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  • 二维随机变量 联合分布函数 定义 性质 边缘分布函数 联合密度 边缘密度 期望 方差

    1. 二维均匀分布

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    2. 二维正态分布【(ξ,ŋ) ~ N(μ1122,)】

    在这里插入图片描述

    性质:

    1. 相关系数为0 <=> 两个随即变量相互独立

    不相关 == 相互独立

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  • 概论:一维随机变量期望与方差二维随机变量期望与方差协方差1.一维随机变量期望与方差:公式:离散型:E(X)=∑i=1->nXiPiY=g(x)E(Y)=∑i=1->ng(x)Pi连续型:E(X)=∫-∞->+∞xf(x)dxY=g(x)E(Y)=∫-∞->+...

    概论:

    一维随机变量期望与方差

    二维随机变量期望与方差

    协方差

    1.一维随机变量期望与方差:

    公式:

    离散型:

    E(X)=∑i=1->nXiPi

    Y=g(x)

    E(Y)=∑i=1->ng(x)Pi

    连续型:

    E(X)=∫-∞->+∞xf(x)dx

    Y=g(x)

    E(Y)=∫-∞->+∞g(x)f(x)dx

    方差:D(x)=E(x²)-E²(x)

    标准差:根号下的方差

    常用分布的数学期望和方差:

    0~1分布 期望p 方差p(1-p)

    二项分布B(n,p) 期望np,方差np(1-p)

    泊松分布π(λ) 期望λ 方差λ

    几何分布 期望1/p ,方差(1-p)/p²

    正态分布 期望μ,方差σ²

    均匀分布,期望a+b/2,方差(b-a)²/12

    指数分布E(λ)期望1/λ,方差1/λ²

    卡方分布,x²(n) 期望n 方差2n

    期望E(x)的性质:

    E(c)=c

    E(ax+c)=aE(x)+c

    E(x+-Y)=E(X)+-E(Y)

    X和 Y相互独立:

    E(XY)=E(X)E(Y)

    ff8dab518b4b7101433f361979b3a59c.png

    方差D(X)的性质:

    D(c)=0

    D(aX+b)=a²D(x)

    D(X+-Y)=D(X)+D(Y)+-2Cov(X,Y)

    X和Y相互独立:

    D(X+-Y)=D(X)+D(Y)

    2.二维随机变量的期望与方差:

    3.协方差:Cov(X,Y):

    D(X+-Y)=D(X)+D(Y)+-2Cov(X,Y)

    协方差:

    Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

    相关系数:

    ρxY=Cov(X,Y)/X的标准差*Y的标准差

    ρxY=0为X与Y不相关

    记住:独立一定不相关 ,不相关不一定独立。

    协方差的性质:

    Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

    Cov(X,C)=0

    CoV(X,X)=D(X)

    Cov(ax+b,Y)=aCov(X,Y)

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  • 随机变量一维随机变量分布函数概率密度函数期望概念计算性质方差概念计算性质二维随机变量期望方差 一维随机变量 分布函数 概率密度函数 期望 概念 计算 离散型 -连续型 性质 方差 概念 计算 离散型 连续型 ...

    1. 概率(质量)函数/分布律(列)

    (1)概率(质量)函数

    在这里插入图片描述

    (2)分布律(列)

    在这里插入图片描述

    性质:
    在这里插入图片描述

    2. 分布函数

    (1)定义

    在这里插入图片描述

    (2)性质

    在这里插入图片描述

    3. 概率密度函数

    (1)定义

    在这里插入图片描述

    (2)性质

    在这里插入图片描述

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  • 文章目录必须知道概率论知识一变量离散随机变量def常见分布几何分布期望方差二项分布——b(n,p)期望方差泊松分布—— P(λ)P(\lambda)P(λ)期望方差超几何分布——h(n,N,M)期望方差连续型随机变量def常见分布...

    必须知道的概率论知识

    • 常见分布
    • 期望
    • 方差
    • 性质

    一维变量

    离散随机变量

    def

    离散随机变量X的分布列
    P=(X=xi)=p(xi)i=1,2,...,n P = (X = x_i) = p(x_i) \qquad i = 1,2,...,n
    则X的数学期望为:i=1nxip(xi)\sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i),记为;
    E(X)=i=1nxip(xi) E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i)
    若X的取值可列,且无穷级数i=1xip(xi)\sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i)收敛,则E(X)=i=1xip(xi)E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i).

    常见分布

    几何分布

    p(x)=P(X=x)=p(1p)x1,x=1,2,....p(x) = P(X = x) = p(1 - p)^{x - 1},x = 1,2,.....

