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  • 对非经典分布的随机变量,当然可以按博文《自定义离散分布》中介绍的方法,自定义rv_discrete(离散型)或rv_continuos(连续型)的子类(详见博文《自定义连续型分布》),然后调用其expect函数计算数学期望。...

    对于联合分布律为
    在这里插入图片描述
    的2-维离散型随机向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y),其函数 g ( X , Y ) g(X,Y) g(X,Y)的数学期望 E ( g ( X , Y ) ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n g ( x i , y j ) p i j E(g(X,Y))=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^ng(x_i,y_j)p_{ij} E(g(X,Y))=i=1mj=1ng(xi,yj)pij是2-维数组 ( g ( x 1 , y 1 ) g ( x 1 , y 2 ) ⋯ g ( x 1 , y n ) g ( x 2 , y 1 ) g ( x 2 , y 2 ) ⋯ g ( x 2 , y n ) ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ g ( x m , y 1 ) g ( x m , y 2 ) ⋯ g ( x m , y n ) ) \begin{pmatrix}g(x_1,y_1)&g(x_1,y_2)&\cdots&g(x_1,y_n)\\g(x_2,y_1)&g(x_2,y_2)&\cdots&g(x_2,y_n)\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\g(x_m,y_1)&g(x_m,y_2)&\cdots&g(x_m,y_n)\end{pmatrix} g(x1,y1)g(x2,y1)g(xm,y1)g(x1,y2)g(x2,y2)g(xm,y2)g(x1,yn)g(x2,yn)g(xm,yn) ( p 11 p 12 ⋯ p 1 n p 21 p 22 ⋯ p 2 n ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ p m 1 p m 2 ⋯ p m n ) \begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1n}\\p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\p_{m1}&p_{m2}&\cdots&p_{mn}\end{pmatrix} p11p21pm1p12p22pm2p1np2npmn按元素相乘所得2-维数组 ( g ( x 1 , y 1 ) p 11 g ( x 1 , y 2 ) p 12 ⋯ g ( x 1 , y n ) p 1 n g ( x 2 , y 1 ) p 21 g ( x 2 , y 2 ) p 22 ⋯ g ( x 2 , y n ) p 2 n ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ g ( x m , y 1 ) p m 1 g ( x m , y 2 ) p m 2 ⋯ g ( x m , y n ) p m n ) \begin{pmatrix}g(x_1,y_1)p_{11}&g(x_1,y_2)p_{12}&\cdots&g(x_1,y_n)p_{1n}\\g(x_2,y_1)p_{21}&g(x_2,y_2)p_{22}&\cdots&g(x_2,y_n)p_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\g(x_m,y_1)p_{m1}&g(x_m,y_2)p_{m2}&\cdots&g(x_m,y_n)p_{mn}\end{pmatrix} g(x1,y1)p11g(x2,y1)p21g(xm,y1)pm1g(x1,y2)p12g(x2,y2)p22g(xm,y2)pm2g(x1,yn)p1ng(x2,yn)p2ng(xm,yn)pmn的元素之和。
    将上述计算方法写成计算数学期望的函数

    def expect(P, Xv=None, Yv=None, func=lambda x, y: x):
        stru=P.shape                                #获取P的结构
        arrayType=type(np.array([]))                #数组类型
        if (len(stru)>1) and (type(Xv)==arrayType): #2维向量且需计算X
            Xv=Xv.reshape(Xv.size,1)
        if type(Yv)==arrayType:                     #2维向量且需计算Y
            Yv=Yv.reshape(1, Yv.size)
        mean=(func(Xv,Yv)*P).sum()                  #计算期望
        return mean
    

