

 

• 圆柱投影的变形特点

 

圆柱投影中的变形变化特征是以赤道为对称轴，南北同名纬线上的变形大小相同。

 

因标准纬线不同可分为切（切于赤道）圆柱及割圆柱（割于南北同名纬线）圆柱投影。

在切圆柱投影中，赤道上没有变形，自赤道向两侧随着纬度的增大变形增大。在割圆柱投影中，两条标准纬线上没有变形，自标准纬线向内（向赤道）及向外（向两极）增大。

 

圆柱投影中经线表现为平行直线，与低纬度地区经线近似平行一致，因此圆柱投影一般适于低纬度沿纬线伸展的地区。

 

 

• 圆柱投影的应用

 

该投影方式一般适用于编制赤道附近地区的地图和世界地图。

 

1、墨卡托投影

 

墨卡托投影是最常用的圆柱投影之一，又叫正轴等角切圆柱投影，是16世纪荷兰地图学家墨卡托（Mercator）所设计。

 

 

 

墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等， 纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。 

 

在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图。如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行， 方向不变可以一直到达目的地， 因此它对船舰在航行中定位、 确定航向都具有有利条件， 给航海者带来很大方便。

 

2、高斯-克吕格投影

 

高斯-克吕格投影（Gauss–Krüger projection）又称横轴墨卡托投影，是由数学家高斯于19世纪20年代拟定，后经地图学家克吕格补充而形成的一种地图投影方式。

 

高斯-克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影：假想一个平面卷成圆筒套在球体外面，圆柱的中心轴线通过地球的中心且与赤道面夹角为零，球面上一根子午线与圆柱面相切。这样，该子午线在圆柱面上的投影为一直线，赤道面与圆柱面的交线是一条与该子午线投影垂直的直线。将圆柱面展开成平面，由这两条正交直线就构成高斯-克吕格平面直角坐标系。为减少投影变形，高斯-克吕格投影分为3°带和6°带投影。

 

每次投影，只使用中央经线两侧3º范围内的图，即一次投影的宽度为6度（或3度），全球形成60（或120）个投影带，东西半球各30（或60）个带，以赤道为轴线，把这些带连接在一起，形成一个类似西瓜切开形态的分瓣投影。带的编号从本初子午线向东，第一带的中央经线是3度经线。

 

 

3、通用横轴墨卡托投影（UTM）

 

UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影”，是一种“等角横轴割圆柱投影”。圆柱割地球于南纬80°、北纬84°两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上长度比为0.9996。

 

UTM投影分带方法与高斯-克吕格投影相似，是自西经180°起每隔经差6°自西向东分带，将地球划分为60个投影带。

 

UTM投影改善了高斯-克吕格投影在低纬度地区的变形。我国的卫星影响资料常用UTM投影。

 

 03 平面（方位）投影

 

平面投影也称为方位投影或天顶投影，是以平面作为投影面，使平面与地球表面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上 所得到的图形。

 

根据投影面与地球球面相切位置不同，可分为三类：当投影面切于地球极点时，称为正轴方位投影。当投影面切于赤道时，称为横轴方位投影。当投影面切于既不在极点也不在赤道时，称为斜轴方位投影。

 

 

 

正轴方位投影的投影中心为极点，纬线为同心圆，经线为同心圆的半径，两条经线之间的夹角与实地相等。等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。

 

对于横轴或者斜轴方位投影，则等高圈投影后为同心圆，垂直圈投影后为同心圆的半径，两垂直圈之间的交角与实地方位角相等。

 

• 方位投影变形

 

方位投影中，等变形线与纬圈一致。

 

在切方位投影中，切点上无变形，随着远离切点，变形增大。

 

在割方位投影中，在所割的小圆上无变形，长度变形与面积变形自所割小圆向内与向外增大。

 

 

• 方位投影的应用

 

方位投影最适合表示具有圆形轮廓的地区，例如制作两极地区图宜采用正方位投影，亚洲地区图多采用斜方位投影。

 

本文大多数内容为参考了各方教材、文献、网络资料整理而来，难免有疏漏之处，如有发现理解不到位的地方，欢迎留言指正。

 

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参考资料：

[1] 地图投影 Map Projections，E.W.格拉法伦德等，ISBN 978-3-540-36701-7。

[2] 地图学原理与方法，王家耀，孙群等，ISBN 7-03-016498-9。

[3] 维基百科-地图投影：https://zh.wikipedia.org/wiki/地图投影。

[4] 百度百科-地图投影：https://baike.baidu.com/item/地图投影。

[5] https://www.whu-cveo.com/2018/07/26/coordinate-projection/ 。

[6] http://support.supermap.com.cn/datawarehouse/webdochelp/idesktop/features/dataprocessing/projection/AboutMapProjection.htm 。

[7] NNU_Group (2020). 任意投影, Concept & Semantic, OpenGMS, https://geomodeling.njnu.edu.cn/repository/concept/b8517263-7235-4848-9f6b-08269aea4405

 

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欢迎转载，转载时请注明出处。

 

 

地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是二维平面，因此在地图制图时首先要考虑把三维的球面转化成二维的平面。

 

把地面上事物的位置表达在二维平面上有多种方法，古代的风景绘画、现代的摄影技术均可以在一定程度上反映出地物的相对位置，但是这些方法最大的问题是没有数学法则支撑，无法进行方位测量、距离量算等空间分析。

 

 01 地图投影

 

地图投影，是指按照一定的数学法则将地球椭球面上的经纬网转换到平面上，使地面的地理坐标与平面直角坐标(x, y)建立起函数关系，是绘制地图的数学基础之一。

 

地图投影的目的是将不可展的球面投影到一个可展的平面上，然后将该曲面展开成一个平面，来保证空间信息在地域上的连续性、完整性和可测度性。根据美国著名地图投影专家J.P.Snyder统计，世界上地图投影的种类有250多种。

 

 

根据所采用的数学法则不同，投影方法可分为几何透视法和数学解析法。

• 几何透视法

 

几何透视法源于几何透视原理，以几何特征为依据，将地球上的经纬网投影到可以展开的平面（如圆锥、圆柱等）上。

 

为了便于理解几何透视原理，想象地球是一个表面透明的球体，其上绘有经纬网，用一张巨大的纸（称为投影曲面）包裹地球，假设有一个位于地心处的光源穿过地球将经纬网投影到这张纸上，然后用剪刀沿着某条线将纸剪开、铺平，就可以得到一幅地图。

 

 

