概率论知识回顾（十）
 
重点：二维连续随机变量分布函数和联合密度函数
 
 
 
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知识回顾
 
二维连续随机变量的分布函数怎么表示？
分布函数有什么性质？
二维连续随机变量的边缘分布怎么表示？
二维连续随机变量的联合密度函数是什么？
联合密度函数有什么性质？
二维均匀分布的联合密度函数怎么表示？
二维正态分布的联合密度函数怎么表示？
 
 
知识解答
 
二维连续随机变量的分布函数怎么表示？ 
  
对于二维连续随机变量 $(X,Y)$ 来说，函数 $F(x,y)$ 表示 $F(x,y)=P\left\{\begin{array}{c}X\le x,Y\le y\end{array}\right\}$ 我们就称 $F(x,y)$ 为 二维连续随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数。
 
分布函数有什么性质? 
  
对每个自变量单调不减 
    
对任意固定 x, 当 $y_1<y_2$, 有 $F(x,y_1)\le F(x,y_2)$
对任意固定 y, 当 $x_1<x_2$, 有 $F(x_1,y)\le F(x_2,y)$
 
对每个自变量右连续 
    
对任意固定 x, $F(x,y_0+0)=F(x,y_0)$
对任意固定 y, $F(x_0+0,y)=F(x_0,y)$
 
$\{\begin{array}{ll}F(-\infty ,-\infty )=0& \\ F(x,-\infty )=0& \forall x\in R\\ F(-\infty ,y)=0& \forall y\in R\\ F(+\infty ,+\infty )=1& \end{array}$
对任意 $x_1<x_2,y_1<y_2$ 都有 ： $$P\left\{\begin{array}{c}{x}_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\end{array}\right\}=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\ge 0$$
 
二维连续随机变量的边缘分布怎么表示？ 
  
二维连续随机变量的边缘分布和离散随机变量的边缘分布类似，都是其组成的单个随机变量的分布律。
$F_X(x)=P\left\{\begin{array}{c}X\le x,Y<+\infty \end{array}\right\}=F(x,+\infty )$ 表示 二维连续随机变量 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布律。从公式来看其实就是排除 Y 之后，只看 x 的分布。
同理 $F_Y=F(+\infty ,y)$
 
二维连续随机变量的联合密度函数是什么？ 
  
如果对于随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$ 的任意取值都有一个非负可积的函数 $f(x,y)$ 使得 $F(x)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$ 。 就称 $f(x,y)$ 为二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数。
 
联合密度函数有什么性质？ 
  
$f(x,y)\ge 0$
${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$
如果 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处连续，则有 $\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$
对于任何平面区域 $G$, 都有 $P\left\{\begin{array}{c}(X,Y)\in G\end{array}\right\}={\iint }_{G}f(x,y)dxdy$
 
二维均匀分布的联合密度函数怎么表示？ 
  
设 $S_G=A$ ，若密度函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{A},& (x,y)\in G\\ 0,& else\end{array}$ 则称为均匀分布。
 
二维正态分布的联合密度函数怎么表示？ 
  
$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{e}^{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}]}$
其中: ${\sigma }_1>0,{\sigma }_2>0,|\rho |<1$
记作 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho )$
 

 
文章目录
 
一、为什么是二维随机变量
二、二维随机变量的分布函数
2.1 二维随机变量分布函数的性质
2.2 二维随机变量的边缘分布函数
  
三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法
四、二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数和边缘分布
4.1 联合密度函数和联合分布函数
4.2 边缘密度函数
关于计算边缘分布密度的注记
 

 
一、为什么是二维随机变量
 
还记得我们在 $Chapter2$ 里面讨论的都是一维随机变量嘛，但是假如我们举一个例子：
 
比如我们要统计人群的身高分布，那容易啊，直接统计一个变量——身高 X 即可
但是，如果我们要统计的是人群的身材，那你不可能只用身高来衡量，我们需要两个变量——身高 X 和体重 Y。因此，这就是二维随机变量的引入。
 
我们一般使用 （X, Y）来表示。可以说是一个向量。
 
二、二维随机变量的分布函数
 
我们先来看看定义：
     
      
       
