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  • 二维连续型随机变量均匀分布
    万次阅读 多人点赞
    2019-05-08 11:27:57

    概率论知识回顾(十)

    重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数

    知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:

    1. 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
    2. 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
    3. 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。

    知识回顾

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
    2. 分布函数有什么性质?
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
    5. 联合密度函数有什么性质?
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?

    知识解答

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
      • 对于二维连续随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 来说,函数 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 表示 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y \le y\end{Bmatrix} F(x,y)=P{Xx,Yy} 我们就称 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 为 二维连续随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的分布函数。
    2. 分布函数有什么性质?
      • 对每个自变量单调不减
        • 对任意固定 x, 当 y 1 &lt; y 2 y_1 &lt; y_2 y1<y2, 有 F ( x , y 1 ) ≤ F ( x , y 2 ) F(x, y_1) \le F(x, y_2) F(x,y1)F(x,y2)
        • 对任意固定 y, 当 x 1 &lt; x 2 x_1 &lt; x_2 x1<x2, 有 F ( x 1 , y ) ≤ F ( x 2 , y ) F(x_1, y) \le F(x_2, y) F(x1,y)F(x2,y)
      • 对每个自变量右连续
        • 对任意固定 x, F ( x , y 0 + 0 ) = F ( x , y 0 ) F(x, y_0 + 0) = F(x, y_0) F(x,y0+0)=F(x,y0)
        • 对任意固定 y, F ( x 0 + 0 , y ) = F ( x 0 , y ) F(x_0 + 0, y) = F(x_0, y) F(x0+0,y)=F(x0,y)
      • { F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 F ( x , − ∞ ) = 0 ∀ x ∈ R F ( − ∞ , y ) = 0 ∀ y ∈ R F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 \begin{cases} F(-\infty, -\infty) = 0 \\ F(x, -\infty) = 0 &amp;\forall x \in R \\ F(-\infty , y) = 0 &amp; \forall y \in R \\ F(+\infty, +\infty) = 1\end{cases} F(,)=0F(x,)=0F(,y)=0F(+,+)=1xRyR
      • 对任意 x 1 &lt; x 2 , y 1 &lt; y 2 x_1 &lt; x_2, y_1 &lt; y_2 x1<x2,y1<y2 都有 : P { x 1 &lt; X ≤ x 2 , y 1 &lt; Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 1 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) + F ( x 1 , y 1 ) ≥ 0 P\begin{Bmatrix} x_1&lt;X\le x_2, y_1&lt;Y \le y_2 \end{Bmatrix} = F(x_2, y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1) \ge 0 P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)0
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
      • 二维连续随机变量的边缘分布和离散随机变量的边缘分布类似,都是其组成的单个随机变量的分布律。
      • F X ( x ) = P { X ≤ x , Y &lt; + ∞ } = F ( x , + ∞ ) F_X(x) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y &lt; + \infty \end{Bmatrix}=F(x, +\infty) FX(x)=P{Xx,Y<+}=F(x,+) 表示 二维连续随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 关于 X X X 的边缘分布律。从公式来看其实就是排除 Y 之后,只看 x 的分布。
      • 同理 F Y = F ( + ∞ , y ) F_Y = F(+ \infty, y) FY=F(+,y)
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
      • 如果对于随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的分布函数 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 的任意取值都有一个非负可积的函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 使得 F ( x ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v F(x) = \int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^xf(u, v)dudv F(x)=yxf(u,v)dudv 。 就称 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 为二维随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的联合密度函数。
    5. 联合密度函数有什么性质?
      • f ( x , y ) ≥ 0 f(x, y) \ge 0 f(x,y)0
      • ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dxdy = 1 ++f(x,y)dxdy=1
      • 如果 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) ( x , y ) (x, y) (x,y) 处连续,则有 ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) \frac{\partial^2F(x, y)}{\partial x \partial y} = f(x, y) xy2F(x,y)=f(x,y)
      • 对于任何平面区域 G G G, 都有 P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x d y P\begin{Bmatrix}(X, Y) \in G\end{Bmatrix} = \iint_Gf(x, y)dxdy P{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdy
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
      • S G = A S_G = A SG=A ,若密度函数 f ( x , y ) = { 1 A , ( x , y ) ∈ G 0 , e l s e f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{A}, &amp; (x, y) \in G \\ 0, &amp; else \end{cases} f(x,y)={A1,0,(x,y)Gelse 则称为均匀分布。
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?
      • f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 e − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ] f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho \frac{(x-\mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]} f(x,y)=2πσ1σ21ρ2 1e2(1ρ2)1[σ12(xμ1)22ρσ1σ2(xμ1)(yμ2)+σ22(yμ2)2]
      • 其中: σ 1 &gt; 0 , σ 2 &gt; 0 , ∣ ρ ∣ &lt; 1 \sigma_1 &gt; 0, \sigma_2 &gt; 0, |\rho| &lt; 1 σ1>0,σ2>0,ρ<1
      • 记作 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , ρ ) (X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho) (X,Y)N(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)
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    在这里插入图片描述

