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  • 中心极限定理 正态分布

    千次阅读 2019-05-13 22:04:47
    正态分布与中心极限定理(中心极限定理正态分布的一个前置知识) 如果误差可以看作许多微小量的叠加,则根据中心极限定理(用样本的平均值估计总体的期望),随机误差理所当然服从正态分布; 假设一随机变量X服从...
    • 学习中心极限定理,学习正态分布,学习最大似然估计

    • 最优化理论及方法

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    • 概率论

    • 参数估计

    • 正态分布与中心极限定理(中心极限定理是正态分布的一个前置知识)

      • 如果误差可以看作许多微小量的叠加,则根据中心极限定理(用样本的平均值估计总体的期望),随机误差理所当然服从正态分布;

      • 假设一随机变量X服从一个期望和方差分别为
        μ 和 σ 2 \mu{和}\sigma^2 μσ2
        的正态分布,概率密度函数为
        f ( x ) = 1 2 π σ exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) f(x)=2π σ1exp(2σ2(xμ)2)
        则可以记为
        X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu, \sigma^2) XN(μ,σ2)
        图例表示
        Standard Normal Distribution

      • 正态分布为何如此常见?其真正原因是中心极限定理 (Central Limit theorem),如果一个事物受到多种因素的影响,无论每个因素本身服从什么分布,这些因素加总后,结果的平均值就是正态分布;

      • 正态分布值适合于各种因素叠加的情况,如果这些因素不是彼此独立的,会相互加强影响,则就不会服从正态分布。如果各种因素对结果的影响不是相加,而是相乘,则最终结果将会是对数正态分布.

    • 最大似然估计贝叶斯推理 (新增专题 · 待完善)

      • 参数的意义
    • 最大似然估计的直观解释

      • 最大似然估计的计算
    • MLE

      • 对数似然估计
    • 最大似然估计是否总能得到精确解?

      • 为何称作“ 『最大似然』or 『最大可能』”,而不是『最大概率』?
    • 最小二乘参数估计和最大似然估计的结果相同的条件是什么?

      • 贝叶斯定理
        • 定义
        • 举例
      • 为何贝叶斯定理能结合先验概率
      • 贝叶斯推理
    • 定义

      • 使用贝叶斯定理处理数据分布
      • 贝叶斯定理的模型形式
      • 贝叶斯推断示例
      • 何时 最大后验概率 (Maximum A Posteriori) MAP 估计 与 最大似然 (Maxmium Likelihood Estimation MLE) 估计相等?
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  • 数据分析中正态分布的作用 正态分布的作用 正态分布准确地说什么是标准离差?它用最标准方式表达的期望值(标准差)的离差。 第一步是收集一系列教据和决定你的期望值是多少。 例如找们讨论的抛两个般子的情况.你...

    数据分析中正态分布的作用

    正态分布的作用

    正态分布准确地说什么是标准离差?它用最标准方式表达的期望值(标准差)的离差。
    第一步是收集一系列教据和决定你的期望值是多少。
    例如找们讨论的抛两个般子的情况.你可能期望得到一个综合值等于7点的结果。然而你可能得到的不是7。我们抛般子50次并记录结果,最后得到期望分布。

    再比如说你要对班级成绩的数据进行抽样调查,得到的就是班级成绩的一个整体分布,学的特别好的人肯定是少数,学的不好的人肯定也是少数,所有学的一般的肯定占据这个班上人数的一大半,所以在一个大的区间还是一个小的区间都是可以从一定的程度上反应出班级的整体的收教育的程度的。
    如果得到的是这个班级的成绩主要都是在70到80分之间(100的满分),和主要成绩在60到90之间,这样就可以得到不同的结论。
    百度随便扒的图片
    从这样一个正态分布曲线,我们可以看出最高点就是这份数据的平均值,正态曲线的陡峭或扁平程度则是由标准差决定的,标准差越小,曲线越陡峭;标准差越大,曲线越扁平。

    正态分布具有以下几个特性:

    集中性:曲线的最高峰位于正中央,且位置为均数所在的位置。
    对称性:正态分布曲线以均数所在的位置为中心左右对称且曲线两段无线趋近于横轴。
    均匀变动性:正态分布曲线以均数所在的位置为中心均匀向左右两侧下降。
    面积恒等:曲线与横轴间的面积总等于1。

