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  • 二维连续型随机变量的方差
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    2020-05-17 22:08:13

    必须知道的概率论知识

    • 常见分布
    • 期望
    • 方差
    • 性质

    一维变量

    离散随机变量

    def

    离散随机变量X的分布列
    P = ( X = x i ) = p ( x i ) i = 1 , 2 , . . . , n P = (X = x_i) = p(x_i) \qquad i = 1,2,...,n P=(X=xi)=p(xi)i=1,2,...,n
    则X的数学期望为: ∑ i = 1 n x i p ( x i ) \sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i) i=1nxip(xi),记为;
    E ( X ) = ∑ i = 1 n x i p ( x i ) E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i) E(X)=i=1nxip(xi)
    若X的取值可列,且无穷级数 ∑ i = 1 ∞ x i p ( x i ) \sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i) i=1xip(xi)收敛,则 E ( X ) = ∑ i = 1 ∞ x i p ( x i ) E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i) E(X)=i=1xip(xi).

    常见分布

    几何分布

    p ( x ) = P ( X = x ) = p ( 1 − p ) x − 1 , x = 1 , 2 , . . . . p(x) = P(X = x) = p(1 - p)^{x - 1},x = 1,2,.... p(x)=P(X=x)=p(1p)x1,x=1,2,.....

    期望

    E ( X ) = 1 p E(X) = \frac{1}{p} E(X)=p1.

    • 推导

    q = 1 − p q = 1 -p q=1p,则有;
    E ( X ) = ∑ x = 1 ∞ x p q x − 1 = p ∑ x = 1 ∞ x q x − 1 = p ∑ x = 1 ∞ d ( q x ) d q = p d d q ∑ x = 0 ∞ q x = p d d q ( 1 1 − q ) = 1 p E(X) = \sum_{x=1}^{\infty} x p q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} x q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} \frac{d(q^x)}{dq} \\ = p \frac{d}{dq} \sum_{x=0}^{\infty} q^x \\ = p \frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q}) = \frac{1}{p} E(X)=x=1xpqx1=px=1xqx1=px=1dqd(qx)=pdqdx=0qx=pdqd(1q1)=p1

    方差

    V a r ( X ) = 1 − p p 2 Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} Var(X)=p21p

    • 推导

    E ( X 2 ) = ∑ x = 1 ∞ x 2 p q x − 1 = p ∑ x = 1 ∞ x 2 q x − 1 = p ∑ x = 1 ∞ x d ( q x ) d q = p d d q ∑ x = 0 ∞ x q x E(X^2) =\sum_{x=1}^{\infty} x^2 p q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} x^2 q^{x -1} \\ = p \sum_{x=1}^{\infty} x \frac{d(q^x)}{dq} \\ = p \frac{d}{dq} \sum_{x=0}^{\infty} x q^x E(X2)=x=1x2pqx1=px=1x2qx1=px=1xdqd(qx)=pdqdx=0xqx

    由无穷级数的理论可知 ∑ x = 0 ∞ x q x = q ( 1 − q ) 2 \sum_{x=0}^{\infty} x q^x = \frac{q}{(1-q)^2} x=0xqx=(1q)2q

    从而:

    接上式: E ( X 2 ) = p d d q ( q ( 1 − q ) 2 ) = 2 p − p 2 p 3 = 2 − p p 2 E(X^2) = p \frac{d}{dq} (\frac{q}{(1-q)^2)} = \frac{2p-p^2}{p^3} = \frac{2-p}{p^2} E(X2)=pdqd((1q)2)q=p32pp2=p22p.从而得到方差。

    二项分布——b(n,p)

    p ( x ) = P ( X = x ) = ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x x = 0 , 1 , . . . . , n p(x) = P(X = x) = \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1 - p)^{n -x} \qquad x = 0,1,....,n p(x)=P(X=x)=(nx)px(1p)nxx=0,1,....,n

    n=1,时的二项分布b(1,p),又称为两点分布或0-1分布。

    期望

    E ( X ) = n p E(X) = np E(X)=np

    • 推导

    E ( X ) = ∑ x = 0 n x ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x = n p ∑ x = 0 n ( n − 1 x − 1 ) p x − 1 ( 1 − p ) n − x = n p ∑ x = 0 n ( n − 1 x ) p x ( 1 − p ) n − 1 − x = n p [ p + ( 1 − p ) ] n − 1 = n p E(X) = \sum_{x = 0}^{n} x \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1 - p)^{n -x} \\ =np \sum_{x = 0}^{n} \begin{pmatrix} n - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} p^{x -1} (1 - p)^{n -x} \\ = np \sum_{x = 0}^{n} \begin{pmatrix} n - 1 \\ x \end{pmatrix} p^{x} (1 - p)^{n - 1 - x} \\ =np[p + (1 - p)]^{n -1} = np E(X)=x=0nx(nx)px(1p)nx=npx=0n(n1x1)px1(1p)nx=npx=0n(n1x)px(1p)n1x=np[p+(1p)]n1=np