    期望

    E(X)=1pE(X) = \frac{1}{p}.

    • 推导

    q=1pq = 1 -p,则有;
    E(X)=x=1xpqx1=px=1xqx1=px=1d(qx)dq=pddqx=0qx=pddq(11q)=1p E(X) = \sum_{x=1}^{\infty} x p q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} x q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} \frac{d(q^x)}{dq} \\ = p \frac{d}{dq} \sum_{x=0}^{\infty} q^x \\ = p \frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q}) = \frac{1}{p}

    方差

    Var(X)=1pp2Var(X) = \frac{1 - p}{p^2}

    • 推导

    E(X2)=x=1x2pqx1=px=1x2qx1=px=1xd(qx)dq=pddqx=0xqx E(X^2) =\sum_{x=1}^{\infty} x^2 p q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} x^2 q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} x \frac{d(q^x)}{dq} \\ = p \frac{d}{dq} \sum_{x=0}^{\infty} x q^x

    由无穷级数的理论可知x=0xqx=q(1q)2\sum_{x=0}^{\infty} x q^x = \frac{q}{(1-q)^2}

    从而:

    接上式:E(X2)=pddq(q(1q)2)=2pp2p3=2pp2E(X^2) = p \frac{d}{dq} (\frac{q}{(1-q)^2)} = \frac{2p-p^2}{p^3} = \frac{2-p}{p^2}.从而得到方差。

    二项分布——b(n,p)

    p(x)=P(X=x)=(nx)px(1p)nxx=0,1,....,n p(x) = P(X = x) = \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1 - p)^{n -x} \qquad x = 0,1,....,n

    n=1,时的二项分布b(1,p),又称为两点分布或0-1分布。

    期望

    E(X)=npE(X) = np

    • 推导

    E(X)=x=0nx(nx)px(1p)nx=npx=0n(n1x1)px1(1p)nx=npx=0n(n1x)px(1p)n1x=np[p+(1p)]n1=np E(X) = \sum_{x = 0}^{n} x \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1 - p)^{n -x} \\ =np \sum_{x = 0}^{n} \begin{pmatrix} n - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} p^{x -1} (1 - p)^{n -x} \\ = np \sum_{x = 0}^{n} \begin{pmatrix} n - 1 \\ x \end{pmatrix} p^{x} (1 - p)^{n - 1 - x} \\ =np[p + (1 - p)]^{n -1} = np

    方差

    Var(X)=np(1p)Var(X) = np(1-p)

    • 推导

    E(X2)=x=0nx2(nx)px(1p)nx=x=2nx(x1)(nx)px(1p)nx+x=1nx(nx)px(1p)nx=n(n1)p2x=2n(n2x2)px2(1p)nx+np=n(n1)p2+np=n2p2+np(1p) E(X^2) = \sum_{x = 0} ^ n x ^2 \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p ^ x (1-p)^{n-x} \\ = \sum_{x = 2} ^ n x (x-1) \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p ^ x (1-p)^{n-x} + \sum_{x = 1} ^ n x \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p ^ x (1-p)^{n-x} \\ = n (n-1) p^2 \sum_{x = 2} ^ n \begin{pmatrix} n-2 \\ x-2 \end{pmatrix} p^{x-2} (1-p)^{n-x} + np \\ = n(n-1) p^2 + np = n^2p^2 + np(1-p)

    故:
    Var(X)=E(X2)E(X)2=np(1p) Var(X) = E(X^2) - E(X)^2 = np (1-p)

    泊松分布—— P(λ)P(\lambda)

    P(X=x)=λxx!eλx=0,1,....λ>0 P(X = x) = \frac{\lambda^x}{x!} e ^ {- \lambda} \qquad x = 0,1,.... \qquad \lambda > 0

    期望

    E(X)=λE(X) = \lambda

    • 推导

    E(X)=x=0xλxx!eλ=λeλx=1λx1(x1)!=λ E(X) = \sum_{x = 0}^{\infty} x \cdot \frac{\lambda^x}{x!} e ^ {- \lambda} = \lambda e ^{- \lambda} \sum_{x = 1}^{\infty} \frac{\lambda ^{x - 1}}{(x - 1)!} = \lambda

    方差

    Var(X)=λVar(X) = \lambda

    • 推导

    E(Xλ)2=E[X22λX+λ2]=E(X2)2λE(X)+λ2 E(X - \lambda)^2 = E[X^2 - 2\lambda X + \lambda ^2]= E(X^2) - 2 \lambda E(X) + \lambda ^2