        
         F
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         ,
        
        
         y
        
        
         )
        
        
         =
        
        
         P
        
        
         {
        
        
         X
        
        
         ≤
        
        
         x
        
        
         ,
        
        
         Y
        
        
         ≤
        
        
         y
        
        
         }
        
       
       
         F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\}
       
      
     F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
 
它的意思是由 $X\le x,Y\le y$ 所构成的蓝色区域所对应的立体密度函数的体积！！
 
这句话怎么理解呢？这得回到一维去，因为我们在一维随机变量里面，
    
     
      
       
        F
       
       
        (
       
       
        x
       
       
        )
       
       
        =
       
       
        P
       
       
        {
       
       
        X
       
       
        ≤
       
       
        x
       
       
        }
       
      
      
       F(x) = P\{X≤x\}
      
     
    F(x)=P{X≤x}表示的是 $X\le x$ 所对应的平面密度函数的面积。那么扩展到二维，它的密度函数是 $f(x,y)$ ，是一个立体的函数，那么对应的自然就是体积了。
 

 
 
2.1 二维随机变量分布函数的性质
 
【1】 $0\le F(x,y)\le 1$这个好理解，概率一定小于等于1 .
 【2】$F(x,y)$ 是关于 x 或 y 的不减函数
 【3】$F(-\infty ,y)=0;F(x,-\infty )=0;F(-\infty ,-\infty )=0,F(+\infty ,+\infty )=1$
 如果我们把二维随机变量的概率密度函数想象成立体草帽，那么在任何一个变量是 -∞ 的时候，还没能切到草帽，所以体积一定是0.
 
【4】$F(x,y)$ 分别关于 x, y右连续
 【5】
    
     
      
       
        P
       
       
        {
       
       
        
         x
        
        
         1
        
       
       
        <
       
       
        X
       
       
        ≤
       
       
        
         x
        
        
         2
        
       
       
        ,
       
       
        
         y
        
        
         1
        
       
       
        <
       
       
        Y
       
       
        ≤
       
       
        
         y
        
        
         2
        
       
       
        }
       
       
        =
       
       
        F
       
       
        (
       
       
        
         x
        
        
         2
        
       
       
        ,
       
       
        
         y
        
        
         2
        
       
       
        )
       
       
        −
       
       
        F
       
       
        (
       
       
        
         x
        
        
         2
        
       
       
        ,
       
       
        
         y
        
        
         1
        
       
       
        )
       
       
        −
       
       
        F
       
       
        (
       
       
        
         x
        
        
         1
        
       
       
        ,
       
       
        
         y
        
        
         2
        
       
       
        )
       
       
        +
       
       
        F
       
       
        (
       
       
        
         x
        
        
         1
        
       
       
        ,
       
       
        
         y
        
        
         1
        
       
       
        )
       
      
      
       P\{x_1 < X ≤ x_2, y_1 <Y ≤ y_2\} = F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1)
      
     
    P{x1​<X≤x2​,y1​<Y≤y2​}=F(x2​,y2​)−F(x2​,y1​)−F(x1​,y2​)+F(x1​,y1​)
 
2.2 二维随机变量的边缘分布函数
 
上面我们讲过的：
     
      
       
        
         F
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         ,
        
        
         y
        
        
         )
        
        
         =
        
        
         P
        
        
         {
        
        
         X
        
        
         ≤
        
        
         x
        
        
         ,
        
        
         Y
        
        
         ≤
        
        
         y
        
        
         }
        
       
       
        F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\}
       
      
     F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} 它叫做联合分布函数。下面我们来看看边缘分布函数，其实也好理解：
 
    
     
      
       
        
         F
        
        
         X
        
       
       
        (
       
       
        x
       
       
        )
       
       
        =
       
       
        P
       
       
        {
       
       
        X
       
       
        ≤
       
       
        x
       
       
        ,
       
       
        Y
       
       
        <
       
       
        +
       
       
        ∞
       
       
        }
       
      
      
