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    全文共1204字,预计学习时长4分钟

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    图源:unsplash

    中心极限定理(CLT)是指,给定足够大的样本量,无论变量在总体中的分布如何,变量均值的抽样分布都将近似于正态分布。

    这是统计学中的一个基本定理,也是最重要的统计定理之一,是学习统计学绕不过的坎儿。不过好在这个概念实际上不难理解,看过下面这些例子,你也会觉得它其实蛮简单的。这些例子从反方面着手,我们很容易就能清楚地理解CLT了。

    例1

    8146eb45eed22ed8dddfdba3bef8eee1.png

    取一个均匀分布(从0到1,称为均匀分布,因为在0和1之间选择值的概率相等,因此它的概率密度函数(PDF)就是水平的黑色直线)。现在,假设从这个分布(绿点)中随机抽取20个样本,并计算这些样本的均值,最后得到一个值,在本例中,黑色点线表示0.5。

    继续在直方图上绘制这个均值。因为此直方图目前只有一个均值,除此之外没有任何信息(下图1)。继续从相同的分布中随机抽取更多的样本,计算各自的均值并再次在直方图上绘制这些均值,便开始得到一个有趣的输出(下图2)。

    6099b3b329e88982ed90081b8d15e968.png
    8498ecd21fe438a8db34f745441fcb2d.png

    随着不断从均匀分布中随机取出越来越多的样本,并不断在直方图上绘制样本均值,我们可以得到一个正态分布的结果(右曲线)。

    5ecbe198afb1b4b6216ee79a7e65d585.png

    推论:从均匀数据分布开始,但是从中抽取的样本均值结果为正态分布。

    例2

    在第二例中进行与例1相同的步骤,唯一不同的是,这次将从指数分布中抽取样本。

    1ff311ff9d1abc89bd1afbb932bfd7bb.png

    再次随机抽取20个样本,计算样本的均值,并将其绘制在直方图上。以此类推,在此指数数据分布中抽取大约100个样本,直方图如下所示。没错,样本的均值结果是正态分布!

    推论:从指数数据分布开始,但从中抽取的样本均值为正态分布。

    此时CLT的含义就变得非常直观了。它意味着,即使数据分布不是正态的,从中抽取的样本均值的分布也将是正态的。

    ce6cde9c1856992363a4c7cbf8cdd0fc.png

    了解样本均值总是*呈正态分布有什么实际意义?

    分析学领域从来少不了各种各样的数据,而源数据的分布我们不一定了解,但有了CLT,我们甚至不需要考虑这种情况,因为均值永远为正态分布,完全没有必要担心源数据的分布。

    (注*-为了应用CLT,必须能够计算样本的均值。Cauchy分布没有样本均值,因此CLT不适用于该分布,但除了Cauchy,笔者没有遇到任何其他分布不适用于CLT的情况,因此,CLT可以适用于任何其他分布。)

    491262b3402e02d1b070fd4373f025ea.png

    图源:unsplash

    我们能利用CLT作答还有很多:

    · 可以利用均值的正态分布来确定置信区间。

    · 在使用样本均值的情况下,可以进行任何统计检验。

    · 可以进行t检验(即,利用两个样本的均值之间存在差异的特点)

    · 可以进行方差分析测试(即,利用3个或3个以上样本的均值之间存在差异的特点)

    本文涵盖了所有在处理数据和样本时应该了解的中心极限定理,你掌握了吗?

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  • 中心极限定理作为概率论中最重要的定理之一,深入理解它是非常有必要的,这里通过一个比较直观的例子,去看看中心极限定理到底讲了一个什么问题。1 掷骰子问题的例子假设我们抛了100万枚骰子,筛子质地均匀,每一面...

    这篇文章记录了在学习中对概率论一些基本概念或定理的理解,同时从比较直观的角度展现定理的基本思想、推广以及意义。帮助大家更深入更全面理解概率论中的知识。


    中心极限定理作为概率论中最重要的定理之一,深入理解它是非常有必要的,这里通过一个比较直观的例子,去看看中心极限定理到底讲了一个什么问题。

    1 掷骰子问题的例子

    假设我们抛了100万枚骰子,筛子质地均匀,每一面向上的概率都是六分之一。利用Python模拟这一过程:

    import numpy as np 
    import matplotlib.pyplot as plt
    data = np.random.randint(1, 7, 1000000)
    print(data)
    
    [3 4 5 ... 4 1 2]

    我们可以看到,生成了一百万个1-6之间的随机整数。

    print(data.mean())
    print(data.std())
    