    方差

    V a r ( X ) = n p ( 1 − p ) Var(X) = np(1-p) Var(X)=np(1p)

    • 推导

    E ( X 2 ) = ∑ x = 0 n x 2 ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x = ∑ x = 2 n x ( x − 1 ) ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x + ∑ x = 1 n x ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x = n ( n − 1 ) p 2 ∑ x = 2 n ( n − 2 x − 2 ) p x − 2 ( 1 − p ) n − x + n p = n ( n − 1 ) p 2 + n p = n 2 p 2 + n p ( 1 − p ) E(X^2) = \sum_{x = 0} ^ n x ^2 \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p ^ x (1-p)^{n-x} \\ = \sum_{x = 2} ^ n x (x-1) \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p ^ x (1-p)^{n-x} + \sum_{x = 1} ^ n x \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p ^ x (1-p)^{n-x} \\ = n (n-1) p^2 \sum_{x = 2} ^ n \begin{pmatrix} n-2 \\ x-2 \end{pmatrix} p^{x-2} (1-p)^{n-x} + np \\ = n(n-1) p^2 + np = n^2p^2 + np(1-p) E(X2)=x=0nx2(nx)px(1p)nx=x=2nx(x1)(nx)px(1p)nx+x=1nx(nx)px(1p)nx=n(n1)p2x=2n(n2x2)px2(1p)nx+np=n(n1)p2+np=n2p2+np(1p)

    故:
    V a r ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 = n p ( 1 − p ) Var(X) = E(X^2) - E(X)^2 = np (1-p) Var(X)=E(X2)E(X)2=np(1p)

    泊松分布—— P ( λ ) P(\lambda) P(λ)

    P ( X = x ) = λ x x ! e − λ x = 0 , 1 , . . . . λ > 0 P(X = x) = \frac{\lambda^x}{x!} e ^ {- \lambda} \qquad x = 0,1,.... \qquad \lambda > 0 P(X=x)=x!λxeλx=0,1,....λ>0

    期望

    E ( X ) = λ E(X) = \lambda E(X)=λ

    • 推导

    E ( X ) = ∑ x = 0 ∞ x ⋅ λ x x ! e − λ = λ e − λ ∑ x = 1 ∞ λ x − 1 ( x − 1 ) ! = λ E(X) = \sum_{x = 0}^{\infty} x \cdot \frac{\lambda^x}{x!} e ^ {- \lambda} = \lambda e ^{- \lambda} \sum_{x = 1}^{\infty} \frac{\lambda ^{x - 1}}{(x - 1)!} = \lambda E(X)=x=0xx!λxeλ=λeλx=1(x1)!λx1=λ

    方差

    V a r ( X ) = λ Var(X) = \lambda Var(X)=λ

    • 推导

    E ( X − λ ) 2 = E [ X 2 − 2 λ X + λ 2 ] = E ( X 2 ) − 2 λ E ( X ) + λ 2 E(X - \lambda)^2 = E[X^2 - 2\lambda X + \lambda ^2]= E(X^2) - 2 \lambda E(X) + \lambda ^2 E(Xλ)2=E[X22λX+λ2]=E(X2)2λE(X)+λ2