       F_X(x) = P\{X ≤ x, Y< +∞\}
      
     
    FX​(x)=P{X≤x,Y<+∞} 这叫做 X 的边缘分布函数，它的意思是令 X 小于等于 x， y 爱咋地咋地，不限制。同理 
    
     
      
       
        
         F
        
        
         Y
        
       
       
        (
       
       
        y
       
       
        )
       
       
        =
       
       
        P
       
       
        {
       
       
        X
       
       
        <
       
       
        +
       
       
        ∞
       
       
        ,
       
       
        Y
       
       
        <
       
       
        y
       
       
        }
       
      
      
       F_Y(y) = P\{X < +∞, Y < y\}
      
     
    FY​(y)=P{X<+∞,Y<y}, 这叫做 Y 的边缘分布函数。
 
三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法
 
这一节只需要一个例子就可以解释明白：我们以下面的表为例：
 
X\Y
1
2
3
1
0
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{8}$
2
$\frac{1}{8}$
$\frac{1}{8}$
$\frac{1}{8}$
这是一个二维离散型随机变量的联合分布表，里面具体的概率值就用我们之前学过的办法计算。
 
下面看看如何计算联合分布函数：
 假设要计算：$F(1.2,1)$，那么就是：
    
     
      
       
        P
       
       
        {
       
       
        X
       
       
        ≤
       
       
        1.2
       
       
        ,
       
       
        Y
       
       
        ≤
       
       
        1
       
       
        )
       
      
      
       P\{X ≤1.2, Y≤ 1)
      
     
    P{X≤1.2,Y≤1)，我们可以这样做：
 
 $F(1.2,1)=0$
 
如果计算 $F(2.4,2.1)$，我们可以这样做：
 
 $F(2.4,2.1)=0+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{4}$
 
其他情况类似。
 
那么，如何计算边缘分布呢？首先我们看看计算 X 的边缘分布：
 
 我们把 每一个 X 所在的行分别相加，就可以得到 X 的边缘分布。如下表：
 
X
1
2
P
$\frac{5}{8}$
$\frac{3}{8}$
Y 的边缘分布的计算类似。
 
 
最后提几个要点：
 
有了联合分布就可以唯一地确定边缘分布。
但是有了边缘分布并不能唯一地确定联合分布（除了 X, Y 独立的时候）
 
四、二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数和边缘分布
 
4.1 联合密度函数和联合分布函数
 
分布函数的定义还是一样的：
     
      
       
        
         F
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         ,
        
        
         y
        
        
         )
        
        
         =
        
        
         P
        
        
         {
        
        
         X
        
        
         ≤
        
        
         x
        
        
         ,
        
        
         Y
        
        
         ≤
        
        
         y
        
        
         }
        
       
       
         F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\}
       
      
     F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
 它的意义我们在前面讨论过了，既然是体积，那么就会涉及到二重积分。我们先回顾一下二重积分的几何意义：
 
当 $f(x,y)\ge 0$ 时，${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 是以区域 D 为底，$f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。
 
因此，我们就可以通过二重积分计算分布函数：$$F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(s,t)dsdt$$
 下面我们给出几个性质：
 【1】$f(x,y)>0$
 【2】${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(s,t)dsdt=1$
 【3】$f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$（这时计算联合密度函数的好办法！）
 【4】如果题目给出来一个区域 $G$，它是 X, Y 平面的一个区域。那么，我们有：
     
      
       
        
         P
        
        
         {
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         ,
        
        
         y
        
        
         )
        
        
         ∈
        
        
         G
        
        
         }
        
        
         =
        
        
         
          ∬
         
         
          G
         
        
        
         f
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         ,
        
        
         y
        
        
         )
        
        
         d
        
        
         x
        
        
         d
        
        
         y
        
       
       
         P\{(x, y)∈G\} = \iint_{G}f(x,y)dxdy
       
      
     P{(x,y)∈G}=∬G​f(x,y)dxdy
 它也就是把 G 区域沿着 Z 轴拉伸，和 $f(x,y)$ 包围起来的那一部分体积
 
4.2 边缘密度函数
 
我们先定义一下边缘分布函数：$$\begin{gathered} F_X(x)=F(x,+\infty )={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(s,t)dsdt \\ {F}_Y(y)=F(+\infty ,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(s,t)dsdt \end{gathered}$$
 
