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  • 二维随机变量 联合分布函数 定义 性质 边缘分布函数 联合密度 边缘密度 期望 方差

    1. 二维均匀分布

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    2. 二维正态分布【(ξ,ŋ) ~ N(μ1122,)】

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    性质:

    1. 相关系数为0 <=> 两个随即变量相互独立

    不相关 == 相互独立

    展开全文
  • 数学期望离散型随机变量的数学期望1. 两点分布2. 项分布3. 泊松分布4. 几何分布5. 超几何分布6. 其他连续随机变量的数学期望1. 均匀分布2. 指数分布3. 正态分布 离散型随机变量的数学期望 1. 两点分布 2. 项...

    1. 两点分布

    • 定义: 实验的结果只有两种情况,即随机变量只有两个值,则称随机变量ξ服从两点分布。

    • 分布律
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      -p:表示实验成功的概率。

    • 分布函数

    • 概率密度函数

    • 期望: E(ξ) = p

    • 方差: D(ξ) = p(1-p)

    2. 二项分布/伯努利分布 【X~B(n, p)】

    • 定义: n个相互独立的两点分布的组合,具体分布律如下:
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      (ⅰ)当n为1时,即为两点分布。
      (ⅱ)当n趋于无穷大时,即为泊松分布。

    • 分布函数:

    • 概率密度函数:

    • 期望: E(ξ) = np

    • 方差: D(ξ) = np(1-p)

    ✈二项分布最大值问题。

    3. 泊松分布【ξ ~ P(λ)】

    • 定义:
      在这里插入图片描述
      
      -λ:(一次实验中,实验成功的概率pn )× (总的试验次数n)

    • 分布函数

    • 概率密度函数

    • 期望: E(ξ) = λ

    • 方差: D(ξ) = λ

    泊松定理

    4. 几何分布【ξ ~ Ge§】

    • 分布函数
    • 概率密度函数
    • 期望: E(ξ) = 1/p
    • 方差: D(ξ) = (1-p) / p2

    几何分布的无记忆性

    5. 超几何分布 【ξ ~ H(n, M , N)】

    • 分布函数
    • 概率密度函数
    • 期望
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    • 方差
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      超几何分布的二项分布近似:
      当n<<N时,

    6. 负二项分布

    期望
    在这里插入图片描述
    方差
    在这里插入图片描述

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  • 概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布 文章目录概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布一....二维连续型随机变量1.联合概率密度①定义②性质2.边缘概率密度==从分布函数角度理解:==3.均匀分布4.正态分布五.条件

    概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布

    一.多维随机变量

    定义:

    ​ 若 X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega) X1(ω),X2(ω),...Xn(ω)是样本空间 Ω \Omega Ω={ ω \omega ω}上的随机变量,则( X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega) X1(ω),X2(ω),...Xn(ω))构成 Ω \Omega Ω上的n维随机变量,简记为:
    X = ( X 1 , X 2 , . . . X n ) X=(X_1,X_2,...X_n) X=(X1,X2,...Xn)

    二.二维随机变量及其分布函数

    ​ 设E是一个随机试验,S={e}为其样本空间,设 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e) Y = Y ( e ) Y=Y(e) Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)叫做二维随机变量(或二位随机向量)

    1.联合分布函数

    ①定义

    ​ 设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量, x , y x,y x,y为任意实数,称二元函数 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\} F(x,y)=P{Xx,Yy} ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数,or X X X Y Y Y联合分布函数

    F ( x , y ) \\F(x,y) F(x,y)表示事件 { X ≤ x } \left\{X\leq x\right\} {Xx} { Y ≤ y } \left\{Y\leq y\right\} {Yy}同时发生的概率(其实就是把 P { ( X ⩽ x ) ⋂ ( Y ⩽ y ) } P\{(X\leqslant x)\bigcap(Y\leqslant y)\} P{(Xx)(Yy)}记成了 P { X ≤ x , Y ≤ y } P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\} P{Xx,Yy})

    ​ 为什么要研究联合分布呢?因为二位随机变量(X,Y)的性质不仅分别与X和Y有关,也与X与Y之间的相互关系有关,所以单独逐个研究X与Y是不够的,还需要将 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)作为整体进行研究

    ②性质

    (1) F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)对x和y都是单调不减的,即:

    ​ (Ⅰ)固定 x x x,当 y 1 < y 2 y_1<y_2 y1<y2时, F ( x , y 1 ) ⩽ F ( x , y 2 ) F(x,y_1)\leqslant F(x,y_2) F(x,y1)F(x,y2)

    ​ (Ⅱ)固定 y y y,当 x 1 < x 2 x_1<x_2 x1<x2时, F ( x 1 , y ) ⩽ F ( x 2 , y ) F(x_1,y)\leqslant F(x_2,y) F(x1,y)F(x2,y)

    (2)连续性

    F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 x x x右连续,即 F ( x , y ) = F ( x + 0 , y ) F(x,y)=F(x+0,y) F(x,y)=F(x+0,y)

    F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 y y y右连续,即 F ( x , y ) = F ( x , y + 0 ) F(x,y)=F(x,y+0) F(x,y)=F(x,y+0)

    (3)

    ​ 随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在矩形区域 ( x 1 , x 2 ] × ( y 1 , y 2 ] (x_1,x_2]×(y_1,y_2] (x1,x2]×(y1,y2]内的概率为
    P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\left\{x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2\right\}\\=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)

    解释

    ​ 若将二维随机变量(X,Y)看成平面上的随机点的坐标,那么 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) ( x , y ) (x,y) (x,y)处的函数值就是随机点 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在以点 ( x , y ) (x,y) (x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率,如图紫色区域,设 A ( x , y ) A(x,y) A(x,y)

    image-20210603202735718

    image-20210603203348658

    (4)

    0 ⩽ F ( x , y ) ⩽ 1 , 且 F ( − ∞ , y ) = F ( x , − ∞ ) = F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 0\leqslant F(x,y) \leqslant 1,且F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0,\quad F(+\infty,+\infty)=1 0F(x,y)1,F(,y)=F(x,)=F(,)=0,F(+,+)=1

