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  • 想当初,考研的时候要是知道有这么个好东西,计算定积分。。。开玩笑,那时候计算定积分根本没有这么简单的。但这确实给我打开了一种思路,用编程语言去解决更多更复杂的数学问题。下面进入正题。 如上图所示,计算...
  • 主要为大家详细介绍了C语言求解定积分的方法,文中示例代码介绍的非常详细,具有一定的参考价值,感兴趣的小伙伴们可以参考一下
  • 今天小编就为大家分享一篇python 求定积分和不定积分示例,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助。一起跟随小编过来看看吧
  • 本文章是关于C语言实现定积分求解方法。
  • 主要为大家详细介绍了C语言使用矩形法求定积分的通用函数,分别求解sinx, cosx,e^x,文中示例代码介绍的非常详细,具有一定的参考价值,感兴趣的小伙伴们可以参考一下
  • 利用龙贝格算法计算数学中的定积分公式,其中利用到了梯形、辛普生、科斯特过程
  • 今天小编就为大家分享一篇C语言:利用指针编写程序,用梯形法计算给定的定积分实例,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助。一起跟随小编过来看看吧
  • 网上火热的定积分形式的WIFI密码的数学计算方法,及通用的计算机解法。
  • 思路就是将积分区间划分成n等份,然后将这n等份近似看成矩形(或梯形),然后对所有的矩形(或梯形)的面积进行求和
  • 定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。 这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值,而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-...
  • C++求解定积分代码

    2019-02-19 21:29:41
    C++编程实现求解定积分,键入相应表达式及上下限即可求解定积分。 C++编程实现求解定积分,键入相应表达式及上下限即可求解定积分
  • 主要介绍了C语言实现求定积分的方法,涉及C语言操作相关数学函数的技巧,具有一定参考借鉴价值,需要的朋友可以参考下
  • 人生有无数的可能性,考研的结果一定不是终点!但做的每一个选择都要坚持到最后!这是对自己、对梦想最大的尊重!用探索方法代替消极迷茫,用寻求技巧抵消杂乱慌张!争分夺秒,竭尽所能!悉心浇灌,静候花开!...
  • MATLAB求解无穷区间定积分 部分源码 clear;clc;close all k=1; a=-10; %积分下限 b=10; %积分上限 global x
  • simpson法则: 写程序计算积分. 可以参考从梯形积分的代码. 运行程序和正确答案4.4比较,估计计算的相对误差. 子区间数取N=100和1000, 分别查看结果的不同, 和课件中的梯形积分的结果比较.
  • 人生有无数的可能性,考研的结果一定不是终点!但做的每一个选择都要坚持到最后!这是对自己、对梦想最大的尊重!用探索方法代替消极迷茫,用寻求技巧抵消杂乱慌张!争分夺秒,竭尽所能!悉心浇灌,静候花开!...
  • 定积分计算

    2016-05-21 16:32:49
    运用c++类实现定积分的计算,包含函数类,积分方法类,以及相应的测试数据
  • 一些matlab的基础资料-Matlab 和 不定积分与定积分.doc 这些是我在学习期间自己做的一些笔记,简洁明了,分享给大家,希望对刚学习的朋友有所帮助,主要是高等数学内容 逻辑运算:matlab编程基础の基础.doc ...
  • 定积分不等式证明方法及44道经典积分证明题 定积分不等式证明方法及44道经典积分证明题
  • Matlab求解定积分/不定积分

    万次阅读 多人点赞 2019-10-03 14:30:49
    功能:计算定积分 格式:int(f,x) 功能:计算不定积分 使用int函数之前,先用syms声明x是符号变量 例: 代码: syms x y1=1/(1+x^4); y2=(x*exp(x))/(1+x)^2; y3=1/(x^2+2*x+3); fy1=int(y1) fy2=int(y2,0.....

