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  • 文章目录一、为什么是二维随机变量二、二维随机变量分布函数2.1 二维随机变量分布函数的性质2.2 二维随机变量的边缘分布函数三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法 一、为什么是二维随机变量 还记得我们...

    一、为什么是二维随机变量

    还记得我们在 C h a p t e r 2 Chapter 2 Chapter2 里面讨论的都是一维随机变量嘛,但是假如我们举一个例子:

    1. 比如我们要统计人群的身高分布,那容易啊,直接统计一个变量——身高 X 即可
    2. 但是,如果我们要统计的是人群的身材,那你不可能只用身高来衡量,我们需要两个变量——身高 X 和体重 Y。因此,这就是二维随机变量的引入。

    我们一般使用 (X, Y)来表示。可以说是一个向量。

    二、二维随机变量的分布函数

    我们先来看看定义: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy}

    它的意思是由 X ≤ x , Y ≤ y X ≤x, Y ≤y Xx,Yy 所构成的蓝色区域所对应的立体密度函数的体积!!

    这句话怎么理解呢?这得回到一维去,因为我们在一维随机变量里面, F ( x ) = P { X ≤ x } F(x) = P\{X≤x\} F(x)=P{Xx}表示的是 X ≤ x X≤x Xx 所对应的平面密度函数的面积。那么扩展到二维,它的密度函数是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ,是一个立体的函数,那么对应的自然就是体积了。

    2.1 二维随机变量分布函数的性质

    【1】 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0 ≤ F(x, y) ≤1 0F(x,y)1这个好理解,概率一定小于等于1 .
    【2】 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 是关于 x 或 y 的不减函数
    【3】 F ( − ∞ , y ) = 0 ; F ( x , − ∞ ) = 0 ; F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0; F(-∞, -∞) = 0, F(+∞, +∞) = 1 F(,y)=0;F(x,)=0;F(,)=0,F(+,+)=1
    如果我们把二维随机变量的概率密度函数想象成立体草帽,那么在任何一个变量是 -∞ 的时候,还没能切到草帽,所以体积一定是0.

    【4】 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 分别关于 x, y右连续
    【5】 P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\{x_1 < X ≤ x_2, y_1 <Y ≤ y_2\} = F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1) P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)

    2.2 二维随机变量的边缘分布函数

    上面我们讲过的: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy} 它叫做联合分布函数。下面我们来看看边缘分布函数,其实也好理解:
    F X ( x ) = P { X ≤ x , Y < + ∞ } F_X(x) = P\{X ≤ x, Y< +∞\} FX(x)=P{Xx,Y<+} 这叫做 X 的边缘分布函数,它的意思是令 X 小于等于 x, y 爱咋地咋地,不限制。同理 F Y ( y ) = P { X < + ∞ , Y < y } F_Y(y) = P\{X < +∞, Y < y\} FY(y)=P{X<+,Y<y}, 这叫做 Y 的边缘分布函数。

    三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法

    这一节只需要一个例子就可以解释明白:我们以下面的表为例:

    X\Y123
    10 1 2 \frac{1}{2} 21 1 8 \frac{1}{8} 81
    2 1 8 \frac{1}{8} 81 1 8 \frac{1}{8} 81 1 8 \frac{1}{8} 81

    这是一个二维离散型随机变量的联合分布表,里面具体的概率值就用我们之前学过的办法计算。

    下面看看如何计算联合分布函数:
    假设要计算: F ( 1.2 , 1 ) F(1.2, 1) F(1.2,1),那么就是: P { X ≤ 1.2 , Y ≤ 1 ) P\{X ≤1.2, Y≤ 1) P{X1.2,Y1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F ( 1.2 , 1 ) = 0 F(1.2, 1) = 0 F(1.2,1)=0

    如果计算 F ( 2.4 , 2.1 ) F(2.4, 2.1) F(2.4,2.1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F ( 2.4 , 2.1 ) = 0 + 1 2 + 1 8 + 1 8 = 3 4 F(2.4, 2.1) = 0+\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{4} F(2.4,2.1)=0+21+81+81=43

    其他情况类似。

    那么,如何计算边缘分布呢?首先我们看看计算 X 的边缘分布:
    在这里插入图片描述
    我们把 每一个 X 所在的行分别相加,就可以得到 X 的边缘分布。如下表:

    X12
    P 5 8 \frac{5}{8} 85 3 8 \frac{3}{8} 83

    Y 的边缘分布的计算类似。
    在这里插入图片描述

    最后提几个要点:

    1. 有了联合分布就可以唯一地确定边缘分布。
    2. 但是有了边缘分布并不能唯一地确定联合分布(除了 X, Y 独立的时候)

    四、二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数和边缘分布

    4.1 联合密度函数和联合分布函数

    分布函数的定义还是一样的: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy}
    它的意义我们在前面讨论过了,既然是体积,那么就会涉及到二重积分。我们先回顾一下二重积分的几何意义:

    f ( x , y ) ≥ 0 f(x, y) ≥ 0 f(x,y)0 时, ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_Df(x,y)dσ Df(x,y)dσ 是以区域 D 为底, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。