    几何解释

    ​ 如(3)中图所示,无穷矩形的右面边界向左无限平移 ( x → − ∞ ) (x→-∞) (x),则“随机点(X,Y)落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件,所以其概率趋于0,即有 F ( − ∞ , y ) = 0 F(-∞,y)=0 F(y)=0

    ​ 当 x → ∞ , y → ∞ x→∞,y→∞ xy时,图中无穷矩形扩展到全平面,随机点(X,Y)落在其中这一事件趋于必然事件,故其概率趋于1,即 F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(+∞,+∞)=1 F(+,+)=1

    三.二维离散型随机变量

    1.联合分布列

    ①定义

    ​ 如果二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的所有可能取值是有限个或可数个,称(X,Y)为二维离散型随机变量, P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,... P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,...称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布列,or X X X Y Y Y的联合分布列(也可用表格表示)

    ②性质

    (1) p i j ⩾ 0 , i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij}\geqslant0,\quad i,j=1,2,... pij0,i,j=1,2,...

    (2) ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 \sum\limits^{\infty}_{i=1}\sum\limits^\infty_{j=1}p_{ij}=1 i=1j=1pij=1

    2.分布函数

    F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y P { X = x i , Y = y j } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y p i j F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}p_{ij} F(x,y)=P{Xx,Yy}=xixyjyP{X=xi,Y=yj}=xixyjypij

    3.边缘分布列

    ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二维离散型随机变量,分布列为
    P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,... P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,...
    (1)关于 X X X的边缘分布列为
    P { X = x i } = ∑ j p i j = p i . , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=\sum_jp_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,... P{X=xi}=jpij=pi.,i=1,2,...
    (2)关于 Y Y Y的边缘分布列为
    P { Y = y j } = ∑ i p i j = p . j , j = 1 , 2 , . . . P\{Y=y_j\}=\sum_ip_{ij}=p_{.j},\quad j=1,2,... P{Y=yj}=ipij=p.j,j=1,2,...

    注:(1)边缘分布列具有一维分布列的性质

    (2)联合分布列唯一决定边缘分布列

    从分布函数角度理解边缘分布列:

    ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)作为整体,具有分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y),而 X X X Y Y Y都是随机变量,各自也有分布函数,分别记为 F X ( x ) , F Y ( y ) F_X(x),F_Y(y) FX(x),FY(y),依次为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)关于 X X X和关于 Y Y Y边缘分布函数,边缘分布函数可以由 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)确定

    F X ( x ) = P { X ⩽ x } = P { X ⩽ x , Y < ∞ } = F ( x , ∞ ) F_X(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{X\leqslant x,Y< \infty\}=F(x,\infty) FX(x)=P{Xx}=P{Xx,Y<}=F(x,),即 F X ( x ) = F ( x , ∞ ) = ∑ x i ⩽ x ∑ j = 1 ∞ p i j F_X(x)=F(x,\infty)=\sum\limits_{x_i\leqslant x}\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij} FX(x)=F(x,)=xixj=1pij

    所以关于 X X X的边缘分布列也可以写为
    P { X = x i } = ∑ j = 1 ∞ p i j = p i . , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,... P{X=xi}=j=1pij=pi.,i=1,2,...
    Y Y Y同理

    四.二维连续型随机变量

    1.联合概率密度

    ①定义

    ​ 如果对于 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y),若存在非负函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),对于任意实数 x , y , x,y, x,y,有:
    F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x,y)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(u,v)dudv F(x,y)=xyf(u,v)dudv
    则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维连续型随机变量,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度,或称 X 与 Y X与Y XY的联合概率密度

    ②性质

    ​ (1) f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y)\geq 0 f(x,y)0

    ​ (2) ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 = F ( + ∞ , + ∞ ) \int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dxdy=1=F(+\infty,+\infty) ++f(x,y)dxdy=1=F(+,+)

    ​ (3)设G是xOy面上一区域,点 ( X , Y ) \\(X,Y) (X,Y)落入G内的概率为
    P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ ( x , y ) ∈ G f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈G\}=\iint\limits_{(x,y)∈G}f(x,y)dxdy P{(X,Y)G}=(x,y)Gf(x,y)dxdy

    2.边缘概率密度

    ​ 关于X的边缘概率密度: f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy fX(x)=+f(x,y)dy
    ​ 关于Y的边缘概率密度: f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x \\f_Y(y)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dx fY(y)=+f(x,y)dx

    从分布函数角度理解:

    F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y ] d x F_X(x)=F(x,+\infty)=\int^x_{-\infty}[\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy]dx FX(x)=F(x,+)=x[+f(x,y)dy]dx

    易看出,X的概率密度为中括号里的表达式,即: f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy fX(x)=+f(x,y)dy

    3.均匀分布

    ​ 设G是平面上的有界区域,其面积为SG,若二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为
    f ( x , y ) = { 1 S G , ( x , y ) ∈ G 0 , o t h e r w i s e f(x,y)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{S_G}, \qquad (x,y)∈G \\ 0,\quad \qquad otherwise\\ \end{array} \right. f(x,y)={SG1,(x,y)G0,otherwise
    则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)在G上服从均匀分布

    ​ 设 G ′ G' G是区域 G G G上的任一子区域,面积为 S G ′ S_{G'} SG,则 P { ( X , Y ) ∈ G ′ } = S G ′ S G P\{(X,Y)∈G'\}=\frac{S_{G'}}{S_G} P{(X,Y)G}=SGSG

    4.正态分布

    (也叫高斯分布)

    image-20210505151607594

    用python生成二维正态分布的概率密度示意图如图所示:

    二维正态分布概率密度图

    五.条件分布

    ​ 对于两个事件,可以讨论它们的条件概率;对于两个随机变量,则可以讨论它们的条件分布

    1.离散型随机变量

    随机变量 X X X在条件 Y = y j Y=y_j Y=yj下的条件分布列:
    P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}},\quad i=1,2,... P{X=xiY=yj}=P{Y=yj}P{X=xi,Y=yj},i=1,2,...
    随机变量 Y Y Y在条件 X = x i X=x_i X=xi下的条件分布列:
    P { Y = y j ∣ X = x i } = P { X = x i , Y = y j } P { X = x i } , j = 1 , 2 , . . . P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}},\quad j=1,2,... P{Y=yjX=xi}=P{X=xi}P{X=xi,Y=yj},j=1,2,...
    条件分布列也是分布列,满足分布列的性质

    2.连续型随机变量

    (1)在 Y = y Y=y Y=y条件下,

    X X X的条件概率密度
    f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y{(y)}} fXY(xy)=fY(y)f(x,y)
    X X X的条件分布函数
    F X ∣ Y ( x ∣ y ) = ∫ − ∞ x f X ∣ Y ( u ∣ y ) d u F_{X|Y}(x|y)=\int^x_{-\infty}f_{X|Y}(u|y)du FXY(xy)=xfXY(uy)du
    (2)在 X = x X=x X=x条件下,

    Y Y Y的条件概率密度
    f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X{(x)}} fYX(yx)=fX(x)f(x,y)
    Y Y Y的条件分布函数
    F Y ∣ X ( y ∣ x ) = ∫ − ∞ y f Y ∣ X ( v ∣ x ) d v F_{Y|X}(y|x)=\int^y_{-\infty}f_{Y|X}(v|x)dv FYX(yx)=yfYX(vx)dv

    六.随机变量的独立性

    ​ 随机变量的独立性可借助事件的独立性引出

    ​ 设 X , Y X,Y X,Y为两个随机变量,对于任意的实数 x , y , “ X ⩽ x " x,y,“X\leqslant x" x,y,Xx" “ Y ⩽ y " “Y\leqslant y" Yy"为两个事件,根据事件的独立性定义, “ X ⩽ x " , “ Y ⩽ y " “X\leqslant x",“Y\leqslant y" Xx",Yy"相互独立,相当于式
    P { X ⩽ x , Y ⩽ y } = P { X ⩽ x } P { Y ⩽ y } P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=P\{X \leqslant x\}P\{Y \leqslant y\} P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}
    成立,或写为
    F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)

    1.定义

    X ⩽ x X\leqslant x Xx“和“ Y ⩽ y Y\leqslant y Yy”相互独立
       ⟺    P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y }    ⟺    F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) \iff P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}\cdot P\{Y\leq y\} \iff F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}F(x,y)=FX(x)FY(y)

    2.判断方法

    (1)联合分布函数=边缘分布函数的乘积

    F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)

    (2)离散型:联合分布列=边缘分布列的乘积

    P { X = x i , Y = y j } = P { X = x i } ⋅ P { Y = y j } P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}\cdot P\{Y=y_j\} P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}

    (3)连续型:联合概率密度=边缘概率密度的乘积

    f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y)

    3.定理

    ​ 设随机变量 X X X Y Y Y相互独立, g ( x ) , h ( y ) g(x),h(y) g(x),h(y)是连续函数,则随机变量函数 g ( x ) , h ( y ) g(x),h(y) g(x),h(y)也相互独立

    七.二维随机变量函数的分布

    1.离散型随机变量函数的分布: Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

    ​ 设 X , Y X,Y X,Y是离散型随机变量,则随机变量 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y的分布列为
    P { X + Y = m } = ∑ i P { X = i , Y = m − i } P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i,Y=m-i\} P{X+Y=m}=iP{X=i,Y=mi}
    ​ 若 X , Y X,Y X,Y相互独立,则
    P { X + Y = m } = ∑ i P { X = i } P { Y = m − i } P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i\}P\{Y=m-i\} P{X+Y=m}=iP{X=i}P{Y=mi}

    证明:

    ​ 事件 X + Y = m X+Y=m X+Y=m是互不相容事件 A k = { X = k , Y = m − k } A_k=\{X=k,Y=m-k\} Ak={X=k,Y=mk}的和事件,而 P ( A k ) = P { X = k , Y = m − k } P(A_k)=P\{X=k,Y=m-k\} P(Ak)=P{X=k,Y=mk},由此可得
    P { X + Y = m } = ∑ P ( A k ) = ∑ k + l = m P { X = k , Y = l } P\{X+Y=m\}=\sum P(A_k)=\sum_{k+l=m}P\{X=k,Y=l\} P{X+Y=m}=P(Ak)=k+l=mP{X=k,Y=l}

    一些结论

    ​ ①若 X , Y X,Y X,Y相互独立, X ∼ P ( λ 1 ) , Y ∼ P ( λ 2 ) X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2) XP(λ1),YP(λ2),则 X + Y ∼ P ( λ 1 + λ 2 ) X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2) X+YP(λ1+λ2)

    ​ 两个相互独立的泊松变量之和仍是一个泊松变量,且其参数等于相应的随机变量分布参数的和

    ​ ②若 X 1 , X 2 X_1,X_2 X1,X2相互独立, X 1 ∼ B ( n 1 , p ) , X 2 ∼ B ( n 2 , p ) X_1\sim B(n_1,p),X_2\sim B(n_2,p) X1B(n1,p),X2B(n2,p),则 X = X 1 + X 2 ∼ B ( n 1 + n 2 , p ) X=X_1+X_2\sim B(n_1+n_2,p) X=X1+X2B(n1+n2,p)

    2. max ⁡ { X , Y } \max\{X,Y\} max{X,Y} min ⁡ { X , Y } \min\{X,Y\} min{X,Y}的分布

    ​ 设 X , Y X,Y X,Y相互独立,分布函数分别为 F X ( x ) F_X(x) FX(x) F Y ( y ) F_Y(y) FY(y),则:

    Z = max ⁡ { X , Y } Z=\max\{X,Y\} Z=max{X,Y}的分布函数为:
    F max ⁡ ( z ) = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_{\max}(z)=F_X(z)\cdot F_Y(z) Fmax(z)=FX(z)FY(z)