当然，通过联合分布函数 $F(x,y)$ 也可以计算处边缘分布：$$\begin{gathered} F_X(x)=\underset{y\to +\infty }{\lim }F(x,y) \\ {F}_Y(y)=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x,y) \end{gathered}$$
 那么，如果要计算 X 的边缘密度函数，我们就对 $F_X(x)$ 求导：$$\begin{gathered} f_X(x)=F_X^{\prime }(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy \\ {f}_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx \end{gathered}$$
 简而言之，要计算 $f_X(x)$，可以在无穷范围内 $f(x,y)$ 对 $y$ 积分。要计算 $f_Y(y)$，可以在无穷范围内 $f(x,y)$ 对 $x$ 积分。
 
当我们说到这儿的时候，其实给出一道题做，套公式写出来没有任何问题。但是，真正的意义你理解了吗？下面我们看一个例子，博主打算用公式法+画图理解法剖析边缘密度函数的意义：
 
 
 
已知（X, Y)在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 所围成的区域上服从均匀分布。其联合密度函数为：$$\phi (x,y)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\pi ab}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\\ 0else\end{array}$$
 求 X ,Y 的边缘密度函数 ${\phi }_X(x),{\phi }_Y(y)$
 
 
首先，抛开问题本身，我们一般假设概率密度函数 $f(x,y)$ 就是一个草帽状函数，那么问一个问题：联合分布函数 $F(x,y)$的意义是什么？—— 根据定义思考一下：
    
     
      
       
        F
       
       
        (
       
       
        x
       
       
        ,
       
       
        y
       
       
        )
       
       
        =
       
       
        P
       
       
        {
       
       
        X
       
       
        ≤
       
       
        x
       
       
        ,
       
       
        Y
       
       
        ≤
       
       
        y
       
       
        }
       
       
        =
       
       
        
         ∫
        
        
         
          −
         
         
          ∞
         
        
        
         x
        
       
       
        
         ∫
        
        
         
          −
         
         
          ∞
         
        
        
         y
        
       
       
        f
       
       
        (
       
       
        u
       
       
        ,
       
       
        v
       
       
        )
       
       
        d
       
       
        u
       
       
        d
       
       
        v
       
      
      
       F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^yf(u, v)dudv
      
     
    F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫−∞x​∫−∞y​f(u,v)dudv。下面我们看一张图理解一下：
 

 
 
具体一个 $F(x_0,y_0)$的意义就是分别用 $x=x_0$ 和 $y=y_0$ 这两把刀，去切割草帽，里面那部分的体积！
 
那么，边缘密度函数呢？如果我们还是以 $f_X(x_0)$为例？
 

 
 
既然是 $f_X(x_0)$ ，那么也就意味着只用 $x=x_0$ 这一把刀去切割草帽，我们发现，切割草帽的时候会得到一个切割线，如上图所示。那么 $f_X(x_0)$ 的意义就是这个切割线与 $y$ 轴所围成的面积！
 
那么，如果我们把这样的分析具体化到这道题目上，本题的分布密度函数如下图左图所示。那么一样的道理，如果考虑 $f_X(x_0)$，就是只用 $x=x_0$这一把刀去切割分布密度函数图，如果这把刀能够切割到函数体，那么自然就会产生一个切痕，所以就是切痕曲线与 $y$ 轴所围成的面积！
 

 
 
很显然，我们发现：这个分布密度函数在中间那个椭圆区域才有值，其他地方都是0.
 
