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数学期望

离散型随机变量的数学期望

（这里要求级数绝对收敛，若不绝对收敛，则E(X)不存在）

如果有绝对收敛，则有

，其中

连续型随机变量的数学期望

（这里要求绝对收敛）

对于连续型随机变量的函数g(X)，有如下结论：

若积分收敛，则



二维随机变量的数学期望

（1）设(X,Y)是离散型随机变量，联合分布率为：

若绝对收敛，则Z=g(X,Y)的数学期望存在，且有



（2）设(X,Y)为连续型随机变量，联合概率密度函数为f(x,y)，若绝对收敛，则Z=g(X,Y)的数学期望存在，且有



特别，





数学期望的性质

（1）设C为常数，则E(C)=C

（2）设C为常数，则E(CX)=CE(X)

（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)

推论

（4）设随机变量X和Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)

 

方差

设X为离散型随机变量，分布律为,则



设X为连续型随机变量，概率密度函数为f(x)，则



方差的性质

（1）

（2）设C为常数，则D(C)=0

（3）设C为常数，则

（4）设X，Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)

推论:设相互独立，则



 

协方差和相关系数

协方差（刻画X与Y之间的相互关系）：

相关系数（标准协方差）

E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

Cov(X,X)=D(X)

若Cov(X,Y)=0，则称X与Y不相关。

当X与Y相互独立时，X与Y不相关。但是，当X与Y不相关时，未必有X与Y相互独立。

协方差与相关系数的性质：

（1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

（2）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)

（3）

（4）

在涉及二维离散型随机变量的题中，往往用到“先求取值、在求概率”的做点步骤。二维连续型随机变量的相关计算，比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点，考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。最后是要会计算二维随机变量简单函数的分布，包括两个离散变量的函数、两个连续变量的函数、一个离散和一个连续变量的函数、以及特殊函数的分布。
1、本章的重点内容
二维随机变量及其分布的概念和性质，边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度，随机变量的独立性及不相关性，一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布，几个随机变量的简单函数的分布。本章是概率论重点部分之一。
2、常见典型题型
求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件密度﹔已知部分边缘分布，求联合分布律﹔求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件密度﹔两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明﹔与二维随机变量独立性相关的命题﹔求两个随机变量的相关系数﹔求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率。
附：概率与数理统计学科的特点
(1)研究对象是随机现象
高数是研究确定的现象，而概率研究的是不确定的，是随机现象。对于不确定的，大家感觉比较头疼。
(2)题型比较固定，解法比较单一，计算技巧要求低一些
比如概率的解答题主要考查二维离散型随机变量、二维连续型随机变量、随机变量函数的分布和参数的矩估计、最大似然估计。考生只要掌握了相应的解题方法，计算准确，就可以拿到满分.
(3)高数和概率相结合
求随机变量的分布和数字特征运用到高数的理论与方法，这也是考研所要求考生所具备的解决问题的综合能力。

	