几何透视投影法有一定的局限性，表现在精度较低，不易控制投影变形，适用于比较简单的投影。

 

• 数学解析投影

 

数学解析投影利用笛卡尔提出的解析几何理论直接确定球面上某点的地理坐标与平面上对应点的直角坐标之间的函数关系，该方法可以较好控制投影变形，适用于比较复杂的投影。

 

大多数的数学解析投影是在几何透视投影的基础上，建立球面与投影面之间点与点的函数关系的，因此两种投影方法有一定联系。

 

常见的数学解析投影有伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影（彭纳投影）和多圆锥投影，这些投影的具体特性将在后续章节中详细介绍。

 

 02 地图投影的变形

 

从几何意义上来说，球面是不可展平的曲面，要把它展成平面，势必会产生破裂与褶皱，使地物和地貌变得不连续和不完整，就像用一把刀将足球割开，压成平面，将会看到很多空隙和褶皱一样。

 

 

地图投影的作用是利用数学法则，将裂开或褶皱的部分拉伸或压缩，以消除裂缝和褶皱。在拉伸和压缩的时，地图上的图形与地球体的相应地物失去了相似性，从而产生了变形。由球面向平面投影时引起的经纬网几何特性的变化，称为地图投影变形。

 

 

 

 

地图投影的变形主要体现在：长度变形、角度变形和面积变形。

 

投影变形最典型的例子是墨卡托投影下，格陵兰岛的面积几乎与非洲面积相当，实际上，格陵兰岛只有非洲的十四分之一，相当于一个面积中等的国家。

 

 

我们来看看与投影变形有关的几个概念。

 

变形椭圆

 

通常，人们使用变形椭圆来直观地表达投影变形的情况。假设地面（地球椭球体面）是一个微小的无穷小圆（称微分圆），在投影中发生变形后，往往不能保持为圆形，而是一个椭圆，称为变形椭圆。

 

下图是等角、等距、等积三种投影的变形椭圆从赤道到两极的形状变化：

 

 

等变形线

 

等变形线是投影中某种变形相等的点的轨迹线。

 

在变形分布较复杂的投影中，难以绘出许多变形椭圆，或者列出一系列变形值来描述图幅内不同位置的变形变化状况，于是计算出一定数量的经纬线交点上的变形值，再利用插值的方法绘制出一定数量的等变形线以显示此种投影的变形分布及变化规律。

 

这是在制图区域较大而且变形分布较复杂时经常采用的一种方法。

 

等变形线在不同的投影上，具有不同的形状。例如在方位投影中，因投影中心点没有变形，从投影中心向外变形逐渐增大，因此等变形线为同心圆状分布。

 

等变形线通常用点虚线来表示。

 

标准纬线

 

标准纬线是地图上经投影后保持无变形的纬线。

 

正轴圆锥投影和正轴圆柱投影中，当圆锥面或圆柱面与地球椭球体相切时，有一条标准纬线，相割时，有两条标准纬线。方位投影中，标准纬线即为割纬线（或割等高圈）。

 

 03 地图投影的分类

 

到目前为止，国际上还没有一个对地图投影统一的分类标准，一般教科书采用按照变形性质和构成方法对其进行分类。

 

1、按照变形性质，可分为等角投影、等积投影、任意投影。

 

• 等角投影

 

等角投影在投影面上任何位置两个方向线的夹角和地球椭球面上相应的方向线夹角相等，对应面保持图形的相似，所以又称为正形投影。

 

 

等角投影的特点是：

 

1. 变形椭圆投影后形状保持不变，仍为圆形。

2. 经纬线投影后保持正交。

3. 地面（椭球面）上任一方向的方位角投影前后保持相等。

4. 等角投影没有角度变形，而面积变形最大。该投影主要是依靠增大面积变形而达到保持角度不变（即图形相似）。

 

由于这种投影无角度变形，便于图上量测方向/角度，所以常用于对真实角度和方向要求高的地图，比如航海、洋流和风向图等。由于此类投影面积变形很大，故不能量算面积。

 

• 等积投影

 

在投影面上任意一块图形的面积与椭球面上相应的图形面积相等， 即面积变形等于零，通常会伴随角度、形状等属性发生变形。

 

 

等积投影的特点是：

 

1. 在等积投影中，为了保证投影后面积不变，变形椭圆的长轴越长，短轴越短，导致角度变化很大，使得图形的形状也发生很大的变化。

2. 等积投影没有面积变形，但是角度变形最大，即该投影主要依靠增大角度变形而保持面积相等。

3. 等积投影没有面积变形，便于面积的比较和量算，常用于对面积精度要求较高的自然和经济地图，如地质、土壤、土地利用、行政区划等地图。

    

• 任意投影

 

任意投影长度、面积和角度都有变形的投影。

 

在任意投影中，有一种比较常见的等距投影(equidistance projection)，定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方向长度比为1。

 

任意投影多用于要求面积变形不大、角度变形也不大的地图，如一般参考用图和教学地图。

 

2、按照投影面不同，可分为圆锥投影、圆柱投影和平面投影。

 

• 圆柱投影

 

以圆柱面作为投影面，把地球上的经纬线网投影到圆柱面上，然后沿着圆柱面的一根经线剪开展成平面，就得到圆柱投影。

 

 

圆柱投影一般适用于编制赤道附近地区的地图和世界地图，该类别下拥有众多常用投影，如墨卡托投影、高斯-克吕格投影、UTM投影等。

 

 

• 圆锥投影

 

假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面沿着一条经线剪开展为平面而成。

 

 

常见的圆锥投影有Lambert（正轴等角割圆锥）投影、Albers（正轴等积割圆锥）投影，该投影适用于中纬度地带沿纬线方向伸展地区的地图，我国的地图多用此投影。

 

 

• 平面（方位）投影

 

平面投影也称为方位投影或天顶投影，是以平面作为投影面，使平面与地球表面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上所得到的图形。

 

 

方位投影主要用于制作两极地区图。

 

3、按照球面与投影面的相对位置，可分为正轴投影、横轴投影和斜轴投影

 

• 正轴投影

 

对于平面投影而言，正轴平面投影为投影面与地轴垂直。对于圆柱或圆锥投影而言，正轴投影则圆柱轴或圆锥轴与地轴重合。

• 横轴投影

 

横轴方位投影指投影面与地轴平行，横轴圆柱投影和横轴圆锥投影指的是圆柱轴和圆锥轴与地轴垂直。

 

 

• 斜轴投影

 

