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  • 实验二 二维随机变量信息量的计算
    2020-12-15 07:42:55

    一、实验目的:

    了解随机数的生成方法,掌握二变量多种信息量的计算方法,并用C/C++程序实现

    二、实验内容:

    用C/C++语言(其他语言也可以)实现:
    (1)根据如下的联合概率密度
    在这里插入图片描述

    分别计算X与Y的熵、联合熵、条件熵:H(X)、H(Y)、H(X,Y)H(X|Y)、I(X;Y);
    在这里插入图片描述

    #include<stdio.h>
    #include<math.h> 
    int main(){
      
      float p[2][2],Hx,Hy,Hxy,pa1,pa2,pb1,pb2;
      int i,j; 
      printf("请输入联合概率:\n");	
      for( i=0;i<2;++i){
      	for( j=0;j<2;++j){
      		scanf("%f",&p[i][j]);
    	  }
    	  printf("\n");
      }
      
     printf("联合概率为:\n");	
      for( i=0;i<2;++i){
      	for( j=0;j<2;++j){
      		printf("%f ",p[i][j]);
      	}
    	  printf("\n");	
    } 
      
      for(i=0;i<2;++i){
      	pa1+=p[0][i];
      	pa2+=p[1][i];
      	pb1+=p[i][0];
      	pb2+=p[i][1];
      }
      printf("\npa1=%f,pa2=%f,pb1=%f,pb2=%f\n",pa1,pa2,pb1,pb2);
      
      Hx = (-pa1*(log(pa1)/log(2)))+(-pa2*(log(pa2)/log(2)));
      Hy = (-pb1*(log(pb1)/log(2)))+(-pb2*(log(pb2)/log(2)));
     
      printf("\nH(X)的熵为:%f\n",Hx); 
      printf("\nH(Y)的熵为:%f\n",Hy);
      
      for(j=0;j<2;++j){
      	for(i=0;i<2;++i){
      		Hxy += -p[i][j]*(log(p[i][j])/log(2));
    	  }
      }
      printf("\n联合熵为H(X,Y):%f\n",Hxy);
      printf("\n条件熵为H(X|Y):%f\n",Hxy-Hy);
      printf("\n互信息熵为I(X;Y):%f\n",Hx-(Hxy-Hy));
      
    }
    

    2)利用random函数和归一化方法构造一个二维离散随机变量(X,Y);

    先产生4个整数,选如下的归一化方法将其变为0~1之间的值,

    简单的归一化方法:

    把数变为(0,1)之间的小数

    例:{2.5 3.5 0.5 1.5}归一化后变成了{0.3125 0.4375 0.0625 0.1875}

    解:2.5+3.5+0.5+1.5=8,
    2.5/8=0.3125,
    3.5/8=0.4375,
    0.5/8=0.0625,
    1.5/8=0.1875.

    将其作为二维随机变量的联合分布:
    在这里插入图片描述

    分别计算X与Y的熵、联合熵、条件熵:H(X)、H(Y)、H(X,Y)H(X|Y)、I(X;Y);
    在这里插入图片描述

    #include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    #include <time.h>
    #include<math.h>
    int main(){
    	float p[2][2],sum=0,Hx,Hy,Hxy,pa1,pa2,pb1,pb2;;
    	int i,j;
    	srand(time(0));
    	 printf("\n生成随机数为:\n");	
    	  for( i=0;i<2;++i){
    	  	for( j=0;j<2;++j){
    	  		p[i][j] = 1.0*(rand()%RAND_MAX)/RAND_MAX; 
    	  		sum+=p[i][j];
    	  		printf("%f ",p[i][j]);
    		  }
    		  printf("\n");
    	  }
    	  
    	  
    	printf("\nsum:%f \n",sum);
    	printf("\n联合概率为:\n");
    	  for( i=0;i<2;++i){
    	  	for( j=0;j<2;++j){
    	  	   p[i][j]/=sum;
    		  printf("%f ",p[i][j]);
    		}
    		  printf("\n");
    	}
    	for(i=0;i<2;++i){
      	pa1+=p[0][i];
      	pa2+=p[1][i];
      	pb1+=p[i][0];
      	pb2+=p[i][1];
      }
      printf("\npa1=%f,pa2=%f,pb1=%f,pb2=%f\n",pa1,pa2,pb1,pb2);
      