    因此,我们就可以通过二重积分计算分布函数: F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t F(x,y) = \int_{-∞}^{x}\int_{-∞}^{y}f(s,t)dsdt F(x,y)=xyf(s,t)dsdt
    下面我们给出几个性质:
    【1】 f ( x , y ) > 0 f(x,y) >0 f(x,y)>0
    【2】 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t = 1 \int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt = 1 ++f(s,t)dsdt=1
    【3】 f ( x , y ) = ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y f(x,y) = \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial {x} \partial {y}} f(x,y)=xy2F(x,y)(这时计算联合密度函数的好办法!)
    【4】如果题目给出来一个区域 G G G,它是 X, Y 平面的一个区域。那么,我们有: P { ( x , y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x d y P\{(x, y)∈G\} = \iint_{G}f(x,y)dxdy P{(x,y)G}=Gf(x,y)dxdy
    它也就是把 G 区域沿着 Z 轴拉伸,和 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 包围起来的那一部分体积

    4.2 边缘密度函数

    我们先定义一下边缘分布函数: F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t F_X(x) = F(x, +∞) = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt\\ \quad\\ F_Y(y) = F(+∞, y) = \int_{-∞}^y\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt FX(x)=F(x,+)=x+f(s,t)dsdtFY(y)=F(+,y)=y+f(s,t)dsdt

    当然,通过联合分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 也可以计算处边缘分布: F X ( x ) = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) F Y ( y ) = lim ⁡ x → + ∞ F ( x , y ) F_X(x) = \lim_{y\to +∞}F(x, y)\\ \quad\\ F_Y(y) = \lim_{x\to +∞}F(x,y) FX(x)=y+limF(x,y)FY(y)=x+limF(x,y)
    那么,如果要计算 X 的边缘密度函数,我们就对 F X ( x ) F_X(x) FX(x) 求导: f X ( x ) = F X ′ ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = F Y ′ ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_X(x) = F_X'(x) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy\\ \quad\\ f_Y(y) = F_Y'(y) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dx fX(x)=FX(x)=+f(x,y)dyfY(y)=FY(y)=+f(x,y)dx
    简而言之,要计算 f X ( x ) f_X(x) fX(x),可以在无穷范围内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) y y y 积分。要计算 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y),可以在无穷范围内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) x x x 积分。

    当我们说到这儿的时候,其实给出一道题做,套公式写出来没有任何问题。但是,真正的意义你理解了吗?下面我们看一个例子,博主打算用公式法+画图理解法剖析边缘密度函数的意义:

    已知(X, Y)在椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 a2x2+b2y2=1 所围成的区域上服从均匀分布。其联合密度函数为: φ ( x , y ) = { 1 π a b x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 0 e l s e φ(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{πab}\quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} ≤1\\ 0\quad else\\ \end{cases} φ(x,y)={πab1a2x2+b2y210else
    求 X ,Y 的边缘密度函数 φ X ( x ) , φ Y ( y ) φ_X(x), φ_Y(y) φX(x),φY(y)

    首先,抛开问题本身,我们一般假设概率密度函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 就是一个草帽状函数,那么问一个问题:联合分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)的意义是什么?—— 根据定义思考一下: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^yf(u, v)dudv F(x,y)=P{Xx,Yy}=xyf(u,v)dudv。下面我们看一张图理解一下:

    具体一个 F ( x 0 , y 0 ) F(x_0, y_0) F(x0,y0)的意义就是分别用 x = x 0 x = x_0 x=x0 y = y 0 y = y_0 y=y0 这两把刀,去切割草帽,里面那部分的体积!

    那么,边缘密度函数呢?如果我们还是以 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0)为例?

    既然是 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0) ,那么也就意味着只用 x = x 0 x = x_0 x=x0 这一把刀去切割草帽,我们发现,切割草帽的时候会得到一个切割线,如上图所示。那么 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0) 的意义就是这个切割线与 y y y 轴所围成的面积!

    那么,如果我们把这样的分析具体化到这道题目上,本题的分布密度函数如下图左图所示。那么一样的道理,如果考虑 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0),就是只用 x = x 0 x = x_0 x=x0这一把刀去切割分布密度函数图,如果这把刀能够切割到函数体,那么自然就会产生一个切痕,所以就是切痕曲线与 y y y 轴所围成的面积!

    很显然,我们发现:这个分布密度函数在中间那个椭圆区域才有值,其他地方都是0.

