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  • 射频(R F)通信接收机的前端将级联中的多个子系统结合起来,以实现几个目标。... 在接收机中,设计的中心思想是获取叠加在射频信号或载波上的信息,并将其转换可以直接应用于扬声器应用或数字的低频形式。 在...

    射频(R F)通信接收机的前端将级联中的多个子系统结合起来,以实现几个目标。 滤波器和匹配网络提供频率选择性以消除干扰信号.. 放大器通过增强接收信号和要传输的信号来管理噪声水平。 与振荡器耦合的混合器将调制信息从一个频率转换到另一个频率。

    只有几种类型的接收机和发射机结构。 在接收机中,设计的中心思想是获取叠加在射频信号或载波上的信息,并将其转换为可以直接应用于扬声器应用或数字化的低频形式。 在蜂窝通信系统中,通常称为基带信号的低频信号可以有30k Hz到5MHz的带宽(在5G NR时代信号带宽已经增加到了100MHz以及以上),载波频率可以是500MHz到2GHz(在5G NR时代信号频率已经增加到了毫米波量级)。 发射机接收基带信号并将其叠加在射频载波上,射频载波可以更容易地辐射到空间中,并且很容易从一个天线传播到另一个天线。 基本的接收机和发射机结构如图1-1所示。 在接收机里,混频器把信息叠加的射频载波向下转换到一个较低的频率上,输出可以直接连接到扬声器或数字化的模拟数字转换器(ADC)。 使用发射机,低频信息承载信号被转换为可以更容易辐射的频率上。 最常见的接收机体系结构如图1-1(A)所示。 首先,天线收集电磁频谱的广泛部分。 天线具有相对较低的频率选择性(它们具有宽带宽),不需要的信号电平可能很大,因此需要通过带通滤波器(B PF)进行额外的滤波处理,以减少呈现给第一级放大器的输入新骄傲电压范围。 最终,这个信号被ADC数字化,但要做到这一点,必须降低信号中携带信息部分的频率。 频率的下降是由混频器级完成的。 在由大的本地振荡器(LO)信号驱动的混频器中,输出中频(I F)信号在与RF和LO的不同的频率(见图1-2)上。 因此 f IF =f 射频 −f LO(虽然有时LO在RF之上,所以f IF =f LO −f 射频 )。 LOs通常有接近工作频率的噪声,因此有一个关于射频和LO的频率如何接近的极限限制,从而使得振荡器噪声不会出现在IF上。 如果只有一级混合器,那么IF可能仍然太高。 解决办法是使用两级混频的方式。 混频(或外差)级之间的BPF进一步阻止不必要的信号。 最终,低通滤波器(LPF)只允许最后一级IF(这里的IF2 )提交给ADC。 一旦数字化,就有可能进一步滤波最初出现在射频上作为调制的预期信号。 一级接收机(见图1-1(B)通常需要一个更有能力的,具有更高的工作频率的ADC。 然而,消除混频级会降低成本和尺寸。 发射机的结构类似于接收机的结构,关键的区别是使用数字到模拟的转换器(DAC)(见图1-1(C))。

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    (a)

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    (b)

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    (c)

    图1-1单边射频前端电路:(a)具有两个混合(或外差)级的接收机;(B)具有一个外差级的接收机;(C)一级混频的发射机。

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    图1-2简单混频器电路:(a)框图;(b)频谱图

    发射机和接收机射频前端的主要有源元件是放大器、混频器和振荡器。 这些子系统有许多共同之处,使用非线性器件将直流功率转换为射频功率。 在混频器的情况下,LO的功率也转换为RF功率。 典型手机的前端如图1-3所示。 这里的组件通常是在一个模块中实现的,并对各种不同的元件使用不同的技术,以优化成本和性能。 这里显示的体系结构有许多不同的版本。 在一个极端,一个模块是与所有的组件被封装在一个屏蔽结构中,也许一侧有1厘米长、2-3毫米厚。 另一个极端是单片机实现,通常在双极性与互补金属氧化物半导体(BiCMOS)技术,硅锗(SiGe)技术,或高性能CMOS称为RFCMOS。然而,有必要使用砷化镓GaAs作为装置来有效地实现通常必须传输的数百毫瓦功率。