    2. 二维正态分布【(ξ,ŋ) ~ N(μ1122,)】

    在这里插入图片描述

    性质:

    1. 相关系数为0 <=> 两个随即变量相互独立

    不相关 == 相互独立

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    概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也顺便巩固巩固基础。
    这是基础篇的第六篇知识点总结
    注意:复杂的公式例如卷积公式等将在概率论高阶中提到

    基础:下面前五篇的链接地址:
    概率论基础(1)古典和几何概型及事件运算
    概率论基础(2)条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
    概率论基础(3)一维随机变量(离散型和连续型)
    概率论基础(4)五种重要的分布(二项、泊松、均匀、指数、正态分布)
    概率论基础(5)离散型二维随机变量

    连续型二维随机变量

    知识点

    • 概率密度
    • 边缘概率密度
    • 条件概率密度
    • 独立性
    • 需要有二重积分相关知识

    定义可自行查询

    常用性质:
    根据前面几节的回顾,加上了解其定义,不难理解有以下性质:
    在这里插入图片描述
    例题
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    理解:在这里用到了第一个公式性质,运用二重积分的计算,可直接求出 c 的值为4。求出 c 后,要求解P(X+Y<1)重点是分析D的取值范围,如果较为熟悉二重积分,很快就能确定其范围

    在这里插入图片描述
    理解:求x的边缘概率密度,其实就是对y进行求偏微分,反之亦然。

    注意:写概率密度的形式,一般是大括号,然后标清区间的位置,其他为0.
    在这里插入图片描述
    理解:注意条件概率密度的计算公式即可,根据前面求的,直接代入。

    在这里插入图片描述
    理解:根据最后一条性质,根据其式子直接判断即可。

    在这里插入图片描述
    注意:它的区间不再是简单的孤立,而是相互关联起来。

    仿照上述题目,即可解决问题:
    在这里插入图片描述
    注意:当从x的范围到y不好分析时,可以利用y来求解x的范围,注意一下求解技巧。

    在这里插入图片描述
    理解:与上题1类似。

    在这里插入图片描述
    理解:可以直接利用第二问求解的值,来判断。

    放一点额外的练习题,来巩固基础
    在这里插入图片描述

    连续型二维随机变量函数的分布

    知识点

    • Z = X + Y 分布
    • Z = XY 分布
    • Z = max{X, Y} 分布

    Z = X + Y 分布
    它有一个常用的解题步骤
    在这里插入图片描述
    具体选择哪一种的依据:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    注意:可以画图来分析Z在坐标轴上的分布情况,从而分类处理
    最终结果:
    在这里插入图片描述

    Z = XY 分布
    这种分布也有常用的解题方法步骤:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    理解:需要注意的是,当z <= 0 时,由于z的范围是0 < z < x ,因此它是没有意义的,所以取0

    Z = man{X, Y}的分布
    它的常用解题步骤:
    在这里插入图片描述
    例题
    在这里插入图片描述
    理解:先用公式解出z的分布函数,其概率密度就是其分布函数的求导结果

    这里给两个常用的结论:
    在这里插入图片描述
    额外放一点练习题:
    在这里插入图片描述

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