      Hx = (-pa1*(log(pa1)/log(2)))+(-pa2*(log(pa2)/log(2)));
      Hy = (-pb1*(log(pb1)/log(2)))+(-pb2*(log(pb2)/log(2)));
     
      printf("\nH(X)的熵为:%f\n",Hx); 
      printf("\nH(Y)的熵为:%f\n",Hy);
      
      for(j=0;j<2;++j){
      	for(i=0;i<2;++i){
      		Hxy += -p[i][j]*(log(p[i][j])/log(2));
    	  }
      }
      printf("\n联合熵为H(X,Y):%f\n",Hxy);
      printf("\n条件熵为H(X|Y):%f\n",Hxy-Hy);
      printf("\n互信息熵为I(X;Y):%f\n",Hx-(Hxy-Hy));
    
    }
    
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    这一章是上一章的深化,一个是一维空间,一个是多维空间。

    联合分布函数

    在这里插入图片描述

    联合分布率

    在这里插入图片描述

    二维连续型随机变量

    在这里插入图片描述
    (X,Y)概率密度性质
    在这里插入图片描述

    (X,Y)在G上符合均匀分布

    在这里插入图片描述

    二维正态分布

    在这里插入图片描述

    边缘分布

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    离散型随机变量的边缘分布律

    在这里插入图片描述

    边缘分布,例如x就是联合分布在x<X,且y小于正无穷的情况下得到的关于x的部分联合分布。

    连续型随机变量的边缘概率密度

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 概率论与数理统计(3.1)二维随机变量

    千次阅读 2020-04-05 10:56:43
    二维随机变量1.二维随机变量的定义2.二维随机变量分布函数(联合分布函数)的定义3.分布函数F(x,y)的基本性质(4条)4.二维离散型随机变量1).定义2).二维离散型随机变量的分布律3).二维离散型随机变量的分布函数4).二...

    1.二维随机变量的定义

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    二维随机变量的性质与X、Y有关,且依赖于两个随机变量的相互关系。

    2.二维随机变量分布函数(联合分布函数)的定义

    在这里插入图片描述
    F(x,y)的函数值就是随机点落在平面区域内的概率。
    在这里插入图片描述
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    3.分布函数F(x,y)的基本性质(4条)

    在这里插入图片描述
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    4.二维离散型随机变量

    1).定义

    在这里插入图片描述

    2).二维离散型随机变量的分布律

    在这里插入图片描述
    可表示为:
    在这里插入图片描述

    3).二维离散型随机变量的分布函数

    在这里插入图片描述

    4).二维离散型随机变量分布律和分布函数求解例题

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    分布函数:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    5.二维连续型随机变量

    1).定义

    在这里插入图片描述

    2).性质

    在这里插入图片描述
    说明:
    在这里插入图片描述

    3).二维连续型随机变量例题

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    6.二维随机变量推广

    1).n维随机变量定义

    在这里插入图片描述

    2).n维随机变量的分布函数(联合分布函数)的定义

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布 文章目录概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布一.多维随机变量定义:二.二维随机变量及其分布函数1.联合分布函数①定义②性质(1)F(x,y)F(x,y)F(x,y)对x和y都是单调不...

