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  • 辛钦中心极限定理Central Limit Theorem:设从均值为μ、方差为σ^2;(有限)的任意一个总体中抽取样本量为n的样本,当n充分大时,样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n的正态分布。 以公式形式表达为...

    辛钦中心极限定理Central Limit Theorem:设从均值为μ、方差为σ^2;(有限)的任意一个总体中抽取样本量为n的样本,当n充分大时,样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n的正态分布。
    公式形式表达为:
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    由此可推导出:
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    例题:

    每箱货物的重量服从均值为50KG,标准差为3KG的正态分布。卡车载重量为5000KG,在保证不超载概率大于0.84的前提下,最多能装多少箱 ?
    已知 Φ(1)= 0.84
    A. 96 B.97 C.98 D.99

    答案:D

    题目解析:

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  • 中心极限定理

    万次阅读 多人点赞 2018-04-30 20:58:22
    中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样,一共抽 m 次。 然后把这 m 组抽样分别求出平均值。 这些平均值的分布接近正态分布。我们先举个栗子现在我们要统计全国的人的体重,...

    中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样,一共抽 m 次。 然后把这 m 组抽样分别求出平均值。 这些平均值的分布接近正态分布。

    我们先举个栗子

    现在我们要统计全国的人的体重,看看我国平均体重是多少。当然,我们把全国所有人的体重都调查一遍是不现实的。所以我们打算一共调查1000组,每组50个人。 然后,我们求出第一组的体重平均值、第二组的体重平均值,一直到最后一组的体重平均值。中心极限定理说:这些平均值是呈现正态分布。并且,随着组数的增加,效果会越好。 最后,当我们再把1000组算出来的平均值加起来取个平均值,这个平均值会接近全国平均体重。


    其中要注意的几点


    1.总体本身的分布不要求正态分布

    上面的例子中,人的体重是正态分布的。但如果我们的例子是掷一个骰子(平均分布),最后每组的平均值也会组成一个正态分布。(神奇!)


    2.样本每组要足够大,但也不需要太大

    取样本的时候,一般认为,每组大于等于30个,即可让中心极限定理发挥作用。


    话不多说,我们现在来一步步看到中心极限定理是如何起作用的。


    第一步, 生成数据

    假设我们现在观测一个人掷骰子。这个骰子是公平的,也就是说掷出1~6的概率都是相同的:1/6。他掷了一万次。我们用python来模拟投掷的结果:


    平均值接近3.5很好理解。 因为每次掷出来的结果是1、2、3、4、5、6。 每个结果的概率是1/6。所以加权平均值就是3.5。

    第二步,画出来看看

    我们把生成的数据用直方图画出来直观地感受一下:


    可以看到1~6分布都比较平均,不错。

    第三步,抽一组抽样来试试

    我们接下来随便先拿一组抽样,手动算一下。例如我们先从生成的数据中随机抽取10个数字:

    平均值:3.9

    标准差:1.51

    可以看到,我们只抽10个的时候,样本的平均值(3.9)会距离总体的平均值(3.5)有所偏差。

    有时候我们运气不好,抽出来的数字可能偏差很大,比如抽出来10个数字都是6。那平均值就是6了。 为什么会出现都是6的情况呢?因为这就是随机的魅力呀!

    不过不要担心,接下去就是见证奇迹的时刻。

    第四步,见证奇迹的时刻

    我们让中心极限定理发挥作用。现在我们抽取1000组,每组50个。

    我们把每组的平均值都算出来。



    我们把这1000个数字用直方图画出来:


    结果打印如下:

    平均值:3.46508

    标准差:1.68772


    在实际生活当中,我们不能知道我们想要研究的对象的平均值,标准差之类的统计参数中心极限定理在理论上保证了我们可以用只抽样一部分的方法,达到推测研究对象统计参数的目的

    在上文的例子中,掷骰子这一行为的理论平均值3.5是我们通过数学定理计算出来的。而我们在实际模拟中,计算出来的样本平均值的平均值(3.48494)确实已经和理论值非常接近了。






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  • 中心极限定理的Matlab演示实验要求用Matlab验证中心极限定理实验原理中心极限定理是概率论中的一组定理。中心极限定理说明,大量相互独立的随机变量,其均值的分布以正态分布为极限。这组定理是数理统计学和误差分析...

