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  • 1. 二维离散型随机变量的条件分布 2. 二维连续型随机变量条件分布

     

    一. 二维离散型随机变量的条件分布

     

    已知(X, Y)是二维离散型随机变量,其联合概率函数为

            p_{ij} = P(X = x_{i},Y = y_{j}),i,j = 1,2,3,...,

    对于给定的Y = y,则有在Y = y的条件下随机变量X的条件概率函数:

            p_{X|Y}(x_{i}|y) = P(X = x_{i}|Y = y) = \frac {P(Y = y,X = x_{i})}{P(Y = y)} = \frac{P(Y=y|X=x_{i})P(X=x_{i})}{P(Y = y)},i=1,2,3,...

    通过全概率公式对分母进行展开,可得离散型随机变量的贝叶斯公式:

            p_{X|Y}(x_{i}|y) = \frac{P(Y=y_{j}|X=x_{i})P(X=x_{i})}{\sum_{j=1}^{n}P(Y=y_{j}|X=x_{j})P(X=x_{j})},i=1,2,3,...

     

    看到这里,有许多人就会说由于X, Y的分布是离散的,所以在分母处用的是求和符号\sum,而如果X, Y的分布是连续的,就可以

    把分母处换成积分符号,然后就能得到连续型随机变量的贝叶斯公式:

            p_{X|Y}(x|y) = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{p_{Y}(y)} = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{\int_{-\infty }^{+\infty }p(y|x)p(x)dx}

    是这样的吗?请往下看,虽然结论是对的,但是需要经过一定量的推导才能得出,直接类比过去是没有根据的。

     

    二. 二维连续型随机变量的条件分布

    在给定Y = y的情况下,随机变量X的条件分布函数记为:

           F_{X|Y}(x|y) = P(X \leqslant = x|Y =y)

    在这里我们跟二维离散型进行一个类比,如果把连续型随机变量X的条件分布也写成离散型的格式:

           F_{X|Y}(x|y) = P(X \leqslant = x|Y =y) = \frac{P(X\leqslant x,Y =y)}{P(Y = y)} = \frac{P(Y =y|X\leqslant x)P(X\leqslant x)}{P(Y = y)}

    由于Y是一个连续型随机变量,在Y = y时,P(Y = y)发生的概率为0,所以通过条件概率的定义进行

    求解连续型随机变量的条件分布是走不通的,是无法进行条件概率计算的。

     

    但是我们可以通过极限的做法做一点变形来进行求解,假设y<Y<y+\Delta y,这样就把问题从连续型随机变量在一点Y = y的概率转化为连续型随机变量在y<Y<y+\Delta y这个区域内的概率分布函数:

           F_{X|Y}(x|y)= \lim_{\Delta y \rightarrow 0}P(X \leqslant = x|y<Y<y+\Delta y)

                           = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{P(X \leqslant = x,y<Y<y+\Delta y) }{P(y<Y<y+\Delta y)}

    根据联合分布函数与联合概率密度函数关系可知,对联合概率密度函数进行二重积分可得联合分布函数,此处设联合概率密度函数为p(x,y)

    根据边缘分布函数与边缘概率密度函数关系可知,对边缘概率密度函数进行一重积分可得边缘分布函数,此处设边缘概率密度函数为p_{Y}(y).

                            = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\int_{-\infty }^{x}\int_{y}^{y+\Delta y}p(x,y)dydx}{\int_{y}^{y+\Delta y}p_{Y}(y)dy}

    (根据积分中值定理可知,存在一个点,可以将\int_{y}^{y+\Delta y}f(y)dy含有\Delta y形式的积分等效为乘积的方式,即等效为f(y+\varepsilon \Delta y)\cdot \Delta y, \ (0<\varepsilon<1)这种形式)

