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  • 而再深入研究,你就会发现:这些试题,有近四分之一都在考查“平行四边形的存在性问题(包括矩形和菱形)”。滑动查看更多“平行四边形存在性”中考题所以,今天这篇文章,洋葱君就为你重点讲解这种特殊四边形的...

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    中考数学压轴题考什么?

    “存在性问题”一定榜上有名。而再深入研究,你就会发现:这些试题中,有近四分之一都是在考查“平行四边形的存在性问题(包括矩形和菱形)”。

    5d19dcd7474ba8f1386c9ab807ad50d4.png08c66365c0b6e0a7891cf4961ac8167b.pngdcc728d637e4147f5598e12336a8ee04.png0df792ad0bd0028bcbc3d48105cf16ff.pngf07964aa5e4f6face861f05e2c27a8dd.png

    滑动查看更多“平行四边形存在性”中考题

    所以,今天这篇文章,洋葱君就为你重点讲解这种特殊四边形的存在性问题(含平行四边形、矩形和菱形),该如何用一个“通法”来解决。

           73a5e9e0fa0970bb380d81a22e915ae4.png

    ▲存在性问题专题第二讲之“特殊四边形”

    要想找到解题“通法”,就要找出这类特殊四边形存在性问题的共同点,进而归纳相应解题策略。

    那么,这类问题有什么共同点呢?

    经过大量对比分析后,洋葱君终于发现:大多数这类问题,都是题目中已知四边形中两个固定的顶点坐标,求另外两个移动的顶点坐标。

    那如果几何直观能力比较差,有什么其他的方法解答呢?

    别担心,今天洋葱君为你带来一个非常实用的解题“通法”——对角线平分求解法。(其中,菱形和矩形需要以等腰三角形和直角三角形的方法为基础,建议先点击这里回顾“两圆一线”和“两线一圆”模型。)

    对角线平分求解法

    首先,你需要了解的是,解决存在性问题的根本在于“将判定定理代数化”,即:先分析图形运动方式,然后用含未知数的式子表示出点和线,最后代入判定定理的代数表达,列方程求解。

    那么问题来了,对于平行四边形来说,有五种判定定理呢,我们该选择哪种来作为“通法”呢?

    • 两组对边分别平行?

    • 两组对边分别相等?

    • 一组对边平行且相等?

    • 两组对角分别相等?

    • 对角线互相平分?

    如果你想不出该用哪种,就看一下这个洋葱解题课视频的分析过程吧,相信看过之后,很快你就能得到答案了。

    ▲ 完整视频请在洋葱APP中观看,视频位置:

    初中数学人教版-中考二轮-存在性-平行四边形存在性问题-构成平行四边形

    没错,就是选择“对角线互相平分”来作为常用“通法”,根据视频可以看出这种判定方法有两个优点:

    (1)具有稳定性  

    由于“对角线互相平分”是利用“中点坐标公式”来列方程,列出的方程是整式方程,次数不超过二次,所以它的计算量不依赖于题目条件。

    (2)具有全面性  

    如视频所示,在分情况讨论时,我们先选定其中一个点;然后利用“找搭档”的方法分别去选点来做对角线,很容易就得到需要分三种情况来讨论;接下来列方程求解;最后再检验。这样就可以做到不重不漏。

           adcefe2e0f34247cbe10a918ec274f4c.png▲利用对角线“找搭档”方法来分情况讨论

    应用“对角线平分求解法”

    解平行四边形存在性问题

    俗话说“光说不练假把式”,那么该如何使用“对角线平分求解法”来解题呢?下面洋葱君任选两道2019年的中考题,来看看这种方法具体是如何应用的。

    首先,一起来看这道2019年的山西中考压轴题:

         317950df6715f34d76c7b1d4b130b727.png

    ▲点击可查看大图

    我们先对问题进行简化,这道题前两问的结果为:抛物线的解析式:y=-3/4x²+3/2x+6,点D(3,15/4)。第(3)问要求的是,点M是x轴上的动点,点N是抛物线上的动点,B,D,M,N四点可以构成一个平行四边形,求M的坐标?

    参考上面洋葱视频的解法,已知B(4,0),D(3,15/4),可以分别设点M(s,0),N(t,-3/4t²+3/2t+6)。

    • 当BD为对角线时,有(xB+xD)/2=(xM+xN)/2,(yB+yD)/2=(yM+yN)/2,解得s=8或4,其中当s=4时,点M与B重合,需要舍掉;

    • 当BM为对角线时,解得s=±√14,均符合题意;

    • 当BN为对角线时,解得s=0或4,根据题意s=4时M与B重合,需要舍掉。

    综上,满足题意的点M有4个,分别为(0,0),(8,0),(√14,0),(-√14,0)。

    使用“对角线平分求解法”后,这道题解决起来是不是就很轻松啦?