    概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布

    一.多维随机变量

    定义:

    ​ 若 X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega) X1(ω),X2(ω),...Xn(ω)是样本空间 Ω \Omega Ω={ ω \omega ω}上的随机变量,则( X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega) X1(ω),X2(ω),...Xn(ω))构成 Ω \Omega Ω上的n维随机变量,简记为:
    X = ( X 1 , X 2 , . . . X n ) X=(X_1,X_2,...X_n) X=(X1,X2,...Xn)

    二.二维随机变量及其分布函数

    ​ 设E是一个随机试验,S={e}为其样本空间,设 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e) Y = Y ( e ) Y=Y(e) Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)叫做二维随机变量(或二位随机向量)

    1.联合分布函数

    ①定义

    ​ 设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量, x , y x,y x,y为任意实数,称二元函数 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\} F(x,y)=P{Xx,Yy} ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数,or X X X Y Y Y联合分布函数

    F ( x , y ) \\F(x,y) F(x,y)表示事件 { X ≤ x } \left\{X\leq x\right\} {Xx} { Y ≤ y } \left\{Y\leq y\right\} {Yy}同时发生的概率(其实就是把 P { ( X ⩽ x ) ⋂ ( Y ⩽ y ) } P\{(X\leqslant x)\bigcap(Y\leqslant y)\} P{(Xx)(Yy)}记成了 P { X ≤ x , Y ≤ y } P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\} P{Xx,Yy})

    ​ 为什么要研究联合分布呢?因为二位随机变量(X,Y)的性质不仅分别与X和Y有关,也与X与Y之间的相互关系有关,所以单独逐个研究X与Y是不够的,还需要将 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)作为整体进行研究

    ②性质

    (1) F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)对x和y都是单调不减的,即:

    ​ (Ⅰ)固定 x x x,当 y 1 < y 2 y_1<y_2 y1<y2时, F ( x , y 1 ) ⩽ F ( x , y 2 ) F(x,y_1)\leqslant F(x,y_2) F(x,y1)F(x,y2)

    ​ (Ⅱ)固定 y y y,当 x 1 < x 2 x_1<x_2 x1<x2时, F ( x 1 , y ) ⩽ F ( x 2 , y ) F(x_1,y)\leqslant F(x_2,y) F(x1,y)F(x2,y)

    (2)连续性

    F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 x x x右连续,即 F ( x , y ) = F ( x + 0 , y ) F(x,y)=F(x+0,y) F(x,y)=F(x+0,y)

    F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 y y y右连续,即 F ( x , y ) = F ( x , y + 0 ) F(x,y)=F(x,y+0) F(x,y)=F(x,y+0)

    (3)

    ​ 随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在矩形区域 ( x 1 , x 2 ] × ( y 1 , y 2 ] (x_1,x_2]×(y_1,y_2] (x1,x2]×(y1,y2]内的概率为
    P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\left\{x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2\right\}\\=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)

    解释

    ​ 若将二维随机变量(X,Y)看成平面上的随机点的坐标,那么 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) ( x , y ) (x,y) (x,y)处的函数值就是随机点 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在以点 ( x , y ) (x,y) (x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率,如图紫色区域,设 A ( x , y ) A(x,y) A(x,y)

    image-20210603202735718

    image-20210603203348658

    (4)

    0 ⩽ F ( x , y ) ⩽ 1 , 且 F ( − ∞ , y ) = F ( x , − ∞ ) = F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 0\leqslant F(x,y) \leqslant 1,且F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0,\quad F(+\infty,+\infty)=1 0F(x,y)1,F(,y)=F(x,)=F(,)=0,F(+,+)=1

    几何解释

    ​ 如(3)中图所示,无穷矩形的右面边界向左无限平移 ( x → − ∞ ) (x→-∞) (x),则“随机点(X,Y)落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件,所以其概率趋于0,即有 F ( − ∞ , y ) = 0 F(-∞,y)=0 F(y)=0

    ​ 当 x → ∞ , y → ∞ x→∞,y→∞ xy时,图中无穷矩形扩展到全平面,随机点(X,Y)落在其中这一事件趋于必然事件,故其概率趋于1,即 F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(+∞,+∞)=1 F(+,+)=1

    三.二维离散型随机变量

    1.联合分布列

    ①定义

    ​ 如果二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的所有可能取值是有限个或可数个,称(X,Y)为二维离散型随机变量, P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,... P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,...称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布列,or X X X Y Y Y的联合分布列(也可用表格表示)

    ②性质

    (1) p i j ⩾ 0 , i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij}\geqslant0,\quad i,j=1,2,... pij0,i,j=1,2,...