    函数expect的4个参数中P表示分布律中的概率序列。Xv和Yv分别表示随机变量 X X X Y Y Y的取值序列,缺省为None。func表示函数关系 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y),缺省值为函数 g ( X , Y ) = X g(X,Y)=X g(X,Y)=X。第2行读取表示概率序列的数组P的结构,P.shape是一个元组,其长度大于1表示P是一个矩阵。第3行获取numpy的数组类型,记为arrayType,若参数Xv或Yv传递的是数组,则其类型type(Xv)(或type(Yv))就与arrayType一致。第4~5行的if语句对2-维随机向量(len(stru)>1)且需计算 X X X期望(type(Xv)==arrayType)的情形,将Xv设置成 m × 1 m\times1 m×1的列向量,以保证矩阵按元素计算的正确性。出于同样的目的,第6~7行的if语句对需要计算 Y Y Y的期望(此时,P一定是2-维数组),将Yv设置成 1 × n 1\times n 1×n的行向量。第8行将数组func(Xv,Yv)*P元素之和(func(Xv,Yv)*P).sum()记为返回值mean。第9行将计算结果返回。
    例1 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的联合分布律为
    在这里插入图片描述
    计算 E ( X ) E(X) E(X) E ( Y ) E(Y) E(Y) E ( X 3 Y 2 ) E(X^3Y^2) E(X3Y2)
    解: 为计算 E ( X ) E(X) E(X) E ( Y ) E(Y) E(Y),先计算 X X X Y Y Y的边缘分布。不难解得 X X X~ ( 0 1 5 8 3 8 ) \begin{pmatrix}0&1\\\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{pmatrix} (085183) Y Y Y~ ( 1 2 3 3 8 2 8 3 8 ) \begin{pmatrix}1&2&3\\\frac{3}{8}&\frac{2}{8}&\frac{3}{8}\end{pmatrix} (183282383)。所以
    E ( X ) = 0 × 5 8 + 1 × 3 8 = 3 8 E(X)=0\times\frac{5}{8}+1\times\frac{3}{8}=\frac{3}{8} E(X)=0×85+1×83=83,
    E ( Y ) = 1 × 3 8 + 2 × 2 8 + 3 × 3 8 = 2 E(Y)=1\times\frac{3}{8}+2\times\frac{2}{8}+3\times\frac{3}{8}=2 E(Y)=1×83+2×82+3×83=2
    为计算 E ( X 3 Y 2 ) E(X^3Y^2) E(X3Y2),可以运用先计算 Z = X 3 Y 2 Z=X^3Y^2 Z=X3Y2的分布律,然后计算 E ( Z ) E(Z) E(Z)。根据 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合分布律,不难算得 Z Z Z~ ( 0 1 4 9 5 4 1 8 1 8 1 8 ) \begin{pmatrix}0&1&4&9\\\frac{5}{4}&\frac{1}{8}&\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{pmatrix} (045181481981)。于是 E ( X 3 Y 2 ) = E ( Z ) = 0 × 5 4 + 1 × 1 8 + 4 × 1 8 + 9 × 1 8 = 7 4 E(X^3Y^2)=E(Z)=0\times\frac{5}{4}+1\times\frac{1}{8}+4\times\frac{1}{8}+9\times\frac{1}{8}=\frac{7}{4} E(X3Y2)=E(Z)=0×45+1×81+4×81+9×81=47。下列代码验算本例计算结果。

    import numpy as np                      #导入numpy
    from sympy import Rational as R         #导入Rational
    X=np.array([0, 1])                      #设置X取值
    Y=np.array([1, 2, 3])                   #设置Y取值
    Pxy=np.array([[R(1,4), R(1,8), R(1,4)], #设置分布律中概率矩阵
                  [R(1,8), R(1,8), R(1,8)]])
    meanx=expect(Pxy, X)                    #计算E(X)
    g=lambda x, y: y                        #设置函数g(X,Y)=Y
    meany=expect(Pxy, Yv=Y, Py)             #计算E(Y)
    g=lambda x, y: (x**3)*(y**2)            #设置函数g(X, Y)=X^3Y^2
    mean=expect(Pxy, X, Y, g)               #计算E(X^3Y^2)
    print('E(X)=%s'%meanx)
    print('E(Y)=%sf'%meany)
    print('E(X^3Y^2)=%s'%mean)
    

    程序中第3~6行设置 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合分布律。第7行调用函数expect,传递参数Pxy和X计算 X X X的边缘分布的期望 E ( X ) E(X) E(X),记为meanx。为计算 Y Y Y的边缘分布期望 E ( Y ) E(Y) E(Y),第8行设置函数 g ( X , Y ) = Y g(X,Y)=Y g(X,Y)=Y,第9行调用函数expect传递参数Pxy,Y和g,计算结果记为meany。第10行定义函数 g ( x , y ) = x 3 y 2 g(x,y)=x^3y^2 g(x,y)=x3y2,第11行调用函数expect传递参数Pxy,X,Y和g计算 E ( X 3 Y 2 ) E(X^3Y^2) E(X3Y2),记为mean。运行程序,输出

