摘要：本文主要介绍二维随机变量的联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系，并以矿山事故为例，强化对三者关系的认识。
一、联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系
1、若已知(X, Y)的联合分布率 => 可以求出X的边缘分布律和Y的边缘分布率

● X的边缘分布律为



● Y的边缘分布律为


2、若已知(X, Y)的联合分布律和X的边缘分布律 => 可以求出Y的条件分布律


3、若已知X的边缘分布律和Y的条件分布律 => 可以求出(X, Y)的联合分布律


4、若已知X的边缘分布率和Y的边缘分布率 => 只有当X和Y相互独立时，才可以求出(X, Y)的联合分布率



✔   综合应用：若已知X的边缘分布率和Y的条件分布律，如何求X的条件分布律？

        求解分析：只需综合运用上述的几种情况即可，思路如下图所示：


        求解过程如下图所示，可以看出，我们始终是根据条件分布律的定义，对分子上的(X, Y)联合分布律和分母上的Y边缘分布律进行变形处理，将等式转化为题目已知的X边缘分布律和Y条件分布律进行表示。



二、问题的引入
        例：某矿山一年内发生的事故总数服从泊松分布X ~ P(λ)，其中一个事故是致命的概率为 p (0 < p < 1)，事故发生之间相互独立。设一年内发生发生致命事故的次数为Y，求Y的分布律。
三、问题的分析
        分析：该问题含有两个随机变量：事故总数X和致命事故总数Y。题目所要求的Y的分布律实质上为该二维随机变量的边缘分布律。显然致命事故发生的次数Y与事故总数X之间必然有着某种联系，根据题目给出的其中一个事故是致命的概率为 p，可以求出Y在X = k（k为事故发生的次数）下的条件分布律，注意这里Y的条件分布律服从二项分布，即



        由于矿山事故为稀有事件，所以事故总数X服从泊松分布（这与题目所给条件相符），利用泊松分布的公式可以直接得到随机变量X的边缘分布率如下式所示：



        求解思路：有了X的边缘分布律和Y的条件分布律，通过式(1.4)我们就可以得到(X, Y)的联合分布律，根据联合分布律由式(1.2)可以进一步求出Y的边缘分布率，求解过程如下图所示：


四、问题的求解
        根据X的边缘分布律和Y的条件分布律，通过乘法公式（式1.4）计算出二维随机变量(X, Y)的联合分布律。（注意致命事故发生的次数m一定小于或者等于事故发生的次数k)



       根据联合分布律，遍历完X的所有可能取值，就可以得到Y的边缘分布律。当求P(Y = m)时，注意到隐含的条件是：事故发生的次数k只可能大于或者等于m，即k ≥ m。所以我们只需在Y = m的情况下，将k = m到k = ∞之间的所有联合分布律求和，即可得到P(Y = m)。


        结果表明，致命事故发生的次数Y服从泊松分布，这与我们的预想的确是一致的，因为致命事故的发生是比单纯发生矿山事故更稀有的事件，所以自然也服从泊松分布，而泊松分布的均值恰好为λp（矿山事故发生的均值 * 事故发生后致命的概率）。

二维随机变量
1.二维随机变量的定义
2.二维随机变量分布函数(联合分布函数)的定义
3.分布函数F(x,y)的基本性质（4条）
4.二维离散型随机变量
1).定义
2).二维离散型随机变量的分布律
3).二维离散型随机变量的分布函数
4).二维离散型随机变量分布律和分布函数求解例题
5.二维连续型随机变量
1).定义
2).性质
3).二维连续型随机变量例题
6.二维随机变量推广
1).n维随机变量定义
2).n维随机变量的分布函数(联合分布函数)的定义

1.二维随机变量的定义




二维随机变量的性质与X、Y有关，且依赖于两个随机变量的相互关系。

2.二维随机变量分布函数(联合分布函数)的定义


F(x,y)的函数值就是随机点落在平面区域内的概率。






3.分布函数F(x,y)的基本性质（4条）







4.二维离散型随机变量
1).定义

2).二维离散型随机变量的分布律


可表示为：


3).二维离散型随机变量的分布函数

4).二维离散型随机变量分布律和分布函数求解例题






分布函数：






5.二维连续型随机变量
1).定义

2).性质


说明：


3).二维连续型随机变量例题





6.二维随机变量推广
1).n维随机变量定义

2).n维随机变量的分布函数(联合分布函数)的定义

这个条件分布主要只针对二维的
一、离散型随机变量的条件分布


同理固定一个X为一个常数则可得Y的条件分布律




**注：**离散型的求在什么条件下X或Y的条件分布律，知道他们的联合分布律很重要.

1）


观察这个公式。



注：必须知道P{X=1}的概率，然后固定X=1，Y变化变化全部取值。同理Y固定时也是一样。


连续型随机变量条件分布




注：任意的x,y P{X=x}=0 P{Y =y} =0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布。而是用极限的方法推导出来，我就不再深推了。

不管是求条件概率密度函数还是条件概率，首先必须做的是求出两个边缘密度函数，这个是公式用到的。


这两个就是根据上图求出来的边缘密度函数



这一步也就是根据边缘密度函数结合公式求出来的条件概率密度函数



直接带公式就行了，但一定要注意积分的区间限制

 

1. 内容回顾



 

2. 二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数的关系





 

3. 联合分布律可以确定边缘分布律，反之不然（即，边缘分布律不能确定联合分布律）



 

4. 二维连续型随机变量的联合分布函数与边缘分布函数的关系