    3.499572
    1.707344082724979

    此时,这一百万枚骰子就是我们的总体。这个总体的均值大概是

    左右,总体的标准差大概是

    现在我们希望调查一百万个掷骰子点数的平均值,我们想从其中抽取一小部分骰子的结果作为样本,通过观察这一小部分骰子点数的平均值来推断总体平均值。

    假设我们不知道骰子都是质地均匀的(也就是我们并不知道总体的均值会是3.5),现在我们从一百万骰子的结果中抽取50个作为样本。有的时候我们运气好,50个骰子结果的均值就是3.5左右,但是有时候我们的运气不好,比如说我们抽取的这50个骰子中,刚好有不少被抛到了点数1:[3,1,2,1,1,5,2,4,1,...6,1,2,1],这个时候样本均值是将会较大幅度偏离总体均值3.5。

    f0613071085db3d01109003507008c2c.png

    我们想知道,如果每次只抽50个骰子,即样本容量为50,那么样本均值的分布会是什么样子的。我们不妨多次试验,在这里,我们做了10次调查,每次抽取大小为50的样本,并绘制出这10次调查的样本均值的分布:

    samples_mean = []
    for i in range(0,10):
        sample = []
        for j in range(0, 50):
            sample.append(data[int(np.random.random() * len(data))])
        samples_mean.append((np.array(sample)).mean())
    
    samples_mean = np.array(samples_mean)
    
    plt.hist(samples_mean,bins=20)
    print("mean of samples mean:{}, std of samples mean:{}".format(samples_mean.mean(),samples_mean.std()))
    
    mean of samples mean:3.4899999999999998, std of samples mean:0.22525541058984574

    20e3f401e49ccfa865e931c6968f8eca.png

    我们可以看到,在十次抽样当中,大部分时候50个骰子的均值(也就是样本均值)分布在3.4-3.8之间,但是也有几次抽取后样本均值接近4,或者在3.2左右。

    接下来我们抽取100次:

    samples_mean = []
    for i in range(0,100):
        sample = []
        for j in range(0, 50):
            sample.append(data[int(np.random.random() * len(data))])
        samples_mean.append((np.array(sample)).mean())
    
    samples_mean = np.array(samples_mean)
    
    plt.hist(samples_mean,bins=20)
    print("mean of samples mean:{}, std of samples mean:{}".format(samples_mean.mean(),samples_mean.std()))
    
    mean of samples mean:3.5241999999999996, std of samples mean:0.23624216389120722

    143ebd29e84f0d619f3ff32b78c87011.png

    可以看到,样本均值的分布越来越向着3.5这里集中了,那么如果我们再增加我们的抽取次数呢?

    samples_mean = []
    for i in range(0,1000):
        sample = []
        for j in range(0, 50):
            sample.append(data[int(np.random.random() * len(data))])
        samples_mean.append((np.array(sample)).mean())
    
    samples_mean = np.array(samples_mean)
    
    plt.hist(samples_mean,bins=20)
    print("mean of samples mean:{}, std of samples mean:{}".format(samples_mean.mean(),samples_mean.std()))
    
    mean of samples mean:3.50494, std of samples mean:0.2533424488710883

    f3126c813a7b0eb4924a4b5ea7107aa4.png

    抽取1000次的时候,我们可以看到样本均值的基本分布已经出来了,在中间3.5左右的最多,然而极少数情况下,样本均值会到4.2左右,或者降到2.6左右。

    samples_mean = []
    for i in range(0,10000):
        sample = []
        for j in range(0, 50):
            sample.append(data[int(np.random.random() * len(data))])
        samples_mean.append((np.array(sample)).mean())
    
    samples_mean = np.array(samples_mean)
    
    plt.hist(samples_mean,bins=20)
    print("mean of samples mean:{}, std of samples mean:{}".format(samples_mean.mean(),samples_mean.std()))
    
    mean of samples mean:3.4992940000000003, std of samples mean:0.24091646179537007

    a74c12cecdb591ca7c55b4c16c04a433.png

    抽取一万次,我们已经能够清晰看出这个分布了,这个分布看起来就像是正态分布,我们可以看到,随着我们抽样次数的增加,样本均值的平均值越来越接近3.5,而样本均值的标准差越来越接近

    因此,我们猜想,随着抽样次数的增加,这50个样本的均值的分布可能趋向于正态分布

    事实上,确实如此,只要抽样次数足够多,样本均值的分布会趋向于正态分布,中心极限定理提供了理论保证。一般来说,抽取样本时,样本容量应大于30,从而使中心极限定理能够发挥作用。

    2 几种形式的中心极限定理

    在上面的直观理解中,我们看到,中心极限定理的研究对象就是样本均值。而掷骰子的例子表明,总体本身并不要求是正态分布。只要知道随机变量的分布律,我们就可以知道从中抽取样本后样本均值收敛到的正态分布。

    对于独立同分布的伯努利随机变量,我们有如下的定理:

    定理(Demov-Laplace):

    为标准正态分布的分布函数,对
    ,有

    对于独立同分布的一般随机变量,我们有如下的定理:

    定理(Lindeberg-Levy):

    是一列独立同分布的随机变量
    ,记
    ,则中心极限定理成立

    从上述定理的形式我们就可以看到了中心极限定理的意义了:只要n足够大,便可以把独立同分布随机变量之和的标准化当做标准正态变量。


    参考文献:

    [1] 林正炎.概率论[M]科学出版社.第三版(2014)

    [2] Ross. A first course in probability[M]Ninth Edition.


