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  • 1.中心极限定理:大量独立随机变量的和经过适当标准化后趋近于正态分布,这变量的原分布无关,有独立同分布的中心极限定理和独立不同分布的中心极限定理 2.独立同分布的中心极限定理: 设随机变量X1,X2,...Xn...

    2018.08.19更新

    1.中心极限定理:大量独立随机变量的和经过适当标准化后趋近于正态分布,这与变量的原分布无关,有独立同分布的中心极限定理和独立不同分布的中心极限定理

    2.独立同分布的中心极限定理:

    设随机变量X1,X2,...Xn独立同分布,且具有有限的数学期望和方差,E(Xi)=µ,D(Xi)=σ^2,则满足

    当n很大时,近似服从标准正态分布N(0,1),即服从N(nµ,nσ^2),该定理是中心极限定理最简单也最常用的一种形式。在实际工作中,只要n足够大,就可以将独立同分布的随机变量之和当作正态变量(在处理大样本时,非常有用)

    3.棣莫佛-拉普拉斯定理:

    设随机变量Xn(n=1,2...)服从二项分布B(n,p)的二项分布,则对任意的有限区间(a,b],满足

    正态分布是二项分布的极限形式,当实验次数足够多时,可以利用以上公式来计算二项分布概率

    4.不同分布的中心极限定理:

    设随机变量X1,X2...Xn独立但不同分布,且,

    5.大数定理:

    6.贝努力大数定理:

    设Na是n次独立重复事件A发生的次数,p为事件A的发生概率,则对任意正数ε>0,存在

    7.辛钦大数定理:

    设随机变量X1,X2,...Xk相互独立且服从相同分布,期望E(Xk)=µ,则对于任意正数ε,存在

    若随机变量序列X1,X2,...Xk,存在常数a,对任意正数ε>0,存在

    则称Xk依概率收敛于a

    8.切比雪夫不等式:

    设随机变量X具有数学期望E(X)=µ,方差σ^2,则对任意给定的\varepsilon>0,有

    #二项分布模拟拉普拉斯定理
    tian<-function(m=100,n=10,p=0.5){z=rbinom(m,n,p);x=(z-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));hist(x,prob=TRUE,breaks=20)}

     

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  • 1. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式可以对随机变量偏离期望值的概率做出估计,这是大数定律的推理基础。以下介绍一个对切比雪夫不等式的直观证明。1.1 示性函数对于随机事件A,我们引入一个示性函数 ,即一次试验中,...

    b31c6d46c635197858d83ccf241a5add.png

    学习阶段:大学数学。

    前置知识:微积分、随机变量、数学期望、方差。

    1. 切比雪夫不等式

    切比雪夫不等式可以对随机变量偏离期望值的概率做出估计,这是大数定律的推理基础。

    以下介绍一个对切比雪夫不等式的直观证明。

    1.1 示性函数

    对于随机事件A,我们引入一个示性函数

    ,即一次试验中,若A发生了,则
    的值为1,否则为0.

    现在思考一个问题:这个函数的自变量是什么?

    我们知道,随机事件在做一次试验后有一个确定的观察结果,称这个观察结果为样本点

    ,所有可能的样本点的集合称为
    样本空间
    . 称
    的一个子集
    为随机事件。

    例如,掷一个六面骰子,记得到数字k的样本点为

    ,则
    ,随机事件“得到的数字为偶数”为
    .

    由此可知,示性函数是关于样本点的函数,即

    (试验后)

    在试验之前,我们能获得哪个样本点也未知的,因此样本点也是个随机事件,记为

    ,相应地示性函数可以记为

    (试验前)

    在试验之前,

    值也是未知的,因此
    是个二值随机变量。这样,我们就建立了随机事件A和随机变量
    之间的一一对应关系。

    求数学期望可得

    是什么?是样本点落在A里面的概率,也就是A事件发生的概率
    ,由此我们就得到了示性函数很重要的性质:其期望值正是对应的随机事件的概率,即

    1.2 马尔可夫不等式

    对于非负的随机变量

    和定值
    ,考虑随机事件
    ,我们可以画出示性函数
    关于观察值x的图像,如图1所示:

    f7493d5954c01459857aff14e6fb8f8f.png
    图1

    容易发现

    恒成立。把x换为随机变量X,再对该式取数学期望得

    称该不等式为马尔可夫Markov不等式

    从理解上来说,如果非负随机变量X的期望存在,则X超过某个定值a的概率不超过

    . 举个简单的例子:如果我们知道所有人收入的平均数a,那么随机抽一个人收入超过10a的概率不超过10%.

