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  • 二维概率密度求解边缘密度
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    2016-11-12 19:23:29

    二维概率密度求解边缘密度

    @(概率论)

    已知 f(x,y) ,求解 fX(x),fY(y) 时,用的是下面的公式:

    fX(x)=+f(x,y)dyfY(y)=+f(x,y)dx

    从形式上很容易理解。但是计算时,要非常注意的是积分范围的确定问题。

    其实在下面这篇文章中:
    http://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53125072

    已经谈到了这个要点。

    总结来说就是:求 fX(x) 时,我们对y进行积分,诚然,y是积分变元,但是x怎么取值呢?是的,我们把x当做常量处理。但是这个常量的范围不是用x的最大最小值作为边界,而是x本身是一个边界,因此,y的取值范围,或者说积分上下限是与x相关的!

    这个概念很小,但是极其重要,会左右计算问题的结果。

    举个例子:

    f(x,y)=15x2y;0<y<1,0<x<y

    fX(x) .

    分析:
    直接代入公式:

    fX(x)=+f(x,y)dy=?

    这里写图片描述

    到这里需要停顿一下,思考这个一元积分真正受到的限制是什么。之前说到用二重积分的观点思考这个问题。现在,我们抽出来看,虽然是对y积分,但是x本身是个变动的范围,因此,二者还在纠缠,是一种二维关系,因此需要锁定一个去求另外一个。

    如图,我们锁定x,画一个红线,表示当X = x时,y可以取得的上下限为:[x,1]

    从而:

    fX(x)=+f(x,y)dy=1xf(x,y)dy=5x323x52

    再求边缘概率分布时,就是简单的一元积分了。

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    首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里

    2640c46e0e41182d48b08188010b5b34.png

    这只图好大啊~~

    但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用在matlab里画图不太方面,下面换一个

    这个公式与上面的等价,只不过把向量和矩阵展开,计算出来。我们可以用这个式子画图。

    因为二维函数的形式是:z=f(x,y)

    所以必须先选择一些点,然后计算出f(x,y)。这些点分布在一个平面上,而z则在三维空间。

    如何选择平面上的点阵?

    [x,y]=meshgrid(a,b)

    meshgrid就是这样一个生成点阵的函数,这个meshgrid理解起来有点绕,不过举个例子就马上能力明白了。下面是matlab里面的一段截图:

    我们可以看到meshgrid生成了两个同样大小的矩阵,第一个矩阵是通过把第一个参数[1:3]顺着行的方向复制了4次,4是第二个参数的长度,同样第二个矩阵是第二个参数顺着列的方向复制了三次,3是第一个参数向量的长度。而这个点阵就是:

    (1,2)   (2,2)   (3,2)

    (1,3)   (2,3)   (3,3)

    ...

    看出什么意思了吧?就这个意思。

    至于这两个参数到底怎么选,这样根据你的正态分布的均值,尽量使点阵的中心与分布的均值靠近。

    好了,有了平面上的点,就来算这些点对应的函数值。往函数里套就行,下面是代码:

    ?

    最后一句mesh(x,y,Z) 是画图函数,画出的图行大概是下面这个样子:

    9742253f9f1cd9b8ddf26ffe46f3eb81.png

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    1.边缘分布函数的定义(数1理解、数3掌握)

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    第二节 边缘分布

    一、边缘分布函数

    二、离散型随机变量的边缘分布律

    三、连续型随机变量的边缘分布

    四、常见的两个二维分布

    一、边缘分布函数

    a2a8ecbc3c2e0143663c449c3377ce8e.png

    定义1 设(X,Y)为二维随机变量,其分布函为F(x,y)                         

    6b61e74b6a14ce8234005823d7247cea.png

    [ ] 边缘分布函数可以由X与Y的 联合分布函F(x,y)唯一确定:

    44a3842e34f2a5e6cc828cd32aaa13f2.png

    二 、 离散型随机变量的边缘分布律

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    离散型随机变量的边缘分布律列表

    1a3f71390bc0f177720071fbc4292541.png

    6c98553cc837ae569a02ba72883cd964.png

    27b3be9f65c3d5b81b123151e1f12f5c.png

    联合分布律是二维离散型随机变量的“根本”, 是解决一切概率问题的前提.这里可将联合分布律看成一个数表, 称之为联合分布矩阵.

    已知联合分布律, 对联合分布矩阵 行加列加可得关于随机变量X或Y的 边缘分布律; 并非只有联合分布律已知才能求边缘分布律, 某些情况下. 在随机试验下根据随机变量的具体含义可以直接求出随机变量的边缘分布律. 三、  连续型随机变量的边缘概率密度设(X,Y) 概率密度为f (x, y),则

    6fe1aecf0425305f60aeaf8d384de8ba.png

    由此知,X是连续型随机变量,且其概率密度为

    154a185e2faa6cc1fb3ac3594222674a.png

    同理,Y也是连续型随机变量,其概率密度为

    92ff519d24fc3dacc41a5338d3c0a804.png

    它们分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度.

    四、常见的两个二维分布 1.均匀分布:设G为一面积为A平面有界区域,若 (X,Y)具有概率密度

    81d3ee2f6e19daa0d04408368c82bf9c.png

    则称(X,Y)在域G上服从均匀分布.

    例2  设(X,Y)在域

    f4c5d56d0a785f202c25cedf51c091d0.png

    上服从均匀分布,求其边缘概率密度.

    3d03eb1795d89fdbb7a5d79aeb45da70.png

    2. 二维正态分

    设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

    0b71926c8fdf8b8b66cbd5c3cebc50f0.png

    c7573547ff630934f2e10886e924d328.png

    7aab401febb7d21d261bc86d86254d12.png

     求(X,Y)的边缘概率密度.

    d59d56b96f48748f39e3aa8752ad8549.png

    即X和Y的边缘分布均为正态分布:

    8c8a89852d588f0d83e71cc1862fba2f.png

    注意:二维均匀分布背景是平面上的几何概型;二维正态分布做题的主要思想是降维(通过性质化为一维).
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