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  • 概率论知识回顾(十) 重点:二维连续随机变量分布函数联合密度函数 二维连续随机变量的分布函数怎么表示? 分布函数有什么性质二维连续随机变量边缘分布...

    概率论知识回顾(十)

    重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数

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    知识回顾

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
    2. 分布函数有什么性质?
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
    5. 联合密度函数有什么性质?
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?

    知识解答

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
      • 对于二维连续随机变量 (X,Y)(X,Y) 来说,函数 F(x,y)F(x, y) 表示 F(x,y)=P{Xx,Yy}F(x, y) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y \le y\end{Bmatrix} 我们就称 F(x,y)F(x,y) 为 二维连续随机变量 (X,Y)(X, Y) 的分布函数。
    2. 分布函数有什么性质?
      • 对每个自变量单调不减
        • 对任意固定 x, 当 y1<y2y_1 < y_2, 有 F(x,y1)F(x,y2)F(x, y_1) \le F(x, y_2)
        • 对任意固定 y, 当 x1<x2x_1 < x_2, 有 F(x1,y)F(x2,y)F(x_1, y) \le F(x_2, y)
      • 对每个自变量右连续
        • 对任意固定 x, F(x,y0+0)=F(x,y0)F(x, y_0 + 0) = F(x, y_0)
        • 对任意固定 y, F(x0+0,y)=F(x0,y)F(x_0 + 0, y) = F(x_0, y)
      • {F(,)=0F(x,)=0xRF(,y)=0yRF(+,+)=1\begin{cases} F(-\infty, -\infty) = 0 \\ F(x, -\infty) = 0 &\forall x \in R \\ F(-\infty , y) = 0 & \forall y \in R \\ F(+\infty, +\infty) = 1\end{cases}
      • 对任意 x1<x2,y1<y2x_1 < x_2, y_1 < y_2 都有 : P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)0P\begin{Bmatrix} x_1<X\le x_2, y_1<Y \le y_2 \end{Bmatrix} = F(x_2, y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1) \ge 0
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
      • 二维连续随机变量的边缘分布和离散随机变量的边缘分布类似,都是其组成的单个随机变量的分布律。
      • FX(x)=P{Xx,Y<+}=F(x,+)F_X(x) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y < + \infty \end{Bmatrix}=F(x, +\infty) 表示 二维连续随机变量 (X,Y)(X, Y) 关于 XX 的边缘分布律。从公式来看其实就是排除 Y 之后,只看 x 的分布。
      • 同理 FY=F(+,y)F_Y = F(+ \infty, y)
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
      • 如果对于随机变量 (X,Y)(X, Y) 的分布函数 F(x,y)F(x, y) 的任意取值都有一个非负可积的函数 f(x,y)f(x, y) 使得 F(x)=yxf(u,v)dudvF(x) = \int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^xf(u, v)dudv 。 就称 f(x,y)f(x, y) 为二维随机变量 (X,Y)(X, Y) 的联合密度函数。
    5. 联合密度函数有什么性质?
      • f(x,y)0f(x, y) \ge 0
      • ++f(x,y)dxdy=1\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dxdy = 1
      • 如果 f(x,y)f(x, y)(x,y)(x, y) 处连续,则有 2F(x,y)xy=f(x,y)\frac{\partial^2F(x, y)}{\partial x \partial y} = f(x, y)
      • 对于任何平面区域 GG, 都有 P{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdyP\begin{Bmatrix}(X, Y) \in G\end{Bmatrix} = \iint_Gf(x, y)dxdy
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
      • SG=AS_G = A ,若密度函数 f(x,y)={1A,(x,y)G0,elsef(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{A}, & (x, y) \in G \\ 0, & else \end{cases} 则称为均匀分布。
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?
      • f(x,y)=12πσ1σ21ρ2e12(1ρ2)[(xμ1)2σ122ρ(xμ1)(yμ2)σ1σ2+(yμ2)2σ22]f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho \frac{(x-\mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]}
      • 其中: σ1>0,σ2>0,ρ<1\sigma_1 > 0, \sigma_2 > 0, |\rho| < 1
      • 记作 (X,Y)N(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)(X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho)
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  • 文章目录一、为什么是二维随机变量二、二维随机变量的分布函数2.1 二维随机变量分布函数的性质2.2 二维随机变量的边缘分布函数三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法 一、为什么是二维随机变量 还记得我们...

