-
概率论知识回顾(十):二维连续随机变量分布函数和联合密度函数
2019-05-08 11:27:57概率论知识回顾(十) 重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数 二维连续随机变量的分布函数怎么表示? 分布函数有什么性质? 二维连续随机变量的边缘分布...概率论知识回顾(十)
重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数
知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:
- 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
- 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
- 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。
知识回顾
- 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
- 分布函数有什么性质?
- 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
- 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
- 联合密度函数有什么性质?
- 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
- 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?
知识解答
- 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
- 对于二维连续随机变量 来说,函数 表示 我们就称 为 二维连续随机变量 的分布函数。
- 分布函数有什么性质?
- 对每个自变量单调不减
- 对任意固定 x, 当 , 有
- 对任意固定 y, 当 , 有
- 对每个自变量右连续
- 对任意固定 x,
- 对任意固定 y,
- 对任意 都有 :
- 对每个自变量单调不减
- 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
- 二维连续随机变量的边缘分布和离散随机变量的边缘分布类似,都是其组成的单个随机变量的分布律。
- 表示 二维连续随机变量 关于 的边缘分布律。从公式来看其实就是排除 Y 之后,只看 x 的分布。
- 同理
- 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
- 如果对于随机变量 的分布函数 的任意取值都有一个非负可积的函数 使得 。 就称 为二维随机变量 的联合密度函数。
- 联合密度函数有什么性质?
- 如果 在 处连续,则有
- 对于任何平面区域 , 都有
- 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
- 设 ,若密度函数 则称为均匀分布。
- 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?
- 其中:
- 记作
-
Probability and Statistics 8】—— 深入地理解二维随机变量及其分布函数、分布密度函数的意义
2020-03-28 19:47:18文章目录一、为什么是二维随机变量二、二维随机变量的分布函数2.1 二维随机变量分布函数的性质2.2 二维随机变量的边缘分布函数三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法 一、为什么是二维随机变量 还记得我们...文章目录
一、为什么是二维随机变量
还记得我们在 里面讨论的都是一维随机变量嘛,但是假如我们举一个例子:
- 比如我们要统计人群的身高分布,那容易啊,直接统计一个变量——身高 X 即可
- 但是,如果我们要统计的是人群的身材,那你不可能只用身高来衡量,我们需要两个变量——身高 X 和体重 Y。因此,这就是二维随机变量的引入。
我们一般使用 (X, Y)来表示。可以说是一个向量。
二、二维随机变量的分布函数
我们先来看看定义:
它的意思是由 所构成的蓝色区域所对应的立体密度函数的体积!!
这句话怎么理解呢?这得回到一维去,因为我们在一维随机变量里面,表示的是 所对应的平面密度函数的面积。那么扩展到二维,它的密度函数是 ,是一个立体的函数,那么对应的自然就是体积了。
2.1 二维随机变量分布函数的性质
【1】 这个好理解,概率一定小于等于1 .
【2】 是关于 x 或 y 的不减函数
【3】
如果我们把二维随机变量的概率密度函数想象成立体草帽,那么在任何一个变量是 -∞ 的时候,还没能切到草帽,所以体积一定是0.【4】 分别关于 x, y右连续
【5】2.2 二维随机变量的边缘分布函数
上面我们讲过的: 它叫做联合分布函数。下面我们来看看边缘分布函数,其实也好理解:
这叫做 X 的边缘分布函数,它的意思是令 X 小于等于 x, y 爱咋地咋地,不限制。同理 , 这叫做 Y 的边缘分布函数。三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法
这一节只需要一个例子就可以解释明白:我们以下面的表为例:
X\Y 1 2 3 1 0 2 这是一个二维离散型随机变量的联合分布表,里面具体的概率值就用我们之前学过的办法计算。
下面看看如何计算联合分布函数:
假设要计算:,那么就是:,我们可以这样做:
如果计算 ,我们可以这样做:
其他情况类似。
那么,如何计算边缘分布呢?首先我们看看计算 X 的边缘分布:
我们把 每一个 X 所在的行分别相加,就可以得到 X 的边缘分布。如下表:X 1 2 P Y 的边缘分布的计算类似。
最后提几个要点:
- 有了联合分布就可以唯一地确定边缘分布。
- 但是有了边缘分布并不能唯一地确定联合分布(除了 X, Y 独立的时候)
四、二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数和边缘分布
4.1 联合密度函数和联合分布函数
分布函数的定义还是一样的:
它的意义我们在前面讨论过了,既然是体积,那么就会涉及到二重积分。我们先回顾一下二重积分的几何意义:当 时, 是以区域 D 为底, 为顶的曲顶柱体的体积。
因此,我们就可以通过二重积分计算分布函数:
下面我们给出几个性质:
【1】
【2】
【3】(这时计算联合密度函数的好办法!)