    一、符号积分
    求符号积分函数:int

    格式:int(f,x,a,b)

    功能:计算定积分

    格式:int(f,x)

    功能:计算不定积分

    使用int函数之前,先用syms声明x是符号变量

    例:

    代码:

     syms x
     y1=1/(1+x^4);
     y2=(x*exp(x))/(1+x)^2;
     y3=1/(x^2+2*x+3);
     fy1=int(y1)
     fy2=int(y2,0,1)
     fy3=int(y3,-inf,+inf)
    二、数值积分
          在科学研究和工程技术中,经常遇到积分的计算,虽然有些函数的不定积分可以求出其初等函数表示式,但有更多的函数,它们的不定积分不是初等函数,这样就无法利用牛顿莱布尼兹公式求出其定积分,甚至经常遇到只知道函数在一些离散点的值,但函数表达式未知的情况,在上述情况下就必须以数值方法求定积分的近似值。用数值方法求定积分的近似值,通常称为数值积分。

    (1) 用梯形法计算积分;
    适用于被积函数为离散数据时,求函数的定积分。该函数调用格式:I=trapz(x,y)
    例:


    clc,clear
    format long
    ac=@(x)sin(x)./x
    x1=pi/4:pi/50:pi/2;
    y1=ac(x1);
    s1=trapz(x1,y1)
    x2=pi/4:pi/100:pi/2;
    y2=ac(x2);
    s2=trapz(x2,y2)
    (2) 基于变步长辛普森法计算积分
    该函数调用格式:[I,n]=quad(‘fname’,a,b,Tol,trace)
    其中:‘fname是被积函数名
          a,b是积分上下限
          Tol是精度控制值,省却时取0.001
          Trace:控制是否显示展现积分过程,取0不展现
          I:积分值
          n:被积函数调用次数
    例:


    ac=@(x)sin(x)./x
    s=quad(ac,pi/4,pi/2)

    (3) 高精度Lobatto积分法
         格式:z = quadl(Fun,a,b)
    (4) 自适应Gauss-Kronrod数值积分
           z = quadgk(Fun,a,b)
    (5) 积分法矢量化自适应simpson数值积分
         格式:z = quadv(Fun,a,b)
          一次可以计算多个积分

       F=@(x,n)1./((1:n)+x.^2);
          quadv(@(x)F(x,6),0,1)
    三、数值二重积分
     I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace),求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重积分。
    例:

    计算二重积分:

    其中

     f=@(x,y)exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)
     I=dblquad(f,-2,2,-1,1)

    ————————————————
    版权声明:本文为CSDN博主「键盘里的青春」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_34374664/article/details/79186465

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  • 定积分

    2019-11-01 22:17:04
    定积分的定义 定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。 这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅...

    定积分的定义

    定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
    这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式),其它一点关系都没有!
    一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
    定积分的正式名称是黎曼积分。
    定积分的几何意义:函数图像与x轴围城的面积。
    狄利克雷函数在任意区间都不可积。
    闭区间上的连续函数和单调函数是该闭区间上的黎曼可积函数。

    定积分的性质

    假设f(x),g(x)在[a,b]上可积:
    如果f(x)≥g(x),则
    f(x)在[a,b]上的定积分大于等于g(x)在[a,b]上的定积分。
    常数与不定积分的乘积定律同样适用于定积分。
    非负函数的定积分一定是非负的。
    定积分中值定理,如果f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]内至少存在一点c使得
    f(x)在[a,b]上的定积分等于(b-a)*f©
    在[a,b]上的定积分的绝对值小于等于对f(x)在[a,b]上的绝对值的定积分。
    假设f(x)在[a,b]上可积:
    若g(x)仅仅在有限个点处与f(x)的取值不同,那么则g(x)也可积,并且f(x)在[a,b]上的定积分与g(x)在[a,b]上的定积分相等。
    对于任意c∈[a,b],f(x)在a,b上可积,则a,c上的定积分加c,b上的定积分等于a,b上的定积分。
    定积分的运算可以和加减交换顺序。

    变上限定积分

    定义 假设f(x)在[a,b]上连续,则对于任意一点x∈[a,b]函数f(x)在区间[a,x]上可积,上限为x的定积分,称为变上限定积分。显然,变上限积分是关于x的一个函数。
    连续函数的变上限定积分就是f(x)的一个原函数。