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  • 总第202篇/张俊红今天我们来聊聊统计学里面比较重要一个定理:中心极限定理中心极限定理是指:现在有一个总体数据,如果从该总体数据中随机抽取若干样本,重复多次,每次抽样得到样本量统计值(比如均值)与总体...

    b9cd6ba13ba9636d8eb0e7c9c2345e2e.png

    总第202篇/张俊红

    今天我们来聊聊统计学里面比较重要的一个定理:中心极限定理,中心极限定理是指:现在有一个总体数据,如果从该总体数据中随机抽取若干样本,重复多次,每次抽样得到的样本量统计值(比如均值)与总体的统计值(比如均值)应该是差不多的,而且重复多次以后会得到多个统计值,这多个统计值会呈正态分布。还是直接来看例子吧。

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import seaborn as sns
    data = np.random.rand(10000)
    sns.distplot(data)

    上面代码是用来生成10000个随机数的,并绘制分布图。通过分布图可以看出,这10000个随机数基本是均等分布,也就是每个值出现的概率差不多。

    e719d6833e2e8ad4cb3aa352a40390d8.png

    现在我们从这10000个样本中随机抽取若干个样本(30、50、100、500),重复抽取100次,会得到100个样本均值,然后绘制样本均值分布图。

    plt.figure(figsize = (9,9))
    plt.subplot(221)
    sample_mean = []
    for i in range(1,100):
        s 
    = np.random.choice(data,size = 30).mean()
        sample_mean.append(s)
    sns.distplot(sample_mean)
    plt.title("size = 30")

    plt.subplot(222)
    sample_mean = []
    for i in range(1,100):
        s 
    = np.random.choice(data,size = 50).mean()
        sample_mean.append(s)
    sns.distplot(sample_mean)
    plt.title("size = 50")

    plt.subplot(223)
    sample_mean = []
    for i in range(1,100):
        s 
    = np.random.choice(data,size = 100).mean()
        sample_mean.append(s)
    sns.distplot(sample_mean)
    plt.title("size = 100")

    plt.subplot(224)
    sample_mean = []
    for i in range(1,100):
        s 
    = np.random.choice(data,size = 500).mean()
        sample_mean.append(s)
    sns.distplot(sample_mean)
    plt.title("size = 500")

    上面代码是我们每次抽取的样本量为:30、50、100、500,通过运行上面代码可以得到每次抽取不同样本量对应的样本均值的分布结果:

    9163584b51e7e9956435f1a0cf433856.png

    可以看到,不同样本量对应的均值分布均符合正态分布。以上就是关于中心极限定理的思想。这里需要弄清楚的一点是样本均值符合正态分布,而不是样本本身符合正态分布哦。

    那这个定理有什么用呢?还记得我们前面一开始说过的结论吗?就是抽样算出来的均值会接近总体的均值,所以基于这个定理的存在,我们可以用抽样结果的均值来估计总体的均值。比如你要统计一下北京市的平均工资,那么你就可以从北京全部人口这个总体中随机抽取部分样本,抽取若干次,把这若干次的均值再求均值以后,就可以作为北京市全部人口的平均工资。

    2d4f696efbc9561f5cbd49e2cb961325.png

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  • 中心极限定理 (Central Limit Theorems: CLT) 是许多统计知识基础,所以它非常非常重要!不过好消息是它是一个非常简单概念,来看一些例子就很快理解了。至于什么是中心极限定理以及为什么它很重要,今天我们一...

    中心极限定理 (Central Limit Theorems: CLT) 是许多统计知识的基础,所以它非常非常重要!

    不过好消息是它是一个非常简单的概念,来看一些例子就很快理解了。

    至于什么是中心极限定理以及为什么它很重要,今天我们一次讲清楚!

