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  • 二维随机变量函数概率密度公式的曲线积分形式
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    2021-08-22 20:53:28

    二维随机变量的函数的概率密度公式

    设连续型随机变量 X , Y X,Y X,Y的联合概率密度为 f ( x , y ) f\left(x,y\right) f(x,y),设 Z = ϕ ( X , Y ) Z=\phi\left(X,Y\right) Z=ϕ(X,Y)为随机变量 X , Y X,Y X,Y的函数且 Z Z Z可微,则 Z Z Z的分布函数
    F Z ( z ) = ∬ D f ( x , y ) d σ F_Z\left(z\right)=\underset{D}{\iint}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma FZ(z)=Df(x,y)dσ
    其中,积分区域 D = { ( x , y ) ∣ ϕ ( x , y ) ≤ z } D=\{\left(x,y\right)|\phi\left(x,y\right)\le z\} D={(x,y)ϕ(x,y)z}.

    Z Z Z的概率密度函数
    f Z ( z ) = ∫ L f ( x , y ) d s ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 f_Z\left(z\right)=\int_L{f\left(x,y\right)}\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}} fZ(z)=Lf(x,y)(xϕ)2+(yϕ)2 ds
    其中,积分曲线 L L L为区域 D D D的边界曲线,即 L = { ( x , y ) ∣ ϕ ( x , y ) = z } L=\{\left(x,y\right)|\phi\left(x,y\right)=z\} L={(x,y)ϕ(x,y)=z}.

    证明

    由连续性随机变量概率密度函数的定义,有
    f Z ( z ) = d [ F Z ( z ) ] d z = d [ ∬ D f ( x , y ) d σ ] d z f_Z\left(z\right)=\frac{\mathrm{d}\left[F_Z\left(z\right)\right]}{\mathrm{d}z}=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\mathrm{d}z} fZ(z)=dzd[FZ(z)]=dzd[Df(x,y)dσ]
    根据全微分,有
    d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y = ∂ ϕ ∂ x d x + ∂ ϕ ∂ y d y \mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y=\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial\phi}{\partial y}\mathrm{d}y dz=xzdx+yzdy=xϕdx+yϕdy

    f Z ( z ) = d [ ∬ D f ( x , y ) d σ ] ∂ ϕ ∂ x d x + ∂ ϕ ∂ y d y = d [ ∬ D f ( x , y ) d σ ] d [ ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 n ] = d [ ∬ D 1 ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 f ( x , y ) d σ ] d n \begin{aligned} f_Z\left(z\right)&=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial\phi}{\partial y}\mathrm{d}y} \\ &=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\mathrm{d}\left[\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}\boldsymbol{n}\right]} \\ &=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\mathrm{d}\boldsymbol{n}} \end{aligned} fZ(z)=xϕdx+yϕdyd[Df(x,y)dσ]=d[(xϕ)2+(yϕ)2 n]d[Df(x,y)dσ]=dnd[D(xϕ)2+(yϕ)2 1f(x,y)dσ]
    其中 n \boldsymbol{n} n为曲线 L L L ( x , y ) \left(x,y\right) (x,y)的正向单位法向量,则可以证明,对某一可微函数在区域 D D D上的二重积分,求其边界上每一点处的法向量方向的方向导数,该导数的值就等于曲线 L L L上对该函数对弧长的积分,因此
    f Z ( z ) = ∫ L f ( x , y ) d s ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 f_Z\left(z\right)=\int_L{f\left(x,y\right)}\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}} fZ(z)=Lf(x,y)(xϕ)2+(yϕ)2 ds

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  • 文章目录一、为什么是二维随机变量二、二维随机变量的分布函数2.1 二维随机变量分布函数的性质2.2 二维随机变量的边缘分布函数三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法 一、为什么是二维随机变量 还记得我们...

    一、为什么是二维随机变量

    还记得我们在 C h a p t e r 2 Chapter 2 Chapter2 里面讨论的都是一维随机变量嘛,但是假如我们举一个例子:

    1. 比如我们要统计人群的身高分布,那容易啊,直接统计一个变量——身高 X 即可
    2. 但是,如果我们要统计的是人群的身材,那你不可能只用身高来衡量,我们需要两个变量——身高 X 和体重 Y。因此,这就是二维随机变量的引入。

    我们一般使用 (X, Y)来表示。可以说是一个向量。

    二、二维随机变量的分布函数

    我们先来看看定义: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy}

    它的意思是由 X ≤ x , Y ≤ y X ≤x, Y ≤y Xx,Yy 所构成的蓝色区域所对应的立体密度函数的体积!!