斜轴方位投影指的是投影面与地轴斜交；斜轴圆柱投影和斜轴圆锥投影指的是圆柱轴和圆锥轴与地轴斜交。

 

 

 04 地图投影小结

 

1、地图投影变形是球面转化成平面的必然结果， 没有变形的投影是不存在的。 

 

对某一地图投影来讲， 不存在这种变形， 就必然存在另一种或两种变形 。但制图时可做到：在有些投影图上没有角度或面积变形；在有些投影图上沿某一方向无长度变形。

 

2、投影方式多种多样，一个国家或者地区依据自己所处的制图区域位置、形状和范围、地图的比例尺、内容、出版方式来选择地图投影。

 

3、有时在大比例尺地图中，各种投影带来的误差可以忽略不计。

 

关于地图投影及其相关概念就分享到这里，文中大多数内容为参考了各方教材、文献、网络资料整理而来，难免有疏漏之处，如有发现理解不到位的地方，欢迎留言指正。

 

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参考资料：

[1] 地图投影 Map Projections，E.W.格拉法伦德等，ISBN 978-3-540-36701-7。

[2] 地图学原理与方法，王家耀，孙群等，ISBN 7-03-016498-9。

[3] 维基百科-地图投影：https://zh.wikipedia.org/wiki/地图投影。

[4] 百度百科-地图投影：https://baike.baidu.com/item/地图投影。

[5] https://www.whu-cveo.com/2018/07/26/coordinate-projection/ 。

[6] http://support.supermap.com.cn/datawarehouse/webdochelp/idesktop/features/dataprocessing/projection/AboutMapProjection.htm 。

[7] NNU_Group (2020). 任意投影, Concept & Semantic, OpenGMS, https://geomodeling.njnu.edu.cn/repository/concept/b8517263-7235-4848-9f6b-08269aea4405

 

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高斯-克吕格 (Gauss-Krüger) 投影

高斯-克吕格也称作椭圆体版本的横轴墨卡托投影，因为它与墨卡托投影类似，不同之处在于高斯-克吕格的圆柱体沿经线而不是赤道接触球体或椭圆体。通过这种方法生成的等角投影不会保持真实的方向。中央经线位于感兴趣区域的中心。这种中心对准方法可以最大程度减少该区域内所有属性的变形。此投影最适合于南北分布的地区。

球体版本的投影由 Johann H. Lambert 于 1772 年提出。使用椭圆体校正的第一个公式由 Carl F. Gauss 于 1822 年开发。高斯-克吕格名称指由 Louis Krüger 于 1912 年重新评估的椭圆体形式。高斯-克吕格坐标系和通用横轴墨卡托 (UTM) 坐标系均基于此投影，而国家平面坐标系将其用于所有南北分布的区域。各个国家/地区都将此投影用于其地形图和大比例坐标系。

投影属性
以下几个小节介绍了高斯-克吕格投影的属性。

经纬网
高斯-克吕格是一个横轴圆柱投影。赤道和中央经线投影为直线。其他经线投影为向中央经线凸出的复杂曲线。其他纬线也是复杂曲线，向最近的极点凸出。两个极点均投影为点。经纬网沿赤道和中央经线对称。由于数学不稳定性，经纬网与中央经线的夹角限制为 45°。

畸变
高斯-克吕格是一种等角地图投影。它通常不会保持真实的方向，但是角度和形状将保持最小比例。如果比例因子为 1.0，则沿中央经线的距离是精确的。如果比例因子小于 1.0，则将有两条具有精确比例的近似（使用椭圆体时）直线，且在中央经线两侧保持等距。随着距中央经线或上述两条标准线的距离加大，面积、距离和比例畸变迅速增加。畸变值沿赤道和中央经线对称。

使用方法
此投影适用于绘制范围主要南北分布的大比例或较小的区域。该投影非常常用。许多国家/地区将其用于地形图和大比例坐标系。高斯-克吕格坐标系、通用横轴墨卡托 (UTM) 和国家平面均使用此地图投影。

局限性
由于数学不稳定性，高斯-克吕格投影仅限于与中央经线成 45 度以内的投影数据。实际上，椭圆体或椭圆体上的范围应限制为中央经线两侧 10 到 12° 范围内。如果超过该范围，投影数据可能不会被投影回相同位置。球体上的数据没有这些限制。

墨卡托投影

墨卡托投影是一种等角圆柱地图投影，最初创建该投影用于精确显示罗盘方位，为海上航行提供保障。此投影的另一功能是能够以最小比例精确而清晰地定义所有局部形状。

它由 Gerardus Mercator 于 1569 年提出。投影的 Web 墨卡托变体是 web 地图和在线服务的事实标准。

投影属性
以下小节描述了墨卡托投影的属性。

经纬网
墨卡托投影是一种圆柱投影。经线是彼此平行且等距分布的垂直线，并且其在接近极点时无限延伸。纬线是垂直于经线的水平直线，其长度与赤道相同，但其间距越靠近极点越大。极点投影到无穷大，无法在地图上显示。经纬网沿赤道和中央经线对称。

畸变
墨卡托投影是一种等角地图投影。方向、角度和形状都将保持最小的比例。

此投影上绘制的任何直线都代表实际的罗盘方位。这些真实的方向线为恒向线，通常并不能反映两点间的最短距离。

沿赤道或沿割纬线的距离是正确的。

面的变形随着靠近两极地区而不断增大。例如，虽然格陵兰岛的大小只有南美洲的八分之一，但其在墨卡托投影中看上去却比南美洲更大。畸变值沿特定的平行方向相同，并且在整个赤道和中央经线上对称。

使用方法
该投影适用于绘制赤道附近地区（例如印度尼西亚和太平洋部分海域）的大比例地图。由于其具有直恒向线属性，因此建议用于标准海上航线图。其变体 Web 墨卡托投影是 web 地图和在线服务的标准。该投影经常被误用于世界地图、挂图以及 web 地图上的专题制图。

参考链接:https://pro.arcgis.com/zh-cn/pro-app/2.7/help/mapping/properties/list-of-supported-map-projections.htm

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墨卡托投影、高斯-克吕格投影、UTM投影

1． 墨卡托(Mercator)投影

墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定，假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。“海底地形图编绘规范”（GB/T 17834-1999，海军航保部起草）中规定1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1：100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。基准纬线取至整度或整分。

墨卡托投影坐标系取零子午线或自定义原点经线(L0)与赤道交点的投影为原点，零子午线或自定义原点经线的投影为纵坐标X轴，赤道的投影为横坐标Y轴，构成墨卡托平面直角坐标系。

