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  • 一元连续型随机变量及其概率密度 一、联合概率密度函数 1.1、性质 1.2、例

    前言: 一元连续型随机变量及其概率密度

    一、联合概率密度函数

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    1.1、性质

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    1.2、例

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    二、边际概率密度

    二元随机变量分布函数、 边际分布函数及条件分布函数

    2.1、性质

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    2.2、例

    2.2.1、例1:联合概率密度计算边际概率密度

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    2.2.2、先计算联合概率密度

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    三、条件概率密度

    3.1、性质

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    3.2、例

    3.2.1、例1

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    通过条件概率密度计算边际概率密度
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    3.2.2、例2

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    3.2.3、例3

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    四、综合对比

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  • 连续型随机变量及其概率密度

    千次阅读 2019-05-24 17:11:51
    f(t)为X的概率密度 注: 例题: 常见连续型随机变量的分布

    f(t)为X的概率密度

    注:

    例题:

     

    常见连续型随机变量的分布

     

     

     

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  • 文章目录二元连续型随机变量,联合概率密度联合概率密度函数概率密度的性质 二元连续型随机变量,联合概率密度 联合概率密度函数 定义:对于二元随机变量 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 的 分布函数 F(x,y)F(x, y)F(x,y),如果...

    二元连续型随机变量,联合概率密度


    联合概率密度函数


    定义:对于二元随机变量 (X,Y)(X, Y) 的 分布函数 F(x,y)F(x, y),如果存在非负函数 f(x,y)f(x,y),使对于任意 x,yx,y,有

    F(x,y)=xyf(u,v)dudv F(x,y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u, v)\,{\rm d}u{\rm d}v

    (X,Y)(X,Y) 为二元连续型随机变量。

    并称 f(x,y)f(x,y) 为二元随机变量 (X,Y)(X,Y)(联合)概率密度(函数)

    概率密度的性质


    1. f(x,y)0f(x,y) \geq 0

    2. ++f(x,y)dxdy=1\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\, {\rm d}x {\rm d}y = 1

    3. DDxoyxoy 平面上的区域,点 (X,Y)(X, Y) 落在 DD 内的概率为:

    P((X,Y)D)=Df(x,y)dxdyP((X,Y)\in D) = \underset{D}{\iint}f(x,y) \,{\rm d}x{\rm d}y

    1. f(x,y)f(x,y) 的连续点 (x,y)(x,y),有 2F(x,y)xy=f(x,y)\cfrac{\partial^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}= f(x,y)

    例 1: 设二元随机变量 (X,Y)(X,Y) 具有概率密度:

    f(x,y)={ke(2x+3y),x>0,y>00,其他 f(x,y)= \begin{cases} ke^{-(2x+3y)}, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

    (1)求常数 kk
    (2)求分布函数 F(x,y)F(x,y)
    (3)求 P(YX)P(Y\leq X) 的概率。

    解:(1)

    1=f(x,y)dxdy=0dx0ke(2x+3y)dy=k0e2xdx0e3ydy=k(12e2x)0(13e3y)0=k/6    k=6 \begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y) \, {\rm d}x{\rm d}y \\ &=\int_{0}^{\infty} \, {\rm d}x \int_{0}^{\infty} ke^{-(2x+3y)} \, {\rm d}y=k\int_{0}^{\infty}e^{-2x} \, {\rm d}x \int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, {\rm d}y \\ &= k\left(-\cfrac{1}{2}\, e^{-2x}\right)_{0}^{\infty}\left(-\cfrac{1}{3}\, e^{-3y}\right)_{0}^{\infty} = k/6 \implies k = 6 \end{aligned}

    前面已得:

    f(x,y){6e(2x+3y),x>0,y>00,其他 f(x,y) \begin{cases} 6e^{-(2x+3y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

    (2)

    F(x,y)=P(Xx,Yy)=xyf(u,v)dxdy={0xdu0y6e(2u+3v)dv,x>0,y>00,除第一象限={0x2e2udu0y3e3vdv,x>0,y>00,其他={(1e2x)(1e3y)x>0,y>00,其他 \begin{aligned} F(x,y) &= P(X\leq x, Y\leq y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f(u,v) \, {\rm d}x{\rm d}y \\ &=\begin{cases} \int_{0}^{x}\,{\rm d}u\int_{0}^{y}6e^{-(2u+3v)}{\rm d}v, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{除第一象限} \end{cases} \\ &=\begin{cases} \int_{0}^{x}\,2e^{-2u}{\rm d}u\int_{0}^{y}3e^{-3v}{\rm d}v, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \\ &=\begin{cases} (1-e^{-2x})(1-e^{-3y}) & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \end{aligned}

