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  • 为什么连续,函数就可微?

    万次阅读 多人点赞 2018-10-23 17:50:27
    如果函数 的偏数 、 在点 连续,那么函数在该点微。 下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。 先简单阐述下“连续”、“偏数”、“微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后...

    多变量微积分里面有这么一个结论:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 连续,那么函数在该点可微。

    下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。

    先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

    1 连续的含义

    通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的:

    1.1 没有缝隙

    我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙:

    如果把曲线看作一条道路的话,那么不管是蚂蚁、人还是自行车,都有能力从左边走到右边:

    而不连续的曲线会有断裂:

    蚂蚁通过能力太差,就没有办法跨过裂缝:

    1.2 另一层含义

    从代数上我们可以看到另外一层含义。假设f(x_0) 附近某点为f(x_0+\Delta x) ,根据连续的性质有:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)

    利用极限的性质可以得到:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)\implies f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    因此上式表明,f(x_0) 与附近f(x_0+\Delta x) 的值相差非常小,这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

    2 可微的含义

    2.1 单变量函数的微分

    一元的情况下,在(x_0,f(x_0)) 点可微指的是,在(x_0,f(x_0)) 点附近可以用直线来近似曲线,这根直线就是切线:

    距离(x_0,f(x_0)) 越近,这种近似越好,体现为切线和曲线之间的相差越来越小:

    \Delta x=x-x_0 ,那么x_0 附近曲线与直线的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0)+f'(x_0)\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    2.2 多变量函数的微分

    多元的情况下,就要复杂一些。关于下面内容,想了解更详细的可以参看:

    2.2.1 偏导数

    首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面

    平面y=t,t\in\mathbb{R} 是一系列平面,它们与曲面交于一条条曲线:

    很显然,点在这些曲线上运动,y 是不会变化的,只有x 会变化:

    偏导数\frac{\partial f}{\partial x} 所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度(变化率),对于(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似,也就是这条曲线的切线,或者称为偏微分:

    这种近似关系可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    同样的道理,偏导数\frac{\partial f}{\partial y} 描述的是只有y 值变化的曲线上的点的速度,假设这样的曲线为f_y(x,y) ,其切线与之的近似关系可以表示为::

    \underbrace{f(x_0,y_0+\Delta y)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta y)}_{代表非常小的值}

    2.2.2 微分

    多变量的函数f(x,y) 在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点的微分,指的是在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点找到一个平面来近似曲面,这就是切平面:

    切平面与曲面的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)}_{曲面}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{平面}\quad+\quad\underbrace{o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}_{代表非常小的值}

    上面出现了o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) ,这是因为此点的邻域是一个平面(下面用圆来表示这个平面,实际上这个圆可以任意大小):

    此圆的半径可以表示为:

    r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}

    2.3 微分与偏微分的关系

    很显然,过(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,并不是只有x,y 方向的曲线(两个方向的曲线的切线就是偏微分):

    还有无数别的方向的曲线(随便画了两条):

    这些曲线的切线(假如有的话)要在同一个平面,这个平面就是切平面,才叫做可微(详情参考之前给出的参考文章)。

    而偏微分只是无数切线中的两条,所以:

    偏导数存在\mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow 可微

    比如f(x,y)= \frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}} 就是偏导数存在,但是不可微。它的图像是:

    (0,0,0) 点,f(x,y) 与x=0,y=0 的交线是下面红色的直线,分别与x 轴和y 轴重叠:

    因此,在(0,0,0) 点的偏微分就是x 轴和y 轴。但是f(x,y) 与y=x 的交线是:

    (0,0,0) 点形成了一个尖点:

    很显然此曲线的切线不存在(此曲线的左右切线由方向导数决定)。因此f(x,y) 在(0,0,0) 点不可微(具体细节也请参看参考文章)。

    3 偏导数连续推出可微

    前面说了很多,就是为了得到下面这个表格:

    \begin{array}{c|c}    \hline    \quad 连续 \quad&\quad f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+o(\Delta x)\quad\\    \hline    \quad 偏导数 \quad&\quad f(x_0+\Delta x,y_0)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)\quad\\    \quad \quad&\quad f(x_0,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y)\quad\\    \hline    \quad 多元可微 \quad&\quad f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\quad\\    \hline\end{array}

    下面讲解涉及的三维图像太复杂,不容易看清,所以把三维图像画到二维中,应该不会影响理解。

    先给出A 、B 、C 、D 四个点,把它们的三维坐标也标出来:

    A 点的偏导数连续,分别为:

    \frac{\partial f}{\partial x}\quad \frac{\partial f}{\partial y}

    A 出发,运动到B ,很显然只有x 方向有变化:

    因此B 点的值为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}=\underbrace{f(x_0,y_0)}_{A点}+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)

    继续往上走到C 点:

    因为偏导数连续,所以附近的偏导数也是存在的,假设B 的偏导数为\frac{\partial f}{\partial y_b} ,那么可得:

    \begin{aligned}\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)}_{C点}    &=\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)\\    \\    &=\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\end{aligned}

    这里就是关键了,因为偏导数连续,所以A 、B 偏导数差不多,有:

    \underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_b}}_{B点偏导}=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}}_{A点偏导}+o(\Delta x)

    因此上式可以改写为:

    \begin{aligned}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_1}}_{\frac{\partial f}{\partial y}+o(\Delta x)}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\underbrace{o(\Delta x)\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)}_{等价于o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\\\end{aligned}

    至此,得到了A 点可微的结论(上面的等价性没有证明,在一些《数学分析》书籍中,可微采用的是类似的定义)。

    如果仔细看上面的证明,会发现只用到了\frac{\partial f}{\partial y} 连续,因此条件可以减弱一些:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 及其邻域存在,偏导数其中之一在邻域内连续,那么函数在该点可微。

    最新版本可以参见: 为什么偏导数连续,函数就可微?

