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  • 概率论知识回顾(十) 重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数 二维连续随机变量分布函数怎么表示? 分布函数有什么性质? 二维连续随机变量的边缘分布...

    概率论知识回顾(十)

    重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数

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    知识回顾

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
    2. 分布函数有什么性质?
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
    5. 联合密度函数有什么性质?
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?

    知识解答

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
      • 对于二维连续随机变量 (X,Y)(X,Y) 来说,函数 F(x,y)F(x, y) 表示 F(x,y)=P{Xx,Yy}F(x, y) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y \le y\end{Bmatrix} 我们就称 F(x,y)F(x,y) 为 二维连续随机变量 (X,Y)(X, Y) 的分布函数。
    2. 分布函数有什么性质?
      • 对每个自变量单调不减
        • 对任意固定 x, 当 y1<y2y_1 < y_2, 有 F(x,y1)F(x,y2)F(x, y_1) \le F(x, y_2)
        • 对任意固定 y, 当 x1<x2x_1 < x_2, 有 F(x1,y)F(x2,y)F(x_1, y) \le F(x_2, y)
      • 对每个自变量右连续
        • 对任意固定 x, F(x,y0+0)=F(x,y0)F(x, y_0 + 0) = F(x, y_0)
        • 对任意固定 y, F(x0+0,y)=F(x0,y)F(x_0 + 0, y) = F(x_0, y)
      • {F(,)=0F(x,)=0xRF(,y)=0yRF(+,+)=1\begin{cases} F(-\infty, -\infty) = 0 \\ F(x, -\infty) = 0 &\forall x \in R \\ F(-\infty , y) = 0 & \forall y \in R \\ F(+\infty, +\infty) = 1\end{cases}
      • 对任意 x1<x2,y1<y2x_1 < x_2, y_1 < y_2 都有 : P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)0P\begin{Bmatrix} x_1<X\le x_2, y_1<Y \le y_2 \end{Bmatrix} = F(x_2, y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1) \ge 0
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
      • 二维连续随机变量的边缘分布和离散随机变量的边缘分布类似,都是其组成的单个随机变量的分布律。
      • FX(x)=P{Xx,Y<+}=F(x,+)F_X(x) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y < + \infty \end{Bmatrix}=F(x, +\infty) 表示 二维连续随机变量 (X,Y)(X, Y) 关于 XX 的边缘分布律。从公式来看其实就是排除 Y 之后,只看 x 的分布。
      • 同理 FY=F(+,y)F_Y = F(+ \infty, y)
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
      • 如果对于随机变量 (X,Y)(X, Y) 的分布函数 F(x,y)F(x, y) 的任意取值都有一个非负可积的函数 f(x,y)f(x, y) 使得 F(x)=yxf(u,v)dudvF(x) = \int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^xf(u, v)dudv 。 就称 f(x,y)f(x, y) 为二维随机变量 (X,Y)(X, Y) 的联合密度函数。
    5. 联合密度函数有什么性质?
      • f(x,y)0f(x, y) \ge 0
      • ++f(x,y)dxdy=1\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dxdy = 1
      • 如果 f(x,y)f(x, y)(x,y)(x, y) 处连续,则有 2F(x,y)xy=f(x,y)\frac{\partial^2F(x, y)}{\partial x \partial y} = f(x, y)
      • 对于任何平面区域 GG, 都有 P{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdyP\begin{Bmatrix}(X, Y) \in G\end{Bmatrix} = \iint_Gf(x, y)dxdy
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
      • SG=AS_G = A ,若密度函数 f(x,y)={1A,(x,y)G0,elsef(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{A}, & (x, y) \in G \\ 0, & else \end{cases} 则称为均匀分布。
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?
      • f(x,y)=12πσ1σ21ρ2e12(1ρ2)[(xμ1)2σ122ρ(xμ1)(yμ2)σ1σ2+(yμ2)2σ22]f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho \frac{(x-\mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]}
      • 其中: σ1>0,σ2>0,ρ<1\sigma_1 > 0, \sigma_2 > 0, |\rho| < 1
      • 记作 (X,Y)N(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)(X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho)
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  • 二维连续随机变量定义性质例1二维均匀分布回顾二维均匀分布定义二维正态分布 定义 性质 例1 二维均匀分布 回顾 二维均匀分布定义 二维正态分布

    定义

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    性质

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    例1

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    二维均匀分布

    回顾

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    二维均匀分布定义

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    二维正态分布

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  • 二维连续随机变量及其分布

    千次阅读 2016-12-25 13:40:48
    二维连续型r.v的概率密度重点内容 2.性质 典型例题

    二维连续型随机变量的联合分布

    二维连续型r.v的概率密度
    这里写图片描述
    2.性质
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    典型例题
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    二维连续型随机变量的边缘分布

    边缘分布函数
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    连续型r,v的边缘分布
    这里写图片描述
    典型例题
    这里写图片描述

    二维连续型随机变量的条件分布

    连续型随机变量的条件分布
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    典型例题
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  • 二维随机变量 联合分布函数 定义 性质 边缘分布函数 联合密度 边缘密度 期望 方差

    1. 二维均匀分布

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    2. 二维正态分布【(ξ,ŋ) ~ N(μ1122,)】

    在这里插入图片描述

    性质:

    1. 相关系数为0 <=> 两个随即变量相互独立

    不相关 == 相互独立

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  • 第三章 二维随机变量及其分布

    千次阅读 2017-02-23 16:01:31
    第三章 二维随机变量及其分布一、二维随机变量的联合分布与边缘分布 二维随机变量 设 XX, YY 为随机变量,称 (X,Y)(X, Y) 为二维随机变量。 联合分布函数 F(x,y)=P{X⩽x,Y⩽y} F(x, y) = P\{X \leqslant x, Y \...
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    千次阅读 多人点赞 2019-06-19 23:16:00
    概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也顺便巩固巩固基础。 这是基础篇的第六篇知识点总结 知识点 ... - Z = X + Y 分布 Z = XY 分布 Z = max{X, Y} 分布
  • 维随机变量分布

    2020-06-05 10:56:09
    重要公式回顾 排列:从n个不同元素中取出m个元素排成一列的可能情况有 A(n,m种。 组合:从n个不同元素中...概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。 统计中的方差(样本方差)是各个
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    千次阅读 2019-05-24 17:48:03
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    千次阅读 2014-05-06 11:00:02
    节 离散性随机变量 1、
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  • 首先根据二维随机变量均匀分布可以直接得到联合概率密度函数,然后再根据公式可以得到X和Y的边缘密度函数,公式一会用图贴出来,但是此时问题来了,为什么X的密度函数是对dy求积分还有积分的上下限怎么确定?...
  • 可适用于大样本容量的计算。不会有内存超出几百G的尴尬 ̄□ ̄||
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  • 维随机变量及其概率分布

    千次阅读 2015-03-12 10:22:12
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空空如也

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二维连续随机变量均匀分布