二维连续型随机变量的方差

常用二维连续型随机变量的分布及其基本数字特征
2020-05-25 15:17:00
二维随机变量 联合分布函数定义性质边缘分布函数联合密度边缘密度期望方差
```
1. 二维均匀分布 
 
2. 二维正态分布【(ξ,ŋ) ~ N(μ₁,σ₁,μ₂,σ₂,)】 
 
性质： 
相关系数为0 <=> 两个随即变量相互独立 
不相关 == 相互独立
```
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常用一维离散型随机变量的各种分布及其数字特征

千次阅读 2020-04-13 22:12:43

数学期望离散型随机变量的数学期望1. 两点分布2. 二项分布3. 泊松分布4. 几何分布5. 超几何分布6. 其他连续性随机变量的数学期望1. 均匀分布2. 指数分布3. 正态分布离散型随机变量的数学期望 1. 两点分布 2. 二项...



 目录
 1. 两点分布
2. 二项分布/伯努利分布 【X~B(n, p)】
3. 泊松分布【ξ ~ P(λ)】
4. 几何分布【ξ ~ Ge(p)】
5. 超几何分布 【ξ ~ H(n, M , N)】
6. 负二项分布

 
1. 两点分布 
 定义： 实验的结果只有两种情况，即随机变量只有两个值，则称随机变量ξ服从两点分布。
 
 分布律
 
 -p：表示实验成功的概率。
 
 分布函数
 
 概率密度函数
 
 期望： E(ξ) = p
 
 方差： D(ξ) = p(1-p)
  
2. 二项分布/伯努利分布 【X~B(n, p)】 
 定义： n个相互独立的两点分布的组合，具体分布律如下：
 
 （ⅰ）当n为1时，即为两点分布。
 （ⅱ）当n趋于无穷大时，即为泊松分布。
 
 分布函数：
 
 概率密度函数：
 
 期望： E(ξ) = np
 
 方差： D(ξ) = np(1-p)
  
✈二项分布最大值问题。 
3. 泊松分布【ξ ~ P(λ)】 
 定义：
 
 
 -λ：（一次实验中，实验成功的概率p_n ）× （总的试验次数n）
 
 分布函数
 
 概率密度函数
 
 期望： E(ξ) = λ
 
 方差： D(ξ) = λ
  
泊松定理 
4. 几何分布【ξ ~ Ge§】 
分布函数
概率密度函数
期望： E(ξ) = 1/p
方差： D(ξ) = (1-p) / p² 
几何分布的无记忆性 
5. 超几何分布 【ξ ~ H(n, M , N)】 
分布函数
概率密度函数
期望
 
方差
 
 超几何分布的二项分布近似：
 当n<<N时， 
6. 负二项分布 
期望
 
 方差

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概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布

2021-06-21 19:51:35

概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布文章目录概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布一....二维连续型随机变量1.联合概率密度①定义②性质2.边缘概率密度==从分布函数角度理解:==3.均匀分布4.正态分布五.条件

概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布 


 文章目录
 概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布
一.多维随机变量
定义：
   
二.二维随机变量及其分布函数
1.联合分布函数
①定义
②性质
(1) $F (x, y)$ 对x和y都是单调不减的，即：
(2)连续性
(3）
解释
     
(4）
   
   
三.二维离散型随机变量
1.联合分布列
①定义
②性质
    
2.分布函数
3.边缘分布列
==从分布函数角度理解边缘分布列：==
    
   
   
四.二维连续型随机变量
1.联合概率密度
①定义
②性质
    
2.边缘概率密度
==从分布函数角度理解:==
    
    
3.均匀分布
4.正态分布
   
五.条件分布
1.离散型随机变量
2.连续型随机变量
   
六.随机变量的独立性
1.定义
2.判断方法
（1）联合分布函数=边缘分布函数的乘积
（2）离散型：联合分布列=边缘分布列的乘积
（3）连续型：联合概率密度=边缘概率密度的乘积
    
3.定理
   
七.二维随机变量函数的分布
1.离散型随机变量函数的分布： $Z = X + Y$ 
一些结论
    
2. $max\{X,Y\}$ 和 $min\{X,Y\}$ 的分布
推广
    
3.连续型随机变量函数的分布: $Z = X + Y$ 
分布函数法：
    
4.瑞利分布
  
 