    现在返回到如图1-3中所示的以多芯片形式显示的基于混频器的收发信机(用于发射机和接收机)体系结构。 在这里,使用单天线和双工器(低通和高通联合在一起的滤波器)或开关用于分离(频率间隔)发射和接收路径。 如果系统协议要求同时发送和接收,则需要一个双工器来分离发射和接收路径。 这种滤波器往往尺寸较大的,有损的,或昂贵的(取决于所使用的技术)。 因此,如果发射和接收信号在不同的时隙中工作,则首选晶体管开关。 在接收路径中,CMOS或BiCMOS芯片最初放大低电平接收信号,因此低噪声系数是很重要的。 因此,这个放大器被称为低噪声放大器(LNA).. 然后,放大后的接收信号被带通滤波,频率被混频器(由一个带有交叉的圆圈表示)转换为IF(中频),该中频可以由ADC采样以产生由数字信号处理(D SP)进一步处理的数字信号。 这种体系结构的变体版本包括一种有两个下变频转换级的架构;而另一种架构中没有混频器,而依赖于使用亚采样ADC( subsampling ADC)直接转换接收信号。 在发射路径中,结构被反转,由DSP芯片驱动的DAC在IF处产生一个信息承载信号,然后由混频器进行频率上变频转换,带通滤波,并由所谓的功率放大器放大,以产生所需的数百毫瓦发射功率。 另一种发射机设计是直接数字合成(DDS,Direct Digital

    Synthesis),它绕过了频率转换级。 直接转换和DDS是很难实现的,但对于高期望的单个或少数芯片解决方案来说又是必不可少的。

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    图1-3射频前端架构中有多个芯片

    本文介绍射频的操作和设计策略,如 图1-3的射频前端架构,读者可以查看放大器、混合器、开关和振荡器。 该体系结构用于大多数高性能射频和微波通信及雷达系统中。 当子系统要求最好是线性射频组件时,这一要求只能近似满足,因为使用的有源器件本质上是非线性的。 性能从根本上受到失真的限制,这与射频信号的特性有关,而这反过来又取决于对射频载波信息施加影响的信号调制方案。

    1.1 射频信号

    射频通信信号的设计是为了权衡电磁(EM)频谱的有效使用与所需射频硬件的复杂性和性能。 将基带(或低频)信息转换为射频的过程称为调制,其中有模拟调制和数字调制两种。在模拟调制中,射频信号具有连续的取值范围;在数字调制中,输出具有若干离散状态。目前只有几种信号调制方案,实现了频谱效率和易用性与硬件复杂性的最佳权衡。 主要的信号调制方案包括:

    模拟调制(Analog modulation):

    AM 振幅调制(Amplitude modulation)

    FM 频率调制(Frequency modulation)

    PM 相位调制(Phase modulation)

    数字调制(Digital modulation):

    FSK 频移键控(Frequency shift keying)

    PSK 相移键控(Phase shift keying)

    MSK 最小移位键控(Minimum shift keying,FSK的一种形式)

    GMSK 高斯滤波数据的最小移位键控(Minimum shift keying using Gaussian filtered data)

    BFSK 二进制频移键控(Binary frequency shift keying)

    BPSK 二进制相移键控(Binary phase shift keying)

    QPSK 正交PS K(Q PSK也称为四元PSK、四相PSK和四元PSK)

    π/4-DQPSK π/4差分编码QPSK

    OQPSK 偏移QPSK

    SOQPSK 成型偏移QPSK

    SBPSK 成型BPSK

    FOPSK 隔距偏移QPSK

    8PSK 8态相移键控(8-state phase shift keying)

    3π/8-8PSK 3π/8,8态移相键控

    16PSK 16状态相移键控

    QAM 正交调幅(Quadrature amplitude modulation)