    E ( X 2 ) = ∑ x = 0 ∞ x 2 ⋅ λ x x ! e − λ = ∑ x = 1 ∞ x ⋅ λ x ( x − 1 ) ! e − λ = ∑ x = 1 ∞ [ ( x − 1 ) + 1 ] ⋅ λ x ( x − 1 ) ! e − λ = λ 2 e − λ ∑ x = 2 ∞ λ x − 2 ( x − 2 ) ! + λ e − λ ∑ x = 1 ∞ λ x − 1 ( x − 1 ) ! = λ 2 + λ E(X^2) = \sum_{x =0} ^ {\infty} x ^ 2 \cdot \frac{\lambda ^ x}{x!} e ^ {- \lambda} \\ = \sum_{x = 1} ^ {\infty} x \cdot \frac{\lambda ^ x}{(x-1)!} e ^ {- \lambda} \\ = \sum_{x = 1} ^ {\infty} [(x -1) + 1] \cdot \frac{\lambda ^ x}{(x-1)!} e ^ {- \lambda} \\ = \lambda ^2 e ^ {- \lambda} \sum_{x = 2} ^ {\infty} \frac{\lambda ^ {x - 2}}{(x-2)!} + \lambda e ^ {- \lambda} \sum_{x = 1} ^ {\infty} \frac{\lambda ^ {x -1}}{(x-1)!} \\ = \lambda ^2 + \lambda E(X2)=x=0x2x!λxeλ=x=1x(x1)!λxeλ=x=1[(x1)+1](x1)!λxeλ=λ2eλx=2(x2)!λx2+λeλx=1(x1)!λx1=λ2+λ
    故: E ( X − λ ) 2 = λ 2 + λ − 2 λ 2 + λ 2 = λ E(X - \lambda)^2 = \lambda ^2 + \lambda - 2 \lambda ^2 + \lambda ^2 = \lambda E(Xλ)2=λ2+λ2λ2+λ2=λ

    超几何分布——h(n,N,M)

    P ( X = x ) = ( M x ) ( N − M n − x ) ( N n ) x = 0 , 1 , … , r ,   r = m i n ( n , M ) P(X = x) = \frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \qquad x=0,1,\dots,r,\ r=min(n,M) P(X=x)=(Nn)(Mx)(NMnx)x=0,1,,r, r=min(n,M)

    期望

    E ( X ) = n M N E(X) = \frac{nM}{N} E(X)=NnM

    • 推导

    E ( X ) = ∑ x = 0 r x ( M x ) ( N − M n − x ) ( N n ) = n M N ∑ x = 1 r ( M − 1 x − 1 ) ( N − M n − x ) ( N − 1 n − 1 ) = n M N \begin{aligned} E(X) & = \sum_{x = 0}^{r} x \frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \\ & = \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}}\\ & = \frac{nM}{N} \end{aligned} E(X)=x=0rx(Nn)(Mx)(NMnx)=NnMx=1r(N1n1)(M1x1)(NMnx)=NnM

    方差

    V a r ( X ) = n M N ( 1 − M N ) ( N − n N − 1 ) Var(X) = \frac{nM}{N}(1-\frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1}) Var(X)=NnM(1NM)(N1Nn)

    • 推导

    E ( X 2 ) = ∑ x = 0 r x 2 ( M x ) ( N − M n − x ) ( N n ) = n M N ∑ x = 1 r x ( M − 1 x − 1 ) ( N − M n − x ) ( N − 1 n − 1 ) = n M N ∑ x = 1 r ( x − 1 ) ( M − 1 x − 1 ) ( N − M n − x ) ( N − 1 n − 1 ) + n M N ∑ x = 1 r ( M − 1 x − 1 ) ( N − M n − x ) ( N − 1 n − 1 ) = n M N ( M − 1 ) ∑ x = 1 r ( M − 2 x − 2 ) ( N − M n − x ) ( N − 1 n − 1 ) + n M N = n M N [ ( M − 1 ) ( n − 1 ) N − 1 + 1 ] \begin{aligned} E(X^2) & = \sum_{x = 0}^{r} x^2 \frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \\ & = \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} x \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}}\\ & = \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} (x -1) \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}} + \frac{nM}{N} \sum_{x = 1}^{r} \frac{\begin{pmatrix} M - 1 \\ x - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}} \\ & = \frac{nM}{N} (M-1) \sum_{x = 1}^{r} \frac{\begin{pmatrix} M - 2 \\ x - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N - 1 \\ n - 1 \end{pmatrix}} + \frac{nM}{N} \\ & = \frac{nM}{N}[\frac{(M-1)(n-1)}{N-1} + 1] \end{aligned} E(X2)=x=0rx2(Nn)(Mx)(NMnx)=NnMx=1rx(N1n1)(M1x1)(NMnx)=NnMx=1r(x1)(N1n1)(M1x1)(NMnx)+NnMx=1r(N1n1)(M1x1)(NMnx)=NnM(M1)x=1r(N1n1)(M2x2)(NMnx)+NnM=NnM[N1(M1)(n1)+1]

    再由方差公式即可求得。

    连续型随机变量

    def

    p ( x ) p(x) p(x)是实数轴上的一个函数,满足:

    (1) p ( x ) ≥ 0 p(x) \geq 0 p(x)0.(非负)

    (2) ∫ − ∞ ∞ = 1 \int_{- \infty}^{\infty} = 1 =1

    则称 p ( x ) p(x) p(x)概率密度函数

    期望 E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x E(X) = \int_{- \infty } ^ {\infty} x p(x) d x E(X)=xp(x)dx.