    中心极限定理的Matlab演示

    实验要求

    用Matlab验证中心极限定理

    实验原理

    中心极限定理是概率论中的一组定理。中心极限定理说明,大量相互独立的随机变量,其均值的分布以正态分布为极限。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和,则可以直接利用中心极限定理进行解决。总之,恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要意义。

    中心极限定理有许多不同的表现形式

    一)辛钦中心极限定理

    设随机变量$x_1,x_2\cdots,x_n$相互独立,服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2,则随机变量$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$,在n无限增大时,服从参数为a和 $\frac{\sigma^2}{n} $ 的正态分布即n→∞时,

    $\bar{x} \to N(a,\frac{\sigma^2}{n})$

    将该定理应用到抽样调查,就有这样一个结论:如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的,无论总体服从什么分布,从中抽取容量为n的样本时,只要n足够大,其样本平均数的分布就趋于数学期望为a,方差为σ2 / n的正态分布。

    二)德莫佛——拉普拉斯中心极限定理

    设$\mu_n$是n次独立试验中事件A发生的次数,事件A在每次试验中发生的概率为P,则当n无限大时,频率设$\frac{\mu_n}{n}$趋于服从参数为p,$\frac{p(1-p)}{n}$的正态分布。即:

    $\frac{\mu_n}{n} \to N(p,\frac{p(1-p)}{n})$

    该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中,不论总体服从什么分布,只要n充分大,那么频率就近似服从正态分布。

    三)林德贝尔格定理

    设$x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$是一个相对独立的随机变量序列,它们具有有限的数学期望和方差 满足林德贝尔格条件,则当n→∞时,对任意的x,有

    $P\begin{Bmatrix}\frac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)

    四)李亚普洛夫中心极限定理

    设$x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$是一个相互独立的随机变量序列,它们具有有限的数学期望和方差:$\alpha_k=E(X_k),b_k^2=D(X_k)(k=1,2,\Lambda,n\Lambda)$ 。 记$B_n^2=\sum_{k=1}^n b_k^2$,如果能选择这一个正数δ>0,使当n→∞时,$\frac{1}{B_n2+ \delta}\sum_{k=1}^nE|x_k-a_k|^{2+\delta}$,则对任意的x有:

    $P\begin{Bmatrix}\frac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)

    该定理的含义是:如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的,而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大,则这个量服从或近似服从正态分布。

    实验操作

    下面通过实验进行验证。定义5个相同长度的数列,依次取均匀分布、高斯分布、指数分布和卡方分布,并叠加,画出直方图。可以看出随着叠加变量数的增多,分布曲线越来越趋近于钟形曲线。

    URJVziM.png!web

    从严格的意义上来说,对称的钟形曲线并不能代表其是正态分布。

    所以我们还要对产生的结果进行正态性分布检验。

    这里,我们只取每列具有代表性的最后一张图表示的分布进行lillietest检验。

    实验发现,在5个分布叠加的时候,只有高斯分布的叠加曲线H = 0,表示零假设(“数据是正态分布”)不能以5%的显着性水平被拒绝。其余三个零假设均可在5%水平被拒绝。

    h_a = 1 ; h_b = 0 ;h_c = 1 ;h_d = 1 ;

    再次多次重复,结果如下,当变量数足够大时,均可实现符合高斯分布。 证明了大量随机变量之和近似服从正态分布

    ai

    ci

    di

    5

    187

    164

    3

    194

    72

    3

    412

    57

    3

    360

    286

    2

    523

    255

    4

    495

    144

    4

    176

    67

    查看实验源代码

    7nEJrqz.png!web

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  • 常见的中心极限定理

    2020-12-16 08:36:02
    摘要中心极限定理讨论的是在什么条件下,独立随机变量和的分布会收敛于正态分布,本文介绍常见的集中中心极限定理,并且用Mathematica实现相应的模拟。1.林德伯格-莱维中心极限定理设{Xn}是独立同分布的随机变量序列...

    摘要中心极限定理讨论的是在什么条件下,独立随机变量和的分布会收敛于正态分布,本文介绍常见的集中中心极限定理,并且用Mathematica实现相应的模拟。

    1.林德伯格-莱维中心极限定理

    设{Xn}是独立同分布的随机变量序列,且E(Xi )=μ,Var(Xi )=σ^2>0存在,若记

    则对任意实数y,有:

    Mathematica模拟验证林德伯格-莱维中心极限定理

    产生10000个(0,1)上的均匀分布的随机数并计算其标准化值,如此重复10000次,将得到的标准化值画出直方图,通过观察直方图图形,可以看到近似正态分布曲线,代码如下:

    h = {};

    sMean = 10000/2;

    sVar = Sqrt[10000/12];

    For[i = 1, i <= 9999, i++,

    dist = RandomVariate[UniformDistribution[{0, 1}], 10000];

    s = Total[dist];

    y = (s - sMean)/sVar;

    h = Append[h, y];

    ]

    Histogram[h]

    结果直方图:

    该例子可用于正态随机数的产生:先从(0,1)上的均匀分布产生12个随机数x1,x2,...,x12,再变换其为y=x1+x2+...+x12-6,则可以将y近似看成来自标准正态分布的一个随机数,如此重复进行。

    2.棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理

    设n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为p(0

    则对任意实数y,有:

    Mathematica模拟验证林德伯格-莱维中心极限定理

    产生10000个服从p=0.4的两点分布的随机数并计算其标准化值,如此重复10000次,将得到的标准化值画出直方图,通过观察直方图图形,可以看到近似正态分布曲线,代码如下:

    h = {};