    现在,我们首先计算 φ X ( x ) φ_X(x) φX(x),很自然地,我们发现,如果 x = x 0 x = x_0 x=x0 这把刀放的太前( x ≥ a x ≥a xa)或者太后( x ≤ − a x ≤ -a xa)我们都无法切到这个函数体,自然就没有切痕。那么 φ X ( x ) φ_X(x) φX(x) 就会等于 0.即: φ X ( x ) = 0 i f   ∣ x ∣ ≥ a φ_X(x) = 0\quad if\space |x| ≥ a φX(x)=0if xa

    下面考虑能切到的时候,即 ∣ x ∣ < a |x| < a x<a,那么刀刃的线如上面左图加粗的地方,切割线也是一样的。然后我们就是要计算切痕与 y y y 轴所围成的面积(如上面的右图所示)

    但是我们又发现,这个切痕也是在 y y y 处于一定范围的时候才有值,其他时候为0. y y y 的范围我们可以通过椭圆的方程很容易求出来,就等于: ± b 1 − x 2 a 2 ±b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} ±b1a2x2
    这个面积还不好求?就是一个矩形的面积罢了对吧!所以我们得到: φ X ( x ) = 1 π a b 2 b 1 − x 2 a 2 = 2 π a 1 − x 2 a 2 i f   ∣ x ∣ < a φ_X(x) = \frac{1}{πab}2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} =\frac{2}{πa}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \quad if \space |x| < a φX(x)=πab12b1a2x2 =πa21a2x2 if x<a

    φ Y ( y ) φ_Y(y) φY(y) 的理解方法完全类似。式子的意义理解了,带公式解题也有了底气哈哈!

    关于计算边缘分布密度的注记

    在计算边缘分布密度的时候,积分的区间仍然是一个大坑。这里,博主总结了一个避坑方法:
    在给出的联合分布密度函数中,x ,y 的范围有了的时候,我们一定要把这个 x, y 范围所表示的区域画出来,只要把这个区域画出来了,我们在后面对 x 或者 y 积分的时候,它们各自的积分区间一目了然,就不会搞错了。

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  • 概率论知识回顾(十) 重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数 二维连续随机变量分布函数怎么表示? 分布函数有什么性质? 二维连续随机变量的边缘分布...

    概率论知识回顾(十)

    重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数

    知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:

    1. 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
    2. 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
    3. 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。

    知识回顾

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
    2. 分布函数有什么性质?
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
    5. 联合密度函数有什么性质?
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?

    知识解答

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
      • 对于二维连续随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 来说,函数 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 表示 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y \le y\end{Bmatrix} F(x,y)=P{Xx,Yy} 我们就称 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 为 二维连续随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的分布函数。
    2. 分布函数有什么性质?
      • 对每个自变量单调不减
        • 对任意固定 x, 当 y 1 &lt; y 2 y_1 &lt; y_2 y1<y2, 有 F ( x , y 1 ) ≤ F ( x , y 2 ) F(x, y_1) \le F(x, y_2) F(x,y1)F(x,y2)
        • 对任意固定 y, 当 x 1 &lt; x 2 x_1 &lt; x_2 x1<x2, 有 F ( x 1 , y ) ≤ F ( x 2 , y ) F(x_1, y) \le F(x_2, y) F(x1,y)F(x2,y)
      • 对每个自变量右连续
        • 对任意固定 x, F ( x , y 0 + 0 ) = F ( x , y 0 ) F(x, y_0 + 0) = F(x, y_0) F(x,y0+0)=F(x,y0)
        • 对任意固定 y, F ( x 0 + 0 , y ) = F ( x 0 , y ) F(x_0 + 0, y) = F(x_0, y) F(x0+0,y)=F(x0,y)
      • { F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 F ( x , − ∞ ) = 0 ∀ x ∈ R F ( − ∞ , y ) = 0 ∀ y ∈ R F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 \begin{cases} F(-\infty, -\infty) = 0 \\ F(x, -\infty) = 0 &amp;\forall x \in R \\ F(-\infty , y) = 0 &amp; \forall y \in R \\ F(+\infty, +\infty) = 1\end{cases} F(,)=0F(x,)=0F(,y)=0F(+,+)=1xRyR
      • 对任意 x 1 &lt; x 2 , y 1 &lt; y 2 x_1 &lt; x_2, y_1 &lt; y_2 x1<x2,y1<y2 都有 : P { x 1 &lt; X ≤ x 2 , y 1 &lt; Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 1 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) + F ( x 1 , y 1 ) ≥ 0 P\begin{Bmatrix} x_1&lt;X\le x_2, y_1&lt;Y \le y_2 \end{Bmatrix} = F(x_2, y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1) \ge 0 P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)0
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
      • 二维连续随机变量的边缘分布和离散随机变量的边缘分布类似,都是其组成的单个随机变量的分布律。
      • F X ( x ) = P { X ≤ x , Y &lt; + ∞ } = F ( x , + ∞ ) F_X(x) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y &lt; + \infty \end{Bmatrix}=F(x, +\infty) FX(x)=P{Xx,Y<+}=F(x,+) 表示 二维连续随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 关于 X X X 的边缘分布律。从公式来看其实就是排除 Y 之后,只看 x 的分布。
      • 同理 F Y = F ( + ∞ , y ) F_Y = F(+ \infty, y) FY=F(+,y)
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
      • 如果对于随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的分布函数 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 的任意取值都有一个非负可积的函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 使得 F ( x ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v F(x) = \int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^xf(u, v)dudv F(x)=yxf(u,v)dudv 。 就称 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 为二维随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的联合密度函数。
    5. 联合密度函数有什么性质?
      • f ( x , y ) ≥ 0 f(x, y) \ge 0 f(x,y)0
      • ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dxdy = 1 ++f(x,y)dxdy=1
      • 如果 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) ( x , y ) (x, y) (x,y) 处连续,则有 ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) \frac{\partial^2F(x, y)}{\partial x \partial y} = f(x, y) xy2F(x,y)=f(x,y)
      • 对于任何平面区域 G G G, 都有 P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x d y P\begin{Bmatrix}(X, Y) \in G\end{Bmatrix} = \iint_Gf(x, y)dxdy P{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdy
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
      • S G = A S_G = A SG=A ,若密度函数 f ( x , y ) = { 1 A , ( x , y ) ∈ G 0 , e l s e f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{A}, &amp; (x, y) \in G \\ 0, &amp; else \end{cases} f(x,y)={A1,0,(x,y)Gelse 则称为均匀分布。
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?
      • f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 e − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ] f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho \frac{(x-\mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]} f(x,y)=2πσ1σ21ρ2 1e2(1ρ2)1[σ12(xμ1)22ρσ1σ2(xμ1)(yμ2)+σ22(yμ2)2]
      • 其中: σ 1 &gt; 0 , σ 2 &gt; 0 , ∣ ρ ∣ &lt; 1 \sigma_1 &gt; 0, \sigma_2 &gt; 0, |\rho| &lt; 1 σ1>0,σ2>0,ρ<1
      • 记作 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , ρ ) (X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho) (X,Y)N(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)
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  • 二维随机变量及其分布函数1.联合分布函数①定义②性质(1)F(x,y)F(x,y)F(x,y)对x和y都是单调不减的,即:(2)连续性(3)解释(4)三.二维离散型随机变量1.联合分布列①定义②性质2.分布函数3.边缘分布列==从分布函数...