    频率调制,以及类似的PM调制方案,被用于模拟蜂窝无线电中。 随着传统AM的加入,这三种方案是模拟无线电的基础。 其他方案用于数字无线电,包括数字蜂窝无线电。 GMSK用于全球系统

    移动通信(GSM)蜂窝系统中,它是FSK的一种形式,产生恒定的调幅信号。 调频、FSK、GMSK和PM技术产生恒定的射频包络,因此信号的振幅中不包含任何信息。 因此,引入系统振幅的误差没有意义,因此可以使用C类等有效的饱和模式放大器,从而延长电池寿命。

    因此,在射频设计的复杂性、调制格式的选择和电池寿命方面存在权衡。 相反,MSK、π/4DQPSK、3π/88PSK和QAM技术不会导致恒定的射频包络,因为其信息包含在射频信号的幅值中。 因此,需要更复杂的射频处理硬件。

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  • 2. 为什么要对连续信号离散化? 在上述架构中,中间的离散系统,通常是微处理器构建的计算机系统。 目的: (1)用有限的、离散的、时域信号的幅度来替代时域上无限的、连续的时域信号幅度。 优点: (1)...

    前言:

    如果你对采样定理和奈奎斯特准则一知半解,本文将给茅塞顿开。

    如果你对为什么采样频率必须大于等于原始信号的带宽的2倍,本文将给你答案。


    目录

    1. 信号与系统的模型

    2. 为什么要对连续信号离散化?

    3. 连续信号离散化(采样)的模型

    3.1 采样的时域分析物理模型

    3.2 采样信号的频谱

    3.3 傅里叶运算的频移特性

    3.4 采样的时域分析数学模型

    3.5 采样信号的频域分析数学模型

    3.6 信号的还原

    4. 采样定理

    4.1 不同采样频率的频谱图

    4.2 奈奎斯特采样定理

    4.3 对采样定理的进一步解读


    1. 信号与系统的模型

    采样是“系统”的功能,采样的目的是对输入的连续信号进行离散化处理。


    2. 为什么要对连续信号离散化?

    在上述架构中,中间的离散系统,通常是微处理器构建的计算机系统。

    目的:

    用有限的、离散的、时域信号的幅度来替代时域上无限的、连续的时域信号幅度。

     

    采样的本质:脉冲编码调制PCM

    PCM采样的本质是:用离散的方波脉冲信号传输时域信号。

    PCM编码的本质是:用二进制传输离散的方波信号的幅度。

     

    优点:

    (1)数字化的信号便于计算机处理,离散化是连续信号数字化的前提。

    (2)离散信号的频谱具备周期性特点,即具备了一定的规律性。

    (3)信号的稳定性好、抗干扰性强、可靠性高

    (4)利于传输

    (5)处理灵活

    (6)便于对信号进行进一步的处理,包括前文介绍的傅里叶变换。


    3. 连续信号离散化(采样)的模型

    3.1 采样的时域分析物理模型

    采样器器,实际上是一一个脉冲式的开关,通过周期性的打开或关闭采样器的开关,从而获取时域连续信号的幅度。

    连通后,所有的时域信号的所有的谐波频率分量都会通过采样器,到达输出。

    这里有两个关键性的参数,采样输出信号的特性:

    (1)脉冲信号的持续时间τ:由于是脉冲信号,因此τ的大小趋近于0。

    (2)脉冲信号的周期T, 即采样周期!

    这个参数非常重要,要确保采样后的信号大体保留原信号的特征,或者说要能够正确地从采样后的信号中还原先的信号,对采样周期T是有要求的,这个采样周期不能太大,采样速率不能太慢。

    如果采样周期过大,采样速率太慢,就意味着获取到的时域信号的采样点个数太少,信息丢失较大。

    如果采样周期太小,采样速率太快,就意味着获取到的时域信号的采样点个数太多,多到与连续信号没有什么差别,就起不到采样的目的。

    在上图中,

    信号1:为直流信号,信号的频率为0,因此任意采样率都是可以的,多个采样点其实是多余的。

    信号2:为低频交流信号,采样率大于2倍的信号频率,能够反应信号的信息。

    信号3:为中频交流信号,采样率等于信号频率,每次采样到信号的最大幅度,也可能采样信号的任意幅度。因此这样采样率的采样是不可靠的。

    信号4:为高频交流信号,采样率小于信号的频率,那么每次采样到的信号的幅度值不是固定值,且肯定无法获取原信号的幅度特征,无法再现原先的信号!