    根据图1中两个函数的差距,我们大致能理解这个不等式对概率的估计是比较粗糙的。

    1.3 切比雪夫不等式

    对于随机变量

    ,记
    ,考虑随机事件
    ,其示性函数的图像如图2所示:

    6aa31a7880731a796dcabb7d22064e30.png
    图2

    易知

    恒成立。将该式的x换成X并取数学期望得

    称上面这个不等式为切比雪夫Chebyshev不等式

    从理解上来说,如果随机变量X的期望和方差存在,则X和期望值的距离大于a的概率不超过

    . 给定的范围越大(a越大),或X的方差越小,则偏离的概率越小,这和直觉是相符的。

    同样地,切比雪夫不等式对概率的估计也比较粗糙。


    以下再给出一个书本上常见的切比雪夫不等式的证明:

    为随机变量
    的概率密度函数,则

    上式求的是图3中阴影部分的面积。

    90a1a60366f11839428abcee27e74395.png
    图3

    显然,在积分范围内恒有

    ,故

    被积函数是非负的,x轴上一部分的积分必然不大于整个x轴上的积分,故

    证毕。

    2. 大数定律

    对于一系列随机变量

    ,设每个随机变量都有期望。由于随机变量之和
    很有可能发散到无穷大,我们转而考虑随机变量的均值
    和其期望
    之间的距离。若
    满足一定条件,当n足够大时,这个距离会以非常大的概率接近0,这就是大数定律的主要思想。

    定义:

    任取

    ,若恒有
    ,称
    服从(弱)大数定律,称
    依概率收敛于
    ,记作

    每个“大数定律”其实都是定理,需要证明,只是大家习惯叫他定律罢了。

    这里只讨论弱大数定律,并且把弱大数定律简称为大数定律。

    2.1 马尔可夫大数定律

    任取

    ,由切比雪夫不等式知

    由此得到马尔可夫大数定律

    如果

    ,则
    服从大数定律。

    2.2 切比雪夫大数定律

    在马尔可夫大数定律的基础上,如果

    两两不相关,则方差可以拆开:

    如果

    有共同的上界c,则

    由此得到切比雪夫大数定律

    如果

    两两不相关,且方差有共同的上界,则
    服从大数定律。

    2.3 独立同分布大数定律

    在切比雪夫大数定律的基础上,进一步限制

    独立同分布,立刻得到
    独立同分布大数定律

    如果

    独立同分布且方差有界,则
    服从大数定律,即

    2.4 伯努利大数定律

    根据经验,在做了大量独立重复实验后,某随机事件A发生的频率与概率往往会十分接近,这正是大数定律在发挥作用。

    记第k次试验中A的示性函数为

    ,则所有n次试验中A发生的频数是
    ,频率是
    ,易知

    又知这n个

    独立同分布且方差有界,由独立同分布大数定律知
    服从大数定律,这就是
    伯努利Bernoulli大数定律

    为n次伯努利实验中事件A发生的次数,记p为事件A发生的概率,则

    伯努利大数定律是最早被发现的大数定律,因为这是生活中最容易发现的规律。

    2.5 辛钦大数定律

    以上2.1至2.4的大数定律都对

    的方差有所约束,而接下来的
    辛钦Khinchin大数定律可以完全不考虑方差:

    如果

    独立同分布且具有有限的数学期望
    ,则
    服从大数定律。

    这个定理的证明需要用到随机变量的特征函数,前置知识较复杂,此处不予证明。

    3. 中心极限定理

    大数定律研究的是一系列随机变量

    的均值
    是否会依概率收敛于其期望
    这个数值,而中心极限定理进一步研究
    服从什么分布。若
    满足一定的条件,当n足够大时,
    近似服从正态分布,这就是中心极限定理的主要思想,这也体现了正态分布的重要性与普遍性。

    3.1 林德贝格-勒维/独立同分布中心极限定理

    如果

    独立同分布,且
    ,则n足够大时
    近似服从正态分布
    ,即

    上述定理就是林德贝格-勒维Lindeberg-Levy中心极限定理,又称独立同分布中心极限定理

    这个定理的证明也需要用到随机变量的特征函数,此处不予证明。

    这个定理是容易理解、记忆的。首先记住

    的均值
    近似服从正态分布,接下来只需要解出这个正态分布的期望和方差。期望有

    方差有

    那么

    近似服从的正态分布就是
    ,归一化后的随机变量
    近似服从标准正态分布
    .