    正态分布公式详解

    在这里插入图片描述
    从公式上可以看出,正态分布有平均数和标准差决定的

    这里提一个容易混淆的两个概念,平均值和期望,很多时候我们都会认为这是同一个东西,实际上平均值属于数理统计,期望则是属于概率论,但是二者都是对总体趋势的一种度量。
    数学期望常称为“均值”,即“随机变量取值的平均值”之意,当然这个平均,是指以概率为权的加权平均。数学期望是由随机变量的分布完全决定。
    大数定理:当样本量N趋近无穷大的时候,样本的平均值无限接近数学期望

    标准正态分布面积比例计算

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    首先我们要知道的是轴与正态曲线之间的面积恒等于1,然后我们对x轴上的值做标准化处理
    (x-均值)/标准差=x的标准化(标准正态分布的x值)。
    然后将标准化的值拿到标准正态分布表里去查对应的值,最后1-表对应值得到x所占整个数据的比例。

    标准正态分布是正态分布的一种,平均数为0,标准差为1。

    中心极限定理

    中心极限定理的概念:中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。我每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样,一共抽 m 次。 然后把这 m 组抽样分别求出平均值。 这些平均值的分布接近正态分布。

    举个简单的例子:现在我们要统计全国的人的成年男性身高,看看我国平均成年男性身高是多少。但是我们把全国所有人的成年男性身高都调查一遍是不现实的。所以我们打算一共调查1000组,每组50个人。 然后,我们求出第一组的成年男性身高平均值、第二组的成年男性身高平均值,一直到最后一组的成年男性身高平均值。
    根据中心极限定理说:这些平均值是呈现正态分布的。并且,随着组数的增加,效果会越好。最后,当我们再把1000组算出来的平均值加起来取个平均值,这个平均值会接近全国平均成年男性身高。

    中心极限定理有几点需要注意:总体本身的分布不要求正态分布,但是最后算出来的平均值却会接近正态。
    还有就是样本每组要足够大,但也不需要太大,一般认为,每组大于等于30个,即可让中心极限定理发挥作用。

    离散型随机变量与连续型随机变量

    离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。
    变量取值只能取离散型的自然数,就是离散型随机变量。例如,一次掷20个骰子,k个骰子面朝6,k是随机变量。k的取值只能是自然数0,1,2,…,20,而不能取小数3.5、无理数,因而k是离散型随机变量。

    如果变量可以在某个区间内取任一实数,即变量的取值可以是连续的,这随机变量就称为连续型随机变量。例如,地铁每5分钟一班,某人在站台等车时间x是个随机变量,x的取值范围是[0,5),它是一个区间,从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、无理数等,因而称这随机变量是连续型随机变量

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  • 之前看概率论的书,谈到正态分布的第一个反应就是那个看起来很随便的突起的曲线,以及现实生活中好像有很多东西都符合正态分布,除此之外就再没有别的理解了,直到最近看书才慢慢体会到了概率中藏着的很多秘密。...

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    之前看概率论的书,谈到正态分布的第一个反应就是那个看起来很随便的突起的曲线,以及现实生活中好像有很多东西都符合正态分布,除此之外就再没有别的理解了,直到最近看书才慢慢体会到了概率中藏着的很多秘密。

    封面:电影《盗梦侦探Paprika》


    某天小王同学突然被告知他是某个远方的亲戚的唯一继承人,这个亲戚给了他两个选择,要么完成某个挑战获得300亿的遗产,要么轻松拿着1000万回家,但是挑战很难,完成挑战的概率是1/2000,那么如果你是小王会怎么选择呢?

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    如果你是个很聪明的人,你一定会拿出计算器来算算数学期望:

    1/2000 * 300000000000 = 1500W > 1000W

    你发现还是完成挑战的期望高,所以义无反顾的选择了接受挑战,但事实上是你想多了。可是明明期望更高,为什么你会一分钱都得不到呢?不是因为你并不是男主角,而是你真的不懂概率。

    1. 方差与标准差

    很多时候在我们做出决策时,只考虑期望是不够的,在这个世界上既有不喜欢冒险追求稳定的人,也有倾向于通过冒险一次性获得巨大收益的人,因此我们在这里引入了描述分布性质的第二个指标,方差。

    当我们在考虑一个随机变量的取值时,即使它的期望值是

    ,但是它的取值并不一定就等于
    ,为此我们需要计算它与E(X)的差距,因此我们定义了方差:

    为什么方差是个期望?