    (2) ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 \sum\limits^{\infty}_{i=1}\sum\limits^\infty_{j=1}p_{ij}=1 i=1j=1pij=1

    2.分布函数

    F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y P { X = x i , Y = y j } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y p i j F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}p_{ij} F(x,y)=P{Xx,Yy}=xixyjyP{X=xi,Y=yj}=xixyjypij

    3.边缘分布列

    ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二维离散型随机变量,分布列为
    P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,... P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,...
    (1)关于 X X X的边缘分布列为
    P { X = x i } = ∑ j p i j = p i . , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=\sum_jp_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,... P{X=xi}=jpij=pi.,i=1,2,...
    (2)关于 Y Y Y的边缘分布列为
    P { Y = y j } = ∑ i p i j = p . j , j = 1 , 2 , . . . P\{Y=y_j\}=\sum_ip_{ij}=p_{.j},\quad j=1,2,... P{Y=yj}=ipij=p.j,j=1,2,...

    注:(1)边缘分布列具有一维分布列的性质

    (2)联合分布列唯一决定边缘分布列

    从分布函数角度理解边缘分布列:

    ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)作为整体,具有分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y),而 X X X Y Y Y都是随机变量,各自也有分布函数,分别记为 F X ( x ) , F Y ( y ) F_X(x),F_Y(y) FX(x),FY(y),依次为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)关于 X X X和关于 Y Y Y边缘分布函数,边缘分布函数可以由 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)确定

    F X ( x ) = P { X ⩽ x } = P { X ⩽ x , Y < ∞ } = F ( x , ∞ ) F_X(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{X\leqslant x,Y< \infty\}=F(x,\infty) FX(x)=P{Xx}=P{Xx,Y<}=F(x,),即 F X ( x ) = F ( x , ∞ ) = ∑ x i ⩽ x ∑ j = 1 ∞ p i j F_X(x)=F(x,\infty)=\sum\limits_{x_i\leqslant x}\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij} FX(x)=F(x,)=xixj=1pij

    所以关于 X X X的边缘分布列也可以写为
    P { X = x i } = ∑ j = 1 ∞ p i j = p i . , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,... P{X=xi}=j=1pij=pi.,i=1,2,...
    Y Y Y同理

    四.二维连续型随机变量

    1.联合概率密度

    ①定义

    ​ 如果对于 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y),若存在非负函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),对于任意实数 x , y , x,y, x,y,有:
    F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x,y)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(u,v)dudv F(x,y)=xyf(u,v)dudv
    则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维连续型随机变量,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度,或称 X 与 Y X与Y XY的联合概率密度

    ②性质

    ​ (1) f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y)\geq 0 f(x,y)0

    ​ (2) ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 = F ( + ∞ , + ∞ ) \int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dxdy=1=F(+\infty,+\infty) ++f(x,y)dxdy=1=F(+,+)

    ​ (3)设G是xOy面上一区域,点 ( X , Y ) \\(X,Y) (X,Y)落入G内的概率为
    P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ ( x , y ) ∈ G f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈G\}=\iint\limits_{(x,y)∈G}f(x,y)dxdy P{(X,Y)G}=(x,y)Gf(x,y)dxdy

    2.边缘概率密度

    ​ 关于X的边缘概率密度: f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy fX(x)=+f(x,y)dy
    ​ 关于Y的边缘概率密度: f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x \\f_Y(y)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dx fY(y)=+f(x,y)dx

    从分布函数角度理解:

    F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y ] d x F_X(x)=F(x,+\infty)=\int^x_{-\infty}[\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy]dx FX(x)=F(x,+)=x[+f(x,y)dy]dx

