二维连续型随机变量的边缘密度函数

对X的边缘密度函数，就是在负无穷到正无穷对Y求积分；对Y的边缘密度函数就是在负无穷到正无穷对X求积分

例题

分布函数求导法

公式法

Z = ξ + ŋ

Z = ξ - ŋ

若 ξ与 ŋ 相互独立，则

Z = ŋ - ξ

若 ξ与 ŋ 相互独立，则

Z = ŋ / ξ

Z = ξ / ŋ

Z = ξ ŋ

最大值分布

最小值分布

概率论对于学习 NLP 方向的人，重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习，也顺便巩固巩固基础。
这是基础篇的第六篇知识点总结
注意：复杂的公式例如卷积公式等将在概率论高阶中提到

基础：下面前五篇的链接地址：
概率论基础（1）古典和几何概型及事件运算
概率论基础（2）条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
概率论基础（3）一维随机变量（离散型和连续型）
概率论基础（4）五种重要的分布（二项、泊松、均匀、指数、正态分布）
概率论基础（5）离散型二维随机变量

连续型二维随机变量

知识点

• 概率密度
• 边缘概率密度
• 条件概率密度
• 独立性
• 需要有二重积分相关知识

定义可自行查询

常用性质：
根据前面几节的回顾，加上了解其定义，不难理解有以下性质：

例题


理解：在这里用到了第一个公式性质，运用二重积分的计算，可直接求出 c 的值为4。求出 c 后，要求解P（X+Y<1）重点是分析D的取值范围，如果较为熟悉二重积分，很快就能确定其范围

理解：求x的边缘概率密度，其实就是对y进行求偏微分，反之亦然。

注意：写概率密度的形式，一般是大括号，然后标清区间的位置，其他为0.

理解：注意条件概率密度的计算公式即可，根据前面求的，直接代入。

理解：根据最后一条性质，根据其式子直接判断即可。

注意：它的区间不再是简单的孤立，而是相互关联起来。

仿照上述题目，即可解决问题：

注意：当从x的范围到y不好分析时，可以利用y来求解x的范围，注意一下求解技巧。

理解：与上题1类似。

理解：可以直接利用第二问求解的值，来判断。

放一点额外的练习题，来巩固基础

连续型二维随机变量函数的分布

知识点

• Z = X + Y 分布
• Z = XY 分布
• Z = max{X, Y} 分布

Z = X + Y 分布
它有一个常用的解题步骤

具体选择哪一种的依据：


注意：可以画图来分析Z在坐标轴上的分布情况，从而分类处理
最终结果：

Z = XY 分布
这种分布也有常用的解题方法步骤：

理解：需要注意的是，当z <= 0 时，由于z的范围是0 < z < x ，因此它是没有意义的，所以取0

Z = man{X, Y}的分布
它的常用解题步骤：

例题

理解：先用公式解出z的分布函数，其概率密度就是其分布函数的求导结果

这里给两个常用的结论：

额外放一点练习题：