    E(X)=3/8
    E(Y)=2
    E(X^3Y^2)=7/4
    

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  • 一维和二维离散型随机变量函数的分布一维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布 一维离散型随机变量函数的分布 二维离散型随机变量函数的分布

    一维离散型随机变量函数的分布

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    二维离散型随机变量函数的分布

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  • R语言:求二维随机变量数学期望

    千次阅读 2013-05-10 16:05:41
    想做一个二维变量数学期望实验, 查看若干资料终于找到方法 先看这篇文章熟悉一下R的函数 http://www.cyclismo.org/tutorial/R/tables.html 构造数据 通过下面的函数构造了,正态分布和泊松分布的两列数据 A > A (a...

    想做一个二维变量数学期望实验, 查看若干资料终于找到方法

    先看这篇文章熟悉一下R的函数

    http://www.cyclismo.org/tutorial/R/tables.html

    构造数据

    通过下面的函数构造了,正态分布和泊松分布的两列数据

    A <- data.frame(a=round(rnorm(10,20,9)), b=rpois(10, lambda=10))

    > A <- data.frame(a=round(rnorm(10,20,9)), b=rpois(10, lambda=10))
    > A
        a  b
    1  22 14
    2  21  7
    3  20 11
    4  20 10
    5  12 13
    6  17 15
    7  15  9
    8   3  8
    9  14 12
    10  3  9
    
    

    如何理解这个数据:

      可以这样来, 就是说我拿了一个零件它的长是A,宽是B, 我在a, b 填入这些数据, 我总共查看了10个零件, 就得到上面这些数据

      这样这批零件矩形的长服从正态分布 均值是20, 方差是9,  而宽服从泊松分布 lambda是 10 (我们对正态分布强行取整)

    构造频率表

    用 mytable <-table(A[[1]],A[[2]]) 直接得到

    > mytable <-table(A[[1]],A[[2]])
    > mytable
        
         7 8 9 10 11 12 13 14 15
      3  0 1 1  0  0  0  0  0  0
      12 0 0 0  0  0  0  1  0  0
      14 0 0 0  0  0  1  0  0  0
      15 0 0 1  0  0  0  0  0  0
      17 0 0 0  0  0  0  0  0  1
      20 0 0 0  1  1  0  0  0  0
      21 1 0 0  0  0  0  0  0  0
      22 0 0 0  0  0  0  0  1  0
    
    
    

    如何理解:

       二维随机变量 X,Y 可能值构成矩阵中所有的点, 值表示样本的出现次数

    求列的边沿概率密度

    v = margin.table(mytable,1) /  margin.table(mytable)

    > v = margin.table(mytable,1) /  margin.table(mytable) 
    > v
    
      3  12  14  15  17  20  21  22 
    0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 
    

    求数学期望

    按照定义求, 先分离两个向量

    as.vector(v) 是: 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 
    as.integer(names(v)) 是:3  12  14  15  17  20  21  22 

    求向量内积

    > as.vector(v) %*% as.integer(names(v))
         [,1]
    [1,] 14.7

    貌似差别很大, 可能方差设置太大, 并且我很还对正态分布强行取整

    如果我把样本个数调节到1000, 就与生成数据时设定的 20 很接近了

    > A <- data.frame(a=round(rnorm(1000,20,9)), b=rpois(1000, lambda=10))
    > mytable <-table(A[[1]],A[[2]])
    > v = margin.table(mytable,1) /  margin.table(mytable)
    > as.vector(v) %*% as.integer(names(v))
          [,1]
    [1,] 19.88


    展开全文
  • R语言:求二维变量数学期望

    千次阅读 2013-05-10 21:33:00
    想做一个二维变量数学期望实验, 查看若干资料终于找到方法 先看这篇文章熟悉一下R的函数 http://www.cyclismo.org/tutorial/R/tables.html 构造数据 通过下面的函数构造了,正态分布和泊松分布的两列数据 A ...