    下面再来看这道2019年湖北咸宁的中考压轴题。

           77f4690a169f8dd71533e5dcce395348.png▲点击可查看大图

    首先,对题目进行简化,已知抛物线y=-1/2x²+3/2x+2,点O(0,0),点B(0,2),点E在直线y=-1/2x+2上运动,点F在抛物线上运动。求点B,O,E,F可以构成平行四边形时,求点E的坐标?

    同样,设点E(t,-1/2t+2),F(s,-1/2s²+3/2s+2)。分别取BE、BF、BO为对角线,根据“对角线平分求解法”可以得到,满足题意的点E有5个,分别为(2,1),(2+2√2,1-√2),(2-2√2,1+√2),(-2+2√2,3-√2),(-2-2√2,3+√2)。具体过程请你也自己动手试一试吧!

    通过这两道题目,你有没有发现:平行四边形的存在性问题,经常出现4-5种情况满足题意。如果仅依赖几何直观,很容易漏解。而通过“对角线平分求解法”转化为代数问题后,就可以做到又快又全,省心省力。

    应用“对角线平分求解法”

    解决矩形的存在性问题

    下面来看矩形的存在性问题。

    同样,这类问题通常也是“已知两个定点坐标,求两个动点坐标”。

    由于矩形是有一个角是90°的平行四边形,所以,在解决它的存在性问题时,我们可以先找直角三角形确定一个顶点,再根据“对角线平分求解法”确定另外一个顶点。

    具体怎么操作呢?相信看完下面这个解题课视频你就一目了然了。

    ▲ 完整视频请在洋葱APP中观看,视频位置:

    初中数学人教版-中考二轮-存在性-矩形存在性问题-几何问题与反比例函数(上)

    怎么样?看完视频后,现在是不是已经跃跃欲试啦?那就用下面这道2018年中考题来练练手吧!

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    首先对问题进行简化:已知点B(3,0),D(2,3),点P在直线x=1上运动,点N在平面内运动,点P,B,N,D构成以BD为对角线的矩形,求BN:DN的值?

    如前面分析,这道题目有两个点在运动,所以我们可以仿照视频中的做法,先找直角三角形确定点P,再根据对角线互相平分确定点N。因为题目要求BD是对角线,也就是说,在直角三角形BPD中,BD是斜边,那么根据两线一圆模型,点P同时在以BD为直径的圆上运动,画出圆和x=1的交点,就是要找的点P。

           2acd0891423ac5ad48859d3359394379.png 

    不难算出满足题意的点P1(1,2),P2(1,1);然后根据对角线互相平分,确定点N1(4,1),N2(4,2);再根据距离公式,计算出BN1:DN1=1:2,BN2:DN2=1:1。

    应用“对角线平分求解法”

    解决菱形的存在性问题

    接着看菱形的存在性问题,和矩形一样,我们知道,菱形的定义是邻边相等的平行四边形。所以可以找等腰三角形先确定一个点,再根据“对角线平分求解法”确定另外一个点

    比如下面这道2018年浙江衢州的中考题:

           792295222d1c120538fb1f4febcc45bb.png

    如前所述,这道题有两个点在运动,如果想直接找点M的位置是非常困难的。因此,可以先确定Q的位置,点M的位置也就随之确定了。由于题目要求OB是菱形的边而不是对角线,所以在等腰三角形BOQ中,BO是腰而不是底。

    我们分别以O和B为圆心、OB长为半径画圆与直线相交,可以求出满足题意的Q点有4个。

           b90666334e879156fd9d6e0b8489902b.png

    设Q(m,-1/2m+6),分别表示出OQ和BQ的长。

    • 根据OQ=OB=10列方程,解出Q的横坐标分别为(12+4√89)/5,(12-4√89)/5。此时BQ是等腰三角形的底,也是菱形的对角线,有xB+xQ=xO+xM,解得xM=(42-4√89)/5或xM=(42+4√89)/5;

    • 根据BQ=OB=10列方程,解出Q的横坐标分别为-2和12。此时OQ是等腰三角形的底,也是菱形的对角线,有xO+xQ=xB+xM,解得xM=-10或xM=6。