    概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布

    一.多维随机变量

    定义:

    ​ 若 X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega) X1(ω),X2(ω),...Xn(ω)是样本空间 Ω \Omega Ω={ ω \omega ω}上的随机变量,则( X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega) X1(ω),X2(ω),...Xn(ω))构成 Ω \Omega Ω上的n维随机变量,简记为:
    X = ( X 1 , X 2 , . . . X n ) X=(X_1,X_2,...X_n) X=(X1,X2,...Xn)

    二.二维随机变量及其分布函数

    ​ 设E是一个随机试验,S={e}为其样本空间,设 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e) Y = Y ( e ) Y=Y(e) Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)叫做二维随机变量(或二位随机向量)

    1.联合分布函数

    ①定义

    ​ 设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量, x , y x,y x,y为任意实数,称二元函数 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\} F(x,y)=P{Xx,Yy} ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数,or X X X Y Y Y联合分布函数

    F ( x , y ) \\F(x,y) F(x,y)表示事件 { X ≤ x } \left\{X\leq x\right\} {Xx} { Y ≤ y } \left\{Y\leq y\right\} {Yy}同时发生的概率(其实就是把 P { ( X ⩽ x ) ⋂ ( Y ⩽ y ) } P\{(X\leqslant x)\bigcap(Y\leqslant y)\} P{(Xx)(Yy)}记成了 P { X ≤ x , Y ≤ y } P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\} P{Xx,Yy})

    ​ 为什么要研究联合分布呢?因为二位随机变量(X,Y)的性质不仅分别与X和Y有关,也与X与Y之间的相互关系有关,所以单独逐个研究X与Y是不够的,还需要将 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)作为整体进行研究

    ②性质

    (1) F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)对x和y都是单调不减的,即:

    ​ (Ⅰ)固定 x x x,当 y 1 < y 2 y_1<y_2 y1<y2时, F ( x , y 1 ) ⩽ F ( x , y 2 ) F(x,y_1)\leqslant F(x,y_2) F(x,y1)F(x,y2)

    ​ (Ⅱ)固定 y y y,当 x 1 < x 2 x_1<x_2 x1<x2时, F ( x 1 , y ) ⩽ F ( x 2 , y ) F(x_1,y)\leqslant F(x_2,y) F(x1,y)F(x2,y)

    (2)连续性

    F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 x x x右连续,即 F ( x , y ) = F ( x + 0 , y ) F(x,y)=F(x+0,y) F(x,y)=F(x+0,y)

    F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 y y y右连续,即 F ( x , y ) = F ( x , y + 0 ) F(x,y)=F(x,y+0) F(x,y)=F(x,y+0)

    (3)

    ​ 随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在矩形区域 ( x 1 , x 2 ] × ( y 1 , y 2 ] (x_1,x_2]×(y_1,y_2] (x1,x2]×(y1,y2]内的概率为
    P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\left\{x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2\right\}\\=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)

    解释

    ​ 若将二维随机变量(X,Y)看成平面上的随机点的坐标,那么 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) ( x , y ) (x,y) (x,y)处的函数值就是随机点 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在以点 ( x , y ) (x,y) (x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率,如图紫色区域,设 A ( x , y ) A(x,y) A(x,y)

    image-20210603202735718

    image-20210603203348658

    (4)