     

    至于到底采样多大的采样率采样才合适呢?

    没有一个绝对的标准,这取决于时域信号内部的谐波分量的最大频率,根据奈奎斯特定理,这个采样的频率大约等于最大谐波频率的两倍。

    至于为什么是2倍的关系,需从频率分析的角度来分析。

     

    3.2 采样信号的频谱

    (1)非周期单脉冲的频谱

    特点:连续、全频谱、非周期

     

    (2)周期脉冲信号的频谱

    特点:离散、周期频谱

    频谱间隔ω取决于采样周期T。ω = 2π/T, 采样周期越小,频谱间隔越大!

     

     

    3.3 傅里叶运算的频移特性

    时域上:两个信号相乘 x(t) * \small e^{jw0t}

    频域上:把x(t)的频谱X(ω)搬移到ω0处。

    频移特性非常非常的重要!在移动通信和无线通信中,得到了及其广泛的应用。

    射频解调和调制,就是利用了傅里叶运算的频移特性!

    调制:把基带信号频谱搬移到载波信号的频谱周围。

    解调:把调制后信号的频谱,在反向搬移到0频附近,留下基带信号的频谱!

    这就是大名鼎鼎的频谱搬移!

    详解:《信号与系统》解读 第3章 强大的傅里叶时域频域分析工具-4:傅里叶运算的5大主要特性:https://mp.csdn.net/editor/html/109998323

     

    3.4 采样的时域分析数学模型

    对上述的物理模型,进行数学建模,模型如下:

    因此,采样的过程,实质上是两个信号相乘的过程:

    (1)一个是周线性、离散的采样信号, 它是有无数个离散的脉冲信号构成,每个脉冲信号是前一个脉冲信号的延时:n*T.

    (2)一个是原始的被采样的信号,这样得到一个离散信号的集合。

    如上图所示,T为采样周期。时域信号采样后得到信号如下:

     

    3.5 采样信号的频域分析数学模型

    从上图可知,采样信号时域是离散周期脉冲信号。本质是周期、离散信号。

    其频谱如下:

    (1) 图形表示法

    P(jw):脉冲信号的频谱。

    X(jw):原始信号的频谱。

    根据傅里叶的频移特性,原始信号的频谱X(jw)被搬移到脉冲信号所有谐波分量的频谱上。

    原始信号的频谱搬移后,频谱的幅度被降低为原先的1/T倍。

    上图有两个带宽:

    • 采样信号的频谱间隔:Wsample = 2π/T,  T为采样周期,T越小,频谱间隔越大!
    • 原始信号的频谱带宽:原始信号的最大谐波频率Wm

     

    (3)数学表示法

     

    3.6 信号的还原

    根据采样信号的频谱图上,可以看出:

    (1)通过一个低通滤波器,可以还原出原先的信号,只是幅度降低为采样信号周期的1/T倍。

    (2)再通过一个放大器,对采样、滤波后的信号进行放大T倍,就可以得到原先的时域信号!

     

    4. 采样定理

    4.1 不同采样频率的频谱图

    在原始信号的最大频率(频谱带宽)确定的情况下,经过采样后,原始信号的频谱会被搬移到采样信号的各个谐波分量上。

    不同的采样频率,其采样后的信号的频谱图是不相同,如下图所示:

    (1)Ws > 2*Wm

    原始信号的频谱被搬移到到采样信号的各个谐波分量上,且搬移后的各个原始信号的频谱之间没有重叠 ,有一定的频率间隔,相互不干扰,因此很容容易通过低通带通滤波器把原始信号过滤出来。