2． 高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影和UTM（Universal Transverse Mercator）投影

1）高斯-克吕格投影性质

高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichＧauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。

该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。投影后，除中央子午线和赤道为直线外， 其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。

高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。

2）高斯-克吕格投影分带

按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2…60带。三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自 1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第 1、2…120带。我国的经度范围西起 73°东至135°，可分成六度带十一个，各带中央经线依次为75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度带二十二个。六度带可用于中小比例尺（如 1：250000）测图，三度带可用于大比例尺（如 1：10000）测图，城建坐标多采用三度带的高斯投影。

（3）高斯-克吕格投影坐标

高斯- 克吕格投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。以中央经线投影为纵轴(x), 赤道投影为横轴(y),两轴交点即为各带的坐标原点。纵坐标以赤道为零起算，赤道以北为正，以南为负。我国位于北半球，纵坐标均为正值。横坐标如以中央经线为零起算，中央经线以东为正，以西为负，横坐标出现负值，使用不便，故规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，凡是带内的横坐标值均加 500公里。由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，为了区别某一坐标系统属于哪一带，在横轴坐标前加上带号，如(4231898m,21655933m)，其中21即为带号。

（4）高斯-克吕格投影与UTM投影

某些国外的软件如ARC/INFO或国外仪器的配套软件如多波束的数据处理软件等，往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影坐标当作高斯-克吕格投影坐标提交的现象。

UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影”，是等角横轴割圆柱投影（高斯-克吕格为等角横轴切圆柱投影），圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，该投影将地球划分为60个投影带，每带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基础。UTM投影与高斯投影的主要区别在南北格网线的比例系数上，高斯-克吕格投影的中央经线投影后保持长度不变，即比例系数为1，而UTM投影的比例系数为0.9996。UTM投影沿每一条南北格网线比例系数为常数，在东西方向则为变数，中心格网线的比例系数为0.9996，在南北纵行最宽部分的边缘上距离中心点大约 363公里，比例系数为 1.00158。

高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 Xutm=0.9996 * X高斯，Yutm=0.9996 * Y高斯进行坐标转换。以下举例说明(基准面为WGS84)：

输入坐标（度）	高斯投影（米）	UTM投影（米）	Xutm=0.9996 * X高斯, Yutm=0.9996 * Y高斯
纬度值（X）32	3543600.9	3542183.5	3543600.9*0.9996 ≈ 3542183.5
经度值（Y）121	21310996.8	311072.4	(310996.8-500000)*0.9996+500000 ≈ 311072.4

注：坐标点（32,121）位于高斯投影的21带，高斯投影Y值21310996.8中前两位“21”为带号；坐标点（32,121）位于UTM投影的51带，上表中UTM投影的Y值没加带号。因坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000。

单点转换步骤如下：   

（1）选择是高斯正转换还是反转换，缺省为经纬度转换到高斯投影坐标，投影坐标单位为米。
（2）选择大地基准面，缺省北京54，如果是GPS定位数据别忘了切换为WGS84。
（3）选择分带，3度或6度， 缺省为6度。
（4）输入中央经度，20带（114°E～120°E）中央经度为117度，21带（120°E～126°E）中央经度为123度。
（5）如正向投影，选择经纬度输入数据格式，有三个选项，缺省为十进制度格式。具体

输入方式如下例：

格 式	原始纬度值	原始经度值	输入纬度值	输入经度值
十进制度	35.445901°	122.997344°	35.445901	122.997344
度分	35°26.7541′	122°59.8406′	3526.7541	12259.8406
度分秒	35°26′45.245″	122°59′50.438″	352645.245	1225950.438

（6）正投影按选定格式在“输入”栏输入经纬度值，反投影输入以米为单位的X、Y坐标值。

（7）单击“单点转换”按钮。

（8）在“输出”栏查看计算结果。

批量转换步骤如下：

（1）准备好需要转换的输入数据文件，要求是文本文件，分两列，第一列纬度值或纵向坐标值，第二列经度值或横向坐标值，两列之间用空格分开。正向投影时，纬度值及经度值格式可以有三种选择，缺省当作十进制度处理；反向投影时，纵向及横向坐标值必须以米为单位。

 下例为度分秒格式(WGS84)的6°带正投影输入数据文件 testdata.txt

      352645.245   1225950.438
      353800.402   1230000.378
      351600.519   1225959.506
      345800.101   1225959.8
      343600.336   1230000.26
      341400.018   1225959.897
      335159.17    1225959.46
      333000.08    1230000.28

（2）选择是高斯正转换还是反转换，缺省为经纬度转换到高斯投影坐标，投影坐标单位为米。

（3）选择大地基准面，缺省北京54，如果是GPS定位数据别忘了切换为WGS84。

（4）选择分带，3度或6度， 缺省为6度。

（5）输入中央经度，20带（114°E～120°E）中央经度为117度,21带（120°E～126°E）中央经度为123度。

（6）如正向投影，选择输入数据文件中的经纬度输入数据格式，有三个选项，缺省为十进制度格式。

（7）单击“批量转换”按钮。弹出打开文件对话框，输入你的数据文件名。

（8）输入转换结果文件名，单击“保存”后，程序开始进行计算。

（9）打开输出文件查看计算结果，结果分五列，第一序号,第二列输入纬度值或纵向坐标值，第三列输入经度值或横向坐标值,第四列转换后纬度值或纵向坐标值，第五列转换后经度值或横向坐标值。   

 下例为度分秒格式(WGS84)的6°带正投影转换结果数据文件 result.txt 

   1   352645.245   1225950.438    3924063.3     21499758.9
   2   353800.402   1230000.378    3944871.4     21500009.5
   3   351600.519   1225959.506    3904193.8     21499987.5
   4   345800.101   1225959.8      3870898.1     21499994.9
   5   343600.336   1230000.26     3830228.5     21500006.6
   6   341400.018   1225959.897    3789544.4     21499997.4
   7   335159.17    1225959.46     3748846.4     21499986.1
   8   333000.08    1230000.28     3708205       21500007.2

二、分带方法

我国采用6度分带和3度分带：

1∶2.5万及1∶5万的地形图采用6度分带投影，即经差为6度，从零度子午线开始，自西向东每个经差6度为一投影带，全球共分60个带，用1，2，3，4，5，……表示．即东经0～6度为第一带，其中央经线的经度为东经3度，东经6～12度为第二带，其中央经线的经度为9度。