    分布函数:

    F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ − ∞ x p ( x ) d x F(x) = P(X \leq x) = \int_{- \infty}^{x} p(x)dx F(x)=P(Xx)=xp(x)dx.

    分布函数的性质

    1. F ( x ) F(x) F(x)是直线上的连续函数

    2. P ( X = x ) = 0 P(X = x) = 0 P(X=x)=0

    3. P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a ≤ X < b ) = P ( a < X ≤ b ) = P ( a < X < b ) P(a \leq X \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X \leq b) = P(a < X < b) P(aXb)=P(aX<b)=P(a<Xb)=P(a<X<b)

    4. F ( x ) F(x) F(x)导数存在的点x 上有:

      F ′ ( x ) = p ( x ) F'(x) = p(x) F(x)=p(x)

    常见分布

    均匀分布——U(a,b)
    密度函数

    p ( x ) = { 1 b − a a ≤ x ≤ b 0 其 他 p(x)= \begin{cases} \frac{1}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 0 & 其他 \end{cases} p(x)={ba10axb

    分布函数

    F ( x ) = { 0 x < a x − a b − a a ≤ x ≤ b 1 x > b F(x)= \begin{cases} 0 & x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 1 & x > b \end{cases} F(x)=0baxa1x<aaxbx>b

    期望

    E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x = ∫ a b x ⋅ 1 b − a d x = 1 b − a x 2 2 ∣ a b = b 2 − a 2 2 ( b − a ) = a + b 2 E(X) = \int_{- \infty } ^ {\infty} x p(x) d x = \int_a^b x \cdot \frac{1}{b -a}dx = \frac{1}{b -a} \frac{x^2}{2}|_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2 (b -a)} = \frac{a + b}{2} E(X)=xp(x)dx=abxba1dx=ba12x2ab=2(ba)b2a2=2a+b

    方差

    E ( X 2 ) = ∫ a b x 2 b − a d x = 1 b − a x 3 3 ∣ a b = 1 3 ( b 2 + a b + a 2 ) E(X^2) = \int_a^b \frac{x^2}{b -a}dx \\ = \frac{1}{b -a} \frac{x^3}{3}|_a^b \\ = \frac{1}{3}(b^2 + ab + a^2) E(X2)=abbax2dx=ba13x3ab=31(b2+ab+a2)

    故:
    V a r ( X ) = ( b − a ) 2 12 Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12} Var(X)=12(ba)2

    指数分布—— E x p ( λ ) Exp(\lambda) Exp(λ)
    密度函数

    p ( x ) = { λ e − λ x x ≥ 0 0 x < 0 p(x)= \begin{cases} \lambda e ^{- \lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} p(x)={λeλx0x0x<0

    分布函数

    F ( x ) = { 1 − e − λ x x ≥ 0 0 x < 0 F(x)= \begin{cases} 1 - e ^{- \lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} F(x)={1eλx0x0x<0

    期望

    E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x = ∫ 0 ∞ λ x e − λ x d x = 1 λ E(X) = \int_{- \infty } ^ {\infty} x p(x) d x = \int_0^{\infty} \lambda x e ^ {- \lambda x}dx = \frac{1}{\lambda} E(X)=xp(x)dx=0λxeλxdx=λ1

    方差

    V a r ( X ) = 1 λ 2 Var(X) = \frac{1}{\lambda ^ 2} Var(X)=λ21

    推导 见伽马分布

    柯西分布
    密度函数

    p ( x ) = 1 π ( 1 + x 2 ) p(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)} p(x)=π(1+x2)1

    数学期望不存在

    正态分布—— N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma ^ 2) N(μ,σ2)
    密度函数

    p ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 − ∞ < x < ∞ p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} \qquad - \infty < x < \infty p(x)=2π σ1e2σ2(xμ)2<x<

    分布函数

    F ( x ) = 1 2 π σ ∫ − ∞ x e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x − ∞ < x < ∞ F(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{- \infty}^{x} e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} dx \qquad - \infty < x < \infty F(x)=2π σ1xe2σ2(xμ)2dx<x<

    期望

    E ( X ) = μ E(X) = \mu E(X)=μ.