    (2)Ws =  2*Wm

    原始信号的频谱被搬移到到采样信号的各个谐波分量上,且搬移后的各个原始信号的频谱之间没有重叠 ,没有的频率间隔,且相互不干扰,但由于之间紧密相邻,需要高性能的低通或带通滤波器,才能把原始信号过滤出来。

    (3)Ws < 2*Wm

    原始信号的频谱被搬移到到采样信号的各个谐波分量上,且搬移后的各个原始信号的频谱之间出现重叠,导致相互干扰,因此无法还原原先的信号。

     

    4.2 奈奎斯特采样定理

    经过上述的分析,再来看采样定理,就很容易理解了:

    采样定理是美国电信工程师H.奈奎斯特在1928年提出的,在数字信号处理领域中,采样定理是连续时间信号(通常称为“模拟信号”)和离散时间信号(通常称为“数字信号”)之间的基本桥梁。

    该定理说明采样频率信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。 它为采样率建立了一个足够的条件,该采样率允许离散采样序列从有限带宽的连续时间信号中捕获所有信息。

    在进行模拟/数字信号的转换过程中,当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>2fmax),采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息。

    一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的2.56~4倍;采样定理又称奈奎斯特定理

     

    4.3 对采样定理的进一步解读

    4.3.1 从频域的频率搬移的角度看采样定理

    采样的本质是频率搬移,如果搬移后的信号的频域的频谱中谐波分量之间没有相互的干扰,根据傅里叶分析方法可以知道,时域的信号与原先的时域信号就是一致的。

    只有采样频率Ws足够大,大到Ws>2Wm, 才能保证原始信号的频谱被搬移后,相互不重叠,这就是采样定理的内在原因。

     

    4.3.2 从时域信号的角度看采样定理

    Ws>=2Wm只是必要条件,而不是充分条件。从时域的角度看,Ws>2Wm时,并不一定完全恢复原先的信号,实际上是有损失的。

    假设以时域信号中最高谐波分量为例, Ws = 2Wm

    (1)有损恢复

    如果,时域信号就是一个单一的正弦波,  且Ws = 2Wm。

    那么,按照上图的时序采样,采样后的信号,还原出来后,得到的是一个三角波。

    (2)无法恢复

    如果,时域信号就是一个单一的正弦波,  且Ws = 2Wm。

    那么,按照上图的时序采样,采用后的信号,还原出来后,得到的是0电平信号。很显然,无法恢复!

     

    从上图分析可以看出,Ws >= 2Wm,并不应一定能恢复出原先的信号,特别是单音信号(单一频率的信号)。

    那么为啥奈奎斯特还是说明Ws >= 2Wm,这是因为:

    在实际系统中,原始信号往往还包含其他更低频率的分量,即使遇到上图无法恢复的情形,也只是针对的是高频分量,对于低频分量,还是可以有损恢复的。

    时域的原始信号中的谐波分量,低频分量的占比越多,这个信号越容易恢复。即原始的时域信号,变化越缓慢,越容易恢复。

    另外,在实际应用中,通常的采样频率为信号最高频率的2.56~4倍,至于多少倍,取决于原始时域信号本身在时域上的变化的程度。

    时域中信号的变化程度,最终反映到时域信号中谐波分量的最高频率的大小。

     

     

     

     

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  • (1)DTFT是对时域的采样,进行DTFT之后时域的信号就变成离散化的了,时域的离散化造成频域的周期延拓,而时域的非周期对应于频域的连续(很多人可能无法理解这句话,其实这句话没什么理解的,就是对这种现象的一句...