 
一.多维随机变量 
定义： 
 若 $X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega)$ 是样本空间 $\Omega$ ={ $\omega$ }上的随机变量，则( $X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega)$ )构成 $\Omega$ 上的n维随机变量，简记为：
  $X=(X_1,X_2,...X_n)$  
二.二维随机变量及其分布函数 
 设E是一个随机试验，S={e}为其样本空间，设 $X = X (e)$ 和 $Y = Y (e)$ 是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量 $(X, Y)$ 叫做二维随机变量（或二位随机向量） 
1.联合分布函数 
①定义 
 设 $(X, Y)$ 为二维随机变量， $x, y$ 为任意实数，称二元函数  $F(x,y)=P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\}$  为 $(X, Y)$ 的分布函数，or $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数 
注： $\\F(x,y)$ 表示事件 $\left\{X\leq x\right\}$ 和 $\left\{Y\leq y\right\}$ 同时发生的概率(其实就是把 $P\{(X\leqslant x)\bigcap(Y\leqslant y)\}$ 记成了 $P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\}$ ) 
 
 
  为什么要研究联合分布呢？因为二位随机变量(X,Y)的性质不仅分别与X和Y有关，也与X与Y之间的相互关系有关，所以单独逐个研究X与Y是不够的，还需要将 $(X, Y)$ 作为整体进行研究 
 
②性质 
(1) $F (x, y)$ 对x和y都是单调不减的，即： 
 (Ⅰ)固定 $x$ ,当 $y_1<y_2$ 时， $F(x,y_1)\leqslant F(x,y_2)$  
 (Ⅱ)固定 $y$ ,当 $x_1<x_2$ 时， $F(x_1,y)\leqslant F(x_2,y)$  
(2)连续性 
  $F (x, y)$ 关于 $x$ 右连续，即 $F (x, y) = F (x + 0, y)$  
  $F (x, y)$ 关于 $y$ 右连续，即 $F (x, y) = F (x, y + 0)$  
(3） 
 随机变量 $(X, Y)$ 落在矩形区域 $x_1,x_2]×(y_1,y_2]$ 内的概率为
  $P\left\{x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2\right\}\\=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)$  
解释 
 若将二维随机变量(X,Y)看成平面上的随机点的坐标，那么 $F (x, y)$ 在 $(x, y)$ 处的函数值就是随机点 $(X, Y)$ 落在以点 $(x, y)$ 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率，如图紫色区域，设 $A (x, y)$  
 
  
(4） 
 $0\leqslant F(x,y) \leqslant 1,且F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0,\quad F(+\infty,+\infty)=1$  
 
 几何解释 
  如（3）中图所示，无穷矩形的右面边界向左无限平移 $(x \to - \infty)$ ，则“随机点(X,Y)落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件，所以其概率趋于0，即有 $F (- \infty ， y) = 0$  
  当 $x \to \infty ， y \to \infty$ 时，图中无穷矩形扩展到全平面，随机点(X,Y)落在其中这一事件趋于必然事件，故其概率趋于1，即 $F (+ \infty, + \infty) = 1$  
 
三.二维离散型随机变量 
1.联合分布列 
①定义 
 如果二维随机变量 $(X, Y)$ 的所有可能取值是有限个或可数个，称(X，Y)为二维离散型随机变量， $P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,...$ 称为 $(X, Y)$ 的分布列,or  $X$ 与 $Y$ 的联合分布列（也可用表格表示） 
②性质 
（1） $p_{ij}\geqslant0,\quad i,j=1,2,...$  
（2） $\sum\limits^{\infty}_{i=1}\sum\limits^\infty_{j=1}p_{ij}=1$  
2.分布函数 
 $F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}p_{ij}$  
3.边缘分布列 
设 $(X, Y)$ 是二维离散型随机变量，分布列为
  $P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,...$ 
 (1)关于 $X$ 的边缘分布列为
  $P\{X=x_i\}=\sum_jp_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,...$ 
 (2)关于 $Y$ 的边缘分布列为
  $P\{Y=y_j\}=\sum_ip_{ij}=p_{.j},\quad j=1,2,...$  
注：（1）边缘分布列具有一维分布列的性质 
 （2）联合分布列唯一决定边缘分布列 
 