    • 推导

    令 z = x − μ σ , E ( X ) = 1 2 π σ ∫ − ∞ ∞ x e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = 1 2 π σ ∫ − ∞ ∞ ( σ z + μ ) e − z 2 2 d z = 1 2 π [ σ ∫ − ∞ ∞ z e − x 2 2 d z + μ ∫ − ∞ ∞ e − x 2 2 d z ] = 0 + μ = μ 令 z = \frac{x - \mu}{\sigma},\\ E(X) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{- \infty}^{\infty} x e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} dx \\ =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{- \infty}^{\infty} (\sigma z + \mu) e ^ {- \frac{z ^ 2}{2}} dz \\ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} [\sigma \int _{- \infty}^{\infty} z e ^ {- \frac{x ^ 2}{2}}dz + \mu \int _{- \infty}^{\infty} e ^ {- \frac{x ^ 2}{2}}dz] \\ = 0 + \mu = \mu z=σxμ,E(X)=2π σ1xe2σ2(xμ)2dx=2π σ1(σz+μ)e2z2dz=2π 1[σze2x2dz+μe2x2dz]=0+μ=μ

    方差

    V a r ( X ) = E ( X − E ( X ) ) 2 = E ( X − μ ) 2 = 1 2 π σ ∫ − ∞ ∞ ( x − μ ) 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = u = x − μ σ σ 2 2 π ∫ − ∞ ∞ u 2 e − u 2 2 d u = 2 σ 2 2 π ∫ 0 ∞ u 2 e − u 2 2 d u = y = u 2 2 2 σ 2 2 π 2 ∫ 0 ∞ y 1 2 e − y d y = 2 σ 2 2 π 2 Γ ( 3 2 ) = 2 σ 2 2 π 2 π 2 = σ 2 Var(X) = E(X - E(X))^2 \\ = E(X - \mu) ^ 2 \\ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \sigma \int _{- \infty}^{\infty} (x - \mu) ^ 2 e ^ {- \frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}} dx \\ \overset{u = \frac{x - \mu}{\sigma}}{=} \frac{\sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}}\int _{- \infty}^{\infty} u ^2 e ^ {- \frac{u ^ 2}{2}} d u \\ = \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}}\int _{0}^{\infty} u ^2 e ^ {- \frac{u ^ 2}{2}} d u \\ \overset{y = \frac{u^2}{2}}{=} \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{2} \int _{0}^{\infty} y ^{\frac{1}{2}} e ^ {- y} d y \\ = \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{2} \Gamma (\frac{3}{2}) = \frac{2 \sigma ^2}{\sqrt{2 \pi}} \frac{\sqrt{2 \pi}}{2} = \sigma ^2 Var(X)=E(XE(X))2=E(Xμ)2=2π 1σ(xμ)2e2σ2(xμ)2dx=u=σxμ2π σ2u2e2u2du=2π 2σ20u2e2u2du=y=2u22π 2σ22 0y21eydy=2π 2σ22 Γ(23)=2π 2σ222π =σ2

    标准正态分布——N(0,1)
    密度函数

    ϕ ( μ ) = 1 2 π e − u 2 2 − ∞ < u < ∞ \phi(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e ^ {- \frac{ u ^ 2}{2}} \qquad - \infty < u < \infty ϕ(μ)=2π 1e2u2<u<

    分布函数

    Φ ( μ ) = 1 2 π ∫ − ∞ u e − x 2 2 d x − ∞ < u < ∞ \Phi(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int _{- \infty}^{u} e ^ {- \frac{ x ^ 2}{2}}dx \qquad - \infty < u < \infty Φ(μ)=2π 1ue2x2dx<u<

    • 对任意实数u,有:

    Φ ( − u ) = 1 − Φ ( u ) \Phi (- u) = 1 - \Phi(u) Φ(u)=1Φ(u)