    学信号最烦的便是数字信号处理,感觉很一大部分的人都在DTFT和DFT和FFT之间迷茫,下面我就大概谈一下我自己对它们的看法。
    数字信号处理过程
    下面我就从第一步大概给大家介绍一下它们的变化过程。
    首先是DTFT:
    (1)DTFT是对时域的采样,进行DTFT之后时域的信号就变成离散化的了,时域的离散化造成频域的周期延拓,而时域的非周期对应于频域的连续(很多人可能无法理解这句话,其实这句话没什么理解的,就是对这种现象的一句话的总结)。这里的周期延拓的周期就是采样频率Ωs。此处的DTFT是序列(为什么叫序列呢,是已经在时域对信号进行采样了,所以信号叫做序列)在频域的表示。在频域中承载着信息,其含义是将信号表达为许多不同频率的复正弦信号的加权平均和,水平轴为复正弦信号的频率,纵轴为对应的幅值。(这里感觉是傅里叶级数的内容吧,印象比较清楚的是一个方波是无穷个正弦信号的叠加,然后频谱是无限的,仅仅针对某些特殊的信号频谱才是有限的,例如正弦信号,只在一处对应的幅值不为零,其他都为0,所以是一条线)。
    感觉此处大家可能有一个疑问,长度有限的信号的频谱一定是无穷大的么,我感觉是的,例如门函数,它就是由无穷个正弦波才能叠加而成,所以频谱是无限的(后面窗函数也会说到这个问题)。
    (2)计算机对信号处理信号必须是有限长的吧,不然计算机怎么处理信号呢对吧。所以第二步的DTFT在时域对信号进行了截断,将时域无限长的信号截成了有限长的信号,怎么截呢,此处就用到了窗函数。
    窗函数就是在时域如下图所示的函数(大括号不知道怎么打,将就着看吧):
    r[n] = 1 0<t<T0
    0 其他时间
    r[n]在频域的图像如下面的Rn(w)所示:
    在这里插入图片描述
    上图的X(ejw)是余弦函数的对应的频谱的图像,又为了截断信号,时域的信号肯定是相乘对吧,这样子才能把信号时域信号截断为有限长,由时域频域对应的运算关系可以知道,时域的乘积对应的是频域的卷积对吧,频域的卷积结果就如Y(ejw)所示。
    这里大家要和滤波器的内容区分开来,滤波器其实是频域的门函数,主要是对频率进行截断,而窗函数是频域的门函数,这里一定要区分开来。
    大家肯定都注意到了,对于第一个图第二个的DTFT对应的频谱中间有些锯齿的东西,其实就是这个影响,对于第一个图我们是不是可以想象成有许多频率的信号分别和这个X(ejw)卷积,然后想加,X(ejw)本来它的旁瓣也不为零,有一定的高度,所以那么多的信号叠加,中间的位置肯定就会产生锯齿状的频谱了呀。
    这个现象的专业术语叫频谱泄露,为了改变这种现象,常用的方式大概有增加窗函数的长度,选用不同的窗函数,合理选取信号截断的部分等方式。
    然后是后面的DFS:
    对于DFS我们不妨从后面频域考虑,我们计算机处理信号只能是处理离散的信号对吧,所以我们费尽心机从时域采样,但是频域的信息是连续的,那么我们是不是可以对频域的信息也进行采样,将频域也离散化呢,这样子才能便于计算机的处理对吧。
    此处信号的频域离散化(注意此处的频域离散化指的是数字角频率感觉)对应的是截短信号时域周期化(如果暂时不理解这个内容先试着接受,时间长了感觉就会有新的感受,哈哈哈哈)。大家想哦,频域采样需要考虑什么呀,由于频域是周期延拓的,当然是频域一个周期的采样点数是多少,采样间隔是多少了对吧。那就不得不提一下数字角频率和模拟角频率的概念了,相信其中的模拟角频率绝对是大多数人学习信号的时候最难搞懂的内容了。

    数字角频率和模拟角频率的关系,我感觉这个图说的最形象了在这里插入图片描述
    首先,对于正常的坐标轴,对应的横坐标是Ω(模拟角频率),此处大家很好理解,但是下面为什么要将横轴改变为w呢,哎,此处看不出来巧妙之处,如果将频谱离散之后你是不是就大概看懂了此处的内容了吧,你会发现谱线间隔就是2π/N(N就是采样点数),当然也等于Fs/N(其实一样的),此处改成2π主要是因为频域离散之后,模拟角频率就感觉分析起来离散的,是不是怪怪的(此处感觉我也没办法形容,就是一种新的概念的引入吧)。
    此处我再放三个图吧,大家可以对照理解一下(第三个是DFT和z变换的关系感觉,不过差不多是一样的)在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    通过我们对DFT运算过程中我们发现,序列补零后可以减少谱线间隔,也就是减小栅栏效应,补零后的分辨率是2π/L(L是补零后的DFT点数)。

