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  • 07二维离散型随机变量.pptx
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    一维离散型随机变量函数的分布

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    二维离散型随机变量函数的分布

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  • 二维离散型随机变量独立性定义的基础上,得到二维离散型随机变量独立的一个新的判断定理,并给出相关的应用 。
  • 二维离散型随机变量及其分布

    万次阅读 2016-12-25 13:02:31
    二维r,v及其分布函数 1.定义 2.二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义 (2)分布函数的性质 典型例题

    二维随机变量的分布函数

    二维r,v及其分布函数
    1.定义
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    2.二维随机变量的分布函数
    (1)分布函数的定义
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    (2)分布函数的性质
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    典型例题
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    二维离散型随机变量的联合分布

    二维离散型随机变量
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    3.联合分布律的性质
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    4.二维随机变量(X,Y)的分布律的表示
    这里写图片描述
    典型例题
    这里写图片描述

    二维离散型随机变量的边缘分布

    边缘分布函数
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    离散型r.v的边缘分布律
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    这里写图片描述
    典型例题
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    二维离散型随机变量的条件分布

    二维离散型r,v的条件分布
    这里写图片描述
    典型例题
    这里写图片描述

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  • 使用多种方法实现二维离散随机变量概率分布的计算. 可以用于计算互信息等.

    一. 定义

    Joint probability distribution:

    给定至少两个随机变量X,Y,…, 它们的联合概率分布(Joint probability distribution)指的是每一个随机变量的值落入特定范围或者离散点集合内的概率. 对于只有两个随机变量的情况, 称为二元分布(bivariate distribution).

    联合概率分布可以使用联合累计分布函数(joint cumulative distribution function), 连续随机变量的联合概率密度函数(joint probability density function)或者离散变量的联合概率质量函数(joint probability mass function)来描述. 由此又衍生出两个概念: 边缘分布(marginal distribution)和条件概率分布(conditional probability distribution).

    二. 离散变量的联合概率质量函数公式

    公式:
    这里写图片描述

    这里写图片描述是给定 X=x Y=y 的条件概率.
    而且有:
    这里写图片描述

    如果 X Y相互独立:
    这里写图片描述
    如果 X Y条件不独立(conditionally dependent):
    P(X=x and Y=y)=P(X=x)P(Y=y|X=x)
    也可以使用联合累计分布函数差分来计算:
    联合累计分布函数定义是:
    这里写图片描述
    所以 F(x,y) 的导数(差分)就是 P(X=x and Y=y)

    三. 使用Matlab计算离散2D联合分布

    参考: Calculating a 2D joint probability distribution
    离散2D联合分布可用于计算两张图片的互信息MI.

    0. 定义两个离散的随机变量.

    有N个点分布在边长为1的正方形区域内. 把正方形分为K1*K2的小矩形. 统计每个小矩形内的点的个数.

    % Data
    N = 1e5;    % number of points
    xy = rand(N, 2);    % coordinates of points
    xy(randi(2*N, 100, 1)) = 0;    % add some points on one side
    xy(randi(2*N, 100, 1)) = 1;    % add some points on the other side
    xy(randi(N, 100, 1), :) = 0;    % add some points on one corner
    xy(randi(N, 100, 1), :) = 1;    % add some points on one corner
    inds= unique(randi(N, 100, 1)); 
    xy(inds, :) = repmat([0 1], numel(inds), 1);    % add some points on one corner
    inds= unique(randi(N, 100, 1)); 
    xy(inds, :) = repmat([1 0], numel(inds), 1);    % add some points on one corner
    
    % Intervals for rectangles
    K1 = ceil(sqrt(N/5));    % number of intervals along x
    K2 = K1;    % number of intervals along y
    int_x = [0:(1 / K1):1];    % intervals along x
    int_y = [0:(1 / K2):1];    % intervals along y

    1. 从定义出发, 使用for循环:

    tic
    count_cells = zeros(K1, K2);
    for k1 = 1:K1
      inds1 = (xy(:, 1) >= int_x(k1)) & (xy(:, 1) < int_x(k1 + 1));
      for k2 = 1:K2
        inds2 = (xy(:, 2) >= int_y(k2)) & (xy(:, 2) < int_y(k2 + 1));
        count_cells(k1, k2) = sum(inds1 .* inds2);% 布尔相乘得到交集点的个数
      end
    end
    toc
    % Elapsed time is 39.357691 seconds.

    可见使用两重循环的计算时间非常长.

    2. 使用hist3函数

    N=hist3(X,'Edges',edges)是matlab中专门计算二元分布的函数.
    edges是包含两个递增array的cell. 第一维分组edge1是edges{1}, 第二维分组edge2是edges{2}.
    也就是:
    edges1(i)<=X(k,1)<edges1(i+1)
    edges2(j)<=X(k,2)<edges2(j+1)
    正好落在 edges1(i+1) 或者 edges2(j+1) 上的点的个数放在N的最后一行或者最后一列.
    hist3不统计edges范围外的部分.
    N是一个二维矩阵, 统计的落到每个单元格内的点的个数.

    tic
    count_cells_hist = hist3(xy, 'Edges', {int_x int_y});
    % 注意hist3得到的矩阵是K1+1*K2+1的, 所以把最后一行和一列去掉.
    % 最后一行或一列表示的是 X(k,1)= edges{1}(end)或者X(k,2) = edges{2}(end)的点数
    count_cells_hist(end, :) = []; count_cells_hist(:, end) = [];
    toc
    all(count_cells(:) == count_cells_hist(:))
    % Elapsed time is 0.017995 seconds.