    ​ 证明:
    F m a x ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { m a x { X , Y } ⩽ z } F_{max}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{max\{X,Y\}\leqslant z\} Fmax(z)=P{Zz}=P{max{X,Y}z}
    ​ 又因为 Z ⩽ z Z\leqslant z Zz 等价于 X , Y X,Y X,Y ⩽ z \leqslant z z,所以
    F m a x ( z ) = P { X ⩽ z , Y ⩽ z } = P { X ⩽ z } P { Y ⩽ z } = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_{max}(z)=P\{X\leqslant z,Y\leqslant z\}=P\{X\leqslant z\}P\{Y\leqslant z\}=F_X(z)\cdot F_Y(z) Fmax(z)=P{Xz,Yz}=P{Xz}P{Yz}=FX(z)FY(z)

    Z = min ⁡ { X , Y } Z=\min\{X,Y\} Z=min{X,Y}的分布函数为:
    F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_{\min}(z)=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)] Fmin(z)=1[1FX(z)][1FY(z)]

    ​ 证明:
    F m i n ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { m i n { X , Y } ⩽ z } = 1 − P { m i n { X , Y } > z } F_{min}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{min\{X,Y\}\leqslant z\}=1-P\{min\{X,Y\}> z\} Fmin(z)=P{Zz}=P{min{X,Y}z}=1P{min{X,Y}>z}
    ​ 又因为 Z > z Z>z Z>z等价于 X , Y X,Y X,Y > z > z >z,所以
    F m a x ( z ) = 1 − P { X > z , Y > z } = 1 − P { X > z } P { Y > z } = 1 − [ 1 − P { X ⩽ z } ] [ 1 − P { Y ⩽ z } ] = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_{max}(z)=1-P\{X> z,Y> z\}=1-P\{X> z\}P\{Y> z\}\\=1-[1-P\{X\leqslant z\}][1-P\{Y\leqslant z\}]\\=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)] Fmax(z)=1P{X>z,Y>z}=1P{X>z}P{Y>z}=1[1P{Xz}][1P{Yz}]=1[1FX(z)][1FY(z)]

    推广

    ​ 设随机变量 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立,分布函数分别为 F X 1 ( x 1 ) F_{X_1}(x_1) FX1(x1) F X 2 ( x 2 ) , . . . , F X n ( x n ) F_{X_2}(x_2),...,F_{X_n}(x_n) FX2(x2),...,FXn(xn),则:

    max ⁡ { X 1 , X 2 , . . . , X n } \max\{X_1,X_2,...,X_n\} max{X1,X2,...,Xn}的分布函数为:
    F max ⁡ ( z ) = F X 1 ( z ) ⋅ F X 2 ( z ) . . . F X n ( z ) F_{\max}(z)=F_{X_1}(z)\cdot F_{X_2}(z)...F_{X_n}(z) Fmax(z)=FX1(z)FX2(z)...FXn(z)
    min ⁡ { X 1 , X 2 , . . . , X n } \min\{X_1,X_2,...,X_n\} min{X1,X2,...,Xn}的分布函数为:
    F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F X 1 ( z ) ] ⋅ [ 1 − F X 2 ( z ) ] . . . [ 1 − F X n ( z ) ] F_{\min}(z)=1-[1-F_{X_1}(z)]\cdot [1-F_{X_2}(z)]...[1-F_{X_n}(z)] Fmin(z)=1[1FX1(z)][1FX2(z)]...[1FXn(z)]
    X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立,具有相同的分布函数 F ( z ) F(z) F(z),则
    F max ⁡ ( z ) = [ F ( z ) ] n , F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F ( z ) ] n F_{\max}(z)=[F(z)]^n,\qquad F_{\min}(z)=1-[1-F(z)]^n Fmax(z)=[F(z)]nFmin(z)=1[1F(z)]n

    3.连续型随机变量函数的分布: Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

    分布函数法:

    设二维连续型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),求 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y)的概率密度
    F Z ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { g ( X , Y ) ⩽ z } = ∬ g ( x , y ) ⩽ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{g(X,Y)\leqslant z\}=\iint\limits_{g(x,y)\leqslant z}f(x,y)dxdy FZ(z)=P{Zz}=P{g(X,Y)z}=g(x,y)zf(x,y)dxdy
    f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) f_Z(z)=F'_Z(z) fZ(z)=FZ(z)

    4.瑞利分布

    瑞利分布:当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差、均值为0的正态分布时,这个向量的模呈瑞利分布

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  • 文章目录必须知道的概率论知识一维变量离散随机变量def常见分布几何分布期望方差二项分布——b(n,p)期望方差泊松分布—— P(λ)P(\lambda)P(λ)期望方差超几何分布——h(n,N,M)期望方差连续型随机变量def常见分布...

    必须知道的概率论知识

    • 常见分布
    • 期望
    • 方差
    • 性质

    一维变量

    离散随机变量

    def

    离散随机变量X的分布列
    P = ( X = x i ) = p ( x i ) i = 1 , 2 , . . . , n P = (X = x_i) = p(x_i) \qquad i = 1,2,...,n P=(X=xi)=p(xi)i=1,2,...,n
    则X的数学期望为: ∑ i = 1 n x i p ( x i ) \sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i) i=1nxip(xi),记为;
    E ( X ) = ∑ i = 1 n x i p ( x i ) E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i) E(X)=i=1nxip(xi)
    若X的取值可列,且无穷级数 ∑ i = 1 ∞ x i p ( x i ) \sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i) i=1xip(xi)收敛,则 E ( X ) = ∑ i = 1 ∞ x i p ( x i ) E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i) E(X)=i=1xip(xi).

    常见分布

    几何分布

    p ( x ) = P ( X = x ) = p ( 1 − p ) x − 1 , x = 1 , 2 , . . . . p(x) = P(X = x) = p(1 - p)^{x - 1},x = 1,2,.... p(x)=P(X=x)=p(1p)x1,x=1,2,.....

    期望

    E ( X ) = 1 p E(X) = \frac{1}{p} E(X)=p1.

