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  • 这篇文章的契机是专业英语课上老师布置的一个关于验证中心极限定理的作业。通过这次作业主要进行了以下几点的学习或者复习,在文中都有提到:Python类的继承几种常用的概率的PDF和简写服从某种概率的随机数生成方法1...

    这篇文章的契机是专业英语课上老师布置的一个关于验证中心极限定理的作业。通过这次作业主要进行了以下几点的学习或者复习,在文中都有提到:

    Python类的继承

    几种常用的概率的PDF和简写

    服从某种概率的随机数生成方法

    1. 常见的概率分布

    常见的概率分布分为三类,分别是:continuous distribution(连续分布),discrete distribution(离散分布),mixed discrete/continuous distribution(混合分布)。这里主要介绍7种常用的概率分布。

    1.1 常见离散分布Bernoulli distribution(伯努利分布)

    0-1分布的随机变量X的取值只能是0或1,它的分布规律如下表格所示。常记为X~0-1(p)或X~B(1,p)。其概率密度函数如下:

    binomial distribution(二项分布)

    独立重复n次伯努利实验,若事件的发生的概率为p,那么n次实验中事件发生k次的概率如公式所示。那么我们就说随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p)。

    geometrical distribution(几何分布)

    独立重复伯努利实验,直到第k次事件才发生的概率如下公式所示。那么我们称随机变量X服从几何分布,记为X~G(p)。

    poisson distribution(泊松分布)

    在一个单位内(时间,面积,空间)等等,某个时间发生K次的概率,例如1次,2次等等,这些共同组成了泊松分布。记为X~π(p)。

    1.2 常见连续分布normal distribution(正态分布)

    正态分布在统计学上十分重要,经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量。记做x~N(u,sigma^2)

    exponential distribution(指数分布)

    指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔,比如旅客进入机场的时间间隔、打进客服中心电话的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。记为x~Exponential(λ)

    uniform distribution(均匀分布)

    在a-b之间具有相同的发生概率,在其他的地方不存在发生的可能性,称为均匀分布。记作x~U(a,b)

    2. Python程序实现

    本次全部使用python编写,包括使用python生成符合分布的随机数也由自己编写。

    2.1 Python程序结构设计

    此次使用python进行编程实现,首先将这次的项目分成两个部分,一个是定义了各个分布类的头文件,一个是用来实际操作的源文件。而由于分布类都有类似的操作,因此首先定义一个描述这些分布的基类,其他的分布类作为子类从这个基类中继承方法。现在设计的基类方法(通用)如下:

    产生一个符合该概率分布的值

    产生n个符合该概率分布的值

    生成多组包含n个符合该概率分布的值的数组

    绘制这个概率分布的基本图形

    而每一个子类(特定的概率函数)需要分别定义下面两个函数:

    初始化函数,为概率的参数赋值

    CDF的反函数,因为每种概型的PDF都不同。具体作用会在下面说

    本次用到了numpy,marplotlib,random三个库,大家可以自行导入,命名规则就是常用的规则,下面是基类的声明:

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

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    31

    32

    33

    34

    35

    36

    37

    38

    39

    40

    41

    42

    43

    44

    45

    46

    47

    48class :

    def __init__(self, name):

    self.name = name

    # 定义CDF反函数,空着

    def cumulative_function(self):

    return 1

    # 产生一个随机数,子类可直接调用

    def generate_one_num(self):

    seed = random.random()

    output = self.cumulative_function(seed)

    return output

    # 产生多个随机数,子类可直接调用

    def generate_numbers(self, num):

    nums = []

    while(num):

    nums.append(self.generate_one_num())

    num -= 1

    return nums

    # 产生多组随机数,子类可直接调用

    def generate_clusters(self, sample_num, group_num):

    '''产生多个服从分布的数'''

    arr = np.array(self.generate_numbers(sample_num))

    for i in range(group_num - 1):

    arr = np.row_stack((arr, np.array(self.generate_numbers(sample_num))))

    return arr

    # 绘图,子类可直接调用

    def figure(self, num_list, num_agg, f_style = 'b*'):

    bar_xstep = np.array([0] * num_agg)

    num_list = np.array(num_list)

    step = (max(num_list) - min(num_list)) / num_agg

    min_num = min(num_list)