    这句话怎么理解呢?这得回到一维去,因为我们在一维随机变量里面, F ( x ) = P { X ≤ x } F(x) = P\{X≤x\} F(x)=P{Xx}表示的是 X ≤ x X≤x Xx 所对应的平面密度函数的面积。那么扩展到二维,它的密度函数是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ,是一个立体的函数,那么对应的自然就是体积了。

    2.1 二维随机变量分布函数的性质

    【1】 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0 ≤ F(x, y) ≤1 0F(x,y)1这个好理解,概率一定小于等于1 .
    【2】 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 是关于 x 或 y 的不减函数
    【3】 F ( − ∞ , y ) = 0 ; F ( x , − ∞ ) = 0 ; F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0; F(-∞, -∞) = 0, F(+∞, +∞) = 1 F(,y)=0;F(x,)=0;F(,)=0,F(+,+)=1
    如果我们把二维随机变量的概率密度函数想象成立体草帽,那么在任何一个变量是 -∞ 的时候,还没能切到草帽,所以体积一定是0.

    【4】 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 分别关于 x, y右连续
    【5】 P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\{x_1 < X ≤ x_2, y_1 <Y ≤ y_2\} = F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1) P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)

    2.2 二维随机变量的边缘分布函数

    上面我们讲过的: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy} 它叫做联合分布函数。下面我们来看看边缘分布函数,其实也好理解:
    F X ( x ) = P { X ≤ x , Y < + ∞ } F_X(x) = P\{X ≤ x, Y< +∞\} FX(x)=P{Xx,Y<+} 这叫做 X 的边缘分布函数,它的意思是令 X 小于等于 x, y 爱咋地咋地,不限制。同理 F Y ( y ) = P { X < + ∞ , Y < y } F_Y(y) = P\{X < +∞, Y < y\} FY(y)=P{X<+,Y<y}, 这叫做 Y 的边缘分布函数。

    三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法

    这一节只需要一个例子就可以解释明白:我们以下面的表为例:

    X\Y123
    10 1 2 \frac{1}{2} 21 1 8 \frac{1}{8} 81
    2 1 8 \frac{1}{8} 81 1 8 \frac{1}{8} 81 1 8 \frac{1}{8} 81

    这是一个二维离散型随机变量的联合分布表,里面具体的概率值就用我们之前学过的办法计算。

    下面看看如何计算联合分布函数:
    假设要计算: F ( 1.2 , 1 ) F(1.2, 1) F(1.2,1),那么就是: P { X ≤ 1.2 , Y ≤ 1 ) P\{X ≤1.2, Y≤ 1) P{X1.2,Y1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F ( 1.2 , 1 ) = 0 F(1.2, 1) = 0 F(1.2,1)=0

    如果计算 F ( 2.4 , 2.1 ) F(2.4, 2.1) F(2.4,2.1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F ( 2.4 , 2.1 ) = 0 + 1 2 + 1 8 + 1 8 = 3 4 F(2.4, 2.1) = 0+\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{4} F(2.4,2.1)=0+21+81+81=43

    其他情况类似。

    那么,如何计算边缘分布呢?首先我们看看计算 X 的边缘分布:
    在这里插入图片描述
    我们把 每一个 X 所在的行分别相加,就可以得到 X 的边缘分布。如下表:

    X12
    P 5 8 \frac{5}{8} 85 3 8 \frac{3}{8} 83

    Y 的边缘分布的计算类似。
    在这里插入图片描述

    最后提几个要点:

    1. 有了联合分布就可以唯一地确定边缘分布。
    2. 但是有了边缘分布并不能唯一地确定联合分布(除了 X, Y 独立的时候)

    四、二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数和边缘分布

    4.1 联合密度函数和联合分布函数

    分布函数的定义还是一样的: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy}
    它的意义我们在前面讨论过了,既然是体积,那么就会涉及到二重积分。我们先回顾一下二重积分的几何意义:

    f ( x , y ) ≥ 0 f(x, y) ≥ 0 f(x,y)0 时, ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_Df(x,y)dσ Df(x,y)dσ 是以区域 D 为底, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。

    因此,我们就可以通过二重积分计算分布函数: F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t F(x,y) = \int_{-∞}^{x}\int_{-∞}^{y}f(s,t)dsdt F(x,y)=xyf(s,t)dsdt
    下面我们给出几个性质:
    【1】 f ( x , y ) > 0 f(x,y) >0 f(x,y)>0
    【2】 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t = 1 \int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt = 1 ++f(s,t)dsdt=1
    【3】 f ( x , y ) = ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y f(x,y) = \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial {x} \partial {y}} f(x,y)=xy2F(x,y)(这时计算联合密度函数的好办法!)
    【4】如果题目给出来一个区域 G G G,它是 X, Y 平面的一个区域。那么,我们有: P { ( x , y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x d y P\{(x, y)∈G\} = \iint_{G}f(x,y)dxdy P{(x,y)G}=Gf(x,y)dxdy
    它也就是把 G 区域沿着 Z 轴拉伸,和 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 包围起来的那一部分体积