    • 推导

    q = 1 − p q = 1 -p q=1p,则有;
    E ( X ) = ∑ x = 1 ∞ x p q x − 1 = p ∑ x = 1 ∞ x q x − 1 = p ∑ x = 1 ∞ d ( q x ) d q = p d d q ∑ x = 0 ∞ q x = p d d q ( 1 1 − q ) = 1 p E(X) = \sum_{x=1}^{\infty} x p q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} x q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} \frac{d(q^x)}{dq} \\ = p \frac{d}{dq} \sum_{x=0}^{\infty} q^x \\ = p \frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q}) = \frac{1}{p} E(X)=x=1xpqx1=px=1xqx1=px=1dqd(qx)=pdqdx=0qx=pdqd(1q1)=p1

    方差

    V a r ( X ) = 1 − p p 2 Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} Var(X)=p21p

    • 推导

    E ( X 2 ) = ∑ x = 1 ∞ x 2 p q x − 1 = p ∑ x = 1 ∞ x 2 q x − 1 = p ∑ x = 1 ∞ x d ( q x ) d q = p d d q ∑ x = 0 ∞ x q x E(X^2) =\sum_{x=1}^{\infty} x^2 p q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} x^2 q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} x \frac{d(q^x)}{dq} \\ = p \frac{d}{dq} \sum_{x=0}^{\infty} x q^x E(X2)=x=1x2pqx1=px=1x2qx1=px=1xdqd(qx)=pdqdx=0xqx

    由无穷级数的理论可知 ∑ x = 0 ∞ x q x = q ( 1 − q ) 2 \sum_{x=0}^{\infty} x q^x = \frac{q}{(1-q)^2} x=0xqx=(1q)2q

    从而:

    接上式: E ( X 2 ) = p d d q ( q ( 1 − q ) 2 ) = 2 p − p 2 p 3 = 2 − p p 2 E(X^2) = p \frac{d}{dq} (\frac{q}{(1-q)^2)} = \frac{2p-p^2}{p^3} = \frac{2-p}{p^2} E(X2)=pdqd((1q)2)q=p32pp2=p22p.从而得到方差。

    二项分布——b(n,p)

    p ( x ) = P ( X = x ) = ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x x = 0 , 1 , . . . . , n p(x) = P(X = x) = \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1 - p)^{n -x} \qquad x = 0,1,....,n p(x)=P(X=x)=(nx)px(1p)nxx=0,1,....,n

    n=1,时的二项分布b(1,p),又称为两点分布或0-1分布。

    期望

    E ( X ) = n p E(X) = np E(X)=np

    • 推导

    E ( X ) = ∑ x = 0 n x ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x = n p ∑ x = 0 n ( n − 1 x − 1 ) p x − 1 ( 1 − p ) n − x = n p ∑ x = 0 n ( n − 1 x ) p x ( 1 − p ) n − 1 − x = n p [ p + ( 1 − p ) ] n − 1 = n p E(X) = \sum_{x = 0}^{n} x \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1 - p)^{n -x} \\ =np \sum_{x = 0}^{n} \begin{pmatrix} n - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} p^{x -1} (1 - p)^{n -x} \\ = np \sum_{x = 0}^{n} \begin{pmatrix} n - 1 \\ x \end{pmatrix} p^{x} (1 - p)^{n - 1 - x} \\ =np[p + (1 - p)]^{n -1} = np E(X)=x=0nx(nx)px(1p)nx=npx=0n(n1x1)px1(1p)nx=npx=0n(n1x)px(1p)n1x=np[p+(1p)]n1=np

    方差

    V a r ( X ) = n p ( 1 − p ) Var(X) = np(1-p) Var(X)=np(1p)

    • 推导

    E ( X 2 ) = ∑ x = 0 n x 2 ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x = ∑ x = 2 n x ( x − 1 ) ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x + ∑ x = 1 n x ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x = n ( n − 1 ) p 2 ∑ x = 2 n ( n − 2 x − 2 ) p x − 2 ( 1 − p ) n − x + n p = n ( n − 1 ) p 2 + n p = n 2 p 2 + n p ( 1 − p ) E(X^2) = \sum_{x = 0} ^ n x ^2 \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p ^ x (1-p)^{n-x} \\ = \sum_{x = 2} ^ n x (x-1) \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p ^ x (1-p)^{n-x} + \sum_{x = 1} ^ n x \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p ^ x (1-p)^{n-x} \\ = n (n-1) p^2 \sum_{x = 2} ^ n \begin{pmatrix} n-2 \\ x-2 \end{pmatrix} p^{x-2} (1-p)^{n-x} + np \\ = n(n-1) p^2 + np = n^2p^2 + np(1-p) E(X2)=x=0nx2(nx)px(1p)nx=x=2nx(x1)(nx)px(1p)nx+x=1nx(nx)px(1p)nx=n(n1)p2x=2n(n2x2)px2(1p)nx+np=n(n1)p2+np=n2p2+np(1p)

    故:
    V a r ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 = n p ( 1 − p ) Var(X) = E(X^2) - E(X)^2 = np (1-p) Var(X)=E(X2)E(X)2=np(1p)

    泊松分布—— P ( λ ) P(\lambda) P(λ)

    P ( X = x ) = λ x x ! e − λ x = 0 , 1 , . . . . λ > 0 P(X = x) = \frac{\lambda^x}{x!} e ^ {- \lambda} \qquad x = 0,1,.... \qquad \lambda > 0 P(X=x)=x!λxeλx=0,1,....λ>0

    期望

    E ( X ) = λ E(X) = \lambda E(X)=λ

    • 推导

    E ( X ) = ∑ x = 0 ∞ x ⋅ λ x x ! e − λ = λ e − λ ∑ x = 1 ∞ λ x − 1 ( x − 1 ) ! = λ E(X) = \sum_{x = 0}^{\infty} x \cdot \frac{\lambda^x}{x!} e ^ {- \lambda} = \lambda e ^{- \lambda} \sum_{x = 1}^{\infty} \frac{\lambda ^{x - 1}}{(x - 1)!} = \lambda E(X)=x=0xx!λxeλ=λeλx=1(x1)!λx1=λ