    想做一个二维变量数学期望实验, 查看若干资料终于找到方法

    先看这篇文章熟悉一下R的函数

    http://www.cyclismo.org/tutorial/R/tables.html


    构造数据

    通过下面的函数构造了,正态分布和泊松分布的两列数据

    A <- data.frame(a=round(rnorm(10,20,9)), b=rpois(10, lambda=10))

     

    > A <- data.frame(a=round(rnorm(10,20,9)), b=rpois(10, lambda=10))
    > A
        a  b
    1  22 14
    2  21  7
    3  20 11
    4  20 10
    5  12 13
    6  17 15
    7  15  9
    8   3  8
    9  14 12
    10  3  9
    
    

     

    如何理解这个数据:

      可以这样来, 就是说我拿了一个零件它的长是A,宽是B, 我在a, b 填入这些数据, 我总共查看了10个零件, 就得到上面这些数据

      这样这批零件矩形的长服从正态分布 均值是20, 方差是9,  而宽服从泊松分布 lambda是 10 (我们对正态分布强行取整,编译实验)


    构造频率表

    用 mytable <-table(A[[1]],A[[2]]) 直接得到

     

    > mytable <-table(A[[1]],A[[2]])
    > mytable
        
         7 8 9 10 11 12 13 14 15
      3  0 1 1  0  0  0  0  0  0
      12 0 0 0  0  0  0  1  0  0
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      20 0 0 0  1  1  0  0  0  0
      21 1 0 0  0  0  0  0  0  0
      22 0 0 0  0  0  0  0  1  0
    
    
    


    如何理解:

     

       二维随机变量 X,Y 可能值构成矩阵中所有的点, 值表示样本的出现次数


    求列的边沿概率密度

    v = margin.table(mytable,1) /  margin.table(mytable)

    > v = margin.table(mytable,1) /  margin.table(mytable) 
    > v
    
      3  12  14  15  17  20  21  22 
    0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 
    


     

    求数学期望

    按照定义求, 先分离两个向量

     

    as.vector(v) 是: 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 
    as.integer(names(v)) 是:3  12  14  15  17  20  21  22 

     

     

    求向量内积

     

    > as.vector(v) %*% as.integer(names(v))
         [,1]
    [1,] 14.7

     

    貌似差别很大, 可能方差设置太大, 并且我很还对正态分布强行取整


    如果我把样本个数调节到1000, 就与生成数据时设定的 20 很接近了


     

    > A <- data.frame(a=round(rnorm(1000,20,9)), b=rpois(1000, lambda=10))
    > mytable <-table(A[[1]],A[[2]])
    > v = margin.table(mytable,1) /  margin.table(mytable)
    > as.vector(v) %*% as.integer(names(v))
          [,1]
    [1,] 19.88


     

     

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    2019-04-30 11:35:14
    例题1 ... 题解 这个题其实就是抛硬币连续k...在还没看博客之前做着题的时候,我想的是,走到第i个点需要1秒的期望,2秒的期望,3秒的期望,4秒的期望。。。。。 会发现这个根本就不可做。如果每颗雷的概率相同的话...
  • 数学期望&方差 expectation&variance

    千次阅读 2020-11-16 11:57:52
    数学期望 数学期望其实就是加权平均数。 P(X=Xk)=Pk,如果∑k=1nxkP(Xk)收敛,则E(X)=∑k=1nxkP(Xk)为X的数学期望。P(X = X_k) = P_k, 如果\sum_{k=1}^{n}x_kP(X_k)收敛,则E(X) = \sum_{k=1}^{n}x_kP(X_k)为X的数学...
  • 在高斯分布中,以数学期望μ表示钟型的中心位置(也即曲线的位置),而标准差(standard deviation)σ表征曲线的离散程度。 随机变量X服从数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布,记为: X = N (μ,σ^2...
  • 概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也顺便巩固巩固基础。 这是基础篇的第七篇知识点总结 ...一维随机变量期望与方差 二维随机变量期望与方差 协方差 切比雪夫不等式
  • 数学期望也叫期望,或者均值,E(X)完全由X的概率分布决定,若X服从某一分布,也成E(X)是该分布数学期望。 理解:X的数学期望是E(X)>>指的是多次采样,指标X的平均值是E(X)。 例如: 新生儿健康得分X的数学...

空空如也

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二维离散分布的数学期望