    前面已得:

    f(x,y){6e(2x+3y),x>0,y>00,其他 f(x,y) \begin{cases} 6e^{-(2x+3y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

    (3)

    P(YX)=yxf(x,y)dxdy=0dyy6e(2x+3y)dx=03e3ye2ydy=03e5dy=35e5y0=35 \begin{aligned} P(Y\leq X) &= \underset{y\leq x}{\iint}f(x,y) \,{\rm d}x{\rm d}y \\ &=\int_{0}^{\infty}\,{\rm d}y \int_{y}^{\infty}6e^{-(2x+3y)} \,{\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\infty}3e^{-3y}e^{-2y}\,{\rm d}y \\ &= \int_{0}^{\infty}3e^{-5} \,{\rm d}y = -\cfrac{3}{5} e^{-5y} |_{0}^{\infty} = \cfrac{3}{5} \end{aligned}

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  • 1. 二维离散型随机变量的条件分布 2. 二维连续型随机变量的条件分布
  • 二维连续型随机变量及其分布

    千次阅读 2016-12-25 13:40:48
    二维连续型r.v的概率密度重点内容 2.性质 典型例题
  • 需要注意的是:连续型随机变量的模型中的函数值不是在这点的概率,在这点的概率为0,因为随机事件有无数个,平均到这个事件的概率最准确的说法就是0,这点的函数值是概率密度,就像物质一样,在某个地方的密度越大...
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  • 概率论基础(6)连续型二维随机变量

    千次阅读 多人点赞 2019-06-19 23:16:00
    概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也... - 概率密度 边缘概率密度 条件概率密度 独立性 需要有二重积分相关知识 - Z = X + Y 分布 Z = XY 分布 Z = max{X, Y} 分布
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  • 本文主要回顾复习了有关一离散型、连续型随机变量及分布,以及相关性质。这一部分主要以选择题和填空题的形式出现在考研数学的试卷中,希望考研的考生多注意这一部分知识的复习,结合历年考研数学真题,争取早日...
  • X,YX,YX,Y为两个连续型随机变量,并且(X,Y)∼f(x,y)(X,Y)\sim f(x,y)(X,Y)∼f(x,y),f为二维随机变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的密度函数; 对于Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)Z=g(X,Y),求Z的分布函数和概率密度; FZ(z)=p{Z≤z}=P{g(X...
  • 使用多种方法实现二维离散随机变量概率分布的计算. 可以用于计算互信息等.
  • 文章目录集合表示法一维离散型随机变量一维连续型随机变量 集合表示法 一维离散型随机变量 一维连续型随机变量
  • 连续型随机变量单点概率为0以及不可能事件

    万次阅读 多人点赞 2016-05-14 16:47:07
    从定义以及理解上分析为什么连续型随机变量单点概率为0,进一步讨论零概率事件和不可能事件。
  • 连续型随机变量函数的分布

    万次阅读 2018-10-24 20:02:39
    离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布
  • 连续型随机变量的函数分布及例题

    万次阅读 2018-08-14 16:24:14
    戳这里:概率论思维导图!!! 一般情况,如果随机变量Z是二维连续型随机变量(X,Y)的函数: ...设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y),求 的概率密度函数  解:设Z的分布函数为,则 故Z...
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  • 首先根据二维随机变量均匀分布可以直接得到联合概率密度函数,然后再根据公式可以得到X和Y的边缘密度函数,公式一会用图贴出来,但是此时问题来了,为什么X的密度函数是对dy求积分还有积分的上下限怎么确定?...
  • 概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也顺便巩固巩固基础。 这是基础篇的第四篇知识点总结 知识点:二维离散型随机变量 ...
  • 二维随机变量(向量) 设EEE是一个随机试验,它的样本空间是S=eS={e}S=e,设X=X(e)X=X(e)X=X(e)和Y=Y(e)Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在SSS上的随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)叫做二维随机向量。 分布函数: ...

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