    • X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu, \sigma^2) XN(μ,σ2)时, U = X − μ σ U = \frac{X - \mu}{\sigma} U=σXμ是标准正态变量,即 U ∼ N ( 0 , 1 ) U \sim N(0,1) UN(0,1).
    伽玛分布—— G a ( α , λ ) Ga(\alpha, \lambda) Ga(α,λ)
    伽玛函数

    含参数 α \alpha α的积分;
    Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x α > 0 \Gamma (\alpha) = \int_0^{\infty} x^{\alpha - 1}e^{- x}dx \qquad \alpha > 0 Γ(α)=0xα1exdxα>0
    性质

    1. Γ ( 1 ) = 1 , Γ ( 1 2 ) = π \Gamma(1) = 1, \Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} Γ(1)=1,Γ(21)=π
    2. 递推公式: Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) \Gamma (\alpha + 1) = \alpha \Gamma (\alpha) Γ(α+1)=αΓ(α).特别对于n, Γ ( n + 1 ) = n ! \Gamma (n + 1) = n! Γ(n+1)=n!
    3. ∫ 0 ∞ x α − 1 e − λ x d x = Γ ( α ) λ α \int _0 ^{\infty} x ^ {\alpha - 1} e ^ {-\lambda x} d x = \frac {\Gamma (\alpha)}{\lambda ^ {\alpha}} 0xα1eλxdx=λαΓ(α)
    密度函数

    p ( x ) = { λ α Γ ( α ) x α − 1 e − λ x x > 0 0 x ≤ 0 p(x) = \begin{cases} \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} x ^ {\alpha - 1} e ^ {- \lambda x} & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases} p(x)={Γ(α)λαxα1eλx0x>0x0

    简记为;
    p ( x ) = λ α Γ ( α ) x α − 1 e − λ x x > 0 p(x) = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} x ^ {\alpha - 1} e ^ {- \lambda x} \qquad x > 0 p(x)=Γ(α)λαxα1eλxx>0
    α = 1 \alpha = 1 α=1的时候伽马分布就是指数分布,密度函数
    p ( x ) = λ e − λ x x > 0 p(x) = \lambda e ^{- \lambda x} \qquad x > 0 p(x)=λeλxx>0
    α = n 2 , λ = 1 2 \alpha = \frac{n}{2}, \lambda = \frac{1}{2} α=2n,λ=21时伽马分布为卡方分布

    期望

    E ( X ) = λ α Γ ( α ) ∫ 0 ∞ x α e − λ x d x = Γ ( α + 1 ) Γ ( α ) 1 λ = α λ E(X) = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \int_0 ^{\infty} x ^ {\alpha} e ^ {- \lambda x} d x = \frac{\Gamma (\alpha + 1)}{\Gamma (\alpha)} \frac{1}{\lambda} = \frac{\alpha}{\lambda} E(X)=Γ(α)λα0xαeλxdx=Γ(α)Γ(α+1)λ1=λα

    方差

    E ( X 2 ) = λ α Γ ( α ) ∫ 0 ∞ x 2 ⋅ x α e − λ x d x = λ α Γ ( α ) Γ ( α + 2 ) λ α + 2 = α ( α + 1 ) λ 2 E(X^2) = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \int_0 ^{\infty} x^2 \cdot x ^ {\alpha} e ^ {- \lambda x} d x \\ = \frac{\lambda ^ {\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \frac{\Gamma (\alpha + 2)}{\lambda ^ {\alpha + 2}} \\ = \frac{\alpha(\alpha +1)}{\lambda ^2} E(X2)=Γ(α)λα0x2xαeλxdx=Γ(α)λαλα+2Γ(α+2)=λ2α(α+1)

    自由度为n的 χ 2 \chi ^2 χ2分布—— χ 2 ( n ) \chi ^2 (n) χ2(n)

    即伽玛分布 G a ( n 2 , 1 2 ) Ga(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}) Ga(2n,21),

    密度函数

    p ( x ) = 1 Γ ( n 2 ) 2 n 2 x n 2 − 1 e − x 2 x > 0 p(x) = \frac{1}{\Gamma (\frac{n}{2}) 2 ^{\frac{n}{2}}} x ^ {\frac{n}{2} -1} e ^{- \frac{x}{2}} \qquad x > 0 p(x)=Γ(2n)22n1x2n1e2xx>0