 从分布函数角度理解边缘分布列： 
  $(X, Y)$ 作为整体，具有分布函数 $F (x, y)$ ，而 $X$ 和 $Y$ 都是随机变量，各自也有分布函数，分别记为 $F_X(x),F_Y(y)$ ,依次为二维随机变量 $(X, Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布函数，边缘分布函数可以由 $(X, Y)$ 的分布函数 $F (x, y)$ 确定 
  $F_X(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{X\leqslant x,Y< \infty\}=F(x,\infty)$ ,即 $F_X(x)=F(x,\infty)=\sum\limits_{x_i\leqslant x}\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij}$  
 所以关于 $X$ 的边缘分布列也可以写为
  $P\{X=x_i\}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,...$ 
  $Y$ 同理 
 
四.二维连续型随机变量 
1.联合概率密度 
①定义 
 如果对于 $(X, Y)$ 的分布函数 $F (x, y)$ ,若存在非负函数 $f (x, y)$ ,对于任意实数 $x, y,$ 有：
  $F(x,y)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(u,v)dudv$ 
 则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，函数 $f (x, y)$ 称为 $(X, Y)$ 的概率密度，或称 $X 与 Y$ 的联合概率密度 
②性质 
 （1） $f(x,y)\geq 0$  
 （2） $\int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dxdy=1=F(+\infty,+\infty)$  
 （3）设G是xOy面上一区域，点 $\\(X,Y)$ 落入G内的概率为
  $P\{(X,Y)∈G\}=\iint\limits_{(x,y)∈G}f(x,y)dxdy$  
2.边缘概率密度 
 关于X的边缘概率密度： $\\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy$ 
  关于Y的边缘概率密度： $\\f_Y(y)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dx$  
 
 从分布函数角度理解: 
  $F_X(x)=F(x,+\infty)=\int^x_{-\infty}[\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy]dx$  
 易看出，X的概率密度为中括号里的表达式，即： $\\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy$  
 
3.均匀分布 
 设G是平面上的有界区域，其面积为S_G,若二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
  $f(x,y)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{S_G}, \qquad (x,y)∈G \\ 0,\quad \qquad otherwise\\ \end{array} \right.$ 
 则称 $(X, Y)$ 在G上服从均匀分布 
 设 $G^{'}$ 是区域 $G$ 上的任一子区域，面积为 $S_{G'}$ ，则 $P\{(X,Y)∈G'\}=\frac{S_{G'}}{S_G}$  
4.正态分布 
(也叫高斯分布) 
 
 
 用python生成二维正态分布的概率密度示意图如图所示： 
  
 
五.条件分布 
 
  对于两个事件，可以讨论它们的条件概率；对于两个随机变量，则可以讨论它们的条件分布 
 
1.离散型随机变量 
随机变量 $X$ 在条件 $Y=y_j$ 下的条件分布列：
  $P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}},\quad i=1,2,...$ 
 随机变量 $Y$ 在条件 $X=x_i$ 下的条件分布列：
  $P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}},\quad j=1,2,...$ 
 条件分布列也是分布列，满足分布列的性质 
2.连续型随机变量 
（1）在 $Y = y$ 条件下， 
 $X$ 的条件概率密度
  $f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y{(y)}}$ 
  $X$ 的条件分布函数
  $F_{X|Y}(x|y)=\int^x_{-\infty}f_{X|Y}(u|y)du$ 
 （2）在 $X = x$ 条件下， 
 $Y$ 的条件概率密度
  $f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X{(x)}}$ 
  $Y$ 的条件分布函数
  $F_{Y|X}(y|x)=\int^y_{-\infty}f_{Y|X}(v|x)dv$  
六.随机变量的独立性 
 
  随机变量的独立性可借助事件的独立性引出 
  设 $X, Y$ 为两个随机变量，对于任意的实数 $x,y,“X\leqslant x"$ 和 $“Y\leqslant y"$ 为两个事件，根据事件的独立性定义， $“X\leqslant x",“Y\leqslant y"$ 相互独立，相当于式
  $P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=P\{X \leqslant x\}P\{Y \leqslant y\}$ 
 成立，或写为
  $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$  
 
