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常用二维连续型随机变量的分布及其基本数字特征
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二维随机变量期望公式_数学期望、方差、协方差
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一维随机变量期望与方差
二维随机变量期望与方差
协方差
1.一维随机变量期望与方差:
公式:
离散型:
E(X)=∑i=1->nXiPi
Y=g(x)
E(Y)=∑i=1->ng(x)Pi
连续型:
E(X)=∫-∞->+∞xf(x)dx
Y=g(x)
E(Y)=∫-∞->+∞g(x)f(x)dx
方差:D(x)=E(x²)-E²(x)
标准差:根号下的方差
常用分布的数学期望和方差:
0~1分布 期望p 方差p(1-p)
二项分布B(n,p) 期望np,方差np(1-p)
泊松分布π(λ) 期望λ 方差λ
几何分布 期望1/p ,方差(1-p)/p²
正态分布 期望μ,方差σ²
均匀分布,期望a+b/2,方差(b-a)²/12
指数分布E(λ)期望1/λ,方差1/λ²
卡方分布,x²(n) 期望n 方差2n
期望E(x)的性质:
E(c)=c
E(ax+c)=aE(x)+c
E(x+-Y)=E(X)+-E(Y)
X和 Y相互独立:
E(XY)=E(X)E(Y)
方差D(X)的性质:
D(c)=0
D(aX+b)=a²D(x)
D(X+-Y)=D(X)+D(Y)+-2Cov(X,Y)
X和Y相互独立:
D(X+-Y)=D(X)+D(Y)
2.二维随机变量的期望与方差:
3.协方差:Cov(X,Y):
D(X+-Y)=D(X)+D(Y)+-2Cov(X,Y)
协方差:
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
相关系数:
ρxY=Cov(X,Y)/X的标准差*Y的标准差
ρxY=0为X与Y不相关
记住:独立一定不相关 ,不相关不一定独立。
协方差的性质:
Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
Cov(X,C)=0
CoV(X,X)=D(X)
Cov(ax+b,Y)=aCov(X,Y)
-
一维随机变量的基本数字特征的概念
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一维随机变量的常见分布、期望、方差及其性质与推导过程
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必须知道的概率论知识
- 常见分布
- 期望
- 方差
- 性质
一维变量
离散随机变量
def
离散随机变量X的分布列
则X的数学期望为:,记为;
若X的取值可列,且无穷级数收敛,则.常见分布
几何分布
.
期望
.
- 推导
令,则有;
方差
- 推导
由无穷级数的理论可知
从而:
接上式:.从而得到方差。
二项分布——b(n,p)
n=1,时的二项分布b(1,p),又称为两点分布或0-1分布。
期望
- 推导
方差
- 推导
故:
泊松分布——
期望
- 推导
方差
- 推导
又
故:超几何分布——h(n,N,M)
期望
- 推导
方差
- 推导
再由方差公式即可求得。
连续型随机变量
def
是实数轴上的一个函数,满足:
(1).(非负)
(2)
则称为概率密度函数。
期望:.
分布函数:
.
分布函数的性质
-
是直线上的连续函数
-
-
-
在导数存在的点x 上有:
常见分布
均匀分布——U(a,b)
密度函数
分布函数
期望
方差
故:
指数分布——
密度函数
分布函数
期望
方差
推导 见伽马分布。
柯西分布
密度函数
数学期望不存在
正态分布——
密度函数
分布函数
期望
.
- 推导
方差
标准正态分布——N(0,1)
密度函数
分布函数
- 对任意实数u,有:
- 当时,是标准正态变量,即.
伽玛分布——
伽玛函数
含参数的积分;
性质:- 递推公式:.特别对于n,
密度函数
简记为;
的时候伽马分布就是指数分布,密度函数
时伽马分布为卡方分布。期望
方差
自由度为n的分布——
即伽玛分布,
密度函数
期望
方差
推导见伽马分布。
贝塔分布——Be(a,b)
贝塔函数
含参数a,b的积分:
性质:-
-
贝塔函数与伽玛函数的关系:
密度函数
期望
与均匀分布的关系
Be(1,1)就是[0,1] 上的均匀分布。
期望的性质
- ,c为常数
方差与方差的性质
性质:
- ,c为常数
多元情况后续更新。
-
-
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