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  • 二维离散分布的数学期望
    千次阅读
    2019-08-10 16:40:44

    1. 离散概率分布:随机变量取确定的离散值对应的概率分布,如抛一枚硬币对应的正面和反面的概率,老虎机中不同等级奖项的概率,一般的表示为,随机变量X取x1, x2,...,xn对应的概率为P(X=x1),P(X=x2),...P(X=xn)

    2. 随机变量期望:随机变量X期望的长期平均结果,用E(X)或μ表示

    计算公式:E(X)=∑xP(X=x)

    X的函数f(X)的期望:E(X)=∑f(x)P(X=x)

    3. 方差:描述随机变量的离散程度

    计算公式:Var(X)=E(X-μ)^2=∑(x-μ)^2*P(X=x)

    4. 标准差:描述随机变量的离散程度,随机变量取值与期望的距离

    计算公式:σ= √Var(X)

    5. 线性变换的期望和方差,如变量Y=aX+b, 则:

    E(aX+b)=aE(X)+b

    Var(aX+b)=a^2Var(X)

    6. 重复的独立事件的期望和方差

    某件事的期望为E(X), 先重复n次,求n次的期望和方差

    E(X1+X2+...Xn)=nE(X)

    Var(X1+X2+...Xn)=nVar(X)

    7. 不同独立事件的期望和方差

    如果X和Y是两个独立事件,则X和Y变量的和或者差的期望为:

    E(X+Y)= E(X)+ E(Y)

    E(X-Y)= E(X)- E(Y)

    Var(X+Y)= Var(X)+ Var(Y)

    Var(X-Y)= Var(X)+ Var(Y)

    如果X和Y不是独立事件,则方差公式不成立

    8. 不同独立事件线性变化的期望和方差

    如果X和Y是两个独立事件,则X和Y变量的和或者差的期望为:

    E(aX+bY)= aE(X)+ bE(Y)

    E(aX-bY)= aE(X)- bE(Y)

    Var(aX+bY)= a^2E(X)+ b^2E(Y)

    Var(aX-bY)= a^2E(X)+ b^2E(Y)

    如果X和Y不是独立事件,则方差公式不成立

     

    《深入浅出统计学》第四章笔记

     

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    一维离散型求分布函数

    在这里插入图片描述
    通过一道例题来掌握这种题怎么做:
    在这里插入图片描述
    解:
    在这里插入图片描述
    一些补充:
    F X ( x ) 表 示 的 是 P { X ≤ x } F_X(x)表示的是P \{X \le x\} FX(x)P{Xx}

    在这里插入图片描述
    如果只有X一个未知数,则X可以省略
    在这里插入图片描述
    分布律要从小到大排列

    二维离散型求分布函数

    做题步骤:
    在这里插入图片描述
    通过例题学习如果求二维的分布函数:
    在这里插入图片描述
    什么叫做以左上角为起点,尽可能多做长方形
    若有2x2的分布律,则可以作4个长方形。
    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述
    求和:
    在这里插入图片描述
    补充:
    F ( x , y ) = F { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=F\{X \le x,Y \le y\} F(x,y)=F{Xx,Yy}

    一维离散型求期望、方差

    题干如下:给出离散型的XY,求E(?),D(?);
    E是期望,D是方差。
    在这里插入图片描述
    解题步骤:
    在这里插入图片描述
    方差的记方法:内平方-外平方
    在这里插入图片描述
    我们解一下上面的例题:
    在这里插入图片描述
    一个小练习:
    在这里插入图片描述
    解:(其实就是套公式)
    在这里插入图片描述

    二维离散型求期望、方差

    做题步骤:
    在这里插入图片描述

    直接做例题:
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    解:
    在这里插入图片描述

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  • 二维随机变量--数学期望

    万次阅读 2019-05-24 21:25:06
    性质: 对于4,反过来说是不正确的 例题:

    性质:

    对于4,反过来说是不正确的

    例题:

     

     

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  • 对非经典分布的随机变量,当然可以按博文《自定义离散分布》中介绍的方法,自定义rv_discrete(离散型)或rv_continuos(连续型)的子类(详见博文《自定义连续型分布》),然后调用其expect函数计算数学期望。...