    展开全文
  • 连续的定义: 1,该点函数值等于该点极限 2,该点有定义 3,函数有极限可导要满足: 1,导数存在 ...比如说:y= |x| 这个函数就不满足上述所说的可导性,因为在x = 0时 是不可导的,左右导数不相等

    连续的定义:
    1,该点函数值等于该点极限
    2,该点有定义
    3,函数有极限

    可导要满足:
    1,导数存在
    2,左右导数相等
    比如说:y= |x| 这个函数就不满足上述所说的可导性,因为在x = 0时 是不可导的,左右导数不相等

    展开全文
  • 连续不一定可导。所以,左右导数存在且相等能保证该点是连续的。仅有左右导数存在且该点连续不能保证可导:例如y=|x|在x=0点。函数可导的条件如果一个函数的定义域全体实数,即函数在其上都有定义,那么该函数...

    可导的充要条件2019-12-06 11:37:31文/董月

    可导的充要条件:以下3者成立:①左右导数存在且相等是可导的充分必要条件。②可导必定连续。③连续不一定可导。所以,左右导数存在且相等就能保证该点是连续的。仅有左右导数存在且该点连续不能保证可导:例如y=|x|在x=0点。

    d5b95a293373817120d98d55980e89ac.png

    函数可导的条件

    如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在其上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件:函数在该点的左右导数存在且相等,不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等,并且在该点连续,才能证明该点可导。

    可导的函数一定连续;连续的函数不一定可导,不连续的函数一定不可导。

    可导,可微,可积和连续的关系

    对于一元函数有,可微<=>可导=>连续=>可积

    对于多元函数,不存在可导的概念,只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在,仅仅保证偏导数存在不一定可微,因此有:可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

    可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导;

    可微与连续的关系:可微与可导是一样的;

    可积与连续的关系:可积不一定连续,连续必定可积;

    可导与可积的关系:可导一般可积,可积推不出一定可导。

    展开全文
  • 有关函数可积、连续、间断、可导等问题的探究一、基本概念:①原函数:'fxFxFxfxFxfx已知函数是一个定义在某区间的函数,如果存在函数,使得在该区间内的任一点都有=,则在该区间内称函数...

    有关函数可积、连续、间断、可导等问题的探究

    一、

    本概念:

    原函数:

    '

    f

    x

    F

    x

    F

    x

    f

    x

    F

    x

    f

    x

    已知函数

    是一个定义在某区间的函数,如果存在函数

    ,使得在该区间内的

    任一点都有

    =

    则在该区间内就称函数

    为函数

    的原函数。

    函数可积:

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    b

    a

    f

    x

    a

    b

    f

    x

    a

    b

    f

    x

    i

    f

    a

    x

    dx

    ii

    a

    b

    a

    b

    a

    b

    b

    定积分

    注:

    可积

    的说法只是针对定积分而言,即

    闭区间

    改成开区间

    后对定积

    如果

    上的

    存在,我们就说

    上可积

    分的值不影响,即定积分在开区间

    。即

    上的可积函数。

    依然存在

    变上限函数:

    ,

    ,

    ,

    ,

    x

    a

    x

    a

    x

    a

    f

    x

    a

    b

    x

    a

    b

    f

    x

    dx

    x

    a

    b

    x

    f

    x

    dx

    a

    b

    f

    t

    dt

    设函数

    在区间

    ,并且设

    上的一点,考察定积分

    如果积分上限

    在区间

    任意变动,则对于每一个取定的

    值,定积分

    有一个对应值,所以它在

    上定义了一个函数,

    记积分上限函数

    连续

    二、函数可积与原函数理论:

    ①函数可积的几个条件:

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ii

    ii

    f

    x

    a

    b

    a

    b

    i

    f

    x

    a

    b

    ii

    f

    x

    a

    b

    f

    x

    a

    b

    iii

    f

    x

    b

    i

    a

    可积则它必在

    上界,

    即函数可积

    函数在该区间上有界

    但有界函数不一定可积,如:狄利克雷函数

    上连续

    上至多有有限个第一类间

    注:函数可积的充分条件中的

    中的

    有界

    是排除函数出现无穷间断点的情况,在能够保证函数

    不存在

    断点且有界

    无穷间断点时

    可积

    上单

    有界

    调且有

    函数可积的必要条件

    函数可积的充分条件

    件可以舍去

    ②可积函数的原函数的存在性讨论:

    展开全文
  • 为什么...y=|x|没有导数呢? 该函数在x=0处没有导数,其他点都可导。你可以从几何上看,导数是曲线在该点处的切线斜率,所以如果切线存在,导数存在,切线存在,那么导数也存在。实际上,这个函数在0处没有...
  • 点击左下角“一般而言,分段函数是指在不同的定义区间上对应不同的解析式的函数,如果一个函数不是初等函数,就不一定具有初等函数的一些很好的性质,如初等函数在其定义区间上连续等等,这也是为什么老师们在课堂上...
  • 2020-数学一

    2020-11-25 13:54:17
    2.可导意味着不会趋向于无穷或者不连续 3.不是很懂其意思 4. 5.B 6.想不到什么思路,连理一下,找到焦点试试看 7.叫什么法则? 8.中心极限定理,性质都忘了 9.求极限,是求无穷小,普通极限就是在求无穷小 ...
  • ③结合上位机软件免费就可实现PC 对其编程硬件电路连接简单如图3.3 所 示。 104 C3 1K R1 S1 VCC D1 1N4007 RESET Ch 0.1uF 图3.2 复位电路 第7 页共27 页 系统复位时,单片机检查状态字节中的内容。如果状态字0,...

空空如也

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为什么不连续就不可导