1.定义 
” $X\leqslant x$ “和“ $Y\leqslant y$ ”相互独立
  $\iff P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}\cdot P\{Y\leq y\} \iff F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$  
2.判断方法 
（1）联合分布函数=边缘分布函数的乘积 
 $F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$  
（2）离散型：联合分布列=边缘分布列的乘积 
 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}\cdot P\{Y=y_j\}$  
（3）连续型：联合概率密度=边缘概率密度的乘积 
 $f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$  
3.定理 
 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立， $g (x), h (y)$ 是连续函数，则随机变量函数 $g (x), h (y)$ 也相互独立 
七.二维随机变量函数的分布 
1.离散型随机变量函数的分布： $Z = X + Y$  
 设 $X, Y$ 是离散型随机变量，则随机变量 $Z = X + Y$ 的分布列为
  $P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i,Y=m-i\}$ 
  若 $X, Y$ 相互独立，则
  $P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i\}P\{Y=m-i\}$  
 
 证明： 
  事件 $X + Y = m$ 是互不相容事件 $A_k=\{X=k,Y=m-k\}$ 的和事件，而 $P(A_k)=P\{X=k,Y=m-k\}$ ,由此可得
  $P\{X+Y=m\}=\sum P(A_k)=\sum_{k+l=m}P\{X=k,Y=l\}$  
 
一些结论 
 ①若 $X, Y$ 相互独立， $X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2)$ ,则 $X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)$  
 
  两个相互独立的泊松变量之和仍是一个泊松变量，且其参数等于相应的随机变量分布参数的和 
 
 ②若 $X_1,X_2$ 相互独立， $X_1\sim B(n_1,p),X_2\sim B(n_2,p)$ ,则 $X=X_1+X_2\sim B(n_1+n_2,p)$  
2. $max\{X,Y\}$ 和 $min\{X,Y\}$ 的分布 
 设 $X, Y$ 相互独立，分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$ ,则： 
 $Z=\max\{X,Y\}$ 的分布函数为：
  $F_{\max}(z)=F_X(z)\cdot F_Y(z)$  
 
  证明：
  $F_{max}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{max\{X,Y\}\leqslant z\}$ 
  又因为 $Z\leqslant z$  等价于 $X, Y$ 均 $\leqslant z$ ，所以
  $F_{max}(z)=P\{X\leqslant z,Y\leqslant z\}=P\{X\leqslant z\}P\{Y\leqslant z\}=F_X(z)\cdot F_Y(z)$  
 
 $Z=\min\{X,Y\}$ 的分布函数为：
  $F_{\min}(z)=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)]$  
 
  证明：
  $F_{min}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{min\{X,Y\}\leqslant z\}=1-P\{min\{X,Y\}> z\}$ 
  又因为 $Z > z$ 等价于 $X, Y$ 均 $> z$ ，所以
  $F_{max}(z)=1-P\{X> z,Y> z\}=1-P\{X> z\}P\{Y> z\}\\=1-[1-P\{X\leqslant z\}][1-P\{Y\leqslant z\}]\\=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)]$  
 
推广 
 设随机变量 $X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立，分布函数分别为 $F_{X_1}(x_1)$ 和 $F_{X_2}(x_2),...,F_{X_n}(x_n)$ ,则： 
 $max\{X_1,X_2,...,X_n\}$ 的分布函数为：
  $F_{\max}(z)=F_{X_1}(z)\cdot F_{X_2}(z)...F_{X_n}(z)$ 
  $min\{X_1,X_2,...,X_n\}$ 的分布函数为：
  $F_{\min}(z)=1-[1-F_{X_1}(z)]\cdot [1-F_{X_2}(z)]...[1-F_{X_n}(z)]$ 
 若 $X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立，具有相同的分布函数 $F (z)$ ，则
  $F_{\max}(z)=[F(z)]^n，\qquad F_{\min}(z)=1-[1-F(z)]^n$  
3.连续型随机变量函数的分布: $Z = X + Y$  
分布函数法： 
设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f (x, y)$ ,求 $Z = g (X, Y)$ 的概率密度
  $F_Z(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{g(X,Y)\leqslant z\}=\iint\limits_{g(x,y)\leqslant z}f(x,y)dxdy$ 
  $f_Z(z)=F'_Z(z)$  
4.瑞利分布 
 瑞利分布：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差、均值为0的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布

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数学

一维随机变量的常见分布、期望、方差及其性质与推导过程

千次阅读 2020-05-17 22:08:13

文章目录必须知道的概率论知识一维变量离散随机变量def常见分布几何分布期望方差二项分布——b(n,p)期望方差泊松分布—— P(λ)P(\lambda)P(λ)期望方差超几何分布——h(n,N,M)期望方差连续型随机变量def常见分布...