    # 统计各个步长内的数据数

    x_lable = []

    for i in range(num_agg):

    temp = len(num_list[(min_num + step * i < num_list) & (num_list <= min_num + (step * (i + 1)))])

    bar_xstep[i] = temp

    x_lable.append('%.2f'%(min_num + step * i))

    plt.xlabel('Number')

    plt.ylabel('Probability')

    plt.title('The Figure of %s'%self.name)

    plt.bar(np.array(x_lable), bar_xstep, align = 'edge')

    plt.show()

    由于连续的概率分布函数CDF的反函数是一个连续的函数,方便定义,因此选择指数,正态,均匀分布这三种进行编写。

    2.2 产生符合指定分布的随机数

    产生符合分布的随机数,首先需要我们能够产生较为均匀的随机数作为种子(seed),种子的值域应该在(0, 1)之间(因为CDF的值域是0-1)。这些种子和不同的概率结合就可以计算出符合某种分布的随机数。那么我们首先如何获得种子呢?在Python的random.random()方法中已经定义了这种随机数产生器,基于梅森螺旋法,随机度较高,且在0-1之间,因此可以直接使用。

    其次使我们的核心问题,如何差生符合某种分布的随机数呢?下面将写。

    step1 定义概率密度函数的参数

    step2 对概率密度函数f(x)积分获得累积分布函数F(x)

    step3 求累积分布函数的反函数

    step4 将种子输入累积分布函数的反函数,求解值

    在这里我们以指数分布为例(简单只写大于0的),第一步的参数我们最后再赋,以方便理解:

    概率密度函数:

    $$

    f(x) = lambda e^{-lambda x}

    $$

    积分以后,它的累积分布函数如下:

    $$

    F(x) = 1-e^{-lambda x}

    $$

    再求解它的反函数:

    $$

    F^{-1}(y) = -frac{In(1-y)}{lambda}

    $$

    再将我们产生的一个随机数作为输入就好了,例如:

    $$

    F^{-1}(0.5) = -frac{In(1-0.5)}{lambda}

    $$

    最后lambda由我们自己定义就可以求解出来了。最后在代码中就是这样呈现(请无视函数名,因为这是CDF的反函数):

    1

    2

    3def cumulative_function(self, x):

    P = - np.log(1 - x) / self.lamda

    return P

    均匀分布也可以使用类似的方法求解,而正态分布需要先理解该如何使用程序进行积分…笔者没有做出来,直接调用了numpy里的函数numpy.random.normal()。

    最后三种概型的子类定义如下(都是继承了Base父类,方法通用):

    指数分布:

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8class C_Exponient(Base):

    def __init__(self, lamda):

    self.lamda = lamda

    self.name = 'Exponiential Distribution'

    def cumulative_function(self, x):

    P = - np.log(1 - x) / self.lamda

    return P

    均匀分布:

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14class C_Uniform(Base):

    def __init__(self, a, b):

    self.a = a

    self.b = b

    self.name = 'Uniform Distribution'

    def cumulative_function(self, x):

    if x < 0:

    P = -np.inf

    elif 0 <= x <= 1:

    P = (self.b - self.a) * x + self.a

    else:

    P = np.inf

    return P

    正态分布:

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9class C_Normal(Base):

    def __init__(self, mu, sigma):

    self.sigma = sigma

    self.mu = mu

    self.name = 'Normal Distribution'

    def cumulative_function(self, x):

    P = np.random.normal(self.mu, self.sigma, 1).tolist()[0]

    return P

    在控制台文件中已经调试成功了!

    3. 验证中心极限定理

    首先需要解释一下什么是中心极限定理。

    the central limit theorem (CLT) establishes that, in some situations, when independent random variables are added, their properly normalized sum tends toward a normal distribution (informally a “bell curve”) even if the original variables themselves are not normally distributed.