    5da5b047a724d1122b07c41b67ad8a4d.png (理论上来说)中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。我每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样,一共抽 m 次。 然后把这 m 组抽样分别求出平均值。 这些平均值的分布接近正态分布。那么让我们从均匀分布开始。这个分布在0和1之间任意选择一个数值,它们被选中的概率都是相等的。因为概率都是相等的,因此该分布是均匀分布。de46bef5892ffb3a4debe33704c03502.png我们可以从这个均匀分布中随机抽取20个样本,然后计算这些样本的平均值,同时在右边,我们可以画出平均值的直方图。90965b0473554e2870b48cded414c2aa.png因为我们只有一个平均值,这样的直方图就很单调。但是我们再收集了10个样本并计算出10个平均值之后,直方图看起来就有点意思了。这是在采集20个样本并计算20个平均值之后的直方图。ab9307996b5531143dfffc5370088e80.png为了得到平均值的分布,我们可以增加样本的数量,多取一些样本平均值。在直方图上加上100个平均值后,很容易看出这些平均值是正态分布的。8774ad3aa59a4e8bceec391646f9cd5b.png但为了便于观察平均值是正态分布的,我们可以在图上叠加一个正态分布。平均值是正态分布的,这就是中心极限定理的核心内容。即使这些平均值是用均匀分布的数据计算出来的,平均值本身不是均匀分布的,而是正态分布的。下面再举一个例子,这次我们从指数分布开始。52be1175226689f20b3e766d538e7bc3.png像上面一样,我们从这个指数分布中采取20个随机样本,我们可以计算出所有样本的平均值,并且在右边画出平均值的直方图。a7649dd9d5c7a4f7449340bca858ccfc.png在我们采集了10个样本并计算平均值之后,直方图就开始看起来就更有意义了。我们可以多选取几个样本,计算出它们的样本平均值。 9cd5e325af147a660e8497fc8c8ba1ae.png在直方图上加上100个平均值后,我们可以看到它们是正态分布的。即使这些平均值是用指数分布的数据计算出来的,这些平均值却不是指数分布的。相反,这些平均值是正态分布的。到目前为止,我们已经看到从均匀分布采集的样本计算出的平均值是正态分布的;同时从指数分布总体采集的样本中计算出的平均值也是正态分布的。8a0fd35452a79665c9175423620331c9.png以上是从不同的分布中取样本平均值。 d7f81f88be097b7a81c32a380e6fc143.png以上是不同分布中样本平均值的分布。好吧,事实证明你从什么样的分布开始并不重要,如果你从这些分布中采集样本,那么平均值都将是正态分布的。感觉很酷!但是知道平均值是正态分布的有什么实际意义呢?但我们做一个实验时,我们并不总是知道我们的数据来自什么分布。对于这个情况,中心极限定理表示“Who cares???”这是什么神仙操作?82d058d46875c6e1aba1cdf5751ca0a7.gif我们知道样本的平均值是正态分布的,所以我们不必太担心样本来源数据的分布情况。样本平均值的正态分布就可以帮助我们干很多事情了呀!下面来了解一下。我们可以用平均值的正态分布来确定置信区间。2c8d726ac55f10e6387aa3fc548731d6.png通过t-检验,从中我们可以判断两个样本的平均值是否有差异。f8df54ecb46b96c86819eedb05800ef0.png通过方差分析,从中我们可以判断三个或更多样本的平均值是否存在差异。以及做几乎所有使用样本平均值的统计检验。b4c5637286c575514c55ee73cab44ff7.png注:为中心极限定理从根本上起作用,你必须能够从你的样本中计算出平均值。ReferenceStatQuest(https://www.youtube.com/user/joshsatrmer/playlists)关于上面提高的正态分布,置信区间,对于这些基本概念还不是很了解的小伙伴,可以查看我们前期的推送。在后面的推送中,我们将为大家详细解释t-检验和方差分析等原理,跟着我们一起解锁更多统计知识吧!3c1e95f3e5f6cb141a72793eea203ade.png定期不断更新统计和编程知识,欢迎关注我们的公众号WorldCode_我的编程,您的求职小推手!15399e536a0f3489b11becce7dd79312.png
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  • BIGO-2020届-数据分析实习生-笔试题

    千次阅读 2019-03-31 15:33:52
    1. 简单介绍一下 中位数、众数和均值 2. 分析一下在不同的统计背景下中位数、众数和均值的优劣 ...5. 描述一下中心极限定理的基本原理,并举例子说明一下中心极限定理在统计学的应用 6. Sigmod(...
  • 概率论非常经典书籍,包括大数定律、中心极限定理、随机游动、鞅、马尔可夫链、遍历定理和布朗运动。它是一种综合性处理方法,集中在对应用最有用结果上。它哲学是,学习概率最好方法是看到它实际行动,...
  • 先看如下例子:(以中心极限定理为例) 运行结果为: 哈哈,问题就来了,究竟程序出了什么问题导致得到随机数都是一样呢? 汗,当时我调试了一个多小时呀(主要是我程序也犯了同样错误,但我用另一...
  • gmm(Gaussian Mixture Mode)理解

    千次阅读 2014-05-11 11:27:05
    友情提醒:要学习理解高斯混合模型,需要中心极限定理和极大似然估计这两个概率论背景知识。高斯混合模型,也主要是用于聚类。举这样一个例子:假设现在有两个不同高斯分布,我们用这样两个分布随机生成任意多...

空空如也

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中心极限定理的例子