    方差跟期望一样是个固定的用来描述分布的值,是分布的属性,是固定不变的。

    为什么要用平方?而不是用绝对值或者别的?

    平方的话对应的曲线是平滑的,可以求导或者微分。

    方差描述的就是分布的离散程度,方差越大分布越散乱,越小分布就越集中(稳定),当方差等于0时就意味着

    始终相同,即分布不含有任何随机的成分。

    根据描述小王的第一种抉择是符合伯努利分布的,我们可以计算一下其方差。

    E(X-E(X)^2)
    = (X1-E(X)^2)P(X1) + (X2-E(X)^2)P(X2)
    = (30000000-15000000)^2 * 1/2000 + (0-15000000)^2 * 1999/2000
    = ....自己算吧

    可是,我们拿到了这么大一个数,怎么去衡量到底数据的离散程度呢?如果一个分布A的方差是100,另一个分布B的方差是1,那么A比B的分散程度要扩大了100倍吗?其实只有十倍。

    因为我们计算的时候是用的平方距离来衡量,所以我们必须引入方差的平方根——标准差,来衡量数据的离散程度(这也许就是在提取特征时大家更喜欢使用标准差而不是方差的原因)。

    方差和标准差还有一些性质,例如加常量后方差不变,乘以n后方差变成原来的n^2倍,标准差变成n倍。

    根据这个性质,我们可以把不同分布的数据做做一个标准化,让它们的方差变为1,期望变为0,这样做的好处一个是可以均衡各个特征对模型的影响,另一个好处是可以加快迭代的速度。具体的方法是令

    说些题外话,上面的标准化方法叫做Zscore,但是这个方法会消除数据的分布信息,体现的是数据中各个样本的差异,需要确保特征提供的信息不包括于方差和期望。

    2. 大数定律

    大数定律的定义想知道的自己去wiki看,我自己的理解就是当事情发生的多了这些事情的平均值就会趋于稳定,例如你抛一次硬币无法预知它的结果,但是你抛20次就会发现正反的次数近似相同,苏联科学家弗谢沃洛德·叶瓦诺维奇·罗曼诺夫斯基曾经抛硬币80640次,正面的结果是39699次,概率在0.492。

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    虽然是个大家都明白的道理,但是证明起来却很麻烦。

    对于随机变量

    ,他们的平均值

    均值的期望为

    假设各个变量遵循独立同分布,那么

    那么

    那么

    假设各个变量遵循独立同分布,那么

    当n趋近于无穷大时,

    ,此时不存在随机性,平均值收敛于期望。

    证毕。

    如果看过我之前写的那片平行宇宙的玄学文的话,这里就是我们这些处于同一个平行宇宙的凡人唯一的机会去了解掌握所有平行宇宙真理的唯一机会了吧。

    3. 正态分布

    正态分布是我们最熟悉不过的分布了,它也被称为高斯分布,在大多数人眼里它是这样的:

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    我们在高中就学了正态分布的概率密度函数:

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    但是大部分人估计第一次见都很蒙蔽,然后一直把它背下来,直到现在也不知道是啥意义,也不知道为什么要这么写。

    首先我们先拿出标准正态分布的概率密度函数,这个要顺眼一些:

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    前面就是个系数,我们看后面的

    这一部分是一个平方的指数的结构,那么就意味着首先它是左右对称的(平方特征),然后里面x越大整体就越小,x为0时

    为1且是最大值,如果给它求个导数会发现导数在0附近时接近于0,所以看起来就是这么个熟悉的形状。

    那么前面的系数的怎么回事呢?我猜是为了凑概率密度的积分为1吧。(此处可以用高斯积分推导)