 文章目录
 必须知道的概率论知识
一维变量
离散随机变量
def
常见分布
几何分布
期望
方差
      
二项分布——b(n,p)
期望
方差
      
泊松分布——  $P(\lambda)$ 
期望
方差
      
超几何分布——h(n,N,M)
期望
方差
     
    
    
连续型随机变量
def
常见分布
均匀分布——U(a,b)
密度函数
分布函数
期望
方差
      
指数分布——  $Exp(\lambda)$ 
密度函数
分布函数
期望
方差
      
柯西分布
密度函数
      
正态分布—— $N(\mu, \sigma ^ 2)$ 
密度函数
分布函数
期望
方差
      
标准正态分布——N(0,1）
密度函数
分布函数
      
伽玛分布——  $Ga(\alpha, \lambda)$ 
伽玛函数
密度函数
期望
方差
      
自由度为n的 $\chi ^2$ 分布—— $\chi ^2 (n)$ 
密度函数
期望
方差
      
贝塔分布——Be(a,b)
贝塔函数
密度函数
期望
与均匀分布的关系
     
     
期望的性质
方差与方差的性质
   
  
 

 
必须知道的概率论知识 
常见分布
期望
方差
性质 
一维变量 
离散随机变量 
def 
离散随机变量X的分布列
  $x_i) = p(x_i) \qquad i = 1,2,...,n$ 
 则X的数学期望为： $\sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i)$ ，记为;
  $\sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i)$ 
 若X的取值可列，且无穷级数 $\sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i)$ 收敛，则 $\sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i)$ . 
常见分布 
几何分布 
 $p(x) = P(X = x) = p(1 - p)^{x - 1},x = 1,2,....$ . 
期望 
 $\frac{1}{p}$ . 
推导 
令 $q = 1 - p$ ，则有;
  $\sum_{x=1}^{\infty} x p q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} x q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} \frac{d(q^x)}{dq} \\ = p \frac{d}{dq} \sum_{x=0}^{\infty} q^x \\ = p \frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q}) = \frac{1}{p}$  
方差 
 $\frac{1 - p}{p^2}$  
推导 
 $E(X^2) =\sum_{x=1}^{\infty} x^2 p q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} x^2 q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} x \frac{d(q^x)}{dq} \\ = p \frac{d}{dq} \sum_{x=0}^{\infty} x q^x$  
由无穷级数的理论可知 $\sum_{x=0}^{\infty} x q^x = \frac{q}{(1-q)^2}$  
从而： 
接上式: $E(X^2) = p \frac{d}{dq} (\frac{q}{(1-q)^2)} = \frac{2p-p^2}{p^3} = \frac{2-p}{p^2}$ .从而得到方差。 
二项分布——b(n,p) 
 $\begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1 - p)^{n -x} \qquad x = 0,1,....,n$  
n=1,时的二项分布b(1,p),又称为两点分布或0-1分布。 
期望 
 $E (X) = n p$  
推导 
 $\sum_{x = 0}^{n} x \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1 - p)^{n -x} \\ =np \sum_{x = 0}^{n} \begin{pmatrix} n - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} p^{x -1} (1 - p)^{n -x} \\ = np \sum_{x = 0}^{n} \begin{pmatrix} n - 1 \\ x \end{pmatrix} p^{x} (1 - p)^{n - 1 - x} \\ =np[p + (1 - p)]^{n -1} = np$  
方差 
 $V a r (X) = n p (1 - p)$  
推导 
 $E(X^2) = \sum_{x = 0} ^ n x ^2 \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p ^ x (1-p)^{n-x} \\ = \sum_{x = 2} ^ n x (x-1) \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p ^ x (1-p)^{n-x} + \sum_{x = 1} ^ n x \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p ^ x (1-p)^{n-x} \\ = n (n-1) p^2 \sum_{x = 2} ^ n \begin{pmatrix} n-2 \\ x-2 \end{pmatrix} p^{x-2} (1-p)^{n-x} + np \\ = n(n-1) p^2 + np = n^2p^2 + np(1-p)$  