    0 ⩽ F ( x , y ) ⩽ 1 , 且 F ( − ∞ , y ) = F ( x , − ∞ ) = F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 0\leqslant F(x,y) \leqslant 1,且F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0,\quad F(+\infty,+\infty)=1 0F(x,y)1,F(,y)=F(x,)=F(,)=0,F(+,+)=1

    几何解释

    ​ 如(3)中图所示,无穷矩形的右面边界向左无限平移 ( x → − ∞ ) (x→-∞) (x),则“随机点(X,Y)落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件,所以其概率趋于0,即有 F ( − ∞ , y ) = 0 F(-∞,y)=0 F(y)=0

    ​ 当 x → ∞ , y → ∞ x→∞,y→∞ xy时,图中无穷矩形扩展到全平面,随机点(X,Y)落在其中这一事件趋于必然事件,故其概率趋于1,即 F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(+∞,+∞)=1 F(+,+)=1

    三.二维离散型随机变量

    1.联合分布列

    ①定义

    ​ 如果二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的所有可能取值是有限个或可数个,称(X,Y)为二维离散型随机变量, P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,... P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,...称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布列,or X X X Y Y Y的联合分布列(也可用表格表示)

    ②性质

    (1) p i j ⩾ 0 , i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij}\geqslant0,\quad i,j=1,2,... pij0,i,j=1,2,...

    (2) ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 \sum\limits^{\infty}_{i=1}\sum\limits^\infty_{j=1}p_{ij}=1 i=1j=1pij=1

    2.分布函数

    F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y P { X = x i , Y = y j } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y p i j F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}p_{ij} F(x,y)=P{Xx,Yy}=xixyjyP{X=xi,Y=yj}=xixyjypij

    3.边缘分布列

    ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二维离散型随机变量,分布列为
    P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,... P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,...
    (1)关于 X X X的边缘分布列为
    P { X = x i } = ∑ j p i j = p i . , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=\sum_jp_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,... P{X=xi}=jpij=pi.,i=1,2,...
    (2)关于 Y Y Y的边缘分布列为
    P { Y = y j } = ∑ i p i j = p . j , j = 1 , 2 , . . . P\{Y=y_j\}=\sum_ip_{ij}=p_{.j},\quad j=1,2,... P{Y=yj}=ipij=p.j,j=1,2,...

    注:(1)边缘分布列具有一维分布列的性质

    (2)联合分布列唯一决定边缘分布列

    从分布函数角度理解边缘分布列:

    ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)作为整体,具有分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y),而 X X X Y Y Y都是随机变量,各自也有分布函数,分别记为 F X ( x ) , F Y ( y ) F_X(x),F_Y(y) FX(x),FY(y),依次为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)关于 X X X和关于 Y Y Y边缘分布函数,边缘分布函数可以由 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)确定

    F X ( x ) = P { X ⩽ x } = P { X ⩽ x , Y < ∞ } = F ( x , ∞ ) F_X(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{X\leqslant x,Y< \infty\}=F(x,\infty) FX(x)=P{Xx}=P{Xx,Y<}=F(x,),即 F X ( x ) = F ( x , ∞ ) = ∑ x i ⩽ x ∑ j = 1 ∞ p i j F_X(x)=F(x,\infty)=\sum\limits_{x_i\leqslant x}\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij} FX(x)=F(x,)=xixj=1pij

    所以关于 X X X的边缘分布列也可以写为
    P { X = x i } = ∑ j = 1 ∞ p i j = p i . , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,... P{X=xi}=j=1pij=pi.,i=1,2,...
    Y Y Y同理

    四.二维连续型随机变量

    1.联合概率密度

    ①定义

    ​ 如果对于 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y),若存在非负函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),对于任意实数 x , y , x,y, x,y,有:
    F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x,y)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(u,v)dudv F(x,y)=xyf(u,v)dudv
    则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维连续型随机变量,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度,或称 X 与 Y X与Y XY的联合概率密度

    ②性质

    ​ (1) f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y)\geq 0 f(x,y)0

    ​ (2) ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 = F ( + ∞ , + ∞ ) \int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dxdy=1=F(+\infty,+\infty) ++f(x,y)dxdy=1=F(+,+)

    ​ (3)设G是xOy面上一区域,点 ( X , Y ) \\(X,Y) (X,Y)落入G内的概率为
    P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ ( x , y ) ∈ G f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈G\}=\iint\limits_{(x,y)∈G}f(x,y)dxdy P{(X,Y)G}=(x,y)Gf(x,y)dxdy

    2.边缘概率密度

    ​ 关于X的边缘概率密度: f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy fX(x)=+f(x,y)dy
    ​ 关于Y的边缘概率密度: f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x \\f_Y(y)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dx fY(y)=+f(x,y)dx

    从分布函数角度理解:

    F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y ] d x F_X(x)=F(x,+\infty)=\int^x_{-\infty}[\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy]dx FX(x)=F(x,+)=x[+f(x,y)dy]dx