    中心极限定理说明,在适当的条件下,大量相互独立随机变量的均值经适当标准化后依分布收敛于正态分布。

    摘自维基百科。详细可见传送门,还有个比较有用的 概率分布表。

    在这里,我们分别做一些简单的对比。分别进行下面三组实验:

    产生10组数据,每组1000个样本数据。求每组内的1000个数据的均值和方差。再看这10组均值的分布和方差的分布。

    产生100组数据,每组1000个样本数据。求每组内的1000个数据的均值和方差。再看这100组均值的分布和方差的分布。

    产生10000组数据,每组1000个样本数据。求每组内的1000个数据的均值和方差。再看这10000组均值的分布和方差的分布。

    下面是我的控制台程序,每次只需要改概型的类即可。

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

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    14

    15

    16

    17

    18

    19from statistic import *

    SAMPLE_NUM = 1000

    GROUP_NUM = 1000

    BAR_STEP = 10

    def main():

    # 一组样本的分布

    Dtype = C_Exponient(1.5)

    sample_list = Dtype.generate_numbers(SAMPLE_NUM)

    Dtype.figure(sample_list, BAR_STEP)

    # 多组样本的均值方法分布

    sample_cluster = Dtype.generate_clusters(SAMPLE_NUM, GROUP_NUM)

    mean, var = np.mean(sample_cluster, axis = 1), np.var(sample_cluster, axis = 1)

    Dtype.figure(mean, BAR_STEP)

    Dtype.figure(var, BAR_STEP)

    if __name__ == '__main__':

    main()

    最后是运行结果的分析,可以看到三种不同的分布随着组数的增加,最后的结果如下:

    这是三种分布产生的随机数:

    首先是不同组数的指数分布的均值方差分布对比:

    其次是不同组数的正态分布的均值方差分布对比:

    其次是不同组数的均匀分布的均值方差分布对比:

    展开全文
  • 它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的,而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的,这种随机变量往往近似地服从正太分布,本次编程主要实现了三个常用的中心极限定理计算,精确到小数点...
  • 中心极限定理,是指概率论中讨论随机变量和分布渐近于正态分布的定理,是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。 下面从图里看看,这个定理讲了个什么:一、计算平均值的分布1...

    fc29b30b86e1d04b761c7614770470a2.png

    中心极限定理,是指概率论中讨论随机变量和分布渐近于正态分布的定理,是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。

    下面从图里看看,这个定理讲了个什么:

    一、计算平均值的分布

    1. 均匀分布

    从0-1选任意值,概率都相等

    b69566fc055d3e3529361253d07d1eaa.png

    计算一组数据集(绿点)的平均值(红线),在右边绘制直方图

    291ec9c87ad1b872a336088b24f49bdb.png

    在搜集更多的样本,每增加一次样本,计算一次平均值,绘制一个直方图

    8fb86db866ede961ae77d0fa4511c555.png

    增加更多的样本

    4a5222654642f0bbb2526f98fbe9a300.png

    这里会发现:

    这些平均值虽然是用均匀分布的数据计算出来的,但是平均值本身不是均匀分布的,而是正态分布的。

    再来看看其他的数据分布:

    2. 指数分布

    51729e0f3388b37e2bcee35eded3b545.png

    同样计算一组数据的平均值,在右边绘制直方图

    6f31e4b7c8421f56a85113e2c70dfca7.png

    继续增加样本量,我们又会得到一个熟悉的分布

    957a16cd4434ec168f20801614d79149.png

    这一次,平均值同样是用指数分布的数据计算出来的,但是平均值本身不是指数分布的,而是正态分布的。

    其实,经过前人的计算,不管是什么分布,最后的平均值分布都是正态分布的。

    二、这个发现有什么用呢?