    期望

    E ( X ) = n E(X) = n E(X)=n

    方差

    V a r ( X ) = 2 n Var(X) = 2n Var(X)=2n

    推导见伽马分布。

    贝塔分布——Be(a,b)
    贝塔函数

    含参数a,b的积分:
    β ( a , b ) = ∫ 0 1 x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 d x a > 0 , b > 0 \beta (a,b) = \int _0 ^1 x ^{a - 1}(1 - x)^{b -1} d x \qquad a > 0, b > 0 β(a,b)=01xa1(1x)b1dxa>0,b>0
    性质:

    1. β ( a , b ) = β ( b , a ) \beta(a,b) = \beta(b,a) β(a,b)=β(b,a)

    2. 贝塔函数与伽玛函数的关系:
      β ( a , b ) = Γ ( a ) Γ ( b ) Γ ( a + b ) \beta(a,b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} β(a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)

    密度函数

    p ( x ) = Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 0 ≤ x ≤ 1 p(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x ^ {a - 1} (1 -x)^ {b - 1} \qquad 0 \leq x \leq 1 p(x)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)xa1(1x)b10x1

    期望

    E ( X ) = Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) ∫ 0 1 x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 d x = Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) ⋅ Γ ( a + 1 ) Γ ( b ) Γ ( a + b + 1 ) = a a + b E(X) =\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \int _ 0 ^ 1 x ^ {a - 1} (1 -x)^ {b - 1} d x \\ =\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \cdot \frac{\Gamma(a + 1) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b + 1)} \\ = \frac{a}{a + b} E(X)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)01xa1(1x)b1dx=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)Γ(a+b+1)Γ(a+1)Γ(b)=a+ba

    与均匀分布的关系

    Be(1,1)就是[0,1] 上的均匀分布。

    期望的性质

    1. E [ c g ( X ) ] = c E [ g ( X ) ] E[cg(X)] = c E[g(X)] E[cg(X)]=cE[g(X)]
    2. E [ g ( X ) ± h ( X ) ] = E [ g ( X ) ] ± E [ h ( X ) ] E[g(X) \pm h(X)] = E[g(X)] \pm E[h(X)] E[g(X)±h(X)]=E[g(X)]±E[h(X)]
    3. E ( c ) = c E(c) =c E(c)=c,c为常数

    方差与方差的性质

    V a r ( X ) = E [ X − E ( X ) ] 2 Var(X) = E[X - E(X)]^2 Var(X)=E[XE(X)]2

    性质:

    1. V a r ( c ) = 0 Var(c) = 0 Var(c)=0,c为常数
    2. V a r ( a X + b ) = a 2 V a r ( X ) Var(a X + b) = a ^ 2 Var(X) Var(aX+b)=a2Var(X)
    3. V a r ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^ 2 Var(X)=E(X2)[E(X)]2

    多元情况后续更新。

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      在这里插入图片描述
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      在这里插入图片描述
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    千次阅读 2021-05-09 07:40:37
    连续随机变量定义及性质 定义: PDF与离散随机变量的分布列是对应的。 特别的,当B是一个区间时, 这个积分可以理解为,PDF和区间[a,b]所形成的曲边梯形的面积。 由于单点对积分的计算不起作用。因此: 性质: 1....

    目录

    • 连续随机变量定义及性质
    • 期望和方差
    • 常见的连续随机变量
      - 均匀随机变量
      - 指数随机变量
      - 正态随机变量
    • 多个随机变量的联合概率密度
    • 条件
    • 独立

    骨骼图:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    连续随机变量定义及性质

    定义:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    PDF与离散随机变量的分布列是对应的。
    特别的,当B是一个区间时,在这里插入图片描述
    这个积分可以理解为,PDF和区间[a,b]所形成的曲边梯形的面积。
    由于单点对积分的计算不起作用。因此:在这里插入图片描述
    性质:
    1.
    PDF是非负的
    在这里插入图片描述
    2.
    在这里插入图片描述

    期望和方差

    期望:
    连续随机变量X的期望定义如下:
    在这里插入图片描述
    X的任意函数Y=g(x)也是一个随机变量,Y可以是连续的也可以是离散的,不过下式总成立:
    在这里插入图片描述
    例1: 对于离散或连续随机变量X,证明下式:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    例2:证明:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    方差:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    常见的连续随机变量