                            = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\int_{-\infty }^{x}p(x,y+\varepsilon_{0}\Delta y)\Delta ydx}{p_{Y}(y+\varepsilon_{1}\Delta y)\Delta y} \ (0<\varepsilon_{0}<1,0<\varepsilon_{1}<1)

    分子分母同时约掉一个\Delta y

                            = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\int_{-\infty }^{x}p(x,y+\varepsilon_{0}\Delta y)dx}{p_{Y}(y+\varepsilon_{1}\Delta y)} \ (0<\varepsilon_{0}<1,0<\varepsilon_{1}<1)

    因为\lim_{\Delta y \rightarrow 0},且Y是连续随机变量,所以把\varepsilon_{0}\Delta y = 0, \varepsilon_{1}\Delta y = 0,代入式子

                            = \frac{\int_{-\infty }^{x}p(x,y)dx}{p_{Y}(y)}

    推导到此处,可以看到积分处仅剩分子对从-\inftyxx进行积分,分母里面不含有x的变量,因此对x积分分母可以看做一个常数,所以可以把积分提取出来,最终得到F_{X|Y}(x|y)的概率分布函数为

                            F_{X|Y}(x|y) = \int_{-\infty }^{x}\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}dx

    仔细观察等式左右边,都是关于x的函数,而左边是一个分布函数,右边又是对一个关于x的函数从-\inftyx进行积分,对\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}

    进行积分得到分布函数,因此我们可以得出\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}就为Y=y条件下X的条件概率密度函数

     

    对 F_{X|Y}(x|y) = \int_{-\infty }^{x}\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}dx等式两边同时求导,可得Y=y条件下X的条件概率密度函数为

                            \dpi{100} p_{X|Y}(x|y) = \frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)} = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{p_{Y}(y)}

    对上式分母的p_{Y}(y),可以通过全概率公式展开

                            p_{X|Y}(x|y) = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{p_{Y}(y)} = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{\int_{-\infty }^{+\infty }p(y|x)p(x)dx}

    可以看到该式与离散型随机变量的概率分布是非常相似的,但是相似并不代表可以直接类比,可以看到,我们是经过了相对复杂的推导才得出的结论。

     

     

     

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  • 这个条件分布主要只针对二维的 一、离散型随机变量的条件分布 同理固定一个X为一个常数则可得Y的条件分布律 **注:**离散型的求在什么条件下X或Y...连续型随机变量条件分布 注:任意的x,y P{X=x}=0 P{Y =y} =0...

    这个条件分布主要只针对二维的

    一、离散型随机变量的条件分布

    在这里插入图片描述
    同理固定一个X为一个常数则可得Y的条件分布律

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    **注:**离散型的求在什么条件下X或Y的条件分布律,知道他们的联合分布律很重要.
    1)

    在这里插入图片描述
    观察这个公式。
    在这里插入图片描述
    注:必须知道P{X=1}的概率,然后固定X=1,Y变化变化全部取值。同理Y固定时也是一样。
    在这里插入图片描述

    连续型随机变量条件分布

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    注:任意的x,y P{X=x}=0 P{Y =y} =0,所以不能直接用条件概率公式得到条件分布。而是用极限的方法推导出来,我就不再深推了。

    在这里插入图片描述

    不管是求条件概率密度函数还是条件概率,首先必须做的是求出两个边缘密度函数,这个是公式用到的。

    在这里插入图片描述
    这两个就是根据上图求出来的边缘密度函数
    在这里插入图片描述
    这一步也就是根据边缘密度函数结合公式求出来的条件概率密度函数
    在这里插入图片描述
    直接带公式就行了,但一定要注意积分的区间限制
    在这里插入图片描述

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  • 2.题目一、知识点概述二维随机变量及其联合分布二维离散型随机变量分布二维连续性随机变量的密度常见二维随机变量的联合分布随机变量的独立性和相关性两个随机变量简单函数的概率分布重要公式与结论 1.二维随机...