    因为我们知道样本的平均值是正态分布的,所有就不用考虑样品数据的分布情况。

    也就是说,我们都可以用平均值的正态分布来确定置信区间。

    通过T检验(t-test),从中我们可以判断两个样本的平均值是否有差异。

    通过方差分析(ANOVA),从中我们可以判断三个以上样本的平均值是否有差异。

    可以做几乎所有使用样本平均值的统计检验。

    为了使中心极限定理从根本上起作用,必须能够从样本中计算出平均值。

    有些其他领域的人认为为了保证中心极限定理的正确性,样本大小必须至少为30。
    这个只是一个被认为安全的经验法则,并不是一个必须遵守的规定。

    致谢:

    https://www.youtube.com/channel/UCtYLUTtgS3k1Fg4y5tAhLbw

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  • 中心极限定理

    2018-04-10 15:50:00
    中心极限定理 从这里开始直到高斯分布课程结尾的内容皆为选修部分。 这一部分介绍了高斯分布的由来。如果你想深入学习高斯分布背后的理论,那么请继续。如果你不想,也可以直接跳到机器人定位课程。 ...

    中心极限定理

    从这里开始直到高斯分布课程结尾的内容皆为选修部分。

    这一部分介绍了高斯分布的由来。如果你想深入学习高斯分布背后的理论,那么请继续。如果你不想,也可以直接跳到机器人定位课程。

     

    什么是中心极限定理?

    中心极限定理相当有趣。它说明了如果你从总体中选取足够多的样本,并计算这些样本的均值,这些均值将呈正态分布。只要样本数量足够多,并且问题中的变量是独立随机的,那么这条定理便能成立。

    这听起来也许有些理论化了。因此在本堂课的下一部分,我们将会使用 Python 来为你说明这条定理。

     

    总体

    总体中包含了数据集中的所有值。在这一课中,我们将用到的数据就像下面这样:

     
    Population Distribution

    Population Distribution

     

    例如,值 15 在总体中大概出现了 160 次,值 50 在总体中大概出现了 70 次。这个总体中一共有 10,000 个数据点。

    随机从这一分布中抽取 100 个数据点,并将这 100 个数据点称为一个样本。接着计算该样本的均值。如果你照此方法反复抽取样本,得到的均值将呈高斯分布。

    随着大量样本均值的计算,看着人口分布逐渐向高斯分布靠近,这是一件十分神奇的事。

    在本课程的下一部分,我们将为你呈现如何使用 Python 代码做到这一点。

    在本节中,我们将向你介绍如何运用中心极限定理。我们将:

    • 从总体中生成随机样本
    • 获取样本均值
    • 将结果均值可视化

    你会看到,虽然总体不遵循高斯分布,但样本均值的结果分布确实看起来符合高斯分布。

    要开始整个任务,请运行下面的代码单元格。这个单元格将通过运行一个辅助函数来创建总体数据,然后将总体数据可视化,并计算总体数据的平均值。总人口中有10,000个数据点。

    如果多次运行该单元格,你会发现分布稍有变化;但是,总体形状保持不变。

    import helpers
    import numpy as np
    %matplotlib inline
    
    population_data = helpers.distribution(50, 10000, 100)
    helpers.histogram_visualization(population_data)
    print('population mean ', np.mean(population_data))
    

      
    Population Distribution

    从人口中抽样

    下一个代码单元格将随机从总体中选择N个数据点。这N个数据点将被称为样本。我们使用numpy库的random.choice方法随机选择N个值,你可以在 这里 读取这些值。

    运行下面的代码单元格,查看一些示例输出。该代码从总体中随机抽取10个数据点,制作一个大小为10的样本。

    def random_sample(population_data, sample_size):
        return np.random.choice(population_data, size = sample_size)
    
    random_sample(population_data, 10)
    array([33, 40, 29, 13, 48,  7, 41, 11, 32,  1])

    计算样本均值

    接下来我们将使用numpy库来计算每个随机生成的样本的平均值。

    def sample_mean(sample):
        return np.mean(sample)
    
    # take a sample from the population
    example_sample = random_sample(population_data, 10)
    
    # calculate the mean of the sample and output the results
    sample_mean(example_sample) 
    29.300000000000001

    中心极限定理结果

    现在,我们将使用random_sample()函数和sample_mean()函数来演示中心极限定理是如何运用的。

    下面的代码包含一个for循环,该循环会制作一个大小为N的随机样本,然后取样本的均值,并将该均值存储在列表中。 for循环的每次迭代都会有一个不同的随机样本。研究下面的代码,然后运行该单元格。