故:
  $Var(X) = E(X^2) - E(X)^2 = np (1-p)$  
泊松分布——  $P(\lambda)$  
 $\frac{\lambda^x}{x!} e ^ {- \lambda} \qquad x = 0,1,.... \qquad \lambda > 0$  
期望 
 $\lambda$  
推导 
 $\sum_{x = 0}^{\infty} x \cdot \frac{\lambda^x}{x!} e ^ {- \lambda} = \lambda e ^{- \lambda} \sum_{x = 1}^{\infty} \frac{\lambda ^{x - 1}}{(x - 1)!} = \lambda$  
方差 
 $\lambda$  
推导 
 $\lambda)^2 = E[X^2 - 2\lambda X + \lambda ^2]= E(X^2) - 2 \lambda E(X) + \lambda ^2$  
又
  $E(X^2) = \sum_{x =0} ^ {\infty} x ^ 2 \cdot \frac{\lambda ^ x}{x!} e ^ {- \lambda} \\ = \sum_{x = 1} ^ {\infty} x \cdot \frac{\lambda ^ x}{(x-1)!} e ^ {- \lambda} \\ = \sum_{x = 1} ^ {\infty} [(x -1) + 1] \cdot \frac{\lambda ^ x}{(x-1)!} e ^ {- \lambda} \\ = \lambda ^2 e ^ {- \lambda} \sum_{x = 2} ^ {\infty} \frac{\lambda ^ {x - 2}}{(x-2)!} + \lambda e ^ {- \lambda} \sum_{x = 1} ^ {\infty} \frac{\lambda ^ {x -1}}{(x-1)!} \\ = \lambda ^2 + \lambda$ 
 故： $\lambda)^2 = \lambda ^2 + \lambda - 2 \lambda ^2 + \lambda ^2 = \lambda$  
超几何分布——h(n,N,M) 
 $\frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \qquad x=0,1,\dots,r,\ r=min(n,M)$  
期望 
 $\frac{nM}{N}$  
推导 
 $\begin{aligned} E(X) & = \sum_{x = 0}^{r} x \frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \\ & = \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}}\\ & = \frac{nM}{N} \end{aligned}$  
方差 
 $\frac{nM}{N}(1-\frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1})$  
推导 
 $\begin{aligned} E(X^2) & = \sum_{x = 0}^{r} x^2 \frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \\ & = \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} x \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}}\\ & = \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} (x -1) \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}} + \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}} \\ & = \frac{nM}{N} (M-1) \sum_{x = 1}^{r} \frac{\begin{pmatrix} M - 2 \\ x - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}} + \frac{nM}{N} \\ & = \frac{nM}{N}[\frac{(M-1)(n-1)}{N-1} + 1] \end{aligned}$  
再由方差公式即可求得。 
连续型随机变量 
def 
 $p (x)$ 是实数轴上的一个函数，满足： 
（1） $\geq 0$ .（非负） 
（2） $\int_{- \infty}^{\infty} = 1$  
则称 $p (x)$ 为概率密度函数。 
期望： $\int_{- \infty } ^ {\infty} x p(x) d x$ . 
分布函数： 
 $\leq x) = \int_{- \infty}^{x} p(x)dx$ . 
分布函数的性质 
  $F (x)$ 是直线上的连续函数
 
  $P (X = x) = 0$ 
 
  $\leq X \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X \leq b) = P(a < X < b)$ 
 