    易看出,X的概率密度为中括号里的表达式,即: f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy fX(x)=+f(x,y)dy

    3.均匀分布

    ​ 设G是平面上的有界区域,其面积为SG,若二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为
    f ( x , y ) = { 1 S G , ( x , y ) ∈ G 0 , o t h e r w i s e f(x,y)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{S_G}, \qquad (x,y)∈G \\ 0,\quad \qquad otherwise\\ \end{array} \right. f(x,y)={SG1,(x,y)G0,otherwise
    则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)在G上服从均匀分布

    ​ 设 G ′ G' G是区域 G G G上的任一子区域,面积为 S G ′ S_{G'} SG,则 P { ( X , Y ) ∈ G ′ } = S G ′ S G P\{(X,Y)∈G'\}=\frac{S_{G'}}{S_G} P{(X,Y)G}=SGSG

    4.正态分布

    (也叫高斯分布)

    image-20210505151607594

    用python生成二维正态分布的概率密度示意图如图所示:

    二维正态分布概率密度图

    五.条件分布

    ​ 对于两个事件,可以讨论它们的条件概率;对于两个随机变量,则可以讨论它们的条件分布

    1.离散型随机变量

    随机变量 X X X在条件 Y = y j Y=y_j Y=yj下的条件分布列:
    P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}},\quad i=1,2,... P{X=xiY=yj}=P{Y=yj}P{X=xi,Y=yj},i=1,2,...
    随机变量 Y Y Y在条件 X = x i X=x_i X=xi下的条件分布列:
    P { Y = y j ∣ X = x i } = P { X = x i , Y = y j } P { X = x i } , j = 1 , 2 , . . . P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}},\quad j=1,2,... P{Y=yjX=xi}=P{X=xi}P{X=xi,Y=yj},j=1,2,...
    条件分布列也是分布列,满足分布列的性质

    2.连续型随机变量

    (1)在 Y = y Y=y Y=y条件下,

    X X X的条件概率密度
    f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y{(y)}} fXY(xy)=fY(y)f(x,y)
    X X X的条件分布函数
    F X ∣ Y ( x ∣ y ) = ∫ − ∞ x f X ∣ Y ( u ∣ y ) d u F_{X|Y}(x|y)=\int^x_{-\infty}f_{X|Y}(u|y)du FXY(xy)=xfXY(uy)du
    (2)在 X = x X=x X=x条件下,

    Y Y Y的条件概率密度
    f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X{(x)}} fYX(yx)=fX(x)f(x,y)
    Y Y Y的条件分布函数
    F Y ∣ X ( y ∣ x ) = ∫ − ∞ y f Y ∣ X ( v ∣ x ) d v F_{Y|X}(y|x)=\int^y_{-\infty}f_{Y|X}(v|x)dv FYX(yx)=yfYX(vx)dv

    六.随机变量的独立性

    ​ 随机变量的独立性可借助事件的独立性引出

    ​ 设 X , Y X,Y X,Y为两个随机变量,对于任意的实数 x , y , “ X ⩽ x " x,y,“X\leqslant x" x,y,Xx" “ Y ⩽ y " “Y\leqslant y" Yy"为两个事件,根据事件的独立性定义, “ X ⩽ x " , “ Y ⩽ y " “X\leqslant x",“Y\leqslant y" Xx",Yy"相互独立,相当于式
    P { X ⩽ x , Y ⩽ y } = P { X ⩽ x } P { Y ⩽ y } P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=P\{X \leqslant x\}P\{Y \leqslant y\} P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}
    成立,或写为
    F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)

    1.定义

    X ⩽ x X\leqslant x Xx“和“ Y ⩽ y Y\leqslant y Yy”相互独立
       ⟺    P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y }    ⟺    F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) \iff P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}\cdot P\{Y\leq y\} \iff F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}F(x,y)=FX(x)FY(y)

    2.判断方法

    (1)联合分布函数=边缘分布函数的乘积

    F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)

    (2)离散型:联合分布列=边缘分布列的乘积

    P { X = x i , Y = y j } = P { X = x i } ⋅ P { Y = y j } P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}\cdot P\{Y=y_j\} P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}

    (3)连续型:联合概率密度=边缘概率密度的乘积

    f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y)

    3.定理

    ​ 设随机变量 X X X Y Y Y相互独立, g ( x ) , h ( y ) g(x),h(y) g(x),h(y)是连续函数,则随机变量函数 g ( x ) , h ( y ) g(x),h(y) g(x),h(y)也相互独立

    七.二维随机变量函数的分布

    1.离散型随机变量函数的分布: Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

    ​ 设 X , Y X,Y X,Y是离散型随机变量,则随机变量 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y的分布列为
    P { X + Y = m } = ∑ i P { X = i , Y = m − i } P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i,Y=m-i\} P{X+Y=m}=iP{X=i,Y=mi}
    ​ 若 X , Y X,Y X,Y相互独立,则
    P { X + Y = m } = ∑ i P { X = i } P { Y = m − i } P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i\}P\{Y=m-i\} P{X+Y=m}=iP{X=i}P{Y=mi}