    ###
    # Code for showing how the central limit theorem works.
    # The function inputs:
    # population - population data
    # n - sample size
    # iterations - number of times to draw random samples
    
    def central_limit_theorem(population, n, iterations):
        sample_means_results = []
        for i in range(iterations):
            # get a random sample from the population of size n
            sample = random_sample(population, n)
            
            # calculate the mean of the random sample 
            # and append the mean to the results list
            sample_means_results.append(sample_mean(sample))
        return sample_means_results
    
    print('Means of all the samples ')
    central_limit_theorem(population_data, 10, 10000)
    

      

    [25.600000000000001,
     22.800000000000001,
     30.0,
     28.899999999999999,
     32.200000000000003,
     29.399999999999999,
     32.0,
     35.299999999999997,
     25.600000000000001,
    35.5,
     31.300000000000001,
     24.5,
     28.300000000000001,
     23.300000000000001,
     ...]

    将结果可视化 —— 样本容量= 30

    下一个单元格将计算每个大小为30的一万个样本的均值,然后使用直方图将样本均值可视化。需要注意的是,这个可视化结果大致与高斯分布类似。

    import matplotlib.pyplot as plt
    
    def visualize_results(sample_means):
    
    plt.hist(sample_means, bins = 30)
    plt.title('Histogram of the Sample Means')
    plt.xlabel('Mean Value')
    plt.ylabel('Count')
    
    # Take random sample and calculate the means
    sample_means_results = central_limit_theorem(population_data, 30, 10000)
    
    # Visualize the results
    visualize_results(sample_means_results)
    

      

    所以我们刚开始使用的人口样本肯定不符合高斯分布。但是,通过对分布样本进行抽样并计算样本均值,我们最终会看到一些看起来像高斯分布的东西。

    将结果可视化 —— 样本容量= 1

    根据中心极限定理,样本容量需要足够大。一般的经验法则是样本容量应该大于或等于30。让我们尝试使用不同的样本容量来查看会有什么不同的结果。

    一个比较夸张的情况是样本容量为1。它的分布应该与原始人口的分布类似。运行下面的代码,查看结果。

    # Take random sample and calculate the means
    sample_means_results = central_limit_theorem(population_data, 1, 10000)
    
    # Visualize the results
    visualize_results(sample_means_results)
    

      

    将结果可视化 ——样本容量= 10

    现在,我们使用建议的最小样本容量,即30,看看会发生什么。

    # Take random sample and calculate the means
    sample_means_results = central_limit_theorem(population_data, 10, 10000)
    
    # Visualize the results
    visualize_results(sample_means_results)
    

      

    样本容量为10时,样本均值的分布看起来类似高斯分布。

    将结果可视化 —— 样本容量= 1000

    让我们继续尝试,并使用更大的样本容量:这次为1000。

    # Take random sample and calculate the means
    sample_means_results = central_limit_theorem(population_data, 1000, 10000)
    
    # Visualize the results
    visualize_results(sample_means_results)
    

      

    将结果可视化 —— 样本容量= 10000

    如果样本容量等于人口数量,会发生什么情况?因为我们随机抽样进行替换,所以其中一个样本不太可能是完全的人口数据;然而,由于每个样本可能与人口相似,因此标准差应该进一步降低。

    # Take random sample and calculate the means
    sample_means_results = central_limit_theorem(population_data, 10000, 10000)
    
    # Visualize the results
    visualize_results(sample_means_results)
    

      

    结论

    我们还要注意,这些分布的中心接近原始人口均值。

    想一想是否要收集现实世界中的数据。如果你想找到世界各地人口的身高分布,你可以测量每个人的身高并分析结果。如果使用该结果的均值,那么你将获得真实的人体高度平均值;然而,要使用这个办法去衡量整个世界人口是不可行的。