    方差

    V a r ( X ) = λ Var(X) = \lambda Var(X)=λ

    • 推导

    E ( X − λ ) 2 = E [ X 2 − 2 λ X + λ 2 ] = E ( X 2 ) − 2 λ E ( X ) + λ 2 E(X - \lambda)^2 = E[X^2 - 2\lambda X + \lambda ^2]= E(X^2) - 2 \lambda E(X) + \lambda ^2 E(Xλ)2=E[X22λX+λ2]=E(X2)2λE(X)+λ2


    E ( X 2 ) = ∑ x = 0 ∞ x 2 ⋅ λ x x ! e − λ = ∑ x = 1 ∞ x ⋅ λ x ( x − 1 ) ! e − λ = ∑ x = 1 ∞ [ ( x − 1 ) + 1 ] ⋅ λ x ( x − 1 ) ! e − λ = λ 2 e − λ ∑ x = 2 ∞ λ x − 2 ( x − 2 ) ! + λ e − λ ∑ x = 1 ∞ λ x − 1 ( x − 1 ) ! = λ 2 + λ E(X^2) = \sum_{x =0} ^ {\infty} x ^ 2 \cdot \frac{\lambda ^ x}{x!} e ^ {- \lambda} \\ = \sum_{x = 1} ^ {\infty} x \cdot \frac{\lambda ^ x}{(x-1)!} e ^ {- \lambda} \\ = \sum_{x = 1} ^ {\infty} [(x -1) + 1] \cdot \frac{\lambda ^ x}{(x-1)!} e ^ {- \lambda} \\ = \lambda ^2 e ^ {- \lambda} \sum_{x = 2} ^ {\infty} \frac{\lambda ^ {x - 2}}{(x-2)!} + \lambda e ^ {- \lambda} \sum_{x = 1} ^ {\infty} \frac{\lambda ^ {x -1}}{(x-1)!} \\ = \lambda ^2 + \lambda E(X2)=x=0x2x!λxeλ=x=1x(x1)!λxeλ=x=1[(x1)+1](x1)!λxeλ=λ2eλx=2(x2)!λx2+λeλx=1(x1)!λx1=λ2+λ
    故: E ( X − λ ) 2 = λ 2 + λ − 2 λ 2 + λ 2 = λ E(X - \lambda)^2 = \lambda ^2 + \lambda - 2 \lambda ^2 + \lambda ^2 = \lambda E(Xλ)2=λ2+λ2λ2+λ2=λ

    超几何分布——h(n,N,M)

    P ( X = x ) = ( M x ) ( N − M n − x ) ( N n ) x = 0 , 1 , … , r ,   r = m i n ( n , M ) P(X = x) = \frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \qquad x=0,1,\dots,r,\ r=min(n,M) P(X=x)=(Nn)(Mx)(NMnx)x=0,1,,r, r=min(n,M)

    期望

    E ( X ) = n M N E(X) = \frac{nM}{N} E(X)=NnM

    • 推导

    E ( X ) = ∑ x = 0 r x ( M x ) ( N − M n − x ) ( N n ) = n M N ∑ x = 1 r ( M − 1 x − 1 ) ( N − M n − x ) ( N − 1 n − 1 ) = n M N \begin{aligned} E(X) & = \sum_{x = 0}^{r} x \frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \\ & = \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}}\\ & = \frac{nM}{N} \end{aligned} E(X)=x=0rx(Nn)(Mx)(NMnx)=NnMx=1r(N1n1)(M1x1)(NMnx)=NnM

    方差

    V a r ( X ) = n M N ( 1 − M N ) ( N − n N − 1 ) Var(X) = \frac{nM}{N}(1-\frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1}) Var(X)=NnM(1NM)(N1Nn)

    • 推导

    E ( X 2 ) = ∑ x = 0 r x 2 ( M x ) ( N − M n − x ) ( N n ) = n M N ∑ x = 1 r x ( M − 1 x − 1 ) ( N − M n − x ) ( N − 1 n − 1 ) = n M N ∑ x = 1 r ( x − 1 ) ( M − 1 x − 1 ) ( N − M n − x ) ( N − 1 n − 1 ) + n M N ∑ x = 1 r ( M − 1 x − 1 ) ( N − M n − x ) ( N − 1 n − 1 ) = n M N ( M − 1 ) ∑ x = 1 r ( M − 2 x − 2 ) ( N − M n − x ) ( N − 1 n − 1 ) + n M N = n M N [ ( M − 1 ) ( n − 1 ) N − 1 + 1 ] \begin{aligned} E(X^2) & = \sum_{x = 0}^{r} x^2 \frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \\ & = \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} x \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}}\\ & = \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} (x -1) \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}} + \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}} \\ & = \frac{nM}{N} (M-1) \sum_{x = 1}^{r} \frac{\begin{pmatrix} M - 2 \\ x - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}} + \frac{nM}{N} \\ & = \frac{nM}{N}[\frac{(M-1)(n-1)}{N-1} + 1] \end{aligned} E(X2)=x=0rx2(Nn)(Mx)(NMnx)=NnMx=1rx(N1n1)(M1x1)(NMnx)=NnMx=1r(x1)(N1n1)(M1x1)(NMnx)+NnMx=1r(N1n1)(M1x1)(NMnx)=NnM(M1)x=1r(N1n1)(M2x2)(NMnx)+NnM=NnM[N1(M1)(n1)+1]

    再由方差公式即可求得。

    连续型随机变量

    def

    p ( x ) p(x) p(x)是实数轴上的一个函数,满足:

    (1) p ( x ) ≥ 0 p(x) \geq 0 p(x)0.(非负)

    (2) ∫ − ∞ ∞ = 1 \int_{- \infty}^{\infty} = 1 =1

    则称 p ( x ) p(x) p(x)概率密度函数

    期望 E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x E(X) = \int_{- \infty } ^ {\infty} x p(x) d x E(X)=xp(x)dx.