    证明:

    ​ 事件 X + Y = m X+Y=m X+Y=m是互不相容事件 A k = { X = k , Y = m − k } A_k=\{X=k,Y=m-k\} Ak={X=k,Y=mk}的和事件,而 P ( A k ) = P { X = k , Y = m − k } P(A_k)=P\{X=k,Y=m-k\} P(Ak)=P{X=k,Y=mk},由此可得
    P { X + Y = m } = ∑ P ( A k ) = ∑ k + l = m P { X = k , Y = l } P\{X+Y=m\}=\sum P(A_k)=\sum_{k+l=m}P\{X=k,Y=l\} P{X+Y=m}=P(Ak)=k+l=mP{X=k,Y=l}

    一些结论

    ​ ①若 X , Y X,Y X,Y相互独立, X ∼ P ( λ 1 ) , Y ∼ P ( λ 2 ) X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2) XP(λ1),YP(λ2),则 X + Y ∼ P ( λ 1 + λ 2 ) X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2) X+YP(λ1+λ2)

    ​ 两个相互独立的泊松变量之和仍是一个泊松变量,且其参数等于相应的随机变量分布参数的和

    ​ ②若 X 1 , X 2 X_1,X_2 X1,X2相互独立, X 1 ∼ B ( n 1 , p ) , X 2 ∼ B ( n 2 , p ) X_1\sim B(n_1,p),X_2\sim B(n_2,p) X1B(n1,p),X2B(n2,p),则 X = X 1 + X 2 ∼ B ( n 1 + n 2 , p ) X=X_1+X_2\sim B(n_1+n_2,p) X=X1+X2B(n1+n2,p)

    2. max ⁡ { X , Y } \max\{X,Y\} max{X,Y} min ⁡ { X , Y } \min\{X,Y\} min{X,Y}的分布

    ​ 设 X , Y X,Y X,Y相互独立,分布函数分别为 F X ( x ) F_X(x) FX(x) F Y ( y ) F_Y(y) FY(y),则:

    Z = max ⁡ { X , Y } Z=\max\{X,Y\} Z=max{X,Y}的分布函数为:
    F max ⁡ ( z ) = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_{\max}(z)=F_X(z)\cdot F_Y(z) Fmax(z)=FX(z)FY(z)

    ​ 证明:
    F m a x ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { m a x { X , Y } ⩽ z } F_{max}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{max\{X,Y\}\leqslant z\} Fmax(z)=P{Zz}=P{max{X,Y}z}
    ​ 又因为 Z ⩽ z Z\leqslant z Zz 等价于 X , Y X,Y X,Y ⩽ z \leqslant z z,所以
    F m a x ( z ) = P { X ⩽ z , Y ⩽ z } = P { X ⩽ z } P { Y ⩽ z } = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_{max}(z)=P\{X\leqslant z,Y\leqslant z\}=P\{X\leqslant z\}P\{Y\leqslant z\}=F_X(z)\cdot F_Y(z) Fmax(z)=P{Xz,Yz}=P{Xz}P{Yz}=FX(z)FY(z)

    Z = min ⁡ { X , Y } Z=\min\{X,Y\} Z=min{X,Y}的分布函数为:
    F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_{\min}(z)=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)] Fmin(z)=1[1FX(z)][1FY(z)]

    ​ 证明:
    F m i n ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { m i n { X , Y } ⩽ z } = 1 − P { m i n { X , Y } > z } F_{min}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{min\{X,Y\}\leqslant z\}=1-P\{min\{X,Y\}> z\} Fmin(z)=P{Zz}=P{min{X,Y}z}=1P{min{X,Y}>z}
    ​ 又因为 Z > z Z>z Z>z等价于 X , Y X,Y X,Y > z > z >z,所以
    F m a x ( z ) = 1 − P { X > z , Y > z } = 1 − P { X > z } P { Y > z } = 1 − [ 1 − P { X ⩽ z } ] [ 1 − P { Y ⩽ z } ] = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_{max}(z)=1-P\{X> z,Y> z\}=1-P\{X> z\}P\{Y> z\}\\=1-[1-P\{X\leqslant z\}][1-P\{Y\leqslant z\}]\\=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)] Fmax(z)=1P{X>z,Y>z}=1P{X>z}P{Y>z}=1[1P{Xz}][1P{Yz}]=1[1FX(z)][1FY(z)]