    可是里面e的指数为啥要除以2呢?据说这里是为了让方差恰好为1,也就是是我们看到的最大最小的值差距是1。

    而标准正态分布就是对普通正态分布做了上面的标准化而已,我们可以反标准化推出正态分布

    这时相当于对标准正态函数进行了缩放和平移的操作,就可以还原上面的正态函数了。

    4. 中心极限定理

    而正态分布之所以是这样的分布,并不是因为我们像需要sigmod函数一样而创造了sigmod函数,而是自然法则创造了正态分布,这条法则就是中心极限定理。

    中心极限定理指的是【任何分布的】一系列独立同分布的变量,他们的均值呈正态分布。

    这句话有点难以理解,举个例子,当你掷色子6次时,发现均值是3.5,然后你又掷色子6次,发现是4,然后你又……最后发现这些均值满足正态分布。

    而且不光是普通色子,就算是四面的色子,或者是各种奇形怪状的色子,都满足这个定理。

    对于任意的独立同分布的变量

    ,其中
    ,那么他们的求和就是
    ,那么他们的方差等于
    ,均值等于
    ,这样看不出什么来,对X做一个标准化
    ,此时方差变为
    , 又因为
    ,所以把上面方差约成了1,而期望
    在n趋近于无穷时,趋近于0。

    而n趋近于无穷时X时分布

    将收敛为正态分布,而且它符合的是标准正态分布。

    而与大数定律不同的是:

    中心极限定理描述的是,样本的平均值约等于总体的平均值。不管总体是什么分布,任意一个总体的样本平均值都会围绕在总体的整体平均值周围,并且呈正态分布。在无数次独立同分布的随机事件中,事件的频率趋于一个稳定的概率值,这是大数定律。两者在不同的维度上。

    至于它为什么收敛为正态分布,中心极限定理和大数定律的关系,我实在是很困了,这个坑还是留着下一次再填好了ヾ( ̄▽ ̄)

    如有帮助,请在下面打赏。

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  • 由于正态分布与中心极限定理之间的关系,因此正态分布为其提供了经典统计推断的基础。正态分布由图经典钟形表示。在正态分布中,您可以计算值以一定范围或间隔出现的概率。但是,由于将连续变量的概率测量为曲线下的...
    正态分布(也称为高斯分布)是统计中最常用的连续分布。正态分布在统计中至关重要,主要有以下三个原因:
    • 商业中常见的许多连续变量的分布与正态分布非常相似。

    • 正态分布可用于近似各种离散的概率分布。

    • 由于正态分布与中心极限定理之间的关系,因此正态分布为其提供了经典统计推断的基础。

    正态分布由图经典钟形表示。在正态分布中,您可以计算值以一定范围或间隔出现的概率。但是,由于将连续变量的概率测量为曲线下的面积,因此来自连续分布(例如正态分布)的特定值的确切概率为零。例如,时间(以秒为单位)被测量并且不计数。因此,您可以确定网络浏览器上视频下载时间在7到10秒之间的概率,或者下载时间在8到9秒之间的概率,或者下载时间在7.99到90秒之间的概率。8.01秒。但是,下载时间恰好为8秒的概率为零。正态分布具有几个重要的理论特性
    • 它是对称的,因此其均值和中位数相等。

    • 外观为钟形。

    • 其四分位数间距等于1.33标准偏差。

      因此,中间值的50%包含在低于平均值的标准偏差的三分之二和高于平均值的标准偏差的三分之二的范围内。

    • 它具有无限范围(-oo

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    装满10,000瓶软饮料的量 实际上,许多变量的分布与正态分布的理论性质非常相似。表中的数据代表最近一天装满10.000升1升瓶中的软饮料量。感兴趣的连续变量,即软饮料的填充量,可以通过正态分布来近似。10,000瓶中的软饮料量的测量值在1.05至1.055升之间,并围绕该组对称分布,形成钟形图案。图显示了相对频率直方图和多边形,用于填充10,000个瓶子的数量分布。

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    10,000瓶软饮料中的相对频率直方图 对于这些数据,正态分布的前三个理论特性得到了近似满足。但是,第四范围不是无限的。装满瓶子的数量不能为零或小于0,也不能装满超出其容量的瓶子。从表中可以看到,每10,000个装满的瓶子中只有48个预期含有1.08