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    概率论与数理统计:【目录】https://zhuanlan.zhihu.com/p/108762528

    本文章分为两部分:1.知识点概述;2.题目

    一、知识点概述

    • 二维随机变量及其联合分布
    • 二维离散型随机变量的分布
    • 二维连续性随机变量的密度
    • 常见二维随机变量的联合分布
    • 随机变量的独立性和相关性
    • 两个随机变量简单函数的概率分布
    • 重要公式与结论

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    1.二维随机变量及其联合分布

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    0c30b8484850850479947c957c93baab.png

    补充:
    (1)边缘分布

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    (2)条件分布

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    2.二维离散型随机变量的分布

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    离散型的条件分布

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    3.二维连续性随机变量的密度

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    连续型的条件分布

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    4.常见二维随机变量的联合分布

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    5.随机变量的独立性和相关性

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    6.两个随机变量简单函数的概率分布

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    补充:

    (1)二维离散型随机变量函数的分布

    e799935756e20affa40d6dc67c9d0405.png

    7cb32d8aeaab633fb2629dc2ca81d72a.png

    (2)二维连续型随机变量函数的分布

    7.重要公式与结论

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    013a4cb2d72d43d0e05ccd8f6092922c.png

    二、题目

    在b站看到一个不错的概率论的视频(链接在文章后),在此放些笔记。侵删。

    ------------------------ 【 离散型二维变量与连续型二维变量】 ------------------------

    • 已知二维离散型分布律,求???
    • 已知二维离散型分布律,判断独立性
    • 已知F(x,y),求f(x,y)
    • 已知f(x,y),求F(x,y)
    • 已知F(x,y),求P
    • 已知f(x,y),求P
    • 已知F(x,y) 或 f(x,y) 中含有的未知数
    • 求均匀分布的 f(x,y) 与 P
    • 求边缘分布函数
    • 求边缘密度函数
    • 判断连续型二维变量的独立性
    • 已知 f(x,y), Z=X+Y, 求
      .
    • 已知 f(x,y), Z=X/Y, 求
      .
    • 已知 f(x,y), 且X,Y相互独立,Z=max(X,Y), 求
      .
    • 已知 f(x,y), 且X,Y相互独立,Z=min(X,Y), 求
      .

    1.已知二维离散型分布律,求???

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    2.已知二维离散型分布律,判断独立性

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    3.已知F(x,y),求f(x,y)

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    4.已知f(x,y),求F(x,y)

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    5.已知F(x,y),求P

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    6.已知f(x,y),求P

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    7.已知F(x,y) 或 f(x,y) 中含有的未知数

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    8.求均匀分布的 f(x,y) 与 P

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    1.求边缘分布函数

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    2.求边缘密度函数

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    3.判断连续型二维变量的独立性

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    4.已知 f(x,y), Z=X+Y, 求

    .

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    5.已知 f(x,y), Z=X/Y, 求

    .

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    6.已知 f(x,y), 且X,Y相互独立,Z=max(X,Y), 求

    .

    71f4a46331e4be238a3449d5bbb489dc.png

    7.已知 f(x,y), 且X,Y相互独立,Z=min(X,Y), 求

    .

    bfe8df5a6b4ff1471141b63259b9134b.png

    链接:

    《概率论与数理统计》教学视频全集(宋浩)_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibiliwww.bilibili.com
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    【猴博士爱讲课】4小时讲完《概率论与数理统计》/《概率论》/不挂科_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibiliwww.bilibili.com
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  • 同样地,分为离散型和连续型两种情况分别讨论:离散型随机变量的条件分布设二维随机变量 的联合分布列为: 仿照条件概率,给出离散型随机变量条件分布:给定 ,对于一切使 的 ,称: 为在 的条件下 的条...