    E(X2)=x=0x2λxx!eλ=x=1xλx(x1)!eλ=x=1[(x1)+1]λx(x1)!eλ=λ2eλx=2λx2(x2)!+λeλx=1λx1(x1)!=λ2+λ E(X^2) = \sum_{x =0} ^ {\infty} x ^ 2 \cdot \frac{\lambda ^ x}{x!} e ^ {- \lambda} \\ = \sum_{x = 1} ^ {\infty} x \cdot \frac{\lambda ^ x}{(x-1)!} e ^ {- \lambda} \\ = \sum_{x = 1} ^ {\infty} [(x -1) + 1] \cdot \frac{\lambda ^ x}{(x-1)!} e ^ {- \lambda} \\ = \lambda ^2 e ^ {- \lambda} \sum_{x = 2} ^ {\infty} \frac{\lambda ^ {x - 2}}{(x-2)!} + \lambda e ^ {- \lambda} \sum_{x = 1} ^ {\infty} \frac{\lambda ^ {x -1}}{(x-1)!} \\ = \lambda ^2 + \lambda
    故:E(Xλ)2=λ2+λ2λ2+λ2=λE(X - \lambda)^2 = \lambda ^2 + \lambda - 2 \lambda ^2 + \lambda ^2 = \lambda

    超几何分布——h(n,N,M)

    P(X=x)=(Mx)(NMnx)(Nn)x=0,1,,r, r=min(n,M) P(X = x) = \frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \qquad x=0,1,\dots,r,\ r=min(n,M)

    期望

    E(X)=nMNE(X) = \frac{nM}{N}

    • 推导

    E(X)=x=0rx(Mx)(NMnx)(Nn)=nMNx=1r(M1x1)(NMnx)(N1n1)=nMN \begin{aligned} E(X) & = \sum_{x = 0}^{r} x \frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \\ & = \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}}\\ & = \frac{nM}{N} \end{aligned}

    方差

    Var(X)=nMN(1MN)(NnN1)Var(X) = \frac{nM}{N}(1-\frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1})

    • 推导

    E(X2)=x=0rx2(Mx)(NMnx)(Nn)=nMNx=1rx(M1x1)(NMnx)(N1n1)=nMNx=1r(x1)(M1x1)(NMnx)(N1n1)+nMNx=1r(M1x1)(NMnx)(N1n1)=nMN(M1)x=1r(M2x2)(NMnx)(N1n1)+nMN=nMN[(M1)(n1)N1+1] \begin{aligned} E(X^2) & = \sum_{x = 0}^{r} x^2 \frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \\ & = \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} x \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}}\\ & = \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} (x -1) \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}} + \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}} \\ & = \frac{nM}{N} (M-1) \sum_{x = 1}^{r} \frac{\begin{pmatrix} M - 2 \\ x - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}} + \frac{nM}{N} \\ & = \frac{nM}{N}[\frac{(M-1)(n-1)}{N-1} + 1] \end{aligned}

    再由方差公式即可求得。

    连续型随机变量

    def

    p(x)p(x)是实数轴上的一个函数,满足:

    (1)p(x)0p(x) \geq 0.(非负)

    (2)=1\int_{- \infty}^{\infty} = 1

    则称p(x)p(x)概率密度函数

    期望E(X)=xp(x)dxE(X) = \int_{- \infty } ^ {\infty} x p(x) d x.

    分布函数:

    F(x)=P(Xx)=xp(x)dxF(x) = P(X \leq x) = \int_{- \infty}^{x} p(x)dx.

    分布函数的性质

    1. F(x)F(x)是直线上的连续函数

    2. P(X=x)=0P(X = x) = 0

    3. P(aXb)=P(aX<b)=P(a<Xb)=P(a<X<b)P(a \leq X \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X \leq b) = P(a < X < b)

    4. F(x)F(x)导数存在的点x 上有:

      F(x)=p(x)F'(x) = p(x)

    常见分布

    均匀分布——U(a,b)
    密度函数

    p(x)={1baaxb0 p(x)= \begin{cases} \frac{1}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 0 & 其他 \end{cases}

    分布函数

    F(x)={0x<axabaaxb1x>b F(x)= \begin{cases} 0 & x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 1 & x > b \end{cases}

    期望

    E(X)=xp(x)dx=abx1badx=1bax22ab=b2a22(ba)=a+b2 E(X) = \int_{- \infty } ^ {\infty} x p(x) d x = \int_a^b x \cdot \frac{1}{b -a}dx = \frac{1}{b -a} \frac{x^2}{2}|_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2 (b -a)} = \frac{a + b}{2}