    3.2 棣莫弗-拉普拉斯/二项分布中心极限定理

    棣莫弗-拉普拉斯De Moivre-Laplace中心极限定理是独立同分布中心极限定理的特殊情况,它是最先被发现的中心极限定理。

    设随机变量

    服从二项分布
    ,其中n指n重伯努利试验,p指概率。
    可视为n个独立同分布的01分布随机变量的和,满足独立同分布中心极限定理的条件。因为
    ,当n足够大时
    近似服从正态分布
    ,即

    该定理表明:当试验次数n足够大时,二项分布近似于正态分布。

    *3.3 独立不同分布下的中心极限定理

    长度、重量、时间等等实际测量量一般符合正态分布,因为它们受各种微小的随机因素的扰动。这些随机因素的独立性是很普遍的,但很难说它们一定同分布。

    实际上,一系列独立不同分布的随机变量也可能满足中心极限定理,只是这些不同分布的随机变量要有所限制。以下给出两个独立不同分布下的中心极限定理,不予证明,仅供欣赏:

    林德伯格中心极限定理

    是一系列相互独立的连续随机变量,它们具有有限的期望
    和方差
    ,记
    ,记
    的密度函数是
    ,若

    林德伯格中心极限定理对

    的约束基本上是最弱的,也就是最强的中心极限定理。然而该定理的条件较难运用与验证,以下的定理是它的特例:

    李雅普诺夫Lyapunov中心极限定理

    是一系列相互独立的随机变量,,若

    李雅普诺夫中心极限定理的条件在很多情况下是满足的,因此适用性也很广。

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  • 如题:2019年10月 分析:没看这部分的内容。 答案:23、考切比雪夫不等式,详见问题2。指数分布数学期望是=1/0.5=2 方差是...而中心极限定理指随机变量极限分布符合正态分布。 2、什么是切比雪夫不等式??相比之.

    如题:2019年10月

    分析:没看这部分的内容。

    答案:23、考切比雪夫不等式,详见问题2。指数分布数学期望是\frac{1}{\lambda }=1/0.5=2  方差是\frac{1}{\lambda ^{2}}=4,题目给出的是绝对值大于某个数,所以P概率要小于是D(x)/\xi ^{2}=4/16=\frac{1}{4}

               22、考的中心极限定理,详见问题4。二项分布 E(x)=np=100*0.5=50 ,\sigma=\sqrt{D(x))} =\sqrt{np*(1-P)}=5,没有告诉是一堆随机变量相当,只告诉n>50(也就是n很大),所以符合定理2。\frac{50-50}{5}<\frac{Yn-50}{5}<\frac{60-50}{5}\approx\Phi(2)-\Phi(0)=0.9772-0.5=0.4772.    \Phi(0)=0.5??这个可以从标准正态分布的图形上来看,因为是关于x=0对称的,所以面积占了总面积的一半。

    1、两大定量的意义是什么??

    概率论本身是建立在大量数据观察的基础上的,抽象一下就是极限,而这两个是关于极限的定理。大数定理指随机变量的算术平均值具有稳定性,这与前面概率的本质是频率的稳定值是一个意思。而中心极限定理指随机变量极限分布符合正态分布。

    2、什么是切比雪夫不等式??相比之下,里面的图更容易理解些。

    有什么用呢,用来估计某个随机变量的取值是落在某个区间上的概率。也就是利用数学期望和方差来估计X概率范围,不需要知道x的分布。等价形式比较重要因为概率极大值情形下也就是\xi取很大,\frac{D(x))}{\xi ^{2}}取决于方差了,当方差越小,1-\frac{D(x))}{\xi ^{2}}就越大,落在区间概率就越大。但肯定服从正态分布的,所以切比雪夫不等式也揭示了,概率肯定是落在某个区间内的。

    3、大数定理,基本不考。

    4、中心极限定理??很重要。就两个内容。

    • 当随机变量充大的时候,近似服从正态分布
    • 一堆随机变量作和,当个数充分多时,也服从正态分布

    具体的定理如下:

    一堆随机变量做和时,n足够大服从正态分布

    n充分大,近似看成正态分布

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  • 第四章切比雪夫不等式、大数定理、中心极限定理

    万次阅读 多人点赞 2017-05-04 22:51:16
    切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E(X)=μE(X)=\mu,方差D(X)=σ2D(X)=\sigma ^2,对于任意ε>0\varepsilon >0,都有P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2P\{|X-\mu| \ge \varepsilon\} \le \dfrac{\sigma ^2}{\varepsilon...