    均匀随机变量:
    假设X取值于[a,b]的任意两个长度的子区间的概率是相通的,这种变量称为具有均匀分布的随机变量,其PDF为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    期望值刚好等于PDF的对称中心。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    指数随机变量
    若随机变量X的PDF具有以下形式:
    在这里插入图片描述
    则称X是指数随机变量,其中λ是分布的参数,λ>0。
    特性:
    X超过某个值的概率,随着这个值的增加而按指数递减。即👍🏼:
    在这里插入图片描述
    指数分布常用来描述,某个时间为止所用的时间,如某个机器的使用寿命。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    正态随机变量
    一个随机变量X称为正态的或高斯的,则它的PDF为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    线性变换之下的随机变量的正态性保持不变。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    标准正态随机变量:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀
    大量的独立同分布的随机变量(不必正态)的和的分布近似地服从正态分布。而这个事实与各个和项的具体分布是无关的。这个事实就是著名的中心极限定理
    👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀

    多个随机变量的联合概率密度

    如果对任意的平面上的二元集合B,等式在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    上式的二重积分区域为B,若B={(x,y)|a<x<b,c<x<d}则:
    在这里插入图片描述
    如果B在二维平面,就可以得到密度函数的诡异话条件:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    对于均匀分布

    在子集S上的联合均匀PDF由下式定义:
    在这里插入图片描述
    对于任何子集A,(X,Y)落入区域A的概率为:
    在这里插入图片描述
    布丰抛针实验
    在平面上画了若干条平行线, 相互之间的距离为 d .现在往平面上随机地抛掷一根针, 针的长度为 l .问针与直线相交的概率有多大?
    解:
    在这里插入图片描述

    期望
    设X和Y为联合随机变量,g是一个函数,则z=g(x,y)是一个随机变量。
    在这里插入图片描述
    特殊地,E[aX+bY+c]=aE[X]+b[Y]+c

    多于两个随机变量的情况:
    在这里插入图片描述

    条件

    在连续情况下,有时会出现以零概率事件为条件的情况,这在离散情况下是无法处理的。

    以事件为条件的随机变量

    1.
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    B是实数轴上的任意集合。

    2.在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    3.
    在这里插入图片描述
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    例:(指数随机变量的无记忆性)
    一个灯泡的使用寿命 T 是一个指数随机变量,其参数为λ 。阿丽将灯打开后离开房间,在外面呆了一段时间以后(时间长度为 t ),她回到房间,灯还是亮着。这相当于事件 A={T>t}发生了。记 X 为灯泡的剩余寿命,问 X 的条件分布函数是什么?
    解:实际上 X 是在 A 发生的条件下的寿命,我们有:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    灯泡的剩余寿命X的分布是指数分布,其参数也是λ,这和灯泡已经亮了多少个小时无关。指数分布的性质就是无记忆性。

    以另一个随机变量为条件的条件概率密度函数
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    另外:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    条件期望
    记 X 和 Y 为联合连续随机变量, A 是满足P(A)>0的事件。
    1.X 在给定事件 A 之下的条件期望由下式定义:
    在这里插入图片描述
    给定Y=y之下的条件期望由下式定义:
    在这里插入图片描述
    2.
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    3.全期望定理:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    相似地,在这里插入图片描述
    4.
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    关于3里两个等式的证明:
    在这里插入图片描述
    例 (阶梯形概率密度函数的均值和方差) 
    假定 X 的概率密度函数为下列的阶梯函数:

    在这里插入图片描述
    现记A1={X落入第一个区间【0,1】} A2={X落入第二个区间【1,2】}
    利用X的PDF函数可以得到:
    在这里插入图片描述
    我们还可以利用 X 的条件概率密度函数计算 X 在 和 之条件下的均值和二阶矩.由于f X|A1 和f X|A2 都是均匀概率密度函数
    我们知道在【a,b】上均匀分布的随机变量的均值为
    在这里插入图片描述
    因此,在这里插入图片描述
    利用全期望公式得:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    独立

    若两个连续随机变量 X 和 Y 的联合概率密度函数是它们各自
    的边缘概率密度函数的乘积,a在这里插入图片描述则称X,Y相互独立。
    在这里插入图片描述
    特别地,在这里插入图片描述
    性质在这里插入图片描述对一切X,Y成立,即使是 X 为离散,Y 为连续的情况,这个定义也是适用的。

    若 X 与 Y 相互独立,则对任意函数 g 和 h, 下式成立:在这里插入图片描述
    独立随机变量之和的方差等于它们的方差之和。

    👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀👀
    贝叶斯准则:
    在这里插入图片描述

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空空如也

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二维连续型随机变量的方差