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  • 二维连续随机变量均匀分布
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    2020-11-16 11:26:08

    定义

    分布函数

    定义

    F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\} F(x,y)=P{Xx,Yy}叫做X和Y的联合分布。
    左图为定义域,右图为概率值:
    左图为定义域,右图为概率值

    性质

    1. 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0 \leq F(x,y) \leq 1 0F(x,y)1.
    2. F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)单调递增。
    3. F ( x , − ∞ ) = F ( − ∞ , y ) = F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 F(x,-\infty) = F(-\infty,y) = F(-\infty,-\infty ) = 0 F(x,)=F(,y)=F(,)=0
    4. F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(+\infty,+\infty ) = 1 F(+,+)=1
    5. F ( x , y ) 关 于 x 和 y 右 连 续 。 F(x,y)关于x和y右连续。 F(x,y)xy
    6. P { x 1 ‘ x ≤ x 2 , y 1 ‘ y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\{x_1 \lq x \leq x2,y_1 \lq y \leq y_2\} = F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) - F(x_1,y_2) + F(x_1, y_1) P{x1xx2,y1yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)

    二维离散型

    联合分布

    联合分布表,表中所有数相加为1.
    分布函数: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∑ x i ≤ x ∑ y i ≤ y P i j F(x,y) = P\{X \leq x,Y\leq y\} = \sum_{x_i\leq x}\sum_{y_i \leq y}P_{ij} F(x,y)=P{Xx,Yy}=xixyiyPij
    联合分布可唯一确定边缘分布。
    边缘分布不能确定联合分布,除非X和Y相互独立。
    判断独立性: P ( X = 1 , Y = 2 ) = P ( X = 1 ) ∗ P ( Y = 2 ) P(X = 1,Y = 2) = P(X = 1)*P(Y = 2) P(X=1,Y=2)=P(X=1)P(Y=2)

    边缘分布

    退化成只含一个变量的分布图

    二维连续型

    定义

    F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∫ − ∞ ∣ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\} = \int_{-\infty|}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(s,t)ds dt F(x,y)=P{Xx,Yy}=xyf(s,t)dsdt
    f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)叫做X和Y的联合密度函数。
    边缘分布函数: F X ( x ) = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d t ] d s F Y ( y ) = lim ⁡ x → + ∞ F ( x , y ) = ∫ − ∞ y [ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s ] d t F_X(x) = \lim_{y \to +\infty}F(x,y) = \int_{-\infty}^x[\int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)dt]ds\\ F_Y(y) = \lim_{x \to +\infty}F(x,y) = \int_{-\infty}^y[\int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)ds]dt FX(x)=y+limF(x,y)=x[+f(s,t)dt]dsFY(y)=x+limF(x,y)=y[+f(s,t)ds]dt
    边缘密度函数:对另一个变元求积分
    f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( s , y ) d s = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_X(x) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,t)dt =\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\\ f_Y(y) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(s,y)ds =\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx fX(x)=+f(x,t)dt=+f(x,y)dyfY(y)=+f(s,y)ds=+f(x,y)dx
    若X和Y相互独立,则 f ( x , y ) = f X ( x ) ∗ f Y ( y ) f(x,y) = f_X(x) * f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y).

    性质

    1. f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y) \geq 0 f(x,y)0.
    2. ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t = 1 \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)ds dt = 1 ++f(s,t)dsdt=1
    3. ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y} = f(x,y) xy2F(x,y)=f(x,y)
    4. G:XY平面上的一个区域, P ( X , Y ) ∈ G = ∬ G f ( x , y ) d x d y P{(X,Y)\in G} = \iint_G f(x,y)dxdy P(X,Y)G=Gf(x,y)dxdy

    补充

    1. X,Y的边缘分布都是均匀分布时,二维分布不一定是均匀分布。
      例 如 , f ( x , y ) = { 2 x + 2 y − 4 x y , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 0 , o t h e r w i s e 例如,f(x,y) = \left\{ \begin{aligned} &2x+2y-4xy,&0 \leq x \leq1,0\leq y \leq 1\\ &0,&otherwise \end{aligned} \right. f(x,y)={2x+2y4xy,0,0x1,0y1otherwise
    2. 二维正态分布的边缘分布也是正态分布,但两个变量的边缘分布是正态分布时,他们的分布不一定是正态分布。
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    不相关 == 相互独立

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    二维随机变量

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    分布函数

    注意:联合分布与x和y都有关
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    性质

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    在这里插入图片描述

    二维离散型的联合分布及边缘分布

    分布表

    长成这样的就是离散型的联合分布表

    在这里插入图片描述
    性质

    1. 表格中每一个数>=0
    2. 表格中每一个数之和 == 1

    联合分布函数

    离散型分布函数的值等于对应区间点的概率之和,也可以像这样画区间的方式来判断该点的函数值是多少
    在这里插入图片描述

    边缘分布函数

    对行/列求和,就能得到对应变量的边缘分布
    在这里插入图片描述
    注意

    1. 联合分布可唯一确定边缘分布
    2. 边缘分布不能确定联合分布,若x,y独立,则能确定

    二维连续函数的联合密度和边缘分布函数

    联合密度和分布函数

    连续型需跟二重积分联系在一起
    在这里插入图片描述
    例题

    穿插讲了一个均匀分布

    一维的均匀分布是区间长度的倒数,二维的均匀分布是区间面积的倒数
    在这里插入图片描述
    注意:第三问求边缘分布函数
    在这里插入图片描述
    当x < 0时,Fx(x) = 0
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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