    易看出,X的概率密度为中括号里的表达式,即: f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy fX(x)=+f(x,y)dy

    3.均匀分布

    ​ 设G是平面上的有界区域,其面积为SG,若二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为
    f ( x , y ) = { 1 S G , ( x , y ) ∈ G 0 , o t h e r w i s e f(x,y)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{S_G}, \qquad (x,y)∈G \\ 0,\quad \qquad otherwise\\ \end{array} \right. f(x,y)={SG1,(x,y)G0,otherwise
    则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)在G上服从均匀分布

    ​ 设 G ′ G' G是区域 G G G上的任一子区域,面积为 S G ′ S_{G'} SG,则 P { ( X , Y ) ∈ G ′ } = S G ′ S G P\{(X,Y)∈G'\}=\frac{S_{G'}}{S_G} P{(X,Y)G}=SGSG

    4.正态分布

    (也叫高斯分布)

    image-20210505151607594

    用python生成二维正态分布的概率密度示意图如图所示:

    二维正态分布概率密度图

    五.条件分布

    ​ 对于两个事件,可以讨论它们的条件概率;对于两个随机变量,则可以讨论它们的条件分布

    1.离散型随机变量

    随机变量 X X X在条件 Y = y j Y=y_j Y=yj下的条件分布列:
    P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}},\quad i=1,2,... P{X=xiY=yj}=P{Y=yj}P{X=xi,Y=yj},i=1,2,...
    随机变量 Y Y Y在条件 X = x i X=x_i X=xi下的条件分布列:
    P { Y = y j ∣ X = x i } = P { X = x i , Y = y j } P { X = x i } , j = 1 , 2 , . . . P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}},\quad j=1,2,... P{Y=yjX=xi}=P{X=xi}P{X=xi,Y=yj},j=1,2,...
    条件分布列也是分布列,满足分布列的性质

    2.连续型随机变量

    (1)在 Y = y Y=y Y=y条件下,

    X X X的条件概率密度
    f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y{(y)}} fXY(xy)=fY(y)f(x,y)
    X X X的条件分布函数
    F X ∣ Y ( x ∣ y ) = ∫ − ∞ x f X ∣ Y ( u ∣ y ) d u F_{X|Y}(x|y)=\int^x_{-\infty}f_{X|Y}(u|y)du FXY(xy)=xfXY(uy)du
    (2)在 X = x X=x X=x条件下,

    Y Y Y的条件概率密度
    f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X{(x)}} fYX(yx)=fX(x)f(x,y)
    Y Y Y的条件分布函数
    F Y ∣ X ( y ∣ x ) = ∫ − ∞ y f Y ∣ X ( v ∣ x ) d v F_{Y|X}(y|x)=\int^y_{-\infty}f_{Y|X}(v|x)dv FYX(yx)=yfYX(vx)dv

    六.随机变量的独立性

    ​ 随机变量的独立性可借助事件的独立性引出

    ​ 设 X , Y X,Y X,Y为两个随机变量,对于任意的实数 x , y , “ X ⩽ x " x,y,“X\leqslant x" x,y,Xx" “ Y ⩽ y " “Y\leqslant y" Yy"为两个事件,根据事件的独立性定义, “ X ⩽ x " , “ Y ⩽ y " “X\leqslant x",“Y\leqslant y" Xx",Yy"相互独立,相当于式
    P { X ⩽ x , Y ⩽ y } = P { X ⩽ x } P { Y ⩽ y } P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=P\{X \leqslant x\}P\{Y \leqslant y\} P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}
    成立,或写为
    F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)

    1.定义

    X ⩽ x X\leqslant x Xx“和“ Y ⩽ y Y\leqslant y Yy”相互独立
       ⟺    P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y }    ⟺    F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) \iff P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}\cdot P\{Y\leq y\} \iff F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}F(x,y)=FX(x)FY(y)

    2.判断方法

    (1)联合分布函数=边缘分布函数的乘积

    F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)