    相反,你可以使用身高的一个样本。如果只测量了三十人,你的抽样均值可能会与人口平均值相差较大。但是,如果测量了20亿个随机选择的人,那么样本均值可能更接近人口均值。你的样本越大,样本均值就越可能与真实的人口均值相匹配。

     

     

     

     

     

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  • 中心极限定理 central limit theorem ...中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体(除了无法计算均值的分布以外)。每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样,一共抽 m 次。然后把这 m 组抽样分别求出平均值

    中心极限定理 central limit theorem

    中心极限定理是很多统计的基础,解释自然界中大多数数据属于正态分布,这使得正态分布在统计学中的应用非常广泛。「为什么中心极限定理能够解释数据属于正态分布,接下来我们就以不同类型的原始数据进行证明。」

    even if you’re not normal,the average is normal

    中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体(除了无法计算均值的分布以外)。每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样,一共抽 m 次。然后把这 m 组抽样分别求出平均值。这些平均值的分布接近(符合)正态分布。(除了柯西分布(Cauchy distribution)没有样本均数外,几乎所有的其他分布都能计算样本均数。)

    运用举例
    当我们在进行实践的时候,我们往往不能知道样本数据来源于哪种分布。「基于中心极限定理,不管样本数据来源于哪种分布,样本均值们均属于正态分布,故我们不用考虑数据来源的分布」。

    利用样本均值们属于正态分布这一性质,计算置信区间(confidence intervals)。t-test可以用于检验两样本的均值是否具有统计差异;ANOVA用于检验三样本的均值是否具有统计差异;或者其他使用样本均值的检验

    实际数据 证明1——原始数据为均匀分布

    例如在「均匀分布(在相同长度间隔的分布概率是等可能的)」 中随机抽样20个样本,接着计算20个样本的均值。
    在这里插入图片描述
    重复以上步骤20次、100次,将20个、100个均值结果绘制成直方图。随着重复次数的增多,越来越多的均值分布呈现出正态分布的趋势。「大量随机试验均值的分布为正态分布,这就是中心极限定理。」 「即使取样的原始总体属于均匀分布,但来自均匀分布的均值属于正态分布。」
    在这里插入图片描述

    实际数据证明2——原始数据为指数分布

    在这里插入图片描述

    R语言代码

    数据集准备

    # rm(list = ls())
    library(tidyverse)
    library(ggplot2)
    df  <-  data.frame(x = 1:100,
                   y1 = dnorm(1:100,50,20),
                   y2 = dunif(1:100,1,100),
                   y3 = dexp(1:100,0.06)) %>% as_tibble()
    set.seed(1004)
    head(df)
    ## # A tibble: 6 x 4
    ##       x       y1     y2     y3
    ##   <int>    <dbl>  <dbl>  <dbl>
    ## 1     1 0.000992 0.0101 0.0565
    ## 2     2 0.00112  0.0101 0.0532
    ## 3     3 0.00126  0.0101 0.0501
    ## 4     4 0.00142  0.0101 0.0472
    ## 5     5 0.00159  0.0101 0.0444
    ## 6     6 0.00177  0.0101 0.0419
    rn1  <-  rnorm(100,50,20)
    set.seed(1004)
    rn2  <-  runif(100,1,100)
    set.seed(1004)
    rn3  <-  rexp(100,0.06)
    rn <- data.frame(x = 1:100,
                    rn1 = rn1,
                    rn2 = rn2,
                    rn3 = rn3)
    head(df)
    ## # A tibble: 6 x 4
    ##       x       y1     y2     y3
    ##   <int>    <dbl>  <dbl>  <dbl>
    ## 1     1 0.000992 0.0101 0.0565
    ## 2     2 0.00112  0.0101 0.0532
    ## 3     3 0.00126  0.0101 0.0501
    ## 4     4 0.00142  0.0101 0.0472
    ## 5     5 0.00159  0.0101 0.0444
    ## 6     6 0.00177  0.0101 0.0419
    