 在 $F (x)$ 导数存在的点x 上有：
   $F^{'} (x) = p (x)$ 
  
常见分布 
均匀分布——U(a,b) 
密度函数 
 $\begin{cases} \frac{1}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 0 & 其他 \end{cases}$  
分布函数 
 $\begin{cases} 0 & x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 1 & x > b \end{cases}$  
期望 
 $\int_{- \infty } ^ {\infty} x p(x) d x = \int_a^b x \cdot \frac{1}{b -a}dx = \frac{1}{b -a} \frac{x^2}{2}|_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2 (b -a)} = \frac{a + b}{2}$  
方差 
 $E(X^2) = \int_a^b \frac{x^2}{b -a}dx \\ = \frac{1}{b -a} \frac{x^3}{3}|_a^b \\ = \frac{1}{3}(b^2 + ab + a^2)$  
故:
  $\frac{(b-a)^2}{12}$  
指数分布——  $Exp(\lambda)$  
密度函数 
 $\begin{cases} \lambda e ^{- \lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$  
分布函数 
 $\begin{cases} 1 - e ^{- \lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$  
期望 
 $\int_{- \infty } ^ {\infty} x p(x) d x = \int_0^{\infty} \lambda x e ^ {- \lambda x}dx = \frac{1}{\lambda}$  
方差 
 $\frac{1}{\lambda ^ 2}$  
推导 见伽马分布。 
柯西分布 
密度函数 
 $\frac{1}{\pi (1 + x^2)}$  
数学期望不存在 
正态分布—— $N(\mu, \sigma ^ 2)$  
密度函数 
 $\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} \qquad - \infty < x < \infty$  
分布函数 
 $\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{- \infty}^{x} e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} dx \qquad - \infty < x < \infty$  
期望 
 $\mu$ . 
推导 
 $\frac{x - \mu}{\sigma},\\ E(X) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{- \infty}^{\infty} x e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} dx \\ =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{- \infty}^{\infty} (\sigma z + \mu) e ^ {- \frac{z ^ 2}{2}} dz \\ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} [\sigma \int _{- \infty}^{\infty} z e ^ {- \frac{x ^ 2}{2}}dz + \mu \int _{- \infty}^{\infty} e ^ {- \frac{x ^ 2}{2}}dz] \\ = 0 + \mu = \mu$  
方差 
 $E(X))^2 \\ = E(X - \mu) ^ 2 \\ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \sigma \int _{- \infty}^{\infty} (x - \mu) ^ 2 e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} dx \\ \overset{u = \frac{x - \mu}{\sigma}}{=} \frac{\sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}}\int _{- \infty}^{\infty} u ^2 e ^ {- \frac{u ^ 2}{2}} d u \\ = \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}}\int _{0}^{\infty} u ^2 e ^ {- \frac{u ^ 2}{2}} d u \\ \overset{y = \frac{u^2}{2}}{=} \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{2} \int _{0}^{\infty} y ^{\frac{1}{2}} e ^ {- y} d y \\ = \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{2} \Gamma (\frac{3}{2}) = \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}} \frac{\sqrt{2 \pi}}{2} = \sigma ^2$  
标准正态分布——N(0,1） 
密度函数 
 $\phi(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e ^ {- \frac{ u ^ 2}{2}} \qquad - \infty < u < \infty$  
分布函数 
 $\Phi(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int _{- \infty}^{u} e ^ {- \frac{ x ^ 2}{2}}dx \qquad - \infty < u < \infty$  
对任意实数u，有： 
 $\Phi (- u) = 1 - \Phi(u)$  
当 $\sim N(\mu, \sigma^2)$ 时， $\frac{X - \mu}{\sigma}$ 是标准正态变量，即 $\sim N(0,1)$ . 
伽玛分布——  $Ga(\alpha, \lambda)$  
伽玛函数 
含参数 $\alpha$ 的积分;
  $\Gamma (\alpha) = \int_0^{\infty} x^{\alpha - 1}e^{- x}dx \qquad \alpha > 0$ 
 性质： 
 $\Gamma(1) = 1, \Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ 
递推公式： $\Gamma (\alpha + 1) = \alpha \Gamma (\alpha)$ .特别对于n， $\Gamma (n + 1) = n!$ 
 $\int _0 ^{\infty} x ^ {\alpha - 1} e ^ {-\lambda x} d x = \frac {\Gamma (\alpha)}{\lambda ^ {\alpha}}$  
密度函数 
 $\begin{cases} \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} x ^ {\alpha - 1} e ^ {- \lambda x} & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}$  
简记为;
  $\frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} x ^ {\alpha - 1} e ^ {- \lambda x} \qquad x > 0$ 
  $\alpha = 1$ 的时候伽马分布就是指数分布，密度函数
  $\lambda e ^{- \lambda x} \qquad x > 0$ 
  $\alpha = \frac{n}{2}, \lambda = \frac{1}{2}$ 时伽马分布为卡方分布。 
期望 
 $\frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \int_0 ^{\infty} x ^ {\alpha} e ^ {- \lambda x} d x = \frac{\Gamma (\alpha + 1)}{\Gamma (\alpha)} \frac{1}{\lambda} = \frac{\alpha}{\lambda}$  
方差 
 $E(X^2) = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \int_0 ^{\infty} x^2 \cdot x ^ {\alpha} e ^ {- \lambda x} d x \\ = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \frac{\Gamma (\alpha + 2)}{\lambda ^ {\alpha + 2}} \\ = \frac{\alpha(\alpha +1)}{\lambda ^2}$  
自由度为n的 $\chi ^2$ 分布—— $\chi ^2 (n)$  
即伽玛分布 $Ga(\frac{n}{2}, \frac{1}{2})$ , 
密度函数 
 $\frac{1}{\Gamma (\frac{n}{2}) 2 ^{\frac{n}{2}}} x ^ {\frac{n}{2} -1} e ^{- \frac{x}{2}} \qquad x > 0$