    升或更高,并且相等的数字预计少于1.025升。

    符号f(X)用于表示概率密度函数。正态分布的概率密度函数在公式中给出。

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    e =用2.71828近似的数学常数

    π=用3.14159近似的数学常数

    μ =平均值

    σ =标准偏差

    X =连续变量的任何值,其中-∞

    尽 管公式看起来很复杂,但由于e和是数学常数,所以随机变量X的概率仅取决 于正态分布的两个参数-平均值μ和标准偏差σ。 每次指定μ和σ的特定值时,都会生成不同的正态概率分布。 图说明了这一原理。

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    标记为A和B的分布具有相同的平均值(μ),但具有不同的标准偏差。 分布A和C的标准偏差(σ)相同,但均值不同。 分布B和C对于μ和σ具有不同的值。 计算正态概率要计算正态概率,首先需要使用公式

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    所示的转换公式将正态分布变量X转换为标准化正态变量Z。 应用此公式可让您在正态概率表中查找值,并避免了公式(1)可能需要的繁琐而复杂的计算。转换公式将计算出一个Z值,该值表示标准值单位中的x值与平均值u的差。变量X具有平均值u和标准偏差σ,而标准化变量Z始终具有平均值u = 0和标准偏差 σ = 1。然后,您可以使用表(累积标准化正态分布)来确定概率。例如,过去的数据表明下载视频的时间是正态分布的,平均时间为7秒,标准差为 σ = 2秒。从图中可以看到,

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    每个度量X都有一个对应的标准化度量Z,它是根据公式(2)(转换公式)计算得出的。因此,9秒的下载时间等于平均数之上的1个标准单位(1个标准偏差),因为Z =(9-7) /2= 11秒的下载时间等于-3个标准化单位(3个标准差)低于均值,因为Z =(1-7)/2= -3在上图中,标准偏差是测量单位。换句话说,9秒的时间比7秒的平均时间高2秒(1个标准差)或更慢。同样,1秒的时间比平均时间低6秒(3个标准差)或更快。为进一步说明转换公式,假设另一个网站对于正态分布的视频具有下载时间,平均时间为= 4秒,标准偏差 = 1秒。下图显示了这种分布。

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    将这些结果与MyTVLab网站的结果进行比较,您会发现5秒的下载时间比平均下载时间高出1个标准差,因为Z =(5-4)/1= +1

    1秒的时间比平均下载时间低3个标准偏差,因为

    Z = (1-4)/1= -3计算出Z值后,您可以使用累积标准化正态分布中的值表(查找正态概率。假设您想查找MyTVLab网站的下载时间少于9秒。假设平均u = 7秒,标准偏差σ = 2秒,则将X = 9转换为标准单位。导致Z值为+1.00使用此值,您可以使用表查找法线下的累积面积,该面积小于Z = +1.00(在其左侧)。要读取小于Z = +1.00的曲线下的概率或面积,请向下扫描表中的Z列,直到在1.0的Zrow中找到感兴趣的Z值(十分之一)。接下来,阅读该行,直到与包含Z值的第100位的列相交为止。因此,在表的主体中,Z = 1.00的概率对应于行Z = 1.0与列Z = .00的交集。下表显示了该交集。

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    在交叉点处列出的概率为0.8413,这意味着下载时间少于9秒的可能性为84.13%。下图以图形方式显示了这种可能性。

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    从累积标准化正态分布确定小于Z的面积

    但是,对于其他网站,您看到5秒的时间比4秒的平均时间高1个标准化单位。因此,下载时间少于5秒的概率也为0.8413。下图显示,不管正态分布变量的均值u和标准偏差σ如何,公式(2)都可以将X值转换为Z值。

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    演示两条法线下对应累积部分的比例转换

    示例1

    求P(X> 9)

    MyTVLab网站的视频下载时间超过9秒的概率是多少?

    解:下载时间少于9秒的概率为0.8413。因此,下载时间将超过9秒的概率是1-0.8413 = 0.1587。下图说明了此结果。

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    例2,

    求P(X <7 or X> 9)

    MyTVLab网站的视频下载时间少于7秒或超过9秒的概率是多少?