1∶1万的地形图采用3度分带，从东经1.5度的经线开始，每隔3度为一带，用1，2，3，……表示，全球共划分120个投影带，即东经1.5～ 4.5度为第1带，其中央经线的经度为东经3度，东经4.5～7.5度为第2带，其中央经线的经度为东经6度．我省位于东经113度－东经120度之间，跨第38、39、40共计3个带，其中东经115.5度以西为第38带，其中央经线为东经114度；东经115.5～118.5度为39带，其中央经线为东经117度；东经118.5度以东到山海关为40带，其中央经线为东经120度。地形图上公里网横坐标前2位就是带号，例如：1∶5万地形图上的横坐标为20345486，其中20即为带号，345486为横坐标值。2．当地中央经线经度的计算六度带中央经线经度的计算：当地中央经线经度＝６°×当地带号－３°，例如：地形图上的横坐标为２０３４５，其所处的六度带的中央经线经度为：６°×２０－３°＝１１７°（适用于１∶２．５万和１∶５万地形图）。三度带中央经线经度的计算：中央经线经度＝３°×当地带号（适用于１∶１万地形图）。

参考链接:https://www.cnblogs.com/arxive/p/6694225.html

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一、参心坐标系与地心坐标系

1.1 参心坐标系reference-ellipsoid-centric coordinate system

是以参考椭球的几何中心为原点的大地坐标系。“参心”意指参考椭球的中心。

通常分为：参心空间直角坐标系（以x，y，z为其坐标元素）和参心大地坐标系（以B，L，H为其坐标元素）。参心坐标系是在参考椭球内建立的O-XYZ坐标系。原点O为参考椭球的几何中心，X轴与赤道面和首子午面的交线重合，向东为正。Z轴与旋转椭球的短轴重合，向北为正。Y轴与XZ平面垂直构成右手系。在测量中，为了处理观测成果和传算地面控制网的坐标，通常须选取一参考椭球面作为基本参考面，选一参考点作为大地测量的起算点（大地原点），利用大地原点的天文观测量来确定参考椭球在地球内部的位置和方向。

参心大地坐标的应用十分广泛，它是经典大地测量的一种通用坐标系。根据地图投影理论，参心大地坐标系可以通过高斯投影计算转化为平面直角坐标系，为地形测量和工程测量提供控制基础。由于不同时期采用的地球椭球不同或其定。

北京54、西安80及常见的地方坐标系均为参心坐标系。

1.2 地心坐标系geocentric coordinate system

以地球质心为原点建立的空间直角坐标系，或以球心与地球质心重合的地球椭球面为基准面所建立的大地坐标系。

以地球质心(总椭球的几何中心)为原点的大地坐标系。通常分为地心空间直角坐标系(以x，y，z为其坐标元素)和地心大地坐标系(以B，L，H为其坐标元素)。地心坐标系是在大地体内建立的O-XYZ坐标系。原点O设在大地体的质量中心，用相互垂直的X，Y，Z三个轴来表示，X轴与首子午面与赤道面的交线重合，向东为正。Z轴与地球旋转轴重合，向北为正。Y轴与XZ平面垂直构成右手系。

20世纪50年代之前，一个国家或一个地区都是在使所选择的参考椭球与其所在地区的大地水准面最佳拟合的条件下，按弧度测量方法来建立各自的局部大地坐标系的。由于当时除海洋上只有稀疏的重力测量外，大地测量工作只能在各个大陆上进行，而各大陆的局部大地坐标系间几乎没有联系。不过在当时的科学发展水平上，局部大地坐标系已能基本满足各国大地测量和制图工作的要求。但是，为了研究地球形状的整体及其外部重力场以及地球动力现象，特别是50年代末，人造地球卫星和远程弹道武器出现后，为了描述它们在空间的位置和运动，以及表示其地面发射站和跟踪站的位置，都必须采用地心坐标系。因此，建立全球地心坐标系（也称为世界坐标系）已成为大地测量所面临的迫切任务。

WGS-84、CGCS2000，都是属于地心坐标系。

二、我国常用的坐标系

2.1 北京54坐标系

北京54坐标系(BJZ54)是指北京54坐标系为参心大地坐标系，大地上的一点可用经度L54、纬度B54和大地高H54定位，它是以克拉索夫斯基椭球为基础，经局部平差后产生的坐标系。

新中国成立以后，我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。因此，1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京而是在前苏联的普尔科沃。它是将我国一等锁与原苏联远东一等锁相连接，然后以连接处呼玛、吉拉宁、东宁基线网扩大边端点的原苏联1942年普尔科沃坐标系的坐标为起算数据，平差我国东北及东部区一等锁，这样传算过来的坐标系就定名为1954年北京坐标系。

北京54采用Krassovsky 椭球参数为：

长半轴a=6378245m；

短半轴=6356863.0188m；

扁率α=1/298.3；

第一偏心率平方=0.006693421622966

第二偏心率平方=0.006738525414683

2.2 1980西安坐标系

1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议，确定重新定位，建立我国新的坐标系。为此有了1980年国家大地坐标系。1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据。

该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里，故称1980年西安坐标系，又简称西安大地原点。

基准面采用青岛大港验潮站1952－1979年确定的黄海平均海水面（即1985国家高程基准）。

西安80采用的地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据，即IAG 75地球椭球体。IAG 75椭球的参数为：长轴6378140m，短轴6356755m，扁率1/298.25722101。

在建立C80坐标系时有以下先决条件：

椭球参数采用IUG 1975年大会推荐的参数因而可得C80椭球两个最常用的几何参数为：

长半轴a=6378140±5（m）

短半轴b=6356755.2882m

扁 率α=1/298.2570

第一偏心率平方=0.00669438499959

第二偏心率平方=0.00673950181947

西安80与北京54的区别：

西安80坐标系与北京54坐标系其实是一种椭球参数的转换作为这种转换在同一个椭球里的转换都是严密的，而在不同的椭球之间的转换是不严密，因此不存在一套转换参数可以全国通用的，在每个地方会不一样，因为它们是两个不同的椭球基准。

北京54和西安80是两种不同的大地基准面，不同的参考椭球体，因而两种地图下，同一个点的坐标是不同的，无论是三度带六度带坐标还是经纬度坐标都是不同的。

2.3 CGCS2000

CGCS2000是2000国家大地坐标系，属于地心大地坐标系统，该系统以ITRF 97 参考框架为基准， 参考框架历元为2000.0。

该坐标系是通过中国GPS 连续运行基准站、 空间大地控制网以及天文大地网与空间地网联合平差建立的地心大地坐标系统。2000（中国）国家大地坐标系以ITRF 97 参考框架为基准, 参考框架历元为2000.0。