    切比雪夫不等式

     设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,对于任意ε>0,都有

    P{|Xμ|ε}σ2ε2

     这里写图片描述

    方差越大,X落在区间外的概率越大,X的波动也就越大,与方差的意义统一了。等价公式

    P{|Xμ|<ε}1σ2ε2

    适用范围

      期望、方差都存在的随机变量。

    用途

      对于随机变量落在期望附近区域内(或外)给出一个界的估计。

    证明

      证明的要点是意识到D(X)=E((Xμ)2)

    大数定律

      随机事件A的频率fn(A)当重复试验的次数n增大时,总是呈现出稳定性,稳定在某一个常数附近。频率的稳定性是概率定义的客观基础。
      随机变量与随机变量序列的区别看这里。感觉上:随机变量序列是多次随机试验结果写成数组形式。

    辛钦大数定律

      设X1,X2...Xn是相互独立且服从同一分布的随机变量序列,且具有数学期望E(Xk)=μ,k=1,2,3…。则对于ε>0,有

    limn>+P{|1nk=1nXkμ|<ε}=1

      |1nnk=1Xkμ|<ε是一个随机事件。辛钦大数定律描述的是独立同分布且具有均值μ的随机变量X1,X2...Xn,当n很大的时候,它们的算术平均值1nnk=1Xk很可能接近于μ

    依概率收敛

    定义

      设Y1,Y2,...Yn为一个随机变量序列,c为一常数,若对于ε,均有limn>+P{|Ync|ε}=0成立,则称随机变量序列{Yn,n>1}依概率收敛于c,记为Yn>c(这里记号有问题,表示不出来),当n>+
     

    性质

     若Xn>a(依概率),Yn>b(依概率),当n>+时,函数f(x,y)在点(a,b)处连续,那么g(Xn,Yn)>g(a,b)(依概率),当n>+时。

    辛钦大数定律第二种写法

     设X1,X2...Xn是相互独立且服从同一分布的随机变量序列,且具有数学期望E(Xk)=μ,k=1,2,3…。则序列X¯¯¯=1nnk=1Xk依概率收敛于μ。记为X¯¯¯>μ(依概率)。
     说明:相当于辛钦大数定律使用依概率收敛写了一次。
     辛钦大数定律指出随机变量X的数学期望的近似值的方法:将随机变量独立重复地观察n次,记第k次的观测值为Xk,可将n次观测值的算术平均值作为期望的近似。

    切比雪夫大数定律

     X1,X2...Xn是相互独立的随机变量,且具有相同的期望μ,相同的方差σ2,那么1nni=1Xi>μ(依概率)。
     

    伯努利大数定律

     设fn(A)是n次独立重复试验中时间A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意正数ε>0。有

    limn>+P{|fAnp<|ε}=1
    ,也可以表示为fn(A)np(依概率)。
     伯努利大数定律指出当试验次数很大的时候可以用频率代替概率。

    三个大数定律的比较

    定律 分布情况 期望 方差 结论
    辛钦大数定律 相互独立且同分布 存在 估算期望
    切比雪夫大数定律 相互独立 相同 相同 估算期望
    伯努利大数定律 二项分布 相同 相同 频率=概率
    相同点:n>+,依概率趋近 条件组件变得严格

    中心极限定理

      有许多随机变量,它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响形成的,其中每一个的因素在总影响中所起的作用都是微小的。这种随机变量往往近似的服从正态分布。
      中心极限定理(central limit theorem)是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量累积分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件。(引用)

    独立同分布的中心极限定理(CLT)

      设随机变量X1,X2...Xn相互独立且同分布,E(Xi)=μD(Xi)=σ2,i=1,2,…,则对于充分大的n,有ni=1Xi()N(nμ,nσ2)。此时P(a<ni=1Xi<b)ϕ(bnμnσ)ϕ(anμnσ)1nni=1Xi()N(μ,σ2n)

    德莫佛-拉普拉斯定理

      记nA为n重伯努利试验中事件A发生的次数,并记事件A在每次试验中发生的概率为p,则对于充分大的n有nA()N(np,np(1p))

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中心极限定理与切比雪夫定理