    分布表图展示

    #1.正态分布
    (p1  <-  ggplot(df,aes(x = x,y = y1))+
      geom_line()+theme_classic())
    #2.均匀分布
    (p2  <-  ggplot(df,aes(x = x,y = y2))+
      geom_line()+theme_classic())
    #3.指数分布
    (p3  <-  ggplot(df,aes(x = x,y = y3))+
      geom_line()+theme_classic())
    p1+p2+p3
    

    三种分布分别证明

    第一种-正态分布数据的均值分布

    #画均值竖线
    (a1  <-  p1)
    n  <-  c()
    # n <- vector()
    ?sample
    # sample(1:8,8,replace = F)
    # sample(seq(1,8),8,replace = F)
    for(i in 1:100){
      n[[i]]  <-  mean(sample(rn$rn1,50,replace = F))
      a1  <-  a1 + geom_vline(xintercept = n[[i]],color = "red",size = 0.3,alpha = 0.3)
    }
    a1
    
    #画直方图
    dat = data.frame(n = n)
    b1 = ggplot(dat,aes(x = n,y = ..density..))+
      geom_histogram(color = "#D0505D",
                     fill = "#D0505D",
                     alpha = 0.4,binwidth = 1)+
      theme_classic()+labs(x="n (mean value)") +
      scale_y_continuous(expand = c(0,0))
    b1
    
    #加正态曲线
    # 根据上述的直方图找到 类似直方图的 均值 和 方差
    ?dnorm
    y = data.frame(
      x = seq(40,62,0.2),
      y1 = dnorm(seq(40,62,0.2),50,2))
    (b1 = b1 + geom_line(aes(x = x,y = y1),data = y))
    a1 + b1
    

    第二种-均匀分布数据的均值分布

    #画均值竖线
    a2 = p2
    n = c()
    for(i in 1:100){
      n[[i]] = mean(sample(rn$rn2,50))
      a2 = a2 + geom_vline(xintercept = n[[i]],color = "red",size = 0.3,alpha = 0.3)
    }
    
    #画直方图
    dat = data.frame(n = n)
    b2 = ggplot(dat,aes(x = n,y = ..density..))+
      geom_histogram(color = "#D0505D",
                     fill = "#D0505D",
                     alpha = 0.4,binwidth = 1)+
      theme_classic()+labs(x="n (mean value)") +
      scale_y_continuous(expand = c(0,0))
    b2
    
    #加正态曲线
    # 根据上述的直方图找到 类似直方图的 均值 和 方差
    y = data.frame(
      x = 40:62,
      y1 = dnorm(40:62,50,3))
    b2 = b2 + geom_line(aes(x = x,y = y1),data = y)
    a2 + b2
    

    第三种-指数分布数据的均值分布

    #画均值竖线
    a3 = p3
    n = c()
    for(i in 1:100){
      n[[i]] = mean(sample(rn$rn3,50))
      a3 = a3 + geom_vline(xintercept = n[[i]],color = "red",size = 0.3,alpha = 0.3)
    }
    
    #画直方图
    dat = data.frame(n = n)
    b3 = ggplot(dat,aes(x = n,y = ..density..))+
      geom_histogram(color = "#D0505D",
                     fill = "#D0505D",
                     alpha = 0.4,binwidth = 1)+
      theme_classic()+labs(x="n (mean value)") +
      scale_y_continuous(expand = c(0,0))
    b3
    
    #加正态曲线
    # 根据上述的直方图找到 类似直方图的 均值 和 方差
    y = data.frame(
      x = seq(11,22,0.1),
      y1 = dnorm(seq(11,22,0.1),16.5,1.5))
    b3 = b3 + geom_line(aes(x = x,y = y1),data = y)
    a3 + b3
    

    中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体(除了无法计算均值的分布以外)。每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样,一共抽 m 次。然后把这 m 组抽样分别求出平均值。这些平均值的分布接近(符合)正态分布。

    # 总结
    library(patchwork)
    (p1+p2+p3)/(a1+a2+a3)/(b1+b2+b3)
    

    参考链接(主要从以下2个链接搬运)
    正态分布与中心极限定理
    即使你不normal,平均值也normal–神奇的中心极限定理

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空空如也

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中心极限定理计算