一维离散型求分布函数

通过一道例题来掌握这种题怎么做：

解：

一些补充：
F X ( x ) 表 示 的 是 P { X ≤ x } F_X(x)表示的是P \{X \le x\} FX​(x)表示的是P{X≤x}

如果只有X一个未知数，则X可以省略

分布律要从小到大排列。

二维离散型求分布函数

做题步骤：

通过例题学习如果求二维的分布函数：

什么叫做以左上角为起点，尽可能多做长方形：
若有2x2的分布律，则可以作4个长方形。

找每个长方形右下角代表的x，y的取值：注意，左闭右开

求和：

补充：
F ( x , y ) = F { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=F\{X \le x,Y \le y\} F(x,y)=F{X≤x,Y≤y}

一维离散型求期望、方差

题干如下：给出离散型的XY，求E(?)，D(?)；
E是期望，D是方差。

解题步骤：

方差的记方法：内平方-外平方。

我们解一下上面的例题：

一个小练习：

解：（其实就是套公式）

二维离散型求期望、方差

做题步骤：

直接做例题：

解：

性质：

对于4，反过来说是不正确的

例题：

对于联合分布律为

的2-维离散型随机向量$(X,Y)$，其函数$g(X,Y)$的数学期望$E(g(X,Y))=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n}g(x_i,y_j)p_{ij}$是2-维数组$\left(\begin{array}{cccc}g(x_1,y_1)& g(x_1,y_2)& \cdots & g(x_1,y_n)\\ g(x_2,y_1)& g(x_2,y_2)& \cdots & g(x_2,y_n)\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ g(x_m,y_1)& g(x_m,y_2)& \cdots & g(x_m,y_n)\end{array}\right)$和$\left(\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& \cdots & p_{1n}\\ p_{21}& p_{22}& \cdots & p_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ p_{m1}& p_{m2}& \cdots & p_{mn}\end{array}\right)$按元素相乘所得2-维数组$\left(\begin{array}{cccc}g(x_1,y_1)p_{11}& g(x_1,y_2)p_{12}& \cdots & g(x_1,y_n)p_{1n}\\ g(x_2,y_1)p_{21}& g(x_2,y_2)p_{22}& \cdots & g(x_2,y_n)p_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ g(x_m,y_1)p_{m1}& g(x_m,y_2)p_{m2}& \cdots & g(x_m,y_n)p_{mn}\end{array}\right)$的元素之和。
将上述计算方法写成计算数学期望的函数

def expect(P, Xv=None, Yv=None, func=lambda x, y: x):
    stru=P.shape                                #获取P的结构
    arrayType=type(np.array([]))                #数组类型
    if (len(stru)>1) and (type(Xv)==arrayType): #2维向量且需计算X
        Xv=Xv.reshape(Xv.size,1)
    if type(Yv)==arrayType:                     #2维向量且需计算Y
        Yv=Yv.reshape(1, Yv.size)
    mean=(func(Xv,Yv)*P).sum()                  #计算期望
    return mean

函数expect的4个参数中P表示分布律中的概率序列。Xv和Yv分别表示随机变量$X$和$Y$的取值序列，缺省为None。func表示函数关系$Z=g(X,Y)$，缺省值为函数$g(X,Y)=X$。第2行读取表示概率序列的数组P的结构，P.shape是一个元组，其长度大于1表示P是一个矩阵。第3行获取numpy的数组类型，记为arrayType，若参数Xv或Yv传递的是数组，则其类型type(Xv)（或type(Yv)）就与arrayType一致。第4~5行的if语句对2-维随机向量（len(stru)>1）且需计算$X$期望（type(Xv)==arrayType）的情形，将Xv设置成$m\times 1$的列向量，以保证矩阵按元素计算的正确性。出于同样的目的，第6~7行的if语句对需要计算$Y$的期望（此时，P一定是2-维数组），将Yv设置成$1\times n$的行向量。第8行将数组func(Xv,Yv)*P元素之和(func(Xv,Yv)*P).sum()记为返回值mean。第9行将计算结果返回。
例1 设$(X,Y)$的联合分布律为

计算$E(X)$，$E(Y)$和$E(X^3{Y}^2)$。
解： 为计算$E(X)$和$E(Y)$，先计算$X$，$Y$的边缘分布。不难解得$X$~$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{5}{8}& \frac{3}{8}\end{array}\right)$，$Y$~$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ \frac{3}{8}& \frac{2}{8}& \frac{3}{8}\end{array}\right)$。所以
$E(X)=0\times \frac{5}{8}+1\times \frac{3}{8}=\frac{3}{8}$,
$E(Y)=1\times \frac{3}{8}+2\times \frac{2}{8}+3\times \frac{3}{8}=2$。
为计算$E(X^3{Y}^2)$，可以运用先计算$Z=X^3{Y}^2$的分布律，然后计算$E(Z)$。根据$(X,Y)$的联合分布律，不难算得$Z$~$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 4& 9\\ \frac{5}{4}& \frac{1}{8}& \frac{1}{8}& \frac{1}{8}\end{array}\right)$。于是$E(X^3{Y}^2)=E(Z)=0\times \frac{5}{4}+1\times \frac{1}{8}+4\times \frac{1}{8}+9\times \frac{1}{8}=\frac{7}{4}$。下列代码验算本例计算结果。

import numpy as np                      #导入numpy
from sympy import Rational as R         #导入Rational
X=np.array([0, 1])                      #设置X取值
Y=np.array([1, 2, 3])                   #设置Y取值
Pxy=np.array([[R(1,4), R(1,8), R(1,4)], #设置分布律中概率矩阵
              [R(1,8), R(1,8), R(1,8)]])
meanx=expect(Pxy, X)                    #计算E(X)
g=lambda x, y: y                        #设置函数g(X,Y)=Y
meany=expect(Pxy, Yv=Y, Py)             #计算E(Y)
g=lambda x, y: (x**3)*(y**2)            #设置函数g(X, Y)=X^3Y^2
mean=expect(Pxy, X, Y, g)               #计算E(X^3Y^2)
print('E(X)=%s'%meanx)
print('E(Y)=%sf'%meany)
print('E(X^3Y^2)=%s'%mean)

程序中第3~6行设置$(X,Y)$的联合分布律。第7行调用函数expect，传递参数Pxy和X计算$X$的边缘分布的期望$E(X)$，记为meanx。为计算$Y$的边缘分布期望$E(Y)$，第8行设置函数$g(X,Y)=Y$，第9行调用函数expect传递参数Pxy，Y和g，计算结果记为meany。第10行定义函数$g(x,y)=x^3{y}^2$，第11行调用函数expect传递参数Pxy，X，Y和g计算$E(X^3{Y}^2)$，记为mean。运行程序，输出

E(X)=3/8
E(Y)=2
E(X^3Y^2)=7/4

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