    定义
    如果函数 在区间 上连续,并且存在原函数 F(x),则f(x)在[a,b]上的定积分=F(b)-F(a),这个公式又称为牛顿莱布尼兹公式。
    定积分就等于不定积分在两端的差值。

    奇函数与周期函数的定积分

    如果f为[-a,a]上的偶函数,而g为[-a,a]上的奇函数,它们都可积,那么对[-a,a]上的定积分等于2倍的[0,a]的定积分。g(x)在[-a,a]上的定积分为0.
    f为实轴上的连续函数并且以T为周期,则对任意实数a.[0,a]的定积分等于在[a,a+t]上的定积分。

    定积分的应用

    设平面上给定一条曲线l,它的参数方程是x=x(t),y=y(t)。a≤t≤b假设函数x(t),y(t)有连续的导函数,这是我们成这种曲线切线连续变动的曲线为光滑曲线,这种光华曲线是可以计算弧长的(并不是所有的曲线都可以计算弧长)。曲线长度为在[a,b]√[x’(t)2+y’(t)2]对t的定积分。
    koch曲线,又称雪花曲线,这种曲线的长度是无穷,但围城的面积是有限的。
    旋转体的体积,设f(x)是[a,b]上的一个非负连续函数,那么它与直线x=a,x=b,及x轴围成了一个曲边梯形,将该曲边梯形绕x轴旋转一周,得到一个旋转体。那么该旋转体的体积为f(x)^2对x在[a,b]上求定积分再乘以π。
    旋转体的侧面积 设f(x)是[a,b]上的一个非负连续函数,那么它与直线x=a,x=b,及x轴围成一个曲边梯形,将该曲边梯形绕x轴转一周,得到一个旋转体,那么该旋转体的侧面积是f(x)√(1+f’(x))dx。

    展开全文
  • 本节介绍了定积分的分部积分公式,并举例介绍了分部积分发计算定积分的具体过程,定积分的分部积分公式表明,原函数已经积出部分可以先用上、下限代入进行计算。

    一、引言

    在《人工智能数学基础—不定积分3:分部积分法》介绍了用分部积分法求不定积分的方法及案例,在《人工智能数学基础—定积分3:微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)》介绍了可以使用微积分基本公式–牛顿-莱布尼茨公式计算定积分,那么在一定条件下利用分部积分法求定积分就是显而易见的可行方法。

    二、分部积分法

    定积分的分部积分法就是根据不定积分的分部积分法来的,我们将一个定积分对应的不定积分求出再根据牛顿-莱布尼茨公式即可算出定积分。即:
    在这里插入图片描述
    简记为:
    在这里插入图片描述
    或:
    在这里插入图片描述
    公式(3-2)就称为定积分的分部积分公式

    定积分的分部积分公式表明,原函数已经积出部分可以先用上、下限代入。

    三、案例

    案例1

    在这里插入图片描述

    案例2

    在这里插入图片描述
    关于三角函数sinx在区间[0,π/2]的复合函数的定积分与cosx在区间[0,π/2]的复合函数的定积分相等请参考《人工智能数学基础—定积分4:使用换元法计算定积分》4.2部分的介绍。

    四、小结

    本节介绍了定积分的分部积分公式,并举例介绍了分部积分发计算定积分的具体过程,定积分的分部积分公式表明,原函数已经积出部分可以先用上、下限代入进行计算。

    说明:

    本文内容是老猿学习同济版高数的总结,有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料,或对文章内有有疑问咨询的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。

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  • 本文介绍了定积分的性质,包括线性组合运算、保号性、区间可加性、积分中值定理等。

    一、引言

    在《人工智能数学基础—定积分1:定积分的概念以及近似计算》介绍了定积分的概念、几何意义、用定义来求定积分的案例以及使用矩形法、梯形法和抛物线法求定积分近似值的方法和案例等基础知识,根据上文的介绍,结合相关知识补充如下2条规则:
    在这里插入图片描述
    可以知道,交互积分区间的上下限,则定积分的绝对值不变但符号相反。