2000国家大地坐标系的大地测量基本常数分别为:

长半轴 a = 6 378 137 m;

地球引力常数 GM =3.986004418×1014m3s-2;

扁率f = 1/ 298. 257 222 101;

地球自转角速度X =7.292115×10-5rad s-1

20世纪50年代，为满足测绘工作的迫切需要 ，中国采用 了1954年北京坐标系。1954年之后，随着天文大地网布设任务的完成，通过天文大地网整体平差，于20世纪80年代初中国又建立了1980西安坐标系。随着情况的变化和时间的推移，上述两个以经典测量技术为基础的局部大地坐标系，已经不能适应科学技术特别是空间技术发展，不能适应中国经济建设和国防建设需要。中国大地坐标系的更新换代，是经济建设、国防建设、社会发展和科技发展的客观需要。

以地球质量中心为原点的地心大地坐标系，是21世纪空间时代全球通用的基本大地坐标系。以空间技术为基础的地心大地坐标系，是中国新一代大地坐标系的适宜选择。地心大地坐标系可以满足大地测量、地球物理、天文、导航和航天应用以及经济、社会发展的广泛需求。历经多年，中国测绘、地震部门和科学院有关单位为建立中国新一代大地坐标系作了大量基础性工作，20世纪末先后建成全国 GPS一、二级网，国家GPS A、B级网，中国地壳运动观测网络和许多地壳形变网，为地心大地坐标系的实现奠定了较好的基础。

国家2000与WGS-84的区别

CGCS2000的定义与WGS84实质一样。采用的参考椭球非常接近。扁率差异引起椭球面上的纬度和高度变化最大达0.1mm。当前测量精度范围内，可以忽略这点差异。可以说两者相容至cm级水平，但若一点的坐标精度达不到cm水平，则不认为CGCS2000和WGS84的坐标是相容的。

国家与北京54和西安80的区别

CGCS2000和1954或1980坐标系，在定义和实现上有根本区别。局部坐标和地心坐标之间的变换是不可避免的。坐标变换通过联合平差来实现，而一边通过一定变换模型来实现。当采用模型变换时，变换模型的选择应依据精度要求而定。对于高精度（好于0.5m）要求，可采用最小曲率法或其他方法的格网模型，对于中等精度（0.5_{5m）要求，可采用七参数模型，对于低精度（5}10m）要求，可采用四参数或者三参数模型。

三、地图投影

3.1 地图投影的概念

地图投影是利用一定数学法则把地球表面的经、纬线转换到平面上的理论和方法。

由于地球是一个赤道略宽两极略扁的不规则的梨形球体，故其表面是一个不可展平的曲面，所以运用任何数学方法进行这种转换都会产生误差和变形，为按照不同的需求缩小误差，就产生了各种投影方式。

3.2 几种不同投影方式下的世界地图

3.3 常见的投影方式

3.3.1 墨卡托(Mercator)投影

墨卡托(Mercator)投影，是一种”等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。 墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。

在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。 “海底地形图编绘规范”中规定1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1： 100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。基准纬线取至整度或整分。

墨卡托投影对透视圆筒投影改造点：要使圆筒投影称为等角的性质，必须使由赤道向两极经线逐渐伸长的倍数与经线上各点相应的纬度扩大的倍数相同。

从上图中可以看出，X轴的刻度是等距的，Y轴方向越靠近两极变形越大。假设墨卡托投影的坐标系原点为(0，lambda_0) ，表示X轴为赤道，Y轴则在经度为lambda_0处垂直于赤道。 墨卡托投影公式即为：

其中，lambda 为经度， phi 为纬度。左侧为正算，右侧为反算。

即有经纬度（ phi，lambda）对应的墨卡托平面坐标即为（xR，yR）。很明显，y方向的距离只有在赤道附近才是接近实际距离的。

3.3.2 高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影

高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名”等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichＧauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。

该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。投影后，除中央子午线和赤道为直线外， 其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。

高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。

按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2…60带。三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自 1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第 1、2…120带。我国的经度范围西起 73°东至135°，可分成六度带十一个，各带中央经线依次为75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度带二十二个。六度带可用于中小比例尺（如 1：250000）测图，三度带可用于大比例尺（如 1：10000）测图，城建坐标多采用三度带的高斯投影。

高斯投影正算公式：

高斯投影反算公式：

高斯投影坐标正反算公式的几何解释：

3.3.3 通用横轴墨卡托（UTM，Universal Transverse Merecator）投影

与高斯克吕格投影相似，将世界分为60个投影带，每带经差为6°，经度自180°W和174°W之间为起始带，且连续向东计算，带的编号系统与1:100万比例尺地图有关规定是一致的。我国的卫星影像资料通常采用UTM投影。

UTM投影为椭圆柱横正轴割地球椭球体，椭圆柱的中心线位于椭球体赤道面上，且通过椭球体质点。从而将椭球体上的点投影到椭圆柱上。两条割线圆在UTM投影图上长度无变，即2条标准经线圆。两条割线圆之正中间为中央经线圆，中央经线投影后的长度为其投影前的0.9996倍，比例因子k=投影后的长度/投影前的实际长度。则标准割线和中央经线的经度差为1.6206°，即1°37′14.244″。

UTM 经度区范围为1到60，其中58个区的东西跨度为 6°。经度区涵盖了地球中纬度范围从 80°S 到 84°N 之间的所有区域。一共有 20个UTM 纬度区，每个区的南北跨度为 8°；使用字母 C 到 X 标识（其中没有字母 I 和 O）。A、B、Y、Z 区不在系统范围以内，它们覆盖了南极和北极区。

高斯克吕格投影与UTM投影的区别：

高斯-克吕格投影与UTM投影都是横轴墨卡托投影的变种。

从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切椭圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比 0.9996。

从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1，UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000）。从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。此外，两投影的东伪偏移（False_Easting）都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移（False_Northing）为零，UTM北半球投影北伪偏移（False_Northing）为零，南半球则为10000公里。