    方差

    E(X2)=abx2badx=1bax33ab=13(b2+ab+a2) E(X^2) = \int_a^b \frac{x^2}{b -a}dx \\ = \frac{1}{b -a} \frac{x^3}{3}|_a^b \\ = \frac{1}{3}(b^2 + ab + a^2)

    故:
    Var(X)=(ba)212 Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}

    指数分布—— Exp(λ)Exp(\lambda)
    密度函数

    p(x)={λeλxx00x<0 p(x)= \begin{cases} \lambda e ^{- \lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}

    分布函数

    F(x)={1eλxx00x<0 F(x)= \begin{cases} 1 - e ^{- \lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}

    期望

    E(X)=xp(x)dx=0λxeλxdx=1λ E(X) = \int_{- \infty } ^ {\infty} x p(x) d x = \int_0^{\infty} \lambda x e ^ {- \lambda x}dx = \frac{1}{\lambda}

    方差

    Var(X)=1λ2 Var(X) = \frac{1}{\lambda ^ 2}

    推导 见伽马分布

    柯西分布
    密度函数

    p(x)=1π(1+x2) p(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}

    数学期望不存在

    正态分布——N(μ,σ2)N(\mu, \sigma ^ 2)
    密度函数

    p(x)=12πσe(xμ)22σ2<x< p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} \qquad - \infty < x < \infty

    分布函数

    F(x)=12πσxe(xμ)22σ2dx<x< F(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{- \infty}^{x} e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} dx \qquad - \infty < x < \infty

    期望

    E(X)=μE(X) = \mu.

    • 推导

    z=xμσ,E(X)=12πσxe(xμ)22σ2dx=12πσ(σz+μ)ez22dz=12π[σzex22dz+μex22dz]=0+μ=μ 令 z = \frac{x - \mu}{\sigma},\\ E(X) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{- \infty}^{\infty} x e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} dx \\ =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{- \infty}^{\infty} (\sigma z + \mu) e ^ {- \frac{z ^ 2}{2}} dz \\ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} [\sigma \int _{- \infty}^{\infty} z e ^ {- \frac{x ^ 2}{2}}dz + \mu \int _{- \infty}^{\infty} e ^ {- \frac{x ^ 2}{2}}dz] \\ = 0 + \mu = \mu

    方差

    Var(X)=E(XE(X))2=E(Xμ)2=12πσ(xμ)2e(xμ)22σ2dx=u=xμσσ22πu2eu22du=2σ22π0u2eu22du=y=u222σ22π20y12eydy=2σ22π2Γ(32)=2σ22π2π2=σ2 Var(X) = E(X - E(X))^2 \\ = E(X - \mu) ^ 2 \\ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \sigma \int _{- \infty}^{\infty} (x - \mu) ^ 2 e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} dx \\ \overset{u = \frac{x - \mu}{\sigma}}{=} \frac{\sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}}\int _{- \infty}^{\infty} u ^2 e ^ {- \frac{u ^ 2}{2}} d u \\ = \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}}\int _{0}^{\infty} u ^2 e ^ {- \frac{u ^ 2}{2}} d u \\ \overset{y = \frac{u^2}{2}}{=} \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{2} \int _{0}^{\infty} y ^{\frac{1}{2}} e ^ {- y} d y \\ = \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{2} \Gamma (\frac{3}{2}) = \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}} \frac{\sqrt{2 \pi}}{2} = \sigma ^2

    标准正态分布——N(0,1)
    密度函数

    ϕ(μ)=12πeu22<u< \phi(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e ^ {- \frac{ u ^ 2}{2}} \qquad - \infty < u < \infty

    分布函数

    Φ(μ)=12πuex22dx<u< \Phi(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int _{- \infty}^{u} e ^ {- \frac{ x ^ 2}{2}}dx \qquad - \infty < u < \infty

    • 对任意实数u,有:

    Φ(u)=1Φ(u) \Phi (- u) = 1 - \Phi(u)

    • XN(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)时,U=XμσU = \frac{X - \mu}{\sigma}是标准正态变量,即UN(0,1)U \sim N(0,1).
    伽玛分布—— Ga(α,λ)Ga(\alpha, \lambda)
    伽玛函数

    含参数α\alpha的积分;
    Γ(α)=0xα1exdxα>0 \Gamma (\alpha) = \int_0^{\infty} x^{\alpha - 1}e^{- x}dx \qquad \alpha > 0
    性质