现在，我们首先计算 ${\phi }_X(x)$，很自然地，我们发现，如果 $x=x_0$ 这把刀放的太前（$x\ge a$）或者太后（$x\le -a$）我们都无法切到这个函数体，自然就没有切痕。那么 ${\phi }_X(x)$ 就会等于 0.即：$${\phi }_X(x)=0if|x|\ge a$$
 
下面考虑能切到的时候，即 $|x|<a$，那么刀刃的线如上面左图加粗的地方，切割线也是一样的。然后我们就是要计算切痕与 $y$ 轴所围成的面积（如上面的右图所示）
 
但是我们又发现，这个切痕也是在 $y$ 处于一定范围的时候才有值，其他时候为0. $y$ 的范围我们可以通过椭圆的方程很容易求出来，就等于：$$\pm b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$$
 这个面积还不好求？就是一个矩形的面积罢了对吧！所以我们得到：$${\phi }_X(x)=\frac{1}{\pi ab}2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=\frac{2}{\pi a}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}if|x|<a$$
 
${\phi }_Y(y)$ 的理解方法完全类似。式子的意义理解了，带公式解题也有了底气哈哈！
 
关于计算边缘分布密度的注记
 
在计算边缘分布密度的时候，积分的区间仍然是一个大坑。这里，博主总结了一个避坑方法：
 在给出的联合分布密度函数中，x ,y 的范围有了的时候，我们一定要把这个 x, y 范围所表示的区域画出来，只要把这个区域画出来了，我们在后面对 x 或者 y 积分的时候，它们各自的积分区间一目了然，就不会搞错了。

一、二维随机变量
 
 
二、二元离散型随机变量
 
 
2.1、离散随机变量的联合概率分布律
 
 
2.2、联合分布律的性质
 
 
2.2.1、例
 
P(X=1|Z=0)表示在Z=0的条件下，取一个红球的概率，即两次都没有取到白球。
 
注意： 条件概率和两个事件同时发生的概率， 它们是不一样的，需要区分。
 

 
 
2.3、二元联合分布函数
 
2.3.0、一元分布函数
 
 
2.3.1、分布函数性质
 
 
2.3.2、二元离散型随机变量的联合分布函数
 
 
三、二元连续型随机变量

 
 
 
  一、第3章知识结构
  

  
二、第3章第2节 主要内容及考研要求
  
1.边缘分布函数的定义(数1理解、数3掌握)
  
2.边缘分布律和边缘概率密度的计算公式(数1理解、数3掌握；重点)
  
3.二维正态分布的概率密度和边缘分布(数1了解、数3掌握)
  
三、第3章考研必做习题
  
第3章习题：1、2、3、6、9、10、13、14、15、16、17、18、20
  第二节 边缘分布
  
一、边缘分布函数
  
二、离散型随机变量的边缘分布律
  
三、连续型随机变量的边缘分布
  
四、常见的两个二维分布
  一、边缘分布函数
  

  定义1 设(X,Y)为二维随机变量，其分布函为F(x,y)                         
  
[
  注] 
  边缘分布函数可以由X与Y的
  联合分布函F(x,y)唯一确定:
  

  二 、 离散型随机变量的边缘分布律
  
离散型随机变量的边缘分布律列表
  

  

  

  
联合分布律是二维离散型随机变量的“根本”, 是解决一切概率问题的前提.这里可将联合分布律看成一个数表, 称之为联合分布矩阵.
已知联合分布律, 对联合分布矩阵
  行加或
  列加可得关于随机变量X或Y的
  边缘分布律; 并非只有联合分布律已知才能求边缘分布律, 某些情况下. 在随机试验下根据随机变量的具体含义可以直接求出随机变量的边缘分布律.
  三、  连续型随机变量的边缘概率密度设(X,Y) 概率密度为f (x, y)，则
  

  
由此知，X是连续型随机变量，且其概率密度为
  

  
同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为
  

  
它们分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度．
  四、常见的两个二维分布
  1.均匀分布：设G为一面积为A平面有界区域，若 (X,Y)具有概率密度
  

  
则称(X,Y)在域G上服从均匀分布．
  
例2  设(X,Y)在域
  

  
上服从均匀分布，求其边缘概率密度.
  

  2. 二维正态分
  布：
  
设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
  

  

  

  
 求(X,Y)的边缘概率密度.
  

  
即X和Y的边缘分布均为正态分布:
  

  注意：二维均匀分布背景是平面上的几何概型；二维正态分布做题的主要思想是降维(通过性质化为一维).