    分布函数:

    F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ − ∞ x p ( x ) d x F(x) = P(X \leq x) = \int_{- \infty}^{x} p(x)dx F(x)=P(Xx)=xp(x)dx.

    分布函数的性质

    1. F ( x ) F(x) F(x)是直线上的连续函数

    2. P ( X = x ) = 0 P(X = x) = 0 P(X=x)=0

    3. P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a ≤ X < b ) = P ( a < X ≤ b ) = P ( a < X < b ) P(a \leq X \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X \leq b) = P(a < X < b) P(aXb)=P(aX<b)=P(a<Xb)=P(a<X<b)

    4. F ( x ) F(x) F(x)导数存在的点x 上有:

      F ′ ( x ) = p ( x ) F'(x) = p(x) F(x)=p(x)

    常见分布

    均匀分布——U(a,b)
    密度函数

    p ( x ) = { 1 b − a a ≤ x ≤ b 0 其 他 p(x)= \begin{cases} \frac{1}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 0 & 其他 \end{cases} p(x)={ba10axb

    分布函数

    F ( x ) = { 0 x < a x − a b − a a ≤ x ≤ b 1 x > b F(x)= \begin{cases} 0 & x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 1 & x > b \end{cases} F(x)=0baxa1x<aaxbx>b

    期望

    E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x = ∫ a b x ⋅ 1 b − a d x = 1 b − a x 2 2 ∣ a b = b 2 − a 2 2 ( b − a ) = a + b 2 E(X) = \int_{- \infty } ^ {\infty} x p(x) d x = \int_a^b x \cdot \frac{1}{b -a}dx = \frac{1}{b -a} \frac{x^2}{2}|_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2 (b -a)} = \frac{a + b}{2} E(X)=xp(x)dx=abxba1dx=ba12x2ab=2(ba)b2a2=2a+b

    方差

    E ( X 2 ) = ∫ a b x 2 b − a d x = 1 b − a x 3 3 ∣ a b = 1 3 ( b 2 + a b + a 2 ) E(X^2) = \int_a^b \frac{x^2}{b -a}dx \\ = \frac{1}{b -a} \frac{x^3}{3}|_a^b \\ = \frac{1}{3}(b^2 + ab + a^2) E(X2)=abbax2dx=ba13x3ab=31(b2+ab+a2)

    故:
    V a r ( X ) = ( b − a ) 2 12 Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12} Var(X)=12(ba)2

    指数分布—— E x p ( λ ) Exp(\lambda) Exp(λ)
    密度函数

    p ( x ) = { λ e − λ x x ≥ 0 0 x < 0 p(x)= \begin{cases} \lambda e ^{- \lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} p(x)={λeλx0x0x<0

    分布函数

    F ( x ) = { 1 − e − λ x x ≥ 0 0 x < 0 F(x)= \begin{cases} 1 - e ^{- \lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} F(x)={1eλx0x0x<0

    期望

    E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x = ∫ 0 ∞ λ x e − λ x d x = 1 λ E(X) = \int_{- \infty } ^ {\infty} x p(x) d x = \int_0^{\infty} \lambda x e ^ {- \lambda x}dx = \frac{1}{\lambda} E(X)=xp(x)dx=0λxeλxdx=λ1

    方差

    V a r ( X ) = 1 λ 2 Var(X) = \frac{1}{\lambda ^ 2} Var(X)=λ21

    推导 见伽马分布

    柯西分布
    密度函数

    p ( x ) = 1 π ( 1 + x 2 ) p(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)} p(x)=π(1+x2)1

    数学期望不存在

    正态分布—— N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma ^ 2) N(μ,σ2)
    密度函数

    p ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 − ∞ < x < ∞ p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} \qquad - \infty < x < \infty p(x)=2π σ1e2σ2(xμ)2<x<

    分布函数

    F ( x ) = 1 2 π σ ∫ − ∞ x e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x − ∞ < x < ∞ F(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{- \infty}^{x} e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} dx \qquad - \infty < x < \infty F(x)=2π σ1xe2σ2(xμ)2dx<x<

    期望

    E ( X ) = μ E(X) = \mu E(X)=μ.

    • 推导

    令 z = x − μ σ , E ( X ) = 1 2 π σ ∫ − ∞ ∞ x e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = 1 2 π σ ∫ − ∞ ∞ ( σ z + μ ) e − z 2 2 d z = 1 2 π [ σ ∫ − ∞ ∞ z e − x 2 2 d z + μ ∫ − ∞ ∞ e − x 2 2 d z ] = 0 + μ = μ 令 z = \frac{x - \mu}{\sigma},\\ E(X) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{- \infty}^{\infty} x e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} dx \\ =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{- \infty}^{\infty} (\sigma z + \mu) e ^ {- \frac{z ^ 2}{2}} dz \\ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} [\sigma \int _{- \infty}^{\infty} z e ^ {- \frac{x ^ 2}{2}}dz + \mu \int _{- \infty}^{\infty} e ^ {- \frac{x ^ 2}{2}}dz] \\ = 0 + \mu = \mu z=σxμ,E(X)=2π σ1xe2σ2(xμ)2dx=2π σ1(σz+μ)e2z2dz=2π 1[σze2x2dz+μe2x2dz]=0+μ=μ