    4.2 边缘密度函数

    我们先定义一下边缘分布函数: F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t F_X(x) = F(x, +∞) = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt\\ \quad\\ F_Y(y) = F(+∞, y) = \int_{-∞}^y\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt FX(x)=F(x,+)=x+f(s,t)dsdtFY(y)=F(+,y)=y+f(s,t)dsdt

    当然,通过联合分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 也可以计算处边缘分布: F X ( x ) = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) F Y ( y ) = lim ⁡ x → + ∞ F ( x , y ) F_X(x) = \lim_{y\to +∞}F(x, y)\\ \quad\\ F_Y(y) = \lim_{x\to +∞}F(x,y) FX(x)=y+limF(x,y)FY(y)=x+limF(x,y)
    那么,如果要计算 X 的边缘密度函数,我们就对 F X ( x ) F_X(x) FX(x) 求导: f X ( x ) = F X ′ ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = F Y ′ ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_X(x) = F_X'(x) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy\\ \quad\\ f_Y(y) = F_Y'(y) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dx fX(x)=FX(x)=+f(x,y)dyfY(y)=FY(y)=+f(x,y)dx
    简而言之,要计算 f X ( x ) f_X(x) fX(x),可以在无穷范围内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) y y y 积分。要计算 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y),可以在无穷范围内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) x x x 积分。

    当我们说到这儿的时候,其实给出一道题做,套公式写出来没有任何问题。但是,真正的意义你理解了吗?下面我们看一个例子,博主打算用公式法+画图理解法剖析边缘密度函数的意义:

    已知(X, Y)在椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 a2x2+b2y2=1 所围成的区域上服从均匀分布。其联合密度函数为: φ ( x , y ) = { 1 π a b x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 0 e l s e φ(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{πab}\quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} ≤1\\ 0\quad else\\ \end{cases} φ(x,y)={πab1a2x2+b2y210else
    求 X ,Y 的边缘密度函数 φ X ( x ) , φ Y ( y ) φ_X(x), φ_Y(y) φX(x),φY(y)

    首先,抛开问题本身,我们一般假设概率密度函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 就是一个草帽状函数,那么问一个问题:联合分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)的意义是什么?—— 根据定义思考一下: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^yf(u, v)dudv F(x,y)=P{Xx,Yy}=xyf(u,v)dudv。下面我们看一张图理解一下:

    具体一个 F ( x 0 , y 0 ) F(x_0, y_0) F(x0,y0)的意义就是分别用 x = x 0 x = x_0 x=x0 y = y 0 y = y_0 y=y0 这两把刀,去切割草帽,里面那部分的体积!

    那么,边缘密度函数呢?如果我们还是以 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0)为例?

    既然是 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0) ,那么也就意味着只用 x = x 0 x = x_0 x=x0 这一把刀去切割草帽,我们发现,切割草帽的时候会得到一个切割线,如上图所示。那么 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0) 的意义就是这个切割线与 y y y 轴所围成的面积!

    那么,如果我们把这样的分析具体化到这道题目上,本题的分布密度函数如下图左图所示。那么一样的道理,如果考虑 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0),就是只用 x = x 0 x = x_0 x=x0这一把刀去切割分布密度函数图,如果这把刀能够切割到函数体,那么自然就会产生一个切痕,所以就是切痕曲线与 y y y 轴所围成的面积!

    很显然,我们发现:这个分布密度函数在中间那个椭圆区域才有值,其他地方都是0.

    现在,我们首先计算 φ X ( x ) φ_X(x) φX(x),很自然地,我们发现,如果 x = x 0 x = x_0 x=x0 这把刀放的太前( x ≥ a x ≥a xa)或者太后( x ≤ − a x ≤ -a xa)我们都无法切到这个函数体,自然就没有切痕。那么 φ X ( x ) φ_X(x) φX(x) 就会等于 0.即: φ X ( x ) = 0 i f   ∣ x ∣ ≥ a φ_X(x) = 0\quad if\space |x| ≥ a φX(x)=0if xa

    下面考虑能切到的时候,即 ∣ x ∣ < a |x| < a x<a,那么刀刃的线如上面左图加粗的地方,切割线也是一样的。然后我们就是要计算切痕与 y y y 轴所围成的面积(如上面的右图所示)