    对于联合分布律为
    在这里插入图片描述
    的2-维离散型随机向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y),其函数 g ( X , Y ) g(X,Y) g(X,Y)的数学期望 E ( g ( X , Y ) ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n g ( x i , y j ) p i j E(g(X,Y))=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^ng(x_i,y_j)p_{ij} E(g(X,Y))=i=1mj=1ng(xi,yj)pij是2-维数组 ( g ( x 1 , y 1 ) g ( x 1 , y 2 ) ⋯ g ( x 1 , y n ) g ( x 2 , y 1 ) g ( x 2 , y 2 ) ⋯ g ( x 2 , y n ) ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ g ( x m , y 1 ) g ( x m , y 2 ) ⋯ g ( x m , y n ) ) \begin{pmatrix}g(x_1,y_1)&g(x_1,y_2)&\cdots&g(x_1,y_n)\\g(x_2,y_1)&g(x_2,y_2)&\cdots&g(x_2,y_n)\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\g(x_m,y_1)&g(x_m,y_2)&\cdots&g(x_m,y_n)\end{pmatrix} g(x1,y1)g(x2,y1)g(xm,y1)g(x1,y2)g(x2,y2)g(xm,y2)g(x1,yn)g(x2,yn)g(xm,yn) ( p 11 p 12 ⋯ p 1 n p 21 p 22 ⋯ p 2 n ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ p m 1 p m 2 ⋯ p m n ) \begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1n}\\p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\p_{m1}&p_{m2}&\cdots&p_{mn}\end{pmatrix} p11p21pm1p12p22pm2p1np2npmn按元素相乘所得2-维数组 ( g ( x 1 , y 1 ) p 11 g ( x 1 , y 2 ) p 12 ⋯ g ( x 1 , y n ) p 1 n g ( x 2 , y 1 ) p 21 g ( x 2 , y 2 ) p 22 ⋯ g ( x 2 , y n ) p 2 n ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ g ( x m , y 1 ) p m 1 g ( x m , y 2 ) p m 2 ⋯ g ( x m , y n ) p m n ) \begin{pmatrix}g(x_1,y_1)p_{11}&g(x_1,y_2)p_{12}&\cdots&g(x_1,y_n)p_{1n}\\g(x_2,y_1)p_{21}&g(x_2,y_2)p_{22}&\cdots&g(x_2,y_n)p_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\g(x_m,y_1)p_{m1}&g(x_m,y_2)p_{m2}&\cdots&g(x_m,y_n)p_{mn}\end{pmatrix} g(x1,y1)p11g(x2,y1)p21g(xm,y1)pm1g(x1,y2)p12g(x2,y2)p22g(xm,y2)pm2g(x1,yn)p1ng(x2,yn)p2ng(xm,yn)pmn的元素之和。
    将上述计算方法写成计算数学期望的函数

    def expect(P, Xv=None, Yv=None, func=lambda x, y: x):
        stru=P.shape                                #获取P的结构
        arrayType=type(np.array([]))                #数组类型
        if (len(stru)>1) and (type(Xv)==arrayType): #2维向量且需计算X
            Xv=Xv.reshape(Xv.size,1)
        if type(Yv)==arrayType:                     #2维向量且需计算Y
            Yv=Yv.reshape(1, Yv.size)
        mean=(func(Xv,Yv)*P).sum()                  #计算期望
        return mean
    