    For[i = 1, i <= 9999, i++,

    dist = RandomVariate[BinomialDistribution[1, 0.4], 10000];

    s = Count[dist, x_ /; x > 0];

    y = (s - 4000)/48.9898;

    h = Append[h, y];]

    Histogram[h]

    结果直方图:

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  • Example-of-the-CLT:中心极限定理如何工作的一个例子
  • 中心极限定理的解释和关键假设

    千次阅读 2021-08-11 09:04:56
    尽管是数据科学中为数不多的基本概念之一,但中心极限定理 (CLT) 仍然被误解。 围绕这些基本统计概念的问题确实会在数据科学面试中出现。 但是一些追求趋势的数据科学家经常将他们的学习时间投入到最新趋势和新算法...
  • 中心极限定理是统计学中比较重要的一个定理。 本文将通过实际模拟数据的形式,形象地展示中心极限定理是什么,是如何发挥作用的。什么是中心极限定理(Central Limit Theorem)中心极限定理指的是给定一个任意分布的...
  • 中心极限定理的基本概念和应用场景

    万次阅读 多人点赞 2019-03-31 19:49:41
    一、中心极限定理的基本概念 中心极限定理是说:样本的平均值约等于总体的平均值。不管总体是什么分布,任意一个总体的样本平均值都会围绕在总体的整体平均值周围,并且呈正态分布。 接下来,我们用通俗易懂的话来...
  • 中心极限定理的形象理解

    千次阅读 2018-09-19 12:12:36
    中心极限定理是统计学中的一个重要定理,本文的目的是形象地讲解中心极限定理,不列举公式。 本篇博客是基于猴子在知乎上的回答,进行的整理。非常感谢猴子的讲解。   目录 1 什么是中心极限定理 1.1 简单定义...
  • 下面从一个例子出发来理解下中心极限定理: 假设有一个群体,如我们之前提到的清华毕业的人,我们对这类人群的收入感兴趣。怎么知道这群人的收入呢?我会做这样4步: 第1步:随机抽取1个样本,求该样本的平均...
  • 中心极限定理-通俗理解

    万次阅读 2018-08-03 00:00:20
    中心极限定理-通俗理解: 1、大量相互独立的随机变量,其求和后的平均值服从正态分布,分布是指按照每个平均值的出现频数去判断分布 2、给定一个任意分布的总体。每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样,一共抽 m 次...
  • 中心极限定理: 对于一个任意分布的总体N,多次从中随机抽样,每次抽样n个数,当n足够大时,每次抽样的样本的均值近似服从正态分布 均方误差: 在做均值估计时,反应估计量与实际量的差异的值 即,对于一个任意分布...
  • 大数定律与中心极限定理

    万次阅读 2018-03-09 20:20:41
    为了让大家更好地理解中心极限定理,这里我给大家举一个投票的例子。美国在确定下一界总统是谁之前,社会上通常做一些民意调查,然后来预测哪个候选人会更有可能当选。假设有2个候选人 A 和 B,进一步假设在整个美国...
  • 统计学之中心极限定理和置信区间

    千次阅读 2019-04-05 22:08:51
    首先是中心极限定理中心极限定理是统计学中比较重要的一个定理。 只有真正理解了中心极限定理才能更好的理解统计学中其他的知识,比如正态分布。 那么什么是中心极限定理(Central Limit Theorem) 中心极限...
  • 中心极限定理理解

    千次阅读 2020-10-28 21:13:23
    中心极限定理(Central limit theorem, CLT) 是统计学中的一个基本定理,它是一个非常简单的概念。当你进一步阅读时就会发现,这也是一个很重要的概念。在阅读任何其他正态分布之前,必须了解一个先决条件概念,请...
  • 统计学基础——中心极限定理

    千次阅读 2019-12-17 14:09:53
    什么是中心极限定理(Central Limit Theorem) 中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。我每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样,一共抽 m 次。 然后把这 m 组抽样分别求出平均值。 这些平均值的分布接近正态...
  • ​写的时候也从互联网找了一些资料,参考链接放在文章中间了。...中心极限定理的通俗解释 大多数情况下,总体为什么可以假设服从正态分布的原因或猜想 后面还有随笔2/3/…,以便把这部分内容做一个系统的梳理
  • 描述统计 3.1 原始数据的基本分布特征 3.2 集中趋势的描述指标 3.3 离散趋势的描述指标 3.4 分类变量的常用描述指标 4 正态分布 5 二项分布 6 统计推断 6.1 抽样误差与标准误差 6.2 中心极限定理 6.3 t分布 6.4 ...
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  • 中心极限定理 而正态分布之所以是这样的分布,并不是因为我们像需要sigmod函数一样而创造了sigmod函数,而是自然法则创造了正态分布,这条法则就是中心极限定理中心极限定理指的是【任何分布的】一系列独立同...

空空如也

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中心极限定理的例子