3.3.4 兰伯特Lambert投影（正轴等角割圆锥投影）

– 适用于小于1：100万（包括1：100万)的地图。

– 最适用于中纬度的一种投影。它类似于Albers投影，不同之处在于其描绘形状比描绘面积更准确。

– 由于我国位于中纬度地区，中国地图和分省地图经常采用割圆锥投影（Lambert或Albers投影）：

中国地图的中央经线常位于东经105度

两条标准纬线分别为北纬25度和北纬47度

– 各省的参数可根据地理位置和轮廓形状初步加以判定。例如甘肃省的参数为：

中央经线为东经101度

两条标准纬线分别为北纬34度和41度

– 投影方法：

圆锥投影通常基于两条标准纬线，从而使其成为割投影。超过标准纬线的纬度间距将增加。这是唯一常用的将两极表示为单个点的圆锥投影。

也可使用单条标准纬线和比例尺因子定义。如果比例尺因子不等于1.0，投影实际上将变成割投影。

3.3.5 阿伯斯Albers投影（正轴等积割圆锥投影）

– 也称“双标准纬线等积圆锥投影”，为阿伯斯（Albers）拟定。投影区域面积保持与实地相等。

– 最适合于东西方向分布的大陆板块，不适合南北方向分布的大陆板块。

– 在处理显示400万、100万的全国数据时为了保持等面积特性，经常采用Albers投影。

上图为Albers投影的世界地图

四、坐标转换

4.1 简介

坐标转换是空间实体的位置描述，是从一种坐标系统变换到另一种坐标系统的过程。通过建立两个坐标系统之间一一对应关系来实现。通常坐标转换有平移、缩放、旋转三个方面的转换。本文只详细讲述关于旋转部分的内容。

坐标转换的过程涉及到空间坐标、平面坐标及投影。

1）三维转换：不同椭球体间转换，例如：WGS84<——>北京54, WGS84<——>西安54, 西安54<——>北京54。常采用七参数法、三参数法。

2）二维转换：同一椭球体下转换，如：北京54<——>地方坐标（该地方坐标是基于北京54建立的），常采用四参数法。

不同椭球体的坐标转换，需要用空间直角坐标来计算，采用三参数（1个点）或七参数（3个点）；同一椭球体的坐标转换，基于高斯平面坐标来计算，采用四参数（2个点），如果公共点多可以采用最小二乘法拟合，求取最佳参数。

以WGS84坐标转地方坐标系为例，其流程为：WGS84——>北京54——>地方坐标，详细步骤如下：

1）（B，L，H）84——（X，Y，Z）84，空间大地坐标到空间直角坐标的转换。

2）（X，Y，Z）84——（X，Y，Z）54，坐标基准的转换，即Datum转换。通常有三种转换方法：七参数、简化三参数、Molodensky。

3）（X，Y，Z）54——（B，L，H）54，空间直角坐标到空间大地坐标的转换。

4）（B，L）54——（x，y）54， 高斯投影正算。

5）（x，y）54——（x0，y0）54，地方坐标转换，常用四参数法。

上述1-5步骤中，所有的转换公式都是公开的，但是转换参数有些是公开的，有些是非公开的。

公开参数步骤：1、3、4步骤需要的参数都是公开的。

待解参数步骤：2、4的参数是非公开的，需要找测绘部门去转换申请，或利用同名点求取转换的参数，步骤2，采用三参数（1个点）或七参数（3个点）；步骤4，采用四参数（2个点），如果同名点多可以采用最小二乘法拟合，求取最佳参数。

坐标转换公开的参数：同一空间坐标系统，大地坐标和直角坐标的转换，空间坐标进行变换为投影坐标的参数。

坐标转换非公开的参数：不同空间坐标系统，各坐标之间的转化。

WGS84坐标转地方坐标流程图

地方坐标转大地坐标流程图（蒋小军,2010）

4.2 七参数椭球转换

七参数主要分为3类参数，旋转、缩放和平移。

缩放，表示为k，主要是由于测量误差产生的；

平移为3个坐标轴方向上的平移，表示为dX、dY、dZ，这是由于原点不一样产生的；

旋转为3个坐标轴的旋转，表示为rX、rY、rZ，这是坐标轴指向不一致产生的。

平移的单位为对应的长度单位，我们常用米；旋转的单位为秒，原因是各个坐标系间指向的差异都很小；缩放的单位是PPM（part(s) per million，百万分之一），也就是说缩放是一个特别小的数值，这是因为坐标转换前我们都会率先统一单位，所以缩放数值也就体现了测量误差等因素的影响。

以WGS84 坐标系与1980 年国家大地坐标系的转换为例：

如果用七参数法来实现，求解前必须确定控制网中各点对的距离。如果两点间距离超过15 公里，必须考虑曲面因素即两种不同坐标系的椭球参数，避免因椭球的差异，导致转换后所得坐标残差过大，精度过低，为了保证精度必须采用七参数法。如果两点的距离小于10 公里，曲面因素影响几乎可以忽略，所以采用四参数等精度较低的转换方法来转换。

七参数转换主要有以下方法：

①通过卫星定位接收机测得WGS-84 大地坐标并转换至西安80 大地坐标，再通过高斯投影将西安80 的大地坐标转换到西安80 平面直角坐标。

②通过卫星定位接收机测得WGS-84 大地坐标，先以高斯投影将其变换至同椭球下的平面直坐标X、Y、h84，之后在平面坐标系中将WGS84 下的平面坐标转换成西安80 平面直角坐标。

方法一采用的是不同大地坐标系的转换模型，七参数包括3个旋转参数、3 个平移参数和1 个尺度参数，但是考虑到两种大地坐标的椭球参数的不同，为了提高精度，减少不同椭球引起的变化，还需要增加两个变换参数。

方法二的原理是不同空间直角坐标系的转换模型，通常采用布尔沙(Bursa)模型，参数由3 个平移参数、3 个旋转参数和1 个尺度参数组成。通过GNSS 静态观测获得的WGS84大地坐标，通过转换可得同一椭球系的空间直角坐标，再结合其他椭球至少3 个已知控制点成果的公共点，采用间接平差法，通过高斯投影转换为西安80 坐标系大地坐标;最后再转换得到空间直角坐标。七参数转换公式如下：

4.3 三参数椭球转换

三参数坐标转换公式在假设两坐标系间各坐标轴相互平行，轴系间不存在欧勒角的条件下得出的。

布尔莎七参数转换模型是一个严密的转换公式。一般而言，只需已知3 个分布在空间的不同公共点，便能解算出其可靠的转换参数。若公共点分布区域较小，将导致平移参数与旋转参数间的强相关性，使其系数矩阵的条件数变大，从而影响转换参数解的稳定性。