    但是我们又发现,这个切痕也是在 y y y 处于一定范围的时候才有值,其他时候为0. y y y 的范围我们可以通过椭圆的方程很容易求出来,就等于: ± b 1 − x 2 a 2 ±b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} ±b1a2x2
    这个面积还不好求?就是一个矩形的面积罢了对吧!所以我们得到: φ X ( x ) = 1 π a b 2 b 1 − x 2 a 2 = 2 π a 1 − x 2 a 2 i f   ∣ x ∣ < a φ_X(x) = \frac{1}{πab}2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} =\frac{2}{πa}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \quad if \space |x| < a φX(x)=πab12b1a2x2 =πa21a2x2 if x<a

    φ Y ( y ) φ_Y(y) φY(y) 的理解方法完全类似。式子的意义理解了,带公式解题也有了底气哈哈!

    关于计算边缘分布密度的注记

    在计算边缘分布密度的时候,积分的区间仍然是一个大坑。这里,博主总结了一个避坑方法:
    在给出的联合分布密度函数中,x ,y 的范围有了的时候,我们一定要把这个 x, y 范围所表示的区域画出来,只要把这个区域画出来了,我们在后面对 x 或者 y 积分的时候,它们各自的积分区间一目了然,就不会搞错了。

    展开全文
  • 二维正态随机变量概率密度函数三维图的matlab实现 1.二维正态随机变量 二维正态随机变量是最常见的一种二维随机变量分布。其联合概率密度函数为: p(x,y)=12πσXσY1−r2⋅exp{−12(1−r2)[(x−mX2)σX2−2r(x−mX)...

    二维正态随机变量概率密度函数三维图的matlab实现

    1.二维正态随机变量

    二维正态随机变量是最常见的一种二维随机变量分布。其联合概率密度函数为:
    p ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 − r 2 ⋅ e x p { − 1 2 ( 1 − r 2 ) [ ( x − m X 2 ) σ X 2 − 2 r ( x − m X ) ( y − m Y ) σ X σ Y + ( y − m Y 2 ) σ Y 2 ] } p(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma _X\sigma _Y\sqrt{1-r^2}}\cdot exp\{ -\frac{1}{2(1-r^2)}[\frac{(x-m_X^2)}{\sigma_X ^2}-\frac{2r(x-m_X)(y-m_Y)}{\sigma_X\sigma_Y}+\frac{(y-m_Y^2)}{\sigma_Y^2}]\} p(x,y)=2πσXσY1r2 1exp{2(1r2)1[σX2(xmX2)σXσY2r(xmX)(ymY)+σY2(ymY2)]}

    变量含义
    σ X \sigma_X σX随机变量X的方差
    σ Y \sigma_Y σY随机变量Y的方差
    m X m_X mX随机变量X的方差
    m Y m_Y mY随机变量Y的方差
    r随机变量X、Y相关系数

    2.Mtalab画联合概率密度三维图

    σ X = σ Y = 1 , m X = m Y = 5 , r = 0 \sigma_X=\sigma_Y=1,m_X=m_Y=5,r=0 σX=σY=1,mX=mY=5,r=0,画联合概率密度的三维曲面如下:

    • 三维视图

    在这里插入图片描述

    • X-Z视图:
      在这里插入图片描述
    • Y-Z视图:
      在这里插入图片描述
    • 任意视图(体验视觉冲击力)
      在这里插入图片描述

    3.matlab代码

    clc
    close all
    clearvars
    Dx=1;%方差
    Dy=1;%方差
    mx=5;
    my=5;
    r=0;
    x=0:0.05:10;
    y=0:0.05:10;
    [X,Y]=meshgrid(x,y);
    p2=(1/(2*pi*Dx*Dy*sqrt(1-r^2)))*exp((-1/(2*(1-r^2)))*((X-mx).^2/Dx^2)-(2*r*(X-mx).*(Y-my)/(Dx*Dy)+(Y-my).^2/Dy^2));
    mesh(X,Y,p2)
    title('随机变量X、Y的联合概率密度')
    xlabel('X')
    ylabel('Y')
    zlabel('联合概率密度')
    
    展开全文
  • 概率论知识回顾(十) 重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数 二维连续随机变量分布函数怎么表示? 分布函数有什么性质? 二维连续随机变量的边缘分布...

    概率论知识回顾(十)

    重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数

    知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:

    1. 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
    2. 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
    3. 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。

    知识回顾

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
    2. 分布函数有什么性质?
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
    5. 联合密度函数有什么性质?
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?