    方差

    V a r ( X ) = E ( X − E ( X ) ) 2 = E ( X − μ ) 2 = 1 2 π σ ∫ − ∞ ∞ ( x − μ ) 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = u = x − μ σ σ 2 2 π ∫ − ∞ ∞ u 2 e − u 2 2 d u = 2 σ 2 2 π ∫ 0 ∞ u 2 e − u 2 2 d u = y = u 2 2 2 σ 2 2 π 2 ∫ 0 ∞ y 1 2 e − y d y = 2 σ 2 2 π 2 Γ ( 3 2 ) = 2 σ 2 2 π 2 π 2 = σ 2 Var(X) = E(X - E(X))^2 \\ = E(X - \mu) ^ 2 \\ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \sigma \int _{- \infty}^{\infty} (x - \mu) ^ 2 e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} dx \\ \overset{u = \frac{x - \mu}{\sigma}}{=} \frac{\sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}}\int _{- \infty}^{\infty} u ^2 e ^ {- \frac{u ^ 2}{2}} d u \\ = \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}}\int _{0}^{\infty} u ^2 e ^ {- \frac{u ^ 2}{2}} d u \\ \overset{y = \frac{u^2}{2}}{=} \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{2} \int _{0}^{\infty} y ^{\frac{1}{2}} e ^ {- y} d y \\ = \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{2} \Gamma (\frac{3}{2}) = \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}} \frac{\sqrt{2 \pi}}{2} = \sigma ^2 Var(X)=E(XE(X))2=E(Xμ)2=2π 1σ(xμ)2e2σ2(xμ)2dx=u=σxμ2π σ2u2e2u2du=2π 2σ20u2e2u2du=y=2u22π 2σ22 0y21eydy=2π 2σ22 Γ(23)=2π 2σ222π =σ2

    标准正态分布——N(0,1)
    密度函数

    ϕ ( μ ) = 1 2 π e − u 2 2 − ∞ < u < ∞ \phi(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e ^ {- \frac{ u ^ 2}{2}} \qquad - \infty < u < \infty ϕ(μ)=2π 1e2u2<u<

    分布函数

    Φ ( μ ) = 1 2 π ∫ − ∞ u e − x 2 2 d x − ∞ < u < ∞ \Phi(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int _{- \infty}^{u} e ^ {- \frac{ x ^ 2}{2}}dx \qquad - \infty < u < \infty Φ(μ)=2π 1ue2x2dx<u<

    • 对任意实数u,有:

    Φ ( − u ) = 1 − Φ ( u ) \Phi (- u) = 1 - \Phi(u) Φ(u)=1Φ(u)

    • X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu, \sigma^2) XN(μ,σ2)时, U = X − μ σ U = \frac{X - \mu}{\sigma} U=σXμ是标准正态变量,即 U ∼ N ( 0 , 1 ) U \sim N(0,1) UN(0,1).
    伽玛分布—— G a ( α , λ ) Ga(\alpha, \lambda) Ga(α,λ)
    伽玛函数

    含参数 α \alpha α的积分;
    Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x α > 0 \Gamma (\alpha) = \int_0^{\infty} x^{\alpha - 1}e^{- x}dx \qquad \alpha > 0 Γ(α)=0xα1exdxα>0
    性质

    1. Γ ( 1 ) = 1 , Γ ( 1 2 ) = π \Gamma(1) = 1, \Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} Γ(1)=1,Γ(21)=π
    2. 递推公式: Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) \Gamma (\alpha + 1) = \alpha \Gamma (\alpha) Γ(α+1)=αΓ(α).特别对于n, Γ ( n + 1 ) = n ! \Gamma (n + 1) = n! Γ(n+1)=n!
    3. ∫ 0 ∞ x α − 1 e − λ x d x = Γ ( α ) λ α \int _0 ^{\infty} x ^ {\alpha - 1} e ^ {-\lambda x} d x = \frac {\Gamma (\alpha)}{\lambda ^ {\alpha}} 0xα1eλxdx=λαΓ(α)
    密度函数

    p ( x ) = { λ α Γ ( α ) x α − 1 e − λ x x > 0 0 x ≤ 0 p(x) = \begin{cases} \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} x ^ {\alpha - 1} e ^ {- \lambda x} & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases} p(x)={Γ(α)λαxα1eλx0x>0x0

    简记为;
    p ( x ) = λ α Γ ( α ) x α − 1 e − λ x x > 0 p(x) = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} x ^ {\alpha - 1} e ^ {- \lambda x} \qquad x > 0 p(x)=Γ(α)λαxα1eλxx>0
    α = 1 \alpha = 1 α=1的时候伽马分布就是指数分布,密度函数
    p ( x ) = λ e − λ x x > 0 p(x) = \lambda e ^{- \lambda x} \qquad x > 0 p(x)=λeλxx>0
    α = n 2 , λ = 1 2 \alpha = \frac{n}{2}, \lambda = \frac{1}{2} α=2n,λ=21时伽马分布为卡方分布

    期望

    E ( X ) = λ α Γ ( α ) ∫ 0 ∞ x α e − λ x d x = Γ ( α + 1 ) Γ ( α ) 1 λ = α λ E(X) = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \int_0 ^{\infty} x ^ {\alpha} e ^ {- \lambda x} d x = \frac{\Gamma (\alpha + 1)}{\Gamma (\alpha)} \frac{1}{\lambda} = \frac{\alpha}{\lambda} E(X)=Γ(α)λα0xαeλxdx=Γ(α)Γ(α+1)λ1=λα

    方差

    E ( X 2 ) = λ α Γ ( α ) ∫ 0 ∞ x 2 ⋅ x α e − λ x d x = λ α Γ ( α ) Γ ( α + 2 ) λ α + 2 = α ( α + 1 ) λ 2 E(X^2) = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \int_0 ^{\infty} x^2 \cdot x ^ {\alpha} e ^ {- \lambda x} d x \\ = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \frac{\Gamma (\alpha + 2)}{\lambda ^ {\alpha + 2}} \\ = \frac{\alpha(\alpha +1)}{\lambda ^2} E(X2)=Γ(α)λα0x2xαeλxdx=Γ(α)λαλα+2Γ(α+2)=λ2α(α+1)

    自由度为n的 χ 2 \chi ^2 χ2分布—— χ 2 ( n ) \chi ^2 (n) χ2(n)

    即伽玛分布 G a ( n 2 , 1 2 ) Ga(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}) Ga(2n,21),

    密度函数

    p ( x ) = 1 Γ ( n 2 ) 2 n 2 x n 2 − 1 e − x 2 x > 0 p(x) = \frac{1}{\Gamma (\frac{n}{2}) 2 ^{\frac{n}{2}}} x ^ {\frac{n}{2} -1} e ^{- \frac{x}{2}} \qquad x > 0 p(x)=Γ(2n)22n1x