因此，将七参数模型中的旋转参数与缩放比例尺度参数忽略，可得到适用于小区域范围的三参数转换模型：

式中，(XT，YT，ZT) 为新坐标系坐标;(X0，Y0，Z0) 为原坐标系坐标;(dx，dy，dz)T 为坐标转换平移参数。该模型只需要一个公共点便可求解出转换的平移参数，若公共点个数大于1，平移参数可设定为公共点坐标的平均值。

一般区域范围不大，最远点间的距离不大于30km（经验值）情况下的坐标转换，可以采用三参数。

4.4 四参数椭球转换

在布尔沙七参数转换的基础上，若只省略3 个旋转参数，可得到布尔莎四参数转换模型：

式中，(XT，YT，ZT) 为新坐标系坐标;(XG，YG，ZG) 为原坐标系坐标;(dx，dy，dz)T 为坐标转换时的3 个坐标平移参数;K 为缩放比例尺度参数。该模型只需要2 个公共点便可求解出转换的平移参数。

4.5 平面四参数转换

在一个椭球的不同坐标系中的平面坐标之间转换转换则会用到平面转换。目前一般分为四参数和平面网格拟合两种方法，以四参数法在国内用的较多。

四参数计算至少要有2个已知平面直角坐标点，四参数公式如下：

在该公式中有四个未知参数，即：

（1）两个坐标平移量（△X，△Y），即两个平面坐标系的坐标原点之间的坐标差值。

（2）平面坐标轴的旋转角度A，通过旋转一个角度，可以使两个坐标系的X和Y轴重合在一起。

（3）尺度因子K，即两个坐标系内的同一段直线的长度比值，实现尺度的比例转换。通常K值几乎等于1。

四参数的数学含义是：用含有四个参数的方程表示因变量（y）随自变量（x）变化的规律。

具体实现过程中，一般不会只有两个已知点，因此四参数求解出来之后，需要把X、Y的中误差以及每个点的X残差和Y残差，如果残差大于3倍中误差则将该点剔除，重新计算四参数。

五、高程拟合

5.1 高程拟合简介

通过GPS相对定位得到的三维基线向 量进行网平差， 可得到高精度的大地高，但在实际应用中采用的是正常高，大地高是以椭球面为基准的高程系统， 而正常高是以似大地水准面为基准。GPS数据处理需要确定各未知点的大地高 H与正常高程h之间的关系，然后，用一定方法将大地高H转换为正常高h。大地高与正常高的关系为：

ξ ＝ H － h

式中， ξ 为高程异常。

显然，能够精确求出各未知点的高程异常ξ，就能够通过大地高求出各点的正常高。精确计算各未知点的高程异常，主要有重力场模型和GPS高程拟合两种方法。

小区域范围内，常采用GPS高程拟合的方法计算GPS点的正常高，主要的拟合法有等值线图示法、狭长带状区域线性拟合法、解析内插法、曲面拟合法（包含多项式曲线拟合法、平面拟合法、移动曲面法）、固定差改正法等。一般基于使用便捷的考虑，常用的GPS高程拟合方法有二次曲面拟合法、平面拟合和固定差改正。

5.2 二次曲面拟合法

5.3 平面拟合

在小区域内，利用平面逼近局部似大地水准面来代替曲面，设公共点的高程异常为ξi，相应平面坐标为（xi，yi） ，则有

计算方法与二次曲面拟合相同，只是至少需要３个公共点的高程异常ξi和平面坐标（xi，yi）来求解式中的３个未知参数。由于平面拟合法是利用平面局部逼近似大地水准面，该方法适合在小区域且较为平坦的范围内使用。

5.4 固定差改正

固定差改正法高程平差计算是利用GPS计算的已知点大地高H与该点的正常高h，采用公式ξ＝H－h ，计算各已知点高程异常值ξ，然后取其平均值，作为未知点的高程异常值，从而利用h＝H－ξ来计算各个未知点的正常高。

固定差改正方法不够严密，谈不上是拟合高程，连最早的绘等值线图法内插的精度都达不到。直接将未知点的自由网平差的高程全部统一减去一个常数（ 已 知点高程差值的算术平均值）而得到二维约束平差的高程，显然得到的高程精度不会很高。

5.5 移动曲面拟合法

移动曲面拟合法是一种局部逼近法，其基本思想是以一个内插点为中心，利用内插点周围数据点的值，建立一个拟合曲面，使其到各个数据点的距离之加权平方和为极小，而这个曲面在内插点上的值就是所求的内插值。

设P为内插的点，下面对P构造相应的曲面。本文取如下的二次多项式曲面为例：

 设选取数据点的坐标为（xi，yi），i=1，2，…，n；n大于等于6且内插点P的坐标为（xp，yp），将（xi，yi）改化到以P为原点的局部坐标系中，即：

形成新的坐标

为移动坐标。

任一点数据（xi，yi）假设距离d的递减函数为：

将w（d）作为权函数，对每个数据点赋予权wi，这里wi不是代表数据点的观测精度，而是反映该点与内插点的相关程度的大小，因此，权wi确定的原则应该是与该数据点和内插点的距离di有关，di越小，对内插点的影响越大，则权越大，反之同理。

最后，由最小二乘法解如下带权的极小值问题：

为了给出下面这个二次多项式曲面

的系数，需要选取P点周围的数据点。当点数不够多时，则应扩大R的值。假设有n个数据点的值，可得到如下的方程式：

由此得系数ai=（i=1，2，…，n），从而得到所对应的的二次曲面方程，进而得到所求内插点的高程异常值。

5.6 中误差评定

已知点高程中误差是利用自由网平差中得到的高程减去已知点高程得到的差值，然后取其差值的算术平均值，再将各个已知点的差值减去该算术平均值，然后取其绝对值作为该已知点的高程中误差。而未知点的高程中误差评定是通过使用不同数量的已知高程控制点进行平差计算结果统计分析，最后得出未知点高程中误差是采用已知点高程中误差下式计算而得：

式中，M是未知点中误差，单位为ｍｍ；V是已知点中误差，单位为ｍｍ；n是已知点个数。从上式中可知：当只有１个已知高程点时，计算的未知点中误差为 ０；有２个已知高程点时，计算的未知点中误差就是已知点中误差的平均数， 且已知点和未知点中误差相同；有３个以上的已知高程点时，计算的未知点中误差随已知点数量的增加而减小。已知高程控制点数量越多精度越高。

参考链接：http://www.hydro-info.com/?p=518