    但是,最最最重要的一点是序列补零并不能增加DFT频率分辨率,先看下面的这个图:在这里插入图片描述
    这里有两个长度,N和L,N是信号的有效长度,L是序列补零后的长度,N影响的是序列DTFT的分辨率,在这里插入图片描述
    但是L影响的是对DTFT采样的个数,也就是这个图,在这里插入图片描述
    这里大家好好体会一下吧,我感觉就像是拍照一样,DTFT就像是拍照拍出来的像素,DFT就像是你去看这个图片,N比较长,相当于相机像素好,你看的清晰,L长,相当于你的眼睛好,但是相机质量差呀,你看的再清晰图片本来就是糊的,怎么能分辨出频谱细节呢。(自己体会一下吧)

    DFS其实就是对DFT进行周期延拓,DFT就是取出了DFS的一个主值区间,这个其实是一样的,不分开说了。

    FFT其实就是发现了DFT运算的某些数学关系,然后进行的一种简化运算,暂时也不说了吧,有空再写。

    个人理解,如果有不对的敌方,欢迎指正。

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  • 离散抛砖

    2021-04-08 19:13:06
    z变换,就是离散化的形式,为什么要将s域转换成z域呢?为什么要将t时域呢? 拉普拉斯变换与z变换原理类似,t时域中求导不便于求解微分方程,而在离散化过程,可认为离散化就是信号采集与信号保持的过程,在信号采集...

    最近一直在瞎看,顺便拣了拣自动控制原理的东西,今天看代码突然对出现离散化的东西很迷茫,特此记录一下。

    z变换,就是离散化的形式,为什么要将s域转换成z域呢?为什么要将t时域呢?

    拉普拉斯变换与z变换原理类似,t时域中求导不便于求解微分方程,而在离散化过程,可认为离散化就是信号采集与信号保持的过程,在信号采集过程由于积分会导致出现e^st形式,

    这种具有s的超参形式难以计算,故将其z变化。

    这里的难以计算是指:不能转换成对变量加减乘除的形式。从理想角度来看,还是加减乘除的形式更方便计算。类似与空间转换过程的李群李代数。

    就目前计算机系统里面的向前差分,向后差分,与双线性差分与自动控制理论中的z变换有什么区别呢?

    譬如针对一阶系统中的低通滤波器,可以写成向前差分,向后差分,双线性差分,或者用查表形式得到的离散化有什么区别呢?

    Y(S)/U(S) = 1/(RCS+1) 

    将器变换至:

    1/(RC)*1/(S+1/(RC)) 

    通过查表可以将其转换成:

    Y(Z)/U(Z)=z/(z-e^(-1/(RC)*T))

    而对于向后差分,其传递函数可写成:

    Y(S)/U(S)=1/(RCS+1)

    对其进行拉普拉斯逆变换,可得到:

    RC*(dY(t)/dt)+Y(t)=U(t)

    这里可以利用向前差分,向后差分,与双线性差分或者直接差分形式将其转换,其中向前差分,向后差分实际上是对通过公式得到的离散化形式的一种粗略简化表示形式,

    这里可以联想泰勒展开,将一个精确的方程,展开得到由很多方程求导的形式,差分法,就相当于对其进行一次导。

    由于很多书标有向前差分不一定稳定,故采用向后差分形式:

    RC*(Y(k)-Y(k-1))/T+Y(k)=U(k) 

    由此可以得到:

    Y(K)=RC/(RC+T)Y(K-1)+T/(RC+T)U(K)

    这里可以进行Z变换:

    RC(Y(Z)-ZY(Z))/T+Y(Z)=U(Z)

    经过变换可得到

    Y(Z)/U(Z)=1/(RC/T*(1-Z)+1)

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为什么信号离散化