    1. Γ(1)=1,Γ(12)=π\Gamma(1) = 1, \Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}
    2. 递推公式:Γ(α+1)=αΓ(α)\Gamma (\alpha + 1) = \alpha \Gamma (\alpha).特别对于n,Γ(n+1)=n!\Gamma (n + 1) = n!
    3. 0xα1eλxdx=Γ(α)λα\int _0 ^{\infty} x ^ {\alpha - 1} e ^ {-\lambda x} d x = \frac {\Gamma (\alpha)}{\lambda ^ {\alpha}}
    密度函数

    p(x)={λαΓ(α)xα1eλxx>00x0 p(x) = \begin{cases} \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} x ^ {\alpha - 1} e ^ {- \lambda x} & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}

    简记为;
    p(x)=λαΓ(α)xα1eλxx>0 p(x) = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} x ^ {\alpha - 1} e ^ {- \lambda x} \qquad x > 0
    α=1\alpha = 1的时候伽马分布就是指数分布,密度函数
    p(x)=λeλxx>0 p(x) = \lambda e ^{- \lambda x} \qquad x > 0
    α=n2,λ=12\alpha = \frac{n}{2}, \lambda = \frac{1}{2}时伽马分布为卡方分布

    期望

    E(X)=λαΓ(α)0xαeλxdx=Γ(α+1)Γ(α)1λ=αλ E(X) = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \int_0 ^{\infty} x ^ {\alpha} e ^ {- \lambda x} d x = \frac{\Gamma (\alpha + 1)}{\Gamma (\alpha)} \frac{1}{\lambda} = \frac{\alpha}{\lambda}

    方差

    E(X2)=λαΓ(α)0x2xαeλxdx=λαΓ(α)Γ(α+2)λα+2=α(α+1)λ2 E(X^2) = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \int_0 ^{\infty} x^2 \cdot x ^ {\alpha} e ^ {- \lambda x} d x \\ = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \frac{\Gamma (\alpha + 2)}{\lambda ^ {\alpha + 2}} \\ = \frac{\alpha(\alpha +1)}{\lambda ^2}

    自由度为n的χ2\chi ^2分布——χ2(n)\chi ^2 (n)

    即伽玛分布Ga(n2,12)Ga(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}),

    密度函数

    p(x)=1Γ(n2)2n2xn21ex2x>0 p(x) = \frac{1}{\Gamma (\frac{n}{2}) 2 ^{\frac{n}{2}}} x ^ {\frac{n}{2} -1} e ^{- \frac{x}{2}} \qquad x > 0

    期望

    E(X)=n E(X) = n

    方差

    Var(X)=2n Var(X) = 2n

    推导见伽马分布。

    贝塔分布——Be(a,b)
    贝塔函数

    含参数a,b的积分:
    β(a,b)=01xa1(1x)b1dxa>0,b>0 \beta (a,b) = \int _0 ^1 x ^{a - 1}(1 - x)^{b -1} d x \qquad a > 0, b > 0
    性质:

    1. β(a,b)=β(b,a)\beta(a,b) = \beta(b,a)

    2. 贝塔函数与伽玛函数的关系:
      β(a,b)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b) \beta(a,b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}

    密度函数

    p(x)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)xa1(1x)b10x1 p(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x ^ {a - 1} (1 -x)^ {b - 1} \qquad 0 \leq x \leq 1

    期望

    E(X)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)01xa1(1x)b1dx=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)Γ(a+1)Γ(b)Γ(a+b+1)=aa+b E(X) =\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \int _ 0 ^ 1 x ^ {a - 1} (1 -x)^ {b - 1} d x \\ =\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \cdot \frac{\Gamma(a + 1) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b + 1)} \\ = \frac{a}{a + b}

    与均匀分布的关系

    Be(1,1)就是[0,1] 上的均匀分布。

    期望的性质

    1. E[cg(X)]=cE[g(X)]E[cg(X)] = c E[g(X)]
    2. E[g(X)±h(X)]=E[g(X)]±E[h(X)]E[g(X) \pm h(X)] = E[g(X)] \pm E[h(X)]
    3. E(c)=cE(c) =c,c为常数

    方差与方差的性质

    Var(X)=E[XE(X)]2Var(X) = E[X - E(X)]^2

    性质:

    1. Var(c)=0Var(c) = 0,c为常数
    2. Var(aX+b)=a2Var(X)Var(a X + b) = a ^ 2 Var(X)
    3. Var(X)=E(X2)[E(X)]2Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^ 2

    多元情况后续更新。

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二维连续型随机变量的方差