    解:要找到此概率,您可以分别计算下载时间小于7秒的概率和下载时间大于9秒的概率,然后将这两个概率相加。下图说明了此结果。

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    因为平均值是7秒,并且平均值等于正态分布中的中值,所以50%的下载时间在7秒以下。从例1中,您知道下载时间大于9秒的概率为0.1587。因此,下载时间低于7秒或超过9秒(P(X <7或X> 9))的概率为0.5000 + 0.1587 = 0.6587。

    例3,

    求P(5 

    MyTVLab网站的视频下载时间在5到9秒之间(即P(5

    解:在下图中,您可以看到感兴趣的区域位于两个值5和9之间。

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    例3的结果使您可以声明,对于任何正态分布,这些值的68.26%将落在平均值的±1标准偏差之内。从下图中,您可以看到95.44%的值将落在平均值的±2标准偏差之内。因此,95.44%的下载时间在3到11秒之间。

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    从下图中可以看到,该值的99.73%在平均值的上下3个标准偏差之内。

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    从而。99.73%的下载时间在1到13秒之间。因此,不太可能(0.0027,或10,000中只有27)下载时间太快或太慢,以至于不到1秒或超过13秒。通常,您可以使用6σ(即均值以下3个标准偏差到均值以上3个标准偏差)作为正态分布数据范围的实际近似值。对于任何正态分布的情况。

    约68.26%的值落在平均值的±1标准偏差内

    约95.44%的值落在平均值的±2标准偏差内

    约99.73%的值落在平均值的±3标准偏差内

    寻找X值示例1至3要求您使用正态分布表在正态曲线下查找与特定X值相对应的面积。对于其他情况,您可能需要执行相反的操作:查找对应于特定区域的X值。通常,您可以使用公式来查找X值。

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    要找到与已知概率相关的特定值,请按照下列步骤操作:•绘制正态曲线,然后将平均值和X的值放在X和Z刻度上。•查找小于X的累积面积。•遮盖感兴趣的区域。•使用表,确定正态线下面积对应的Z值 曲线小于X。•使用公式求解X:

    示例4

    求出X值为0.10的累积概率。

    MyTVLab视频的最快10%下载完成之前需要多少时间(以秒为单位)?

    解:由于预计10%的视频将在X秒内下载,因此法线下小于该值的面积为0.1000。搜索面积或概率为0.1000。最接近的结果是0.1003,如表所示

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    在正态分布线下找到对应于特定累积面积(0.10)的Z值

    从该区域到表格的页边空白,您发现与特定的Z行(-1.2)和Z列(.08)相对应的Z值为1.28(见图)。

    1ee8fa096d6e373521f73be146566ac5.png

    找到Z后,即可使用公式确定X值。

    替换u = 7、σ= 2和Z = -1.28,

    X = u + Zσ

    X = 7 +(-1.28)(2)= 4.44秒

    因此,下载时间的10%为4.44秒或更短。

    例5,查找包含95%下载时间的X值。

    围绕平均值对称分布的X的下限值和上限值是多少,包括MyTVLab网站上视频的95%的下载时间?

    解:首先,您需要找到X的较低值(称为XL)。然后,找到X的上限值(称为Xu),因为95%的值在XL和Xu之间,并且XL和XU与平均值均等距离,所以2.5%的值在XL之下(参见图)。

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    尽管X未知,但是您可以找到相应的Z值,因为曲线下的面积小于该Z的值为0.0250。使用表搜索概率0.0250。

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    从表格的正文到表格的页边距,您看到与特定的Z行(-1.9)和Z列(.06)相对应的Z值为-1.96。

    找到Z后,最后一步是使用公式,如下所示:

    bcf7953e6801f3208611299fd43ccb84.png

    您使用类似的过程来查找X。由于仅2.5%的视频下载时间长于Xu秒,因此97.5%的视频下载时间短于Xu秒。从正态分布的对称性中,您会发现所需的Z值(如图所示)为+1.96(因为Z位于标准化均值0的右侧)。您还可以从表中提取此Z值。您可以看到曲线下的面积小于Z值+1.96,即为0.975。

    5d1094bc5a16094d21c825b463b159c0.png

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    因此,95%的下载时间在3.08到10.92秒之间。

    您可以使用Excel来计算1个正态概率,而不是在表中查找累积概率。图显示了一个工作表,该工作表计算正常概率并找到与示例1至5类似的问题的X值。

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中心极限定理与正态分布的关系

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