【4】如果题目给出来一个区域 ,它是 X, Y 平面的一个区域。那么,我们有:
它也就是把 G 区域沿着 Z 轴拉伸,和 包围起来的那一部分体积4.2 边缘密度函数
我们先定义一下边缘分布函数:
当然,通过联合分布函数 也可以计算处边缘分布:
那么,如果要计算 X 的边缘密度函数,我们就对 求导:
简而言之,要计算 ,可以在无穷范围内 对 积分。要计算 ,可以在无穷范围内 对 积分。当我们说到这儿的时候,其实给出一道题做,套公式写出来没有任何问题。但是,真正的意义你理解了吗?下面我们看一个例子,博主打算用公式法+画图理解法剖析边缘密度函数的意义:
已知(X, Y)在椭圆 所围成的区域上服从均匀分布。其联合密度函数为:
求 X ,Y 的边缘密度函数首先,抛开问题本身,我们一般假设概率密度函数 就是一个草帽状函数,那么问一个问题:联合分布函数 的意义是什么?—— 根据定义思考一下:。下面我们看一张图理解一下:
具体一个 的意义就是分别用 和 这两把刀,去切割草帽,里面那部分的体积!
那么,边缘密度函数呢?如果我们还是以 为例?
既然是 ,那么也就意味着只用 这一把刀去切割草帽,我们发现,切割草帽的时候会得到一个切割线,如上图所示。那么 的意义就是这个切割线与 轴所围成的面积!
那么,如果我们把这样的分析具体化到这道题目上,本题的分布密度函数如下图左图所示。那么一样的道理,如果考虑 ,就是只用 这一把刀去切割分布密度函数图,如果这把刀能够切割到函数体,那么自然就会产生一个切痕,所以就是切痕曲线与 轴所围成的面积!
很显然,我们发现:这个分布密度函数在中间那个椭圆区域才有值,其他地方都是0.
现在,我们首先计算 ,很自然地,我们发现,如果 这把刀放的太前()或者太后()我们都无法切到这个函数体,自然就没有切痕。那么 就会等于 0.即:
下面考虑能切到的时候,即 ,那么刀刃的线如上面左图加粗的地方,切割线也是一样的。然后我们就是要计算切痕与 轴所围成的面积(如上面的右图所示)
但是我们又发现,这个切痕也是在 处于一定范围的时候才有值,其他时候为0. 的范围我们可以通过椭圆的方程很容易求出来,就等于:
这个面积还不好求?就是一个矩形的面积罢了对吧!所以我们得到:的理解方法完全类似。式子的意义理解了,带公式解题也有了底气哈哈!
关于计算边缘分布密度的注记
在计算边缘分布密度的时候,积分的区间仍然是一个大坑。这里,博主总结了一个避坑方法:
在给出的联合分布密度函数中,x ,y 的范围有了的时候,我们一定要把这个 x, y 范围所表示的区域画出来,只要把这个区域画出来了,我们在后面对 x 或者 y 积分的时候,它们各自的积分区间一目了然,就不会搞错了。 -
二元随机变量,分布律,联合分布函数
2019-09-20 17:17:34 -
常用二维连续型随机变量的分布及其基本数字特征
2020-05-25 15:17:00二维随机变量 联合分布函数 定义 性质 边缘分布函数 联合密度 边缘密度 期望 方差展开全文 -
概率论与数理统计学习笔记——第8讲——多维随机变量的概念(3.1.2二维随机变量及其分布)
2019-11-01 14:30:471. 联合分布函数与边缘分布函数 2. 边缘分布函数求解示例 3. 联合分布函数的性质(单调不减性;有界性;右连续性;相容性) 4. n维随机变量的联合分布函数 ... -
概率论-二维随机变量及其分布
2020-11-16 11:26:08F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\}F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}叫做X和Y的联合分布。 左图为定义域,右图为概率值: 性质 0≤F(x,y)≤10 \leq F(x,y) \leq 10≤F(x,y)≤1. F(x,y)F(x,y)F(x,y)单调递增。 F... -
地图点随机分布均匀_概率论第三章二维随机变量(基础)
2020-11-20 13:49:11只能说概率论虽然简单,但是需要背的东西还是...知识点:一、理解多维随机变量的概念,理解多维随机变量的分布函数的概念和性质(一)二维随机变量的联合分布函数1.性质(1)0≤F(x,y)≤1,对于任意固定的实数x,y,有F(-... -
概率论与数理统计(3.1)二维随机变量
2020-04-05 10:56:43二维随机变量分布函数(联合分布函数)的定义3.分布函数F(x,y)的基本性质(4条)4.二维离散型随机变量1).定义2).二维离散型随机变量的分布律3).二维离散型随机变量的分布函数4).二维离散型随机变量分布律和分布函数... -
二维连续性随机变量 做题模板
2020-10-09 21:37:41(二维随机变量的联合分布函数性质) (2) 求联合概率密度 对联合分布函数求二阶混合偏导数即可。 2.给出二维连续性随机变量的带参联合概率密度函数 1.利用负无穷到正无穷积分等于1求出参数 2.x的边缘概率... -
第三章: 二维随机变量
2020-03-23 10:26:36这一章是上一章的深化,一个是一维空间,一个是多维空间。...联合分布函数 联合分布率 二维连续型随机变量 (X,Y)概率密度性质 (X,Y)在G上符合均匀分布 二维正态分布 在这里插入图片描述 ... -
-