    一、为什么是二维随机变量

    还记得我们在 Chapter2Chapter 2 里面讨论的都是一维随机变量嘛,但是假如我们举一个例子:

    1. 比如我们要统计人群的身高分布,那容易啊,直接统计一个变量——身高 X 即可
    2. 但是,如果我们要统计的是人群的身材,那你不可能只用身高来衡量,我们需要两个变量——身高 X 和体重 Y。因此,这就是二维随机变量的引入。

    我们一般使用 (X, Y)来表示。可以说是一个向量。

    二、二维随机变量的分布函数

    我们先来看看定义:F(x,y)=P{Xx,Yy} F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\}

    它的意思是由 Xx,YyX ≤x, Y ≤y 所构成的蓝色区域所对应的立体密度函数的体积!!

    这句话怎么理解呢?这得回到一维去,因为我们在一维随机变量里面,F(x)=P{Xx}F(x) = P\{X≤x\}表示的是 XxX≤x 所对应的平面密度函数的面积。那么扩展到二维,它的密度函数是 f(x,y)f(x,y) ,是一个立体的函数,那么对应的自然就是体积了。

    2.1 二维随机变量分布函数的性质

    【1】 0F(x,y)10 ≤ F(x, y) ≤1这个好理解,概率一定小于等于1 .
    【2】F(x,y)F(x, y) 是关于 x 或 y 的不减函数
    【3】F(,y)=0;F(x,)=0;F(,)=0,F(+,+)=1F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0; F(-∞, -∞) = 0, F(+∞, +∞) = 1
    如果我们把二维随机变量的概率密度函数想象成立体草帽,那么在任何一个变量是 -∞ 的时候,还没能切到草帽,所以体积一定是0.

    【4】F(x,y)F(x, y) 分别关于 x, y右连续
    【5】P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)P\{x_1 < X ≤ x_2, y_1 <Y ≤ y_2\} = F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1)

    2.2 二维随机变量的边缘分布函数

    上面我们讲过的:F(x,y)=P{Xx,Yy}F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} 它叫做联合分布函数。下面我们来看看边缘分布函数,其实也好理解:
    FX(x)=P{Xx,Y<+}F_X(x) = P\{X ≤ x, Y< +∞\} 这叫做 X 的边缘分布函数,它的意思是令 X 小于等于 x, y 爱咋地咋地,不限制。同理 FY(y)=P{X<+,Y<y}F_Y(y) = P\{X < +∞, Y < y\}, 这叫做 Y 的边缘分布函数。

    三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法

    这一节只需要一个例子就可以解释明白:我们以下面的表为例:

    X\Y 1 2 3
    1 0 12\frac{1}{2} 18\frac{1}{8}
    2 18\frac{1}{8} 18\frac{1}{8} 18\frac{1}{8}

    这是一个二维离散型随机变量的联合分布表,里面具体的概率值就用我们之前学过的办法计算。

    下面看看如何计算联合分布函数:
    假设要计算:F(1.2,1)F(1.2, 1),那么就是:P{X1.2,Y1)P\{X ≤1.2, Y≤ 1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F(1.2,1)=0F(1.2, 1) = 0

    如果计算 F(2.4,2.1)F(2.4, 2.1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F(2.4,2.1)=0+12+18+18=34F(2.4, 2.1) = 0+\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{4}

    其他情况类似。

    那么,如何计算边缘分布呢?首先我们看看计算 X 的边缘分布:
    在这里插入图片描述
    我们把 每一个 X 所在的行分别相加,就可以得到 X 的边缘分布。如下表:

    X 1 2
    P 58\frac{5}{8} 38\frac{3}{8}

    Y 的边缘分布的计算类似。
    在这里插入图片描述

    最后提几个要点:

    1. 有了联合分布就可以唯一地确定边缘分布。
    2. 但是有了边缘分布并不能唯一地确定联合分布(除了 X, Y 独立的时候)

    四、二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数和边缘分布

    4.1 联合密度函数和联合分布函数

    分布函数的定义还是一样的:F(x,y)=P{Xx,Yy} F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\}
    它的意义我们在前面讨论过了,既然是体积,那么就会涉及到二重积分。我们先回顾一下二重积分的几何意义:

    f(x,y)0f(x, y) ≥ 0 时,Df(x,y)dσ\iint_Df(x,y)dσ 是以区域 D 为底,f(x,y)f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。

    因此,我们就可以通过二重积分计算分布函数:F(x,y)=xyf(s,t)dsdt F(x,y) = \int_{-∞}^{x}\int_{-∞}^{y}f(s,t)dsdt
    下面我们给出几个性质:
    【1】f(x,y)>0f(x,y) >0
    【2】++f(s,t)dsdt=1\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt = 1
    【3】f(x,y)=2F(x,y)xyf(x,y) = \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial {x} \partial {y}}(这时计算联合密度函数的好办法!)
    【4】如果题目给出来一个区域 GG,它是 X, Y 平面的一个区域。那么,我们有:P{(x,y)G}=Gf(x,y)dxdy P\{(x, y)∈G\} = \iint_{G}f(x,y)dxdy
    它也就是把 G 区域沿着 Z 轴拉伸,和 f(x,y)f(x,y) 包围起来的那一部分体积

    4.2 边缘密度函数

    我们先定义一下边缘分布函数:FX(x)=F(x,+)=x+f(s,t)dsdtFY(y)=F(+,y)=y+f(s,t)dsdt F_X(x) = F(x, +∞) = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt\\ \quad\\ F_Y(y) = F(+∞, y) = \int_{-∞}^y\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt

    当然,通过联合分布函数 F(x,y)F(x,y) 也可以计算处边缘分布:FX(x)=limy+F(x,y)FY(y)=limx+F(x,y) F_X(x) = \lim_{y\to +∞}F(x, y)\\ \quad\\ F_Y(y) = \lim_{x\to +∞}F(x,y)
    那么,如果要计算 X 的边缘密度函数,我们就对 FX(x)F_X(x) 求导:fX(x)=FX(x)=+f(x,y)dyfY(y)=FY(y)=+f(x,y)dx f_X(x) = F_X'(x) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy\\ \quad\\ f_Y(y) = F_Y'(y) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dx
    简而言之,要计算 fX(x)f_X(x),可以在无穷范围内 f(x,y)f(x,y)yy 积分。要计算 fY(y)f_Y(y),可以在无穷范围内 f(x,y)f(x,y)xx 积分。

    当我们说到这儿的时候,其实给出一道题做,套公式写出来没有任何问题。但是,真正的意义你理解了吗?下面我们看一个例子,博主打算用公式法+画图理解法剖析边缘密度函数的意义:

    已知(X, Y)在椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 所围成的区域上服从均匀分布。其联合密度函数为:φ(x,y)={1πabx2a2+y2b210else φ(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{πab}\quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} ≤1\\ 0\quad else\\ \end{cases}
    求 X ,Y 的边缘密度函数 φX(x),φY(y)φ_X(x), φ_Y(y)

    首先,抛开问题本身,我们一般假设概率密度函数 f(x,y)f(x,y) 就是一个草帽状函数,那么问一个问题:联合分布函数 F(x,y)F(x,y)的意义是什么?—— 根据定义思考一下:F(x,y)=P{Xx,Yy}=xyf(u,v)dudvF(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^yf(u, v)dudv。下面我们看一张图理解一下:

    具体一个 F(x0,y0)F(x_0, y_0)的意义就是分别用 x=x0x = x_0y=y0y = y_0 这两把刀,去切割草帽,里面那部分的体积!