    知识解答

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
      • 对于二维连续随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 来说,函数 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 表示 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y \le y\end{Bmatrix} F(x,y)=P{Xx,Yy} 我们就称 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 为 二维连续随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的分布函数。
    2. 分布函数有什么性质?
      • 对每个自变量单调不减
        • 对任意固定 x, 当 y 1 &lt; y 2 y_1 &lt; y_2 y1<y2, 有 F ( x , y 1 ) ≤ F ( x , y 2 ) F(x, y_1) \le F(x, y_2) F(x,y1)F(x,y2)
        • 对任意固定 y, 当 x 1 &lt; x 2 x_1 &lt; x_2 x1<x2, 有 F ( x 1 , y ) ≤ F ( x 2 , y ) F(x_1, y) \le F(x_2, y) F(x1,y)F(x2,y)
      • 对每个自变量右连续
        • 对任意固定 x, F ( x , y 0 + 0 ) = F ( x , y 0 ) F(x, y_0 + 0) = F(x, y_0) F(x,y0+0)=F(x,y0)
        • 对任意固定 y, F ( x 0 + 0 , y ) = F ( x 0 , y ) F(x_0 + 0, y) = F(x_0, y) F(x0+0,y)=F(x0,y)
      • { F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 F ( x , − ∞ ) = 0 ∀ x ∈ R F ( − ∞ , y ) = 0 ∀ y ∈ R F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 \begin{cases} F(-\infty, -\infty) = 0 \\ F(x, -\infty) = 0 &amp;\forall x \in R \\ F(-\infty , y) = 0 &amp; \forall y \in R \\ F(+\infty, +\infty) = 1\end{cases} F(,)=0F(x,)=0F(,y)=0F(+,+)=1xRyR
      • 对任意 x 1 &lt; x 2 , y 1 &lt; y 2 x_1 &lt; x_2, y_1 &lt; y_2 x1<x2,y1<y2 都有 : P { x 1 &lt; X ≤ x 2 , y 1 &lt; Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 1 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) + F ( x 1 , y 1 ) ≥ 0 P\begin{Bmatrix} x_1&lt;X\le x_2, y_1&lt;Y \le y_2 \end{Bmatrix} = F(x_2, y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1) \ge 0 P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)0
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
      • 二维连续随机变量的边缘分布和离散随机变量的边缘分布类似,都是其组成的单个随机变量的分布律。
      • F X ( x ) = P { X ≤ x , Y &lt; + ∞ } = F ( x , + ∞ ) F_X(x) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y &lt; + \infty \end{Bmatrix}=F(x, +\infty) FX(x)=P{Xx,Y<+}=F(x,+) 表示 二维连续随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 关于 X X X 的边缘分布律。从公式来看其实就是排除 Y 之后,只看 x 的分布。
      • 同理 F Y = F ( + ∞ , y ) F_Y = F(+ \infty, y) FY=F(+,y)
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
      • 如果对于随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的分布函数 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 的任意取值都有一个非负可积的函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 使得 F ( x ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v F(x) = \int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^xf(u, v)dudv F(x)=yxf(u,v)dudv 。 就称 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 为二维随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的联合密度函数。
    5. 联合密度函数有什么性质?
      • f ( x , y ) ≥ 0 f(x, y) \ge 0 f(x,y)0
      • ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dxdy = 1 ++f(x,y)dxdy=1
      • 如果 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) ( x , y ) (x, y) (x,y) 处连续,则有 ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) \frac{\partial^2F(x, y)}{\partial x \partial y} = f(x, y) xy2F(x,y)=f(x,y)
      • 对于任何平面区域 G G G, 都有 P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x d y P\begin{Bmatrix}(X, Y) \in G\end{Bmatrix} = \iint_Gf(x, y)dxdy P{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdy
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
      • S G = A S_G = A SG=A ,若密度函数 f ( x , y ) = { 1 A , ( x , y ) ∈ G 0 , e l s e f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{A}, &amp; (x, y) \in G \\ 0, &amp; else \end{cases} f(x,y)={A1,0,(x,y)Gelse 则称为均匀分布。
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?
      • f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 e − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ] f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho \frac{(x-\mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]} f(x,y)=2πσ1σ21ρ2 1e2(1ρ2)1[σ12(xμ1)22ρσ1σ2(xμ1)(yμ2)+σ22(yμ2)2]
      • 其中: σ 1 &gt; 0 , σ 2 &gt; 0 , ∣ ρ ∣ &lt; 1 \sigma_1 &gt; 0, \sigma_2 &gt; 0, |\rho| &lt; 1 σ1>0,σ2>0,ρ<1
      • 记作 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , ρ ) (X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho) (X,Y)N(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)
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