    因为M从横坐标为-10开始运动,对应的运动时间t分别为(92-4√89)/5、(92+4√89)/5、0或16。

     总结

    中考中,在考查特殊四边形的“存在性问题”时,通常都有两个顶点在动。解决这类问题,可以使用“对角线平分求解法”。

    先分析图形运动方式,然后用含未知数的式子表示出点和线,最后根据对角线互相平分得到代数表达式,并列方程求解。

    如果是矩形,则需要先找直角三角形确定一个顶点,再根据对角线互相平分列方程求解。

    如果是菱形,则需要先找等腰三角形确定一个顶点,再根据对角线互相平分列方程求解。

    怎么样,你学会了吗?

    如果还有疑问,洋葱学院app内更详细的解题课视频等着你!如果你已掌握,那快去app内做题巩固吧~

    - END -


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  • 相信大家对三角形的面积,平行四边形以及矩阵的面积求法都不陌生。...那么一般的四边形面积公式是什么样的呢?再从一般到特殊,导出平行四边形和矩形的面积。四边形的面积 已知四边形ABCD,面积...

    相信大家对三角形的面积,平行四边形以及矩阵的面积求法都不陌生。而对于一般的四边形面积该如何求得呢?古印度数学家婆罗摩笈多曾给出四边形的面积公式为4c7da9da2ead3345b4a566744f53b836.png从形式上看和三角形的面积公式——海伦公式很像,只是婆罗摩笈多,并没有意识到他给出的这个四边形面积公式是内接四边形的面积公式。那么一般的四边形面积公式是什么样的呢?再从一般到特殊,导出平行四边形和矩形的面积。

    四边形的面积

    已知四边形ABCD中e858f2043d459d53ef2046d7aff39fed.png,面积为S,半周长为p,求证:

    • a84e8c9f983c81ddde7cc274bcd95072.png

    • 2016bcdff941a28965f17bc7f3347110.png

    b03a974014848020bdc6eed7cdb12645.png

    证明:f407428cf9044dcb511645ea931b6c58.png由余弦定理可得0d0c64154f66b9680eb411f8fa4dc9fb.png第一个式子两边乘以4后与第二个式子相加,可得db7739dbaa2d643ff05bcbce112ed8dd.png

    由第一个式子可得:8d2049d6b84b4667e83df4b1841c573b.png所以01b7960069cdf09b9366cf4e757dd75a.png

    平行四边形与矩形面积

    若四边形为矩形,即a=c,b=d,那么代入

    a84e8c9f983c81ddde7cc274bcd95072.png可得平行四边形中

    a83a0cbc6e1cb1e0c8721da54b1c88ac.png

    而代入01b7960069cdf09b9366cf4e757dd75a.png可得平行四边形面积为9928cc9625f29745dfcf9e0c1963e5c0.png

    如果再是矩形的话46bf94f7ac23f644f5af46b7b8593015.png代入上述平行四边形的面积公式,即得矩阵面积公式为:S=ab

    内接于圆的四边形

    四边形内接于圆时,面积最大;事实上,多边形内接于圆时,多边形面积最大。对于四边形内接于圆,会有角A和角C互补,代入01b7960069cdf09b9366cf4e757dd75a.png可得6e5bbd4221fa3b656d4f7952fa7914c4.png

    而反过来,由一般四边形有a64bc4aa4b515cbdd999a8462089259d.png等号成立(取最值)的条件也很明显,就是内接于圆时。

    4ce316f077c1fb16ccd8c794abf91618.png

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  • 仿射变换以及数学公式的实现

    千次阅读 2019-07-15 11:02:32
    什么是仿射变换? 仿射变换指在几何,一个空间向量进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。 比如说某一矩形的某一顶点发生平移旋转后的位置。 关键算子: vector_angle_to_rigid affine_...

    什么是仿射变换?