    函数expect的4个参数中P表示分布律中的概率序列。Xv和Yv分别表示随机变量 X X X Y Y Y的取值序列,缺省为None。func表示函数关系 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y),缺省值为函数 g ( X , Y ) = X g(X,Y)=X g(X,Y)=X。第2行读取表示概率序列的数组P的结构,P.shape是一个元组,其长度大于1表示P是一个矩阵。第3行获取numpy的数组类型,记为arrayType,若参数Xv或Yv传递的是数组,则其类型type(Xv)(或type(Yv))就与arrayType一致。第4~5行的if语句对2-维随机向量(len(stru)>1)且需计算 X X X期望(type(Xv)==arrayType)的情形,将Xv设置成 m × 1 m\times1 m×1的列向量,以保证矩阵按元素计算的正确性。出于同样的目的,第6~7行的if语句对需要计算 Y Y Y的期望(此时,P一定是2-维数组),将Yv设置成 1 × n 1\times n 1×n的行向量。第8行将数组func(Xv,Yv)*P元素之和(func(Xv,Yv)*P).sum()记为返回值mean。第9行将计算结果返回。
    例1 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的联合分布律为
    在这里插入图片描述
    计算 E ( X ) E(X) E(X) E ( Y ) E(Y) E(Y) E ( X 3 Y 2 ) E(X^3Y^2) E(X3Y2)
    解: 为计算 E ( X ) E(X) E(X) E ( Y ) E(Y) E(Y),先计算 X X X Y Y Y的边缘分布。不难解得 X X X~ ( 0 1 5 8 3 8 ) \begin{pmatrix}0&1\\\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{pmatrix} (085183) Y Y Y~ ( 1 2 3 3 8 2 8 3 8 ) \begin{pmatrix}1&2&3\\\frac{3}{8}&\frac{2}{8}&\frac{3}{8}\end{pmatrix} (183282383)。所以
    E ( X ) = 0 × 5 8 + 1 × 3 8 = 3 8 E(X)=0\times\frac{5}{8}+1\times\frac{3}{8}=\frac{3}{8} E(X)=0×85+1×83=83,
    E ( Y ) = 1 × 3 8 + 2 × 2 8 + 3 × 3 8 = 2 E(Y)=1\times\frac{3}{8}+2\times\frac{2}{8}+3\times\frac{3}{8}=2 E(Y)=1×83+2×82+3×83=2
    为计算 E ( X 3 Y 2 ) E(X^3Y^2) E(X3Y2),可以运用先计算 Z = X 3 Y 2 Z=X^3Y^2 Z=X3Y2的分布律,然后计算 E ( Z ) E(Z) E(Z)。根据 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合分布律,不难算得 Z Z Z~ ( 0 1 4 9 5 4 1 8 1 8 1 8 ) \begin{pmatrix}0&1&4&9\\\frac{5}{4}&\frac{1}{8}&\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{pmatrix} (045181481981)。于是 E ( X 3 Y 2 ) = E ( Z ) = 0 × 5 4 + 1 × 1 8 + 4 × 1 8 + 9 × 1 8 = 7 4 E(X^3Y^2)=E(Z)=0\times\frac{5}{4}+1\times\frac{1}{8}+4\times\frac{1}{8}+9\times\frac{1}{8}=\frac{7}{4} E(X3Y2)=E(Z)=0×45+1×81+4×81+9×81=47。下列代码验算本例计算结果。

    import numpy as np                      #导入numpy
    from sympy import Rational as R         #导入Rational
    X=np.array([0, 1])                      #设置X取值
    Y=np.array([1, 2, 3])                   #设置Y取值
    Pxy=np.array([[R(1,4), R(1,8), R(1,4)], #设置分布律中概率矩阵
                  [R(1,8), R(1,8), R(1,8)]])
    meanx=expect(Pxy, X)                    #计算E(X)
    g=lambda x, y: y                        #设置函数g(X,Y)=Y
    meany=expect(Pxy, Yv=Y, Py)             #计算E(Y)
    g=lambda x, y: (x**3)*(y**2)            #设置函数g(X, Y)=X^3Y^2
    mean=expect(Pxy, X, Y, g)               #计算E(X^3Y^2)
    print('E(X)=%s'%meanx)
    print('E(Y)=%sf'%meany)
    print('E(X^3Y^2)=%s'%mean)
    

    程序中第3~6行设置 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合分布律。第7行调用函数expect,传递参数Pxy和X计算 X X X的边缘分布的期望 E ( X ) E(X) E(X),记为meanx。为计算 Y Y Y的边缘分布期望 E ( Y ) E(Y) E(Y),第8行设置函数 g ( X , Y ) = Y g(X,Y)=Y g(X,Y)=Y,第9行调用函数expect传递参数Pxy,Y和g,计算结果记为meany。第10行定义函数 g ( x , y ) = x 3 y 2 g(x,y)=x^3y^2 g(x,y)=x3y2,第11行调用函数expect传递参数Pxy,X,Y和g计算 E ( X 3 Y 2 ) E(X^3Y^2) E(X3Y2),记为mean。运行程序,输出

    E(X)=3/8
    E(Y)=2
    E(X^3Y^2)=7/4
    

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