    (2)离散型:联合分布列=边缘分布列的乘积

    P { X = x i , Y = y j } = P { X = x i } ⋅ P { Y = y j } P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}\cdot P\{Y=y_j\} P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}

    (3)连续型:联合概率密度=边缘概率密度的乘积

    f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y)

    3.定理

    ​ 设随机变量 X X X Y Y Y相互独立, g ( x ) , h ( y ) g(x),h(y) g(x),h(y)是连续函数,则随机变量函数 g ( x ) , h ( y ) g(x),h(y) g(x),h(y)也相互独立

    七.二维随机变量函数的分布

    1.离散型随机变量函数的分布: Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

    ​ 设 X , Y X,Y X,Y是离散型随机变量,则随机变量 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y的分布列为
    P { X + Y = m } = ∑ i P { X = i , Y = m − i } P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i,Y=m-i\} P{X+Y=m}=iP{X=i,Y=mi}
    ​ 若 X , Y X,Y X,Y相互独立,则
    P { X + Y = m } = ∑ i P { X = i } P { Y = m − i } P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i\}P\{Y=m-i\} P{X+Y=m}=iP{X=i}P{Y=mi}

    证明:

    ​ 事件 X + Y = m X+Y=m X+Y=m是互不相容事件 A k = { X = k , Y = m − k } A_k=\{X=k,Y=m-k\} Ak={X=k,Y=mk}的和事件,而 P ( A k ) = P { X = k , Y = m − k } P(A_k)=P\{X=k,Y=m-k\} P(Ak)=P{X=k,Y=mk},由此可得
    P { X + Y = m } = ∑ P ( A k ) = ∑ k + l = m P { X = k , Y = l } P\{X+Y=m\}=\sum P(A_k)=\sum_{k+l=m}P\{X=k,Y=l\} P{X+Y=m}=P(Ak)=k+l=mP{X=k,Y=l}

    一些结论

    ​ ①若 X , Y X,Y X,Y相互独立, X ∼ P ( λ 1 ) , Y ∼ P ( λ 2 ) X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2) XP(λ1),YP(λ2),则 X + Y ∼ P ( λ 1 + λ 2 ) X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2) X+YP(λ1+λ2)

    ​ 两个相互独立的泊松变量之和仍是一个泊松变量,且其参数等于相应的随机变量分布参数的和

    ​ ②若 X 1 , X 2 X_1,X_2 X1,X2相互独立, X 1 ∼ B ( n 1 , p ) , X 2 ∼ B ( n 2 , p ) X_1\sim B(n_1,p),X_2\sim B(n_2,p) X1B(n1,p),X2B(n2,p),则 X = X 1 + X 2 ∼ B ( n 1 + n 2 , p ) X=X_1+X_2\sim B(n_1+n_2,p) X=X1+X2B(n1+n2,p)

    2. max ⁡ { X , Y } \max\{X,Y\} max{X,Y} min ⁡ { X , Y } \min\{X,Y\} min{X,Y}的分布

    ​ 设 X , Y X,Y X,Y相互独立,分布函数分别为 F X ( x ) F_X(x) FX(x) F Y ( y ) F_Y(y) FY(y),则:

    Z = max ⁡ { X , Y } Z=\max\{X,Y\} Z=max{X,Y}的分布函数为:
    F max ⁡ ( z ) = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_{\max}(z)=F_X(z)\cdot F_Y(z) Fmax(z)=FX(z)FY(z)

    ​ 证明:
    F m a x ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { m a x { X , Y } ⩽ z } F_{max}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{max\{X,Y\}\leqslant z\} Fmax(z)=P{Zz}=P{max{X,Y}z}
    ​ 又因为 Z ⩽ z Z\leqslant z Zz 等价于 X , Y X,Y X,Y ⩽ z \leqslant z z,所以
    F m a x ( z ) = P { X ⩽ z , Y ⩽ z } = P { X ⩽ z } P { Y ⩽ z } = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_{max}(z)=P\{X\leqslant z,Y\leqslant z\}=P\{X\leqslant z\}P\{Y\leqslant z\}=F_X(z)\cdot F_Y(z) Fmax(z)=P{Xz,Yz}=P{Xz}P{Yz}=FX(z)FY(z)