多维随机变量及其分布
2020-05-01 10:52:59文章目录CH3--多维随机变量及其分布联合分布函数:联合分布函数的基本性质:联合分布列联合密度函数:联合密度函数性质:常用多维分布#正态分布边缘分布:随机变量间的独立性离散场合的卷积公式变量变换法多维随机... -
【考研高数-概率论与数理统计-基础】第三章 多维随机变量及其分布
2021-02-03 17:44:552.联合分布函数 2.1 概念 2.2 性质 3.边缘分布函数 二:二维离散型随机变量 1.联合分布律 2.边缘分布律 3.条件分布律 三:二维连续型随机变量 1.联合概率密度 2.边缘概率密度 3.条件概率... -
概率统计:第三章 多维随机变量及其分布
2016-03-01 13:45:15第三章 多维随机变量及其分布 内容提要: 一、 二维随机变量 1、二维随机变量的定义:设E是一个随机试验,它的样本空间是, 是定义在S上的随机变量,则叫做二...3、二维随机变量的分布函数的性质: (1) 是变量 -
二维随机变量期望公式_概率论笔记3--连续随机变量、数学期望和方差
2020-12-31 08:47:42在 离散随机变量 的基础上,讨论连续随机变量有差异的...PDF 概率密度函数CDF 分布函数联合分布1. Probability density function (PDF) 概率密度函数连续随机变量,任一指定实数值的概率,都是 0.用离散变量的方式... -
多维随机变量与其对应的分布
2016-08-24 16:10:000. 多维随机变量 一般,设 E 是一个随机试验,它的样本空间是 S={e},设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量,由它们构成的一个向量 (X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量。...联合分布函数的定... -
概率 + 统计 多维随机变量及其分布(三)
2020-07-12 19:30:55分布函数的函数值的几何解释 将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在如下图中所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。 随机点落在矩形域内的... -
【概率论】3.2随机变量与多维随机变量及其概率分布
2020-04-03 20:38:48分布函数的概念与性质3.离散型随机变量的概率分布4.连续型随机变量的概率密度5.常见分布6.随机变量函数的概率分布7.重要公式与结论2.多维随机变量及其分布1.二维随机变量及其联合分布2.二维离散型随机变量的分布3. ... -
-
-
-
-
多维随机变量及其分布(四):
2019-08-16 17:45:47(2)联合分布函数的基本性质: 单调性:F(x,y)分别对x 或y是单调不减的,即: 对任意固定的y ,当 x1 < x2 时,有F (x1,y)<= F(x2,y); 对任意固定的x ,当 y1 < y2 时,有F (x,y1)<=..... -
-
-
-
随机过程基础(2)---多维随机变量常用性质、随机过程的引入
2020-04-09 22:16:26二维随机变量分布函数和概率密度 二维随机变量的联合概率密度通过如下方式定义:fXY(x,y)f_{XY}(x,y)fXY(x,y)且∫−∞∞∫−∞∞fXY(x,y)dxdy=1\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{XY}(x,y)dxdy=1∫... -
统计建模与R
2020-06-01 19:00:49第一章 概率统计 1.1随机事件与概率 随机试验: ...联合分布函数 分布函数性质 离散型二维随机向量 连续性二维随机向量 边缘分布 二维均匀分布 二维正态分布 1.3随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差 相 -
-
vb回车到下个控件.txt
-
Mysql数据库面试直通车
-
FTP 文件传输服务
-
容器方式下的轻量仓库与CI 使用方案:Gitea + Drone 基础篇
-
一天学完MySQL数据库
-
Unity ILRuntime框架设计
-
springboot测试类中遇到Unable to find a @SpringBootConfiguration, you need to use @ContextConfiguration
-
被疫情加速的数字化生活,给我们带来了什么?
-
C++代码规范和Doxygen根据注释自动生成手册
-
dotNetFx40_Full离线和在线版安装包.rar
-
access应用的3个开发实例
-
React脚手架配置代理方法
-
程序员必修基础套餐课
-
电商PC前后端分离项目Spring Boot后台实战第一期
-
贪吃蛇_2021年2月25日老师付版本.rar
-
1611214276.csv
-
程序员带你一步步分析AI如何玩FlappyBird
-
android环境配置!掌握这些Android开发热门前沿知识,这原因我服了
-
uniapp text标签自带行高
-
TC264主板资料.zip