    推广

    ​ 设随机变量 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立,分布函数分别为 F X 1 ( x 1 ) F_{X_1}(x_1) FX1(x1) F X 2 ( x 2 ) , . . . , F X n ( x n ) F_{X_2}(x_2),...,F_{X_n}(x_n) FX2(x2),...,FXn(xn),则:

    max ⁡ { X 1 , X 2 , . . . , X n } \max\{X_1,X_2,...,X_n\} max{X1,X2,...,Xn}的分布函数为:
    F max ⁡ ( z ) = F X 1 ( z ) ⋅ F X 2 ( z ) . . . F X n ( z ) F_{\max}(z)=F_{X_1}(z)\cdot F_{X_2}(z)...F_{X_n}(z) Fmax(z)=FX1(z)FX2(z)...FXn(z)
    min ⁡ { X 1 , X 2 , . . . , X n } \min\{X_1,X_2,...,X_n\} min{X1,X2,...,Xn}的分布函数为:
    F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F X 1 ( z ) ] ⋅ [ 1 − F X 2 ( z ) ] . . . [ 1 − F X n ( z ) ] F_{\min}(z)=1-[1-F_{X_1}(z)]\cdot [1-F_{X_2}(z)]...[1-F_{X_n}(z)] Fmin(z)=1[1FX1(z)][1FX2(z)]...[1FXn(z)]
    X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立,具有相同的分布函数 F ( z ) F(z) F(z),则
    F max ⁡ ( z ) = [ F ( z ) ] n , F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F ( z ) ] n F_{\max}(z)=[F(z)]^n,\qquad F_{\min}(z)=1-[1-F(z)]^n Fmax(z)=[F(z)]nFmin(z)=1[1F(z)]n

    3.连续型随机变量函数的分布: Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

    分布函数法:

    设二维连续型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),求 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y)的概率密度
    F Z ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { g ( X , Y ) ⩽ z } = ∬ g ( x , y ) ⩽ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{g(X,Y)\leqslant z\}=\iint\limits_{g(x,y)\leqslant z}f(x,y)dxdy FZ(z)=P{Zz}=P{g(X,Y)z}=g(x,y)zf(x,y)dxdy
    f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) f_Z(z)=F'_Z(z) fZ(z)=FZ(z)

    4.瑞利分布

    瑞利分布:当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差、均值为0的正态分布时,这个向量的模呈瑞利分布

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  • 第三章 二维随机变量及其分布

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    第三章 二维随机变量及其分布一、二维随机变量的联合分布与边缘分布 二维随机变量 设 XX, YY 为随机变量,称 (X,Y)(X, Y) 为二维随机变量。 联合分布函数 F(x,y)=P{X⩽x,Y⩽y} F(x, y) = P\{X \leqslant x, Y \...

    第三章 二维随机变量及其分布


    一、二维随机变量的联合分布与边缘分布

    1. 二维随机变量
      X , Y 为随机变量,称 (X,Y) 为二维随机变量。
    2. 联合分布函数
      F(x,y)=P{Xx,Yy}
    3. 边际分布函数
      FX(x)=P{Xx}FY(y)=P{Yy}

    二、二维离散型随机变量及其分布

    1. X , Y 为离散型随机变量,称 (X,Y) 为二维离散型随机变量。
    2. 联合分布律
      P{X=xi,Y=yj}=pij(i=1,2,,n)
    3. 边缘分布律
      P{X=xi}=j=1npij=pi(i=1,2,,m)P{Y=yj}=i=1mpij=pj(j=1,2,,n)

    三、二维连续型随机变量及其分布

    1. (X,Y) 为二维随机变量,若存在二元非负可积函数 f(x,y) , 使得
      F(x,y)=xduyf(u,v)dv

      (X,Y) 为二维连续型随机变量,其中 f(x,y) (X,Y) 联合密度函数
    2. 边缘分布
      边际密度函数
      fX(x)=+f(x,y)dyfY(y)=+f(x,y)dx

      边缘分布函数
      FX(x)=xfX(x)dx=x+f(x,y)dyFY(y)=yfY(y)dy=y+f(x,y)dx

    四、条件分布

    1. 离散型
      P{X=xi|Y=yj}=pijpjP{Y=yj|X=xi}=pijpi
    2. 连续型
      条件密度
      fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x){X=x}YfX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y){Y=y}X

    五、随机变量的独立性

    1. 两个随机变量独立的定义
      F(x,y)=FX(x)×FY(y)
    2. 随机变量独立的等价条件
      pijf(x,y)=pi×pj=fX(x)fY(y)

    六、常见的二维随机变量及分布

    1. 二维均匀分布 (X,Y)U(D)
      f(x,y)={1A0,(x,y)D,(x,y)D
    2. 二维正态分布 (X,Y)N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ)
      f(x,y)=12πσ1σ21ρ2exp(12(1ρ2)[(xμ1)2σ212ρ(xμ1)(yμ2)σ1σ2+(yμ2)2σ22])

    七、二维随机变量函数的分布

    1. 离散型
      P{U=uk}=φ(xi,yj)=ukpij
    2. 连续型
      FU(u)=P{Uu}=P{φ(X,Y)u}=φ(x,y)uf(x,y)dxdy
    3. 常用二维随机变量的函数及分布
      • U=min{X,Y} V=max{X,Y}
        FU(u)FV(v)=1[1FX(u)][1FY(u)]=FX(v)×FY(v)
      • U=X+Y
        如果 (X,Y)f(x,y) ,则
        fU(u)=+f(x,ux)dx=+f(uy,y)dy
      • 前提 X,Y 相互独立
      • XB(m,p),YB(n,p),UB(m+n,p)
      • XP(λ1),YP(λ2),UP(λ1,λ2)
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