    那么,边缘密度函数呢?如果我们还是以 fX(x0)f_X(x_0)为例?

    既然是 fX(x0)f_X(x_0) ,那么也就意味着只用 x=x0x = x_0 这一把刀去切割草帽,我们发现,切割草帽的时候会得到一个切割线,如上图所示。那么 fX(x0)f_X(x_0) 的意义就是这个切割线与 yy 轴所围成的面积!

    那么,如果我们把这样的分析具体化到这道题目上,本题的分布密度函数如下图左图所示。那么一样的道理,如果考虑 fX(x0)f_X(x_0),就是只用 x=x0x = x_0这一把刀去切割分布密度函数图,如果这把刀能够切割到函数体,那么自然就会产生一个切痕,所以就是切痕曲线与 yy 轴所围成的面积!

    很显然,我们发现:这个分布密度函数在中间那个椭圆区域才有值,其他地方都是0.

    现在,我们首先计算 φX(x)φ_X(x),很自然地,我们发现,如果 x=x0x = x_0 这把刀放的太前(xax ≥a)或者太后(xax ≤ -a)我们都无法切到这个函数体,自然就没有切痕。那么 φX(x)φ_X(x) 就会等于 0.即:φX(x)=0if xa φ_X(x) = 0\quad if\space |x| ≥ a

    下面考虑能切到的时候,即 x<a|x| < a,那么刀刃的线如上面左图加粗的地方,切割线也是一样的。然后我们就是要计算切痕与 yy 轴所围成的面积(如上面的右图所示)

    但是我们又发现,这个切痕也是在 yy 处于一定范围的时候才有值,其他时候为0. yy 的范围我们可以通过椭圆的方程很容易求出来,就等于:±b1x2a2 ±b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
    这个面积还不好求?就是一个矩形的面积罢了对吧!所以我们得到:φX(x)=1πab2b1x2a2=2πa1x2a2if x<a φ_X(x) = \frac{1}{πab}2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} =\frac{2}{πa}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \quad if \space |x| < a

    φY(y)φ_Y(y) 的理解方法完全类似。式子的意义理解了,带公式解题也有了底气哈哈!

    关于计算边缘分布密度的注记

    在计算边缘分布密度的时候,积分的区间仍然是一个大坑。这里,博主总结了一个避坑方法:
    在给出的联合分布密度函数中,x ,y 的范围有了的时候,我们一定要把这个 x, y 范围所表示的区域画出来,只要把这个区域画出来了,我们在后面对 x 或者 y 积分的时候,它们各自的积分区间一目了然,就不会搞错了。

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  • 一、二维随机变量 二、二维离散型随机变量 2.1、离散随机变量的联合概率分布律 2.2、联合分布的性质 2.3、例

    一、二维随机变量

    在这里插入图片描述

    二、二元离散型随机变量

    在这里插入图片描述

    2.1、离散随机变量的联合概率分布律

    在这里插入图片描述

    2.2、联合分布律的性质

    在这里插入图片描述

    2.2.1、例

    P(X=1|Z=0)表示在Z=0条件下,取一个红球的概率,即两次都没有取到白球

    注意: 条件概率和两个事件同时发生的概率, 它们是不一样的,需要区分。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.3、二元联合分布函数

    2.3.0、一元分布函数

    在这里插入图片描述

    2.3.1、分布函数性质

    在这里插入图片描述

    2.3.2、二元离散型随机变量的联合分布函数

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    三、二元连续型随机变量

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  • 二维随机变量 联合分布函数 定义 性质 边缘分布函数 联合密度 边缘密度 期望 方差

    1. 二维均匀分布

    在这里插入图片描述

    2. 二维正态分布【(ξ,ŋ) ~ N(μ1122,)】

    在这里插入图片描述

    性质:

    1. 相关系数为0 <=> 两个随即变量相互独立

    不相关 == 相互独立

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二维联合分布函数的性质