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    这一节我们讲条件分布条件期望。同之前的文章一样,先给出理论,后给出习题和解答。

    所谓条件分布就是对于二维随机变量

    ,在给定其中一个变量的情况下,另一个随机变量的分布,它的定义由
    条件概率给出。同样地,分为离散型和连续型两种情况分别讨论:

    离散型随机变量的条件分布

    设二维随机变量

    的联合分布列为:

    仿照条件概率,给出离散型随机变量的条件分布:

    给定

    ,对于一切使

    ,称:

    的条件下
    的条件分布列

    同理,

    的条件下
    的条件分布列:

    也许式子不好记,但是还是比较容易理解的。

    连续型随机变量的条件分布

    我们知道对于连续型随机变量,讨论其在单点的概率是没有意义的,其条件分布的给出过程利用了极限的思想,具体参见教材。下面直接给出条件密度函数条件分布函数

    设二维随机变量

    的联合密度函数为
    ,边际密度函数分别为

    的条件下,
    的条件密度函数

    的条件下,
    的条件分布函数

    的条件下,
    的条件密度函数

    的条件下,
    的条件分布函数

    要注意的是,条件密度函数

    和条件分布函数
    都是关于
    的二元函数
    ,即他们都依赖于
    两个变元。
    不同,条件不同,所得的条件密度函数和条件分布函数自然不同;
    不同,在不同点的条件密度和条件分布也不同。同理,
    条件密度函数
    和条件分布函数
    都是关于
    的二元函数。

    连续场合下的全概率公式和贝叶斯公式

    将(1)和(3)分别改写为:

    上面两式说明由边际分布和条件分布可以得到联合分布

    对上面两式分别求

    的边际密度函数,我们就得到了
    连续场合下的全概率公式

    再分别将(5)和(7)带入(1),将(6)(8)带入(2),即得连续场合下的贝叶斯公式

    公式确实不好记,但只要熟练过后,就知道怎么推导了。尤其是贝叶斯公式的推导过程,先算出边际分布,再结合条件概率的定义,导出贝叶斯公式。实则体现了贝叶斯统计的修正思想

    这里可以结合离散场合下的贝叶斯公式加以理解和记忆:

    条件期望

    顾名思义,条件期望就是条件分布的数学期望。定义如下:

    的条件下,
    的期望:

    的条件下,
    的期望:

    要特别注意的是,与条件密度函数和条件分布函数不同,条件期望是只依赖于一个变元的函数,且与惯性思维不同的是,

    的函数,
    的函数!这一点要特别注意!

    条件期望的本质是期望,因而具有期望的一切性质。

    重期望公式

    设二维随机变量

    存在,则:

    证明:

    1.连续场合

    我们首先看

    。上面说到,
    的函数,我们将
    看作随机变量,给定一个条件
    ,该随机变量就有一个确定的值,说明该随机变量的概率依赖于
    ,则其概率密度函数为
    。从而
    的期望即为:

    再利用

    的定义即可推导出(14):

    2.离散场合

    重期望公式是概率论中较为深刻的一个结论,一句话概括:全部的平均等于各部分平均的平均。在实际中很有用,譬如,当我们要算在一个取值于很大范围内的指标

    的均值
    ,可能会遇到计算上的困难。但倘若这时我们利用重期望公式,换一种思维,先找一个与
    有关的量
    ,利用
    的取值将区域划分为若干个小区域,先在这些小区域上求
    的均值,再对这些均值求加权平均,即得
    ,这里的权重依赖于
    。譬如,若要求某社区的人均收入,可先求出社区中每个小区的人均收入,再对各小区的人均收入做加权平均,这里的权重就是小区人数占社区总人数的比例。

    重期望公式的具体使用如下:

    1.若

    是离散型随机变量,则:

    1.若

    是连续型随机变量,则:

    引申:条件方差


    依据方差和条件分布的定义,不难得到给定

    的条件下,
    的方差:

    条件方差公式

    证明:


    从而:


    条件方差可参考:条件方差公式的直观解释?、https://www.jianshu.com/p/e4c0a6db8a86


    e.g.1

    设随机变量

    独立,
    。在已知
    的条件下,求
    的条件分布。

    解:

    因为泊松分布具有可加性,则

    。利用条件分布的定义:

    易见在

    的条件下,

    e.g.2

    设在一段时间内进入某商店的顾客人数

    ,每个顾客购买商品的概率为
    ,且每个顾客是否购买商品相互独立。求进入商店购买商品的人数
    的分布。

    从而

    e.g.3

    设随机变量

    独立同分布于
    ,求

    解:

    独立同分布,则

    从而:

    e.g.4

    设随机变量

    ,在
    的条件下,随机变量
    ,证明:

    证明:

    的密度函数为:

    的条件下,
    的密度函数为:

    的联合密度函数为:

    时,

    时:

    的概率密度函数:

    从而

    e.g.5

    相互独立,且
    。求

    解:

    要求条件期望,我们先求条件分布。

    e.g.1 知在

    的条件下,

    从而:

    e.g.6(重期望公式的应用)

    一矿工被困在有三个门的矿井里。第一个门通往一个坑道,沿此坑道走3小时可到达安全区;第二个门通往一个坑道,沿此坑道走5小时又回到原处;第三个门通往一个坑道,沿此坑道走7小时也回到原处。假定此矿工总是等可能地在三个门中选择一个,试求他平均要用多少时间才能到达安全区。

    解:

    设该矿工需要

    小时到达安全区。则
    的可能取值为:

    的分布列无法穷举,因此直接求
    是困难的。我们考虑利用重期望公式。以
    表示第一次选取的门,则
    ,且

    选第一个门后三小时可到达安全区,则:

    选第二个门后五小时回到原处,则:

    选第三个门后七小时回到原处,则:

    再由重期望公式:

    解得:

    即该矿工平均需要15小时到达安全区。

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  • 本次博客笔记我们将会接触到条件分布(包括离散型和连续型)。关于条件分布,据说是考研很喜欢出的一个知识点,所以博主也列出来一些解题的秘密武器!一起来看看吧!
  • 文章目录一、二维离散型1.1、二维离散型1.1.1、随机变量1.1.2、分布函数1.1.3、边缘分布1.1.4、条件分布1.1.5、独立1.2、二维连续型1.2.1、联合分布函数F(x,y)1.2.2、联合概率密度f(x,y)1.2.3、边缘概率密度1.2.4、...
  • 概率论基础(6)连续型二维随机变量

    千次阅读 多人点赞 2019-06-19 23:16:00
    概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也顺便巩固巩固基础。 这是基础篇的第六篇知识点总结 知识点 ... - Z = X + Y 分布 Z = XY 分布 Z = max{X, Y} 分布
  • 本章主要讨论二维随机变量及其分布(包括离散型和连续型)、边缘分布及条件分布随机变量的独立性、多个随机变量函数的分布。
  • 分布函数 边缘分布函数 条件分布函数 概率密度 1:二维离散型随机变量 2:二维连续型随机变量 3:边缘分布 4:条件分布 5:条件概率密度
  • 作用于深度学习的概率论和数理统计知识: 分布函数 边缘分布函数 条件分布函数 概率密度 1:二维离散型随机变量 ...2:二维连续型随机变量 3:边缘分布 4:条件分布 5:条件概率密度 ...
  • 二维连续型随机变量的相关计算,比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点,考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。最后是要会计算二维随机变量简单函数...
  • 本章重点掌握分布函数的性质、离散型随机变量的分布律与分布函数及连续型随机变量的密度函数与分布函数、常见离散型及连续型随机变量分布、一随机变量函数的分布。1、本章的重点内容随机变量及其分布函数的概念...
  • 三:二维连续型随机变量 1.联合概率密度 2.边缘概率密度 3.条件概率密度 4.二维均匀分布 5.二维正态分布 四:独立性 1.概念 2.相互独立的充要条件 3.性质 五:函数的...
  • 条件分布 离散型随机变量的条件分布 连续型随机变量的条件分布 随机变量的独立性 二维离散型随机变量函数的分布 二维连续型随机变量函数的分布 例2 例3
  •  对于连续型随机变量,加上积分就可以了。 边缘分布 在二维情况下的直观解释: 条件分布 二维情况下的条件分布: 实际上,贝叶斯公式可以由条件概率和全概率公式得出。 由二维推广到多维的条件概率的链规则:...
  • 从概率到贝叶斯滤波

