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  • 中心极限定理 与 正态分布

    千次阅读 2019-05-13 22:04:47
    如果误差可以看作许多微小量的叠加,则根据中心极限定理(用样本的平均值估计总体的期望),随机误差理所当然服从正态分布; 假设一随机变量X服从一个期望和方差分别为 μ和σ2 \mu{和}\sigma^...
    • 学习中心极限定理,学习正态分布,学习最大似然估计

    • 最优化理论及方法

    • 高等数学

    • 统计学

    • 概率论

    • 参数估计

    • 正态分布与中心极限定理(中心极限定理是正态分布的一个前置知识)

      • 如果误差可以看作许多微小量的叠加,则根据中心极限定理(用样本的平均值估计总体的期望),随机误差理所当然服从正态分布;

      • 假设一随机变量X服从一个期望和方差分别为
        μσ2 \mu{和}\sigma^2
        的正态分布,概率密度函数为
        f(x)=12πσexp((xμ)22σ2) f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right)
        则可以记为
        XN(μ,σ2) X \sim N(\mu, \sigma^2)
        图例表示
        Standard Normal Distribution

      • 正态分布为何如此常见?其真正原因是中心极限定理 (Central Limit theorem),如果一个事物受到多种因素的影响,无论每个因素本身服从什么分布,这些因素加总后,结果的平均值就是正态分布;

      • 正态分布值适合于各种因素叠加的情况,如果这些因素不是彼此独立的,会相互加强影响,则就不会服从正态分布。如果各种因素对结果的影响不是相加,而是相乘,则最终结果将会是对数正态分布.

    • 最大似然估计贝叶斯推理 (新增专题 · 待完善)

      • 参数的意义
    • 最大似然估计的直观解释

      • 最大似然估计的计算
    • MLE

      • 对数似然估计
    • 最大似然估计是否总能得到精确解?

      • 为何称作“ 『最大似然』or 『最大可能』”,而不是『最大概率』?
    • 最小二乘参数估计和最大似然估计的结果相同的条件是什么?

      • 贝叶斯定理
        • 定义
        • 举例
      • 为何贝叶斯定理能结合先验概率
      • 贝叶斯推理
    • 定义

      • 使用贝叶斯定理处理数据分布
      • 贝叶斯定理的模型形式
      • 贝叶斯推断示例
      • 何时 最大后验概率 (Maximum A Posteriori) MAP 估计 与 最大似然 (Maxmium Likelihood Estimation MLE) 估计相等?
    展开全文
  • 中心极限定理 - 正态分布

    千次阅读 2020-06-09 23:20:09
    中心极限定理(Central Limit Theorem)是指概率论中随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的定理。简单而言,对于任意分布,只要随机变量之间相互独立,从这些随机变量中随机抽n个值,然后求均值,并重复足够多的...

    简单解释

    中心极限定理(Central Limit Theorem)是指概率论中随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的定理。简单而言,对于任意分布,只要随机变量之间相互独立,从这些随机变量中随机抽n个值,然后求均值,并重复足够多的次数后,这些均值服从正态分布!

    核心核心要点:(1)任意分布;(2)随机变量之间相互独立;(3)均值;(4)重复次数足够多

    下图来自 Central limit theorem,wiki

    扩展阅读

    copy from: 中心极限定理的最最通俗解释

    中心极限定理

    在适当的条件下,大量相互独立随机变量均值经适当标准化后依分布收敛于正态分布。每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样,一共抽 m 次。 然后把这 m 组抽样分别求出平均值, 这些平均值的分布接近正态分布。

    中心极限定理告诉我们,当样本量足够大时,样本均值的分布慢慢变成正态分布,就像下图:

     

     

    实例:抽取1000组数据

    我们在生产的随机数中,一次抽取50个作为一组并计算它的平均值,共抽取1000次,得到1000个平均值,然后通过seaborn的distplot看着1000个数值的分布。

     

    重要性和注意点

    当采样的数量接近无穷大时,我们的抽样分布就会近似于正态分布。这个统计学基础理论意味着我们能根据个体样本推断所有样本。结合正态分布的其他知识,我们可以轻松计算出给定平均值的值的概率。在理论上保证了我们可以用只抽样一部分的方法,达到推测研究对象统计参数的目的。

    其中要注意的几点:

    • 总体本身的分布不要求正态分布
      掷一个骰子是平均分布,最后每组的平均值也会组成一个正态分布。

    • 样本每组要足够大,但也不需要太大
      取样本的时候,一般认为,每组大于等于30个,即可让中心极限定理发挥作用。


    作者:statr
    链接:https://www.jianshu.com/p/7e0597c0200a
    来源:简书
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

     

    其他参考资料

    (1)彻底理解中心极限定理——最重要的统计定理之一

    (2)怎样理解和区分中心极限定理与大数定律?

    (3)从中心极限定理的模拟到正态分布

     

    展开全文
  •  参考文献[1]指出了利用均匀分布生成正态分布的方法,即中心极限定理之独立同分布。 设随机变量相互独立,服从[0,1]区间上的均匀分布。则随机变量   当n足够大时,新的随机变量Y 满足标准正态分布。 但实际...