考研数学有两大重点，基础要打好，练习要多做，错题要巩固。下面来看下有关概率论与数理统计相关复习内容，一起来学习吧！
　　一、概率与数理统计学科的特点
　　(1)研究对象是随机现象
　　高数是研究确定的现象，而概率研究的是不确定的，是随机现象。对于不确定的，大家感觉比较头疼。
　　(2)题型比较固定，解法比较单一，计算技巧要求低一些
　　比如概率的解答题主要考查二维离散型随机变量、二维连续型随机变量、随机变量函数的分布和参数的矩估计、最大似然估计。考生只要掌握了相应的解题方法，计算准确，就可以拿到满分.
　　(3)高数和概率相结合
　　求随机变量的分布和数字特征运用到高数的理论与方法，这也是考研所要求考生所具备的解决问题的综合能力。
　　在复习概率与数理统计的过程中，把握住每章节的考试重点，概率一定能取得好成绩。
　　二、通过各章节来具体分析考试重点
　　第一章 随机事件与概率
　　本章需要掌握概率统计的基本概念，公式。其核心内容是概率的基本计算，以及五大公式的熟练应用，加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式以及贝叶斯公式。
　　1.本章的重点内容：
　　四个关系：包含，相等，互斥，对立﹔五个运算：并，交，差﹔四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律)﹔概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式﹔五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式﹔·条件概率﹔利用独立性进行概率计算﹔·重伯努利概型的计算。
　　近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识。
　　2.常见典型题型：
　　随机事件的关系运算﹔求随机事件的概率﹔综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。
　　第二章 随机变量及其分布
　　本章重点掌握分布函数的性质;离散型随机变量的分布律与分布函数及连续型随机变量的密度函数与分布函数;常见离散型及连续型随机变量的分布;一维随机变量函数的分布。
　　1.本章的重点内容：
　　随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)﹔分布律和概率密度的性质(充要条件)﹔八大常见的分布：0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用﹔会计算与随机变量相联系的任一事件的概率﹔随机变量简单函数的概率分布。
　　近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布。
　　2.常见典型题型：
　　求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数﹔一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定﹔反求或判定分布中的参数﹔求一维随机变量在某一区间的概率﹔求一维随机变量函的分布。
　　第三章 多维随机变量的分布
　　在涉及二维离散型随机变量的题中，往往用到“先求取值、在求概率”的做点步骤。二维连续型随机变量的相关计算，比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点，考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。最后是要会计算二维随机变量简单函数的分布，包括两个离散变量的函数、两个连续变量的函数、一个离散和一个连续变量的函数、以及特殊函数的分布。
　　1.本章的重点内容：
　　二维随机变量及其分布的概念和性质，边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度，随机变量的独立性及不相关性，一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布，几个随机变量的简单函数的分布。本章是概率论重点部分之一!应着重对待。
　　2.常见典型题型：
　　求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件密度﹔已知部分边缘分布，求联合分布律﹔求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件密度﹔两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明﹔与二维随机变量独立性相关的命题﹔求两个随机变量的相关系数﹔求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率。
　　第四章 随机变量的数字特征
　　本章的复习，首先要记住常见分布的数字特征，考试中一定会间接地用到这些结论。另外，本章可以与数理统计的考点结合，综合后出大题，应该引起考生足够的重视。
　　1.本章的重点内容：
　　随机变量的数字期望的概念与性质;随机变量的方差的概念与性质;常见分布的数字期望与方差;随机变量矩、协方差和相关系数
　　第五章 大数定律和中心极限定理
　　本章考查的重点是一个切比雪夫不等式，以及三个大数定律，两个中心极限定理的条件和结论，考试需要记住。
　　1.本章的重点内容：
　　切比雪夫不等式;大数定律;中心极限定理。
　　第六章 数理统计的基本概念
　　重点在于“三大分布、八个定理”以及计算统计量的数字特征。
　　1.本章的重点内容：
　　总体与样本;样本函数与统计量;样本分布函数和样本矩。
　　第七章 参数估计
　　本章的重点是矩估计和最大似然估计，经常以解答题的形式进行考查。对于数一来说，有时还会要求验证估计量的无偏性，这是和数字特征相结合。区间估计和假设检验只有数一的同学要求，考题中较少涉及到。
　　1.本章的重点内容：
　　点估计;估计量的优良性;区间估计;假设检验的基本概念;单正态总体的均值和方差的假设检验;双正态总体的均值和方差的假设检验。
	

	