    仿射变换是指在几何中,一个空间向量进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。

    比如说某一矩形的某一顶点发生平移旋转后的位置。

     

    关键算子:

    vector_angle_to_rigid 
    affine_trans_point_2d

     

    实验与测试:

    halcon代码:

    dev_set_draw ('margin')
    RR1:=50
    CC1:=100
    RR2:=150
    CC2:=300
    gen_rectangle1 (ROI_0, RR1, CC1, RR2, CC2)
    area_center (ROI_0, Area, Row, Column)
    gen_cross_contour_xld (Cross,Row, Column , 20, 0)
    dev_set_color ('green')
    *变换前的点
    gen_cross_contour_xld (Cross1,RR1, CC1 , 20, 0.785398)
    gen_cross_contour_xld (Cross2,RR2, CC2 , 20, 0.785398)
    *仿射变换
    vector_angle_to_rigid (Row, Column, rad(0), Row, Column, rad(30), HomMat2D)
    affine_trans_point_2d (HomMat2D, RR1, CC1, Qx, Qy)
    *显示变换后的点
    gen_cross_contour_xld (Cross3,Qx, Qy , 20, 0.5)
    stop()
    *以下为测试变换结果是否正确
    affine_trans_region (ROI_0, RegionAffineTrans, HomMat2D, 'nearest_neighbor')
    *辅助圆
    *半径
    distance_pp (RR1, CC1, Row, Column, Distance)
    gen_circle_contour_xld (ContCircle, Row, Column, Distance, 0, 6.28318, 'positive', 1)
    stop ()

    运用数学方式实现仿射变换:

    仿射变换可以拆解为一个物体发生1、位移,2、变换 后的坐标位置 平移好处理,旋转我们可以发现物体都是围绕一个点进行旋转的,旋转一周刚好形成一个圆的轮廓。于是可以用圆上任意点的公式进行计算:

    x = x0+R*cosθ
    y = y0+R*sinθ

    式中x和y是任意一点坐标,x0和y0是围绕的中心点坐标,R是半径

     

    代码:

    *求矩形旋转30°后左上角顶点坐标
    dev_set_draw ('margin')
    Phi:=rad(30)
    RR1:=50
    CC1:=100
    RR2:=150
    CC2:=300
    gen_rectangle1 (ROI_0, RR1, CC1, RR2, CC2)
    area_center (ROI_0, Area, Row, Column)
    gen_cross_contour_xld (Cross,Row, Column , 20, 0)
    *显示左上角顶点
    gen_cross_contour_xld (Cross,50, 100 , 30, 0.5)
    *以下使用圆上任意一点公式实现数学方式的仿射变换
    *x = x0+R*cosθ
    *y = y0+R*sinθ
    dev_set_color ('green')
    *半径
    distance_pp (RR1, CC1, Row, Column, Distance)
    *左上角顶点到中心点线段与Row轴的斜率
    angle_lx (RR1, CC1, Row, Column, Angle)
    *式中的-rad(180)-Angle-rad(30)这些参数取决于圆的画向是顺时针的
    ORR:=Row+Distance*sin(-rad(180)-Angle-rad(30))
    OCC:=Column+Distance*cos(-rad(180)-Angle-rad(30))
    gen_cross_contour_xld (Cross, ORR, OCC, 20, 0)
    *测试结果是否正确
    vector_angle_to_rigid (Row, Column, rad(0), Row, Column, rad(30), HomMat2D)
    affine_trans_region (ROI_0, RegionAffineTrans, HomMat2D, 'nearest_neighbor')

     

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    微信公众号: xiaoshi_IC,小石谈IC

    名字比较拗口,实际上是:对于一个周期函数,从 三角形式傅里叶级数 引申到 指数形式的傅里叶级数,为什么引申到指数形式,因为加入指数形式后,运算更加简洁,同时引入了方向的概念,因此也有了负频率。

    下面是详细的推导过程:

    基本思路:

    主要就是利用欧拉公式,把三角形式中从cos sin函数分别用欧拉公式代入,然后 令 F(nw1)=(an - jbn)/2,从而得出指数形式的傅里叶级数。

    下图中,倒数第二行中,F(nw1)的由来,参考下图:an也是自己包含nw1,F是关于n的函数,从1到正无穷,扩展到了负无穷到正无穷,至此,傅里叶级数变得很简单

    指数形式的傅里叶变化中,我们依然关心的是系数:F(nw1),因为从前面的假设:F(nw1)=(an - jbn)/2,我们再次利用欧拉公式,就可以得到具体的公式。

    6f51f0af5aab56e6ba1f75c5b314732c.png

    思考:

    c869e115d8ff36ba311ea531b495330b.png

    系数2没有是指,前面F(nw1)替换的时候,分子上多了个2,因此这里没有2.

    上面都是指周期信号,下面说下非周期信号,从而引出傅里叶变换。绝大多数信号都是非周期信号,可以把非周期信号看成周期很长的周期信号。也就是把下图中的T趋向于无穷。

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空空如也

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中矩形公式是什么