    二、性质

    2.1、性质1:定积分的线性运算

    设α和β为常数,函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积,则:
    在这里插入图片描述
    即定积分满足加法和数乘的线性运算规则,证明过程如下:
    在这里插入图片描述
    上述公式中λ为可积区间分成n分后的最大区间值。

    实际上,该规则对于任意有限个可积函数的线性组合同样成立

    2.2、性质2:积分区间可加性

    设函数f(x)在区间[a,b]上可积,设a<c<b,则:
    在这里插入图片描述
    这个证明很简单,根据定积分的定义及极限即可以快速证明。

    实际上,根据积分的补充规则,上述公式对于不满足a<c<b的情况只要三者在一个连续区间上,其中一个属于该区间内的一点同样成立,而不需要确认谁在前、谁在后。

    2.3、性质3:恒等于1的函数积分

    如函数f(x)在区间[a,b]上恒等于1,则:
    在这里插入图片描述

    2.4、性质4:积分保号性

    如果函数f(x)在区间[a,b]上恒大于等于0,则:
    在这里插入图片描述
    根据积分定义即可证明。

    推论1:如果在区间[a,b]上函数f(x)≤g(x)且二者可积,则:
    在这里插入图片描述

    推论2:如果在区间[a,b]上函数f(x)可积,则:
    在这里插入图片描述

    2.5、性质5:有界函数的积分

    设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,且函数f(x)可积,则:
    在这里插入图片描述
    根据这个性质,可以根据被积函数的最大值和最小值,估算积分值的范围。
    证明:
    在这里插入图片描述

    2.6、性质6:定积分中值定理

    2.6.1、定理

    如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,那么在区间[a,b]上至少存在一点ξ,使得:
    在这里插入图片描述
    这个公式叫做积分中值公式。其中:
    在这里插入图片描述
    称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值

    证明:
    由《人工智能数学基础6:极限、极限运算、ε-δ语言、ε-N语言、级数和函数连续性》介绍可知,闭区间上的连续函数在该区间上一定有界,存在最大值M、最小值m,且有介值性。

    因此根据性质5有:
    在这里插入图片描述
    这表明,而:
    在这里插入图片描述
    一定是一个确定的值,按照连续函数介值性,则在区间[a,b]上至少存在一点ε,使得:
    在这里插入图片描述
    两边乘以b-a即可得证。

    说明:无论a>b还是a<b,积分中值公式都成立。

    2.6.2、几何解释

    积分中值公式有如下的几何解释:在区间[a,b]上至少存在一点ε,使得以区间[a,b]为底边、以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ε)的一个矩形的面积(图5-5)。

    在这里插入图片描述

    三、小结

    本文介绍了定积分的性质,包括线性组合运算、保号性、区间可加性、积分中值定理等。

    说明:

    本文内容是老猿学习同济版高数的总结,有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料,或对文章内有有疑问咨询的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。

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  • 定积分数值计算.cpp

    2020-02-14 11:07:52
    用C++语言实现定积分数值计算,编写一个程序计算函数f(x)=1/√(1-x^2 )在定义域[0,1)内任意指定区间的定积分近似值。写得很简单,莫要笑话。
  • 本文介绍了定积分的概念、几何意义、用定义来求定积分的案例以及使用矩形法、梯形法和抛物线法求定积分近似值的方法和案例,需要注意定积分的近似计算方法还有很多,现在一些数学软件也支持定积分的近似计算,大家...
  • 考虑数学分析中一个常用而重要的定积分,0πsinnxcosmxdx,对m)0,整数;n)0情形给出了结果,特别对m和n为非负整数的情形给出了结果,并给出了应用。在理论和应用上,得到了一个很好的工具。
  • 分别输入所求定积分的上下限,算法实现梯形公式计算定积分的近似值。
  • C语言笔记——用梯形法求定积分

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