    Z = min ⁡ { X , Y } Z=\min\{X,Y\} Z=min{X,Y}的分布函数为:
    F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_{\min}(z)=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)] Fmin(z)=1[1FX(z)][1FY(z)]

    ​ 证明:
    F m i n ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { m i n { X , Y } ⩽ z } = 1 − P { m i n { X , Y } > z } F_{min}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{min\{X,Y\}\leqslant z\}=1-P\{min\{X,Y\}> z\} Fmin(z)=P{Zz}=P{min{X,Y}z}=1P{min{X,Y}>z}
    ​ 又因为 Z > z Z>z Z>z等价于 X , Y X,Y X,Y > z > z >z,所以
    F m a x ( z ) = 1 − P { X > z , Y > z } = 1 − P { X > z } P { Y > z } = 1 − [ 1 − P { X ⩽ z } ] [ 1 − P { Y ⩽ z } ] = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_{max}(z)=1-P\{X> z,Y> z\}=1-P\{X> z\}P\{Y> z\}\\=1-[1-P\{X\leqslant z\}][1-P\{Y\leqslant z\}]\\=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)] Fmax(z)=1P{X>z,Y>z}=1P{X>z}P{Y>z}=1[1P{Xz}][1P{Yz}]=1[1FX(z)][1FY(z)]

    推广

    ​ 设随机变量 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立,分布函数分别为 F X 1 ( x 1 ) F_{X_1}(x_1) FX1(x1) F X 2 ( x 2 ) , . . . , F X n ( x n ) F_{X_2}(x_2),...,F_{X_n}(x_n) FX2(x2),...,FXn(xn),则:

    max ⁡ { X 1 , X 2 , . . . , X n } \max\{X_1,X_2,...,X_n\} max{X1,X2,...,Xn}的分布函数为:
    F max ⁡ ( z ) = F X 1 ( z ) ⋅ F X 2 ( z ) . . . F X n ( z ) F_{\max}(z)=F_{X_1}(z)\cdot F_{X_2}(z)...F_{X_n}(z) Fmax(z)=FX1(z)FX2(z)...FXn(z)
    min ⁡ { X 1 , X 2 , . . . , X n } \min\{X_1,X_2,...,X_n\} min{X1,X2,...,Xn}的分布函数为:
    F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F X 1 ( z ) ] ⋅ [ 1 − F X 2 ( z ) ] . . . [ 1 − F X n ( z ) ] F_{\min}(z)=1-[1-F_{X_1}(z)]\cdot [1-F_{X_2}(z)]...[1-F_{X_n}(z)] Fmin(z)=1[1FX1(z)][1FX2(z)]...[1FXn(z)]
    X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立,具有相同的分布函数 F ( z ) F(z) F(z),则
    F max ⁡ ( z ) = [ F ( z ) ] n , F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F ( z ) ] n F_{\max}(z)=[F(z)]^n,\qquad F_{\min}(z)=1-[1-F(z)]^n Fmax(z)=[F(z)]nFmin(z)=1[1F(z)]n

    3.连续型随机变量函数的分布: Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

    分布函数法:

    设二维连续型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),求 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y)的概率密度
    F Z ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { g ( X , Y ) ⩽ z } = ∬ g ( x , y ) ⩽ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{g(X,Y)\leqslant z\}=\iint\limits_{g(x,y)\leqslant z}f(x,y)dxdy FZ(z)=P{Zz}=P{g(X,Y)z}=g(x,y)zf(x,y)dxdy
    f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) f_Z(z)=F'_Z(z) fZ(z)=FZ(z)

    4.瑞利分布

    瑞利分布:当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差、均值为0的正态分布时,这个向量的模呈瑞利分布

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