     

        

        多数编程语言只提供一个生成[0,1] 区间上的均匀分布数组的函数。本人的目的在于介绍如何生成一个正态分布的随机数组

        参考文献[1]指出了利用均匀分布生成正态分布的方法,即中心极限定理之独立同分布。

    设随机变量相互独立,服从[0,1]区间上的均匀分布。则随机变量

     

    当n足够大时,新的随机变量Y 满足标准正态分布。

    但实际上,标准正态分布不一定能满足要求,也许需要的是满足正态分布(a,b)的随机数组。

    这时就应该进行一些必要的运算。

    对于均值,只需要对最终结果进行相加或者相减

    对于方差的变换可以简单的将结果乘上一个系数

    由正态分布的定义出发,可以证明若 

     

    已知随机变量X  服从参数为的正态分布,则随机变量X 概率密度函数为

    令 ,则有

    接下来,我们通过C++实现这一过程

    //该程序用于实现生成一组正态分布的随机数
    //作者cclplus 我的邮箱是maxwell970710@gmail.com 如有问题可以发送到我的邮箱,我会尽可能为您解答
    #include "stdafx.h"
    #include <iostream>
    #include <cmath>
    #include <ctime>
    using namespace std;
    double rand_normal(double r_me, double sd);//返回一个方差为r_me,标准差为sd的随机数
    int main(){
    	double ans;
    	double r_mean, r_sd;
    	int n;
    	cout << "请依次输入所需要正态分布随机数的均值和标准差" << endl;
    	cin >> r_mean >> r_sd;
    	cout << "请输入需要随机数的个数" << endl;
    	cin >> n;
    	for (int i = 0; i < n; i++) {
    		ans = rand_normal(r_mean, r_sd);
    		cout << "随机数:" << ans << endl;
    	}
        return 0;
    }
    double rand_normal(double r_me, double sd) {
    	int  i;
    	const int normal_count = 360;//样本数目采用360个
    	double ccl_num, ccl_s;
    	double ccl_ar[normal_count];
    	ccl_num = 0;
    	for (i = 0; i < normal_count; i++) {
    		ccl_ar[i] =rand() % 1000/ (double)999;//生成一个[0,1]的均匀分布
    		ccl_num += ccl_ar[i];
    	}
    	ccl_num -= ((double)normal_count*0.5);//减去0-1均匀分布的均值
    	ccl_s = 1.0*(double)normal_count / 12.0;//0-1分布的方差为1/12
    	ccl_s = sqrt(ccl_s);
    	ccl_num /= ccl_s;//此时ccl_num接近标准正态分布的一个子集
    	ccl_num *= sd;
    	ccl_num += r_me;
    	return ccl_num;
    }
    

     

    【参考文献】

     

    [1]王桂松,张忠占,程维虎等 概率论与数理统计.[M]2014 110-110 140-141

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  • 首先我们要知道什么中心极限定理中心极限定理分为多种,其中最简单的就是独立同分布中心极限定理。 用公式表示就是验证: 服从标准正太分布。 代码验证分为两步 第一步:产生数据 第二步:验证数据服从...

    首先我们要知道什么是中心极限定理:中心极限定理分为多种,其中最简单的就是独立同分布的中心极限定理。

    用公式表示就是验证:

               Y=(\sum X_{i}-nE(X))/(\sigma \sqrt{ n})           服从标准正太分布。

    代码验证分为两步

    第一步:产生数据

    第二步:验证数据服从正太分布

    具体如下:

    #Date:Fri Nov 01 17:40:08 2019 
    
    #Name:XuKun
    
    #------------------------------
    
    
    # 产生数据--------------------------
    sample=c() # 存放数据
    k=10000 # 实验10000次,每次10000个样本
    for(i in 1:10000){
      # 从参数为0.5的0-1分布总体中抽取10000个样本
      data2=rbinom(k,1,0.5) 
      # 参数为0.5的0-1分布,均值为0.5,方差为0.25
      sample[i]=(sum(data2)-k*0.5)/(sqrt(k*0.25)) 
    }
    
    
    # 验证分布------------------------------
    hist(sample) # 从图中可以大致判断sample服从标准正太分布
    s=seq(min(sample),max(sample),0.5) # 划分长度为0.2的区间
    A=table(cut(sample,br=s));length(A) # 统计
    plot(A/sum(A)) # 概率直方图
    mean(sample);sd(sample) # 看一下总体的均值与方差
    
    # # 用Pearson卡方检验,验证sample是否为标准正太分布
    q=pnorm(s,0,1);
    n=length(q)
    p=numeric(n-1)
    p[1]=q[2]
    p[n-1]=1-q[n-1]
    for(i in 2:(n-2)){
      p[i]=q[i+1]-q[i]
    }
    chisq.test(A,p) # 以可看到p值很大,所以不能拒绝原假设,即样本服从标准正太分布
    
    
        

    如果有什么不懂的,欢迎给我发送邮件2587101536@qq.com

     

     

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  • 中心极限定理说明很多独立随机变量的和近似服从正态分布。 二,在具有相同方差的所有可能的概率分布中,正态分布在实数上具有最大的不确定性。 因此,我们可以认为正态分布是对模型加入的先验知识量最少的分布。 ...
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