    显然比用两重for循环快多了.

    3. 使用矩阵二元操作bsxfun

    C = bsxfun(fun,A,B)AB做逐个元素的二元操作, 操作由函数 fun指定.
    返回的C中, 1表示满足条件, 0 表示不满足条件. 可用的fun有:

    funoperation
    @plusPlus
    @minusMinus
    @timesArraymultiply
    @rdivideRightarray divide
    @ldivideLeftarray divide
    @powerArray power
    @maxBinary maximum
    @minBinary minimum
    @remRemainder after division
    @modModulus after division
    @atan2Four-quadrant inverse tangent; result in radians
    @atan2dFour-quadrant inverse tangent; result in degrees
    @hypotSquare root of sum of squares
    @eqEqual
    @neNot equal
    @ltLess than
    @leLess than or equal to
    @gtGreater than
    @geGreater than or equal to
    @andElement-wiselogical AND
    @orElement-wiselogical OR
    @xorLogicalexclusive OR

    使用bsxfun的matlab代码:

    %% bsxfun
    tic
    xcomps = single(bsxfun(@ge,xy(:,1),int_x));% 10000*143矩阵
    ycomps = single(bsxfun(@ge,xy(:,2),int_y));% 10000*143矩阵
    % 相当于求CDF
    count_again = xcomps.' * ycomps; %' 143x143 = 143x1e5 * 1e5x143
    % 差分后是142*142
    count_again_fix = diff(diff(count_again')');
    toc
    % Elapsed time is 0.178316 seconds.
    all(count_cells_hist(:) == count_again_fix(:))

    bsxfun稍逊于hist3, 可以针对没有statistics toolbox的情况下使用.

    4. 使用accumarray

    A= accumarray(subs,val)使用subs的元素值作为索引. subs和val是一一对应的. 将subs中相同值对应的val值累加. 也就是说, subs中元素的位置决定了val哪些元素相加, subs中元素的值决定了累加值在输出中的位置. 看matlab help中示例:

    Example 1
    Create a 5-by-1 vector and sum values for repeated 1-D subscripts:
    val = 101:105;
    subs = [1; 2; 4; 2; 4];
    A = accumarray(subs, val)

    A =
    101 % A(1) = val(1) = 101
    206 % A(2) = val(2)+val(4) = 102+104 = 206
    0 % A(3) = 0
    208 % A(4) = val(3)+val(5) = 103+105 = 208

    subs中元素值必须是正整数值. 所以在表示分组时, 可以把[0,1]区间变为[1,K1]区间. matlab代码:

    %%%%% 第五种方法Using accumarray
    % Another approach is to use accumarray to make the joint histogram after we bin the data.
    % Starting with int_x, int_y, K1, xy, etc.:
    tic
    % take (0,1) data onto [1 K1], following A.Dondas approach for easy comparison
    ii = floor(xy(:,1)*(K1-eps))+1; 
    ii(ii<1) = 1; ii(ii>K1) = K1;
    jj = floor(xy(:,2)*(K1-eps))+1; 
    jj(jj<1) = 1; jj(jj>K1) = K1;
    
    % create the histogram and normalize
    H = accumarray([ii jj],ones(1,size(ii,1)));
    PDF = H / size(xy,1); % for probabilities summing to 1
    toc
    % Elapsed time is 0.006356 seconds.
    all(count_cells_hist(:) == count_again_fix(:))

    ms级别! 真是快!

    5. 使用mex编译

    mex混合编程参考: 在Matlab中使用mex函数进行C/C++混合编程

    #include "mex.h"
    // http://stackoverflow.com/questions/19745917/calculating-a-2d-joint-probability-distribution
    void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[], int nrhs, const mxArray *prhs[])
    {
        unsigned long int hh, ctrl;       /*  counters                       */
        unsigned long int N, m, n;        /*  size of matrices               */
        unsigned long int *xy;            /*  data                           */
        unsigned long int *count_cells;   /*  joint frequencies              */
        /*  matrices needed */
        mxArray *count_cellsArray;
    
    /*  Now we need to get the data */
        if (nrhs == 3) {
            xy = (unsigned long int*) mxGetData(prhs[0]);
            N = (unsigned long int) mxGetM(prhs[0]);//取矩阵的行数
            m = (unsigned long int) mxGetScalar(prhs[1]);
            n = (unsigned long int) mxGetScalar(prhs[2]);
        }
    
    /*  Then build the matrices for the output */
        count_cellsArray = mxCreateNumericMatrix(m + 1, n + 1, mxUINT32_CLASS, mxREAL);
        count_cells = mxGetData(count_cellsArray);
        plhs[0] = count_cellsArray;
    
        hh = 0; /* counter for elements of xy */
        /* for all points from 1 to N */
        for(hh=0; hh<N; hh++) {
            ctrl = (m + 1) * xy[N + hh] + xy[hh];
            count_cells[ctrl] = count_cells[ctrl] + 1;
        }
    }

    将代码保存为: joint_dist_points_2D.c. 在matlab cmd中运行:

    mex joint_dist_points_2D.c

    生成joint_dist_points_2D.mexw32文件.
    matlab调用代码:

    % Use mex function
    tic
    xy2 = uint32(floor(xy ./ repmat([1 / K1, 1 / K2], N, 1)));
    count_cells = joint_dist_points_2D(xy2, uint32(K1), uint32(K2));
    toc
    % Elapsed time is 0.011696 seconds.

    也是非常快的.

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