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作者：阿布
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     下面来看下有关概率论与数理统计相关复习内容，一起来学习吧！　　一、概率与数理统计学科的特点　
　(1)研究对象是随机现象　　高数是研究确定的现象，而概率研究的是不确定的，是随机现象。对于不确定的，大家感觉比较头疼。　　
(2)题型比较固定，解法比较单一，计算技巧要求低一些　　比如概率的解答题主要考查二维离散型随机变量、二维连续型随机变量、随机变量函数的分布和参数的矩估计、最大似然估计。考生只要掌握了相应的解题方法，计算准确，就可以拿到满分.　　
(3)高数和概率相结合　　求随机变量的分布和数字特征运用到高数的理论与方法，这也是考研所要求考生所具备的解决问题的综合能力。　　在复习概率与数理统计的过程中，把握住每章节的考试重点，概率一定能取得好成绩。　
二、通过各章节来具体分析考试重点　　第一章 随机事件与概率　
　本章需要掌握概率统计的基本概念，公式。其核心内容是概率的基本计算，以及五大公式的熟练应用，加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式以及贝叶斯公式。　　
1.本章的重点内容：　　四个关系：包含，相等，互斥，对立﹔五个运算：并，交，差﹔四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律)﹔概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式﹔五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式﹔·条件概率﹔利用独立性进行概率计算﹔·重伯努利概型的计算。　　近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识。　
2.常见典型题型：　　随机事件的关系运算﹔求随机事件的概率﹔综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。　　
第二章 随机变量及其分布　
　本章重点掌握分布函数的性质;离散型随机变量的分布律与分布函数及连续型随机变量的密度函数与分布函数;常见离散型及连续型随机变量的分布;一维随机变量函数的分布。　　
1.本章的重点内容：　　随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)﹔分布律和概率密度的性质(充要条件)﹔八大常见的分布：0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用﹔会计算与随机变量相联系的任一事件的概率﹔随机变量简单函数的概率分布。　　近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布。　　
2.常见典型题型：　　求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数﹔一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定﹔反求或判定分布中的参数﹔求一维随机变量在某一区间的概率﹔求一维随机变量函的分布。　　
第三章 多维随机变量的分布　
　在涉及二维离散型随机变量的题中，往往用到“先求取值、在求概率”的做点步骤。二维连续型随机变量的相关计算，比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点，考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。最后是要会计算二维随机变量简单函数的分布，包括两个离散变量的函数、两个连续变量的函数、一个离散和一个连续变量的函数、以及特殊函数的分布。　　
1.本章的重点内容：　　二维随机变量及其分布的概念和性质，边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度，随机变量的独立性及不相关性，一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布，几个随机变量的简单函数的分布。本章是概率论重点部分之一!应着重对待。　　
2.常见典型题型：　　求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件密度﹔已知部分边缘分布，求联合分布律﹔求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件密度﹔两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明﹔与二维随机变量独立性相关的命题﹔求两个随机变量的相关系数﹔求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率。　　
第四章 随机变量的数字特征　　
   本章的复习，首先要记住常见分布的数字特征，考试中一定会间接地用到这些结论。另外，本章可以与数理统计的考点结合，综合后出大题，应该引起考生足够的重视。　　
1.本章的重点内容：　　随机变量的数字期望的概念与性质;随机变量的方差的概念与性质;常见分布的数字期望与方差;随机变量矩、协方差和相关系数　　
第五章 大数定律和中心极限定理　　本章考查的重点是一个切比雪夫不等式，以及三个大数定律，两个中心极限定理的条件和结论，考试需要记住。　　
1.本章的重点内容：　　切比雪夫不等式;大数定律;中心极限定理。　　
第六章 数理统计的基本概念　　重点在于“三大分布、八个定理”以及计算统计量的数字特征。　　
1.本章的重点内容：　　总体与样本;样本函数与统计量;样本分布函数和样本矩。　　第七章 参数估计　　
本章的重点是矩估计和最大似然估计，经常以解答题的形式进行考查。对于数一来说，有时还会要求验证估计量的无偏性，这是和数字特征相结合。区间估计和假设检验只有数一的同学要求，考题中较少涉及到。　　
1.本章的重点内容：　　点估计;估计量的优良性;区间估计;假设检验的基本概念;单正态总体的均值和方差的假设检验;双正态总体的均值和方差的假设检验。