    2021-01-12 12:32:37
    1.5.2 二维连续型随机变量的联合概率密度函数 1.6 边缘概率 1.6.1 二维离散型随机变量的边缘概率质量函数 1.6.2 二维连续型随机变量的边缘概率密度函数 1.7 条件概率 1.7.1 二维离散型随机变量的条件概率质量.
  • 第一章 概率论的基本概念 随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型 条件概率 独立性 第章 随机变量及其分布 随机变量 离散型随机变量及其分布律 随机变量的分布函数 连续性随机变量及其概率密度 随机...
  • 一、预备知识 1.1 排列、组合、集合、二项式定理 1.2 随机试验、随机事件 1.3 事件的概率 1.4 概率的公理化意义 1.5 条件概率 ...3.2 二维连续型随机变量 四、随机变量函数的分布 六、方差 七、大数定律
  • 统计建模与R

    2020-06-01 19:00:49
    连续型随机变量 均匀分布 指数分布 正态分布 随机向量 定义 联合分布函数 分布函数性质 离散型二维随机向量 连续性二维随机向量 边缘分布 二维均匀分布 二维正态分布 1.3随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差 相
  • 随机向量及其分布:随机向量相关概念:常见二维离散型随机向量的分布:常见二维连续型随机向量的分布:二维离散型随机向量函数:二维连续型随机向量函数:二维离散型随机向量的条件概率分布二维连续型随机向量的...
  • 概率论与数理统计基础知识整理基本概率公式一维随机变量分布分布函数的应用离散型分布伯努利分布二分布泊松分布几何分布超几何分布连续型分布均匀分布指数分布正态分布标准正态分布多维随机变量分布联合分布...
  • 二维连续型随机变量概率的性质 例3.2 二维正态分布,只要求掌握参数的含义 边缘分布(离散和连续型都要求掌握) 例3.4 多维随机变量函数的分布:和的分布 例3.13,例3.15 习题:3.7,3.13(1),3.15,3.22 ...
  • 概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也顺便巩固巩固基础。 这是基础篇的第四篇知识点总结 知识点:五种重要的分布...概率论基础(3)一维随机变量(离散型和连续型
  • 文章目录条件数学期望离散型随机变量连续型随机变量性质 条件数学期望 离散型随机变量 二维离散型随机变量 (X,Y)(X,Y)(X,Y),其概率分布为 P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,...P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},i,j=1,2,...P{X=xi...
  •  7.7.4 二维连续型随机变量   小结   复习题七   第8章 随机变量的数字特征   8.1 数学期望   8.1.1 离散型随机变量的数学期望   8.1.2 连续型随机变量的数学期望   8.1.3 随机变量函数...
  • 第四节 连续型随机变量 第五节 随机变量的函数的分布 第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 随机变量的独立性 第五节 两个随机变量的函数的分布 第四章 随机...
  • 多维随机变量及其分布二维随机变量及其联合分布边缘分布条件分布第四章 随机变量的数字特征第五章 大数定律与中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章 参数估计 第一章 随机事件及其概率 随机事件 试验:重复性...
  • 随机变量及其分布:离散型与连续型随机变量分布函数、概率密度等)。 随机变量的数字特征:数学期望、方差、协方差与相关系数。 大数定理和中心极限定理。 样本及抽样分布:样本的分布函数、直方图、样本.....

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二维连续型随机变量条件分布