常用二维连续型随机变量的分布及其基本数字特征

1. 二维均匀分布

2. 二维正态分布【(ξ,ŋ) ~ N(μ1,σ1,μ2,σ2,)】

常用一维离散型随机变量的各种分布及其数字特征

目录

1. 两点分布

2. 二项分布/伯努利分布 【X~B(n, p)】

3. 泊松分布【ξ ~ P(λ)】

4. 几何分布【ξ ~ Ge§】

5. 超几何分布 【ξ ~ H(n, M , N)】

6. 负二项分布

概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布

概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布

文章目录

一.多维随机变量

定义：

二.二维随机变量及其分布函数

1.联合分布函数

①定义

②性质

(1) F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)对x和y都是单调不减的，即：

(2)连续性

(3）

解释

(4）

三.二维离散型随机变量

1.联合分布列

①定义

②性质

2.分布函数

3.边缘分布列

从分布函数角度理解边缘分布列：

四.二维连续型随机变量

1.联合概率密度

①定义

②性质

2.边缘概率密度

从分布函数角度理解:

3.均匀分布

4.正态分布

五.条件分布

1.离散型随机变量

2.连续型随机变量

六.随机变量的独立性

1.定义

2.判断方法

（1）联合分布函数=边缘分布函数的乘积

（2）离散型：联合分布列=边缘分布列的乘积

（3）连续型：联合概率密度=边缘概率密度的乘积

3.定理

七.二维随机变量函数的分布

1.离散型随机变量函数的分布： Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

一些结论

2. max ⁡ { X , Y } \max\{X,Y\} max{X,Y}和 min ⁡ { X , Y } \min\{X,Y\} min{X,Y}的分布

推广

3.连续型随机变量函数的分布: Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

分布函数法：

4.瑞利分布

一维随机变量的常见分布、期望、方差及其性质与推导过程

文章目录

必须知道的概率论知识

一维变量

离散随机变量

def

常见分布

几何分布

期望

方差

二项分布——b(n,p)

期望

方差

泊松分布—— P ( λ ) P(\lambda) P(λ)

期望

方差

超几何分布——h(n,N,M)

期望

方差

连续型随机变量

def

常见分布

2. 二维正态分布【(ξ,ŋ) ~ N(μ₁,σ₁,μ₂,σ₂,)】

2. 二项分布/伯努利分布【X~B(n, p)】

5. 超几何分布【ξ ~ H(n, M , N)】

(1) $F (x, y)$ 对x和y都是单调不减的，即：

1.离散型随机变量函数的分布： $Z = X + Y$

2. $max\{X,Y\}$ 和 $min\{X,Y\}$ 的分布

3.连续型随机变量函数的分布: $Z = X + Y$

泊松分布—— $P(\lambda)$

指数分布—— $Exp(\lambda)$

正态分布—— $N(\mu, \sigma ^ 2)$

伽玛分布—— $Ga(\alpha, \lambda)$

自由度为n的 $\chi ^2$ 分布—— $\chi ^2 (n)$