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  • 沿:在学习概率论时总会不小心把这三者之间的关系给搞混了,所以在这里写篇文章...正确计算Z的分布函数应该是:先确定出X和Y的联合概率密度 之后双重积分 这样计算出来的分布函数不一定等于 对应的随机变量的密度...

    沿:在学习概率论时总会不小心把这三者之间的关系给搞混了,所以在这里写篇文章弄清楚。

    本文以下面例子展开描述:

    随机变量:

    分布函数:

    密度函数:


    相信很多刚学概率论的同学,会觉得上面的分布函数和密度函数就是随机变量Z的分布函数和密度函数,这就是反了概念混淆的错误了。

    正确计算Z的分布函数应该是:先确定出X和Y的联合概率密度

    之后求双重积分

    这样计算出来的分布函数不一定等于

    对应的随机变量的密度函数,也不是上面所写的密度函数,Z密度函数的正确计算方法应该是:

    所以这一点要千万记清楚,这个在计算变量的数字特征时很关键,很多人在这里可能知道,但是在计算变量的数字特征时,就会犯这个错误,把对随机变量的数字特征计算公式挪用到分布函数和密度函数上

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    上面这两个运算规律都是只适用随机变量的关系式,千万不要看到

    然后计算Z的期望就用
    来计算,这样是错误的。

    但是

    就是说随机变量的关系和密度函数与分布函数的结构不一定是对称的,不可以等同起来。

    但是有一个特殊的情况,这两者就可以对等起来,就是

    这里要知道这是在分布为正态分布时才成立,不是对任意分布都成立的。

    最后附上常用概率分布表

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    考研数学经验

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    一、分布函数、概率密度

    (一)一维随机变量的分布函数

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    (二)一维离散型随机变量的概率分布

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    (三)一维连续型随机变量的概率密度

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    (四)一维连续型随机变量的函数的概率密度

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    如:设X的概率密度为f(x), g(x)为连续函数,求Y=g(x)的概率密度。

    方法一、定义法

    step 1. 求出Y的分布函数

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    step 2. Y的分布函数对y求导

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    方法二、概率密度卷积公式(一维)

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    二、分布函数、概率密度的写法

    分布函数有三个性质:一是单调不减;二是右连续;三是取值范围是0到1。需要注意的是,由于分布函数具有右连续性,因此取值范围是写成【左闭右开】形式,具体写法如下:

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    概率密度的性质是非负可积,等号写法随意。

    参考文献

    [1]李林.概率论与数理统计辅导讲义.国家开放大学出版社.2020.4

    [2]张宇.考研数学基础三十讲.高等教育出版社.2019.8

    [4]李林.精讲精练880题(数学三).国家开放大学出版社.2020.5

    一切繁琐问题必有其猥琐解法

    此章已毕,鄙人欲休,阁下若觉本文666,不妨【点赞】、【在看】享于左右益友!
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  • X,YX,YX,Y为两个连续型随机变量,并且(X,Y)∼f(x,y)(X,Y)\sim f(x,y)(X,Y)∼f(x,y),f为二维随机变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的密度函数; 对于Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)Z=g(X,Y),Z的分布函数概率密度; FZ(z)=p{Z≤z}=P{g(X...

    个人比较推荐使用分布函数法,卷积法算是第一种方法的推论,卷积法有一定的局限性,分布函数法可以随机应变;当然不可否认,卷积法有些情况下很方便。看个人选择;

    分布函数法

    XYX,Y为两个连续型随机变量,并且(X,Y)f(x,y)(X,Y)\sim f(x,y),f为二维随机变量(X,Y)(X,Y)的密度函数;
    对于Z=g(X,Y)Z=g(X,Y),求Z的分布函数和概率密度;
    FZ(z)=p{Zz}=P{g(X,Y)z}=g(x,y)zf(x,y)dxdy\displaystyle F_Z(z)=p\{Z\leq z\}=P\{g(X,Y)\leq z\}=\iint _{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy
    fZ(z)=FZ(z)\displaystyle f_Z(z)=F_Z^{'}(z)

    卷积公式法

    XYX,Y为两个连续型随机变量,并且(X,Y)f(x,y)(X,Y)\sim f(x,y),如果Z=X+YZ=X+Y(这里必须是一些简单的运算规则,加减乘除),并且XYX,Y独立(若不独立,那么需要知道二维概率密度,且等式的左边到中间是成立的,中间到右边是不成立的;因为不独立,那么二维概率密度不一定能写成两个变量概率密度的乘积),那么ZZ的概率密度为:

    fZ(z)=f(x,zx)dx=fX(x)fY(zx)dx\displaystyle f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx

    例题:

    在这里插入图片描述
    第一问第二问就不说了,这题很显然,XYX,Y分别服从于指数分布,第三问两种方法都可以,需要注意的是用卷积公式的时候,上下限的问题

    x>0x>0y>0y>0的时候,ff不为0,我们要在这个范围内积分,又因为Z=X+2YZ=X+2Y,那么z2y,zxz\geq 2y,z\geq x,如果对xx积分上下限是(0,z)(0,z),如果对yy积分是(0,z/2)(0,z/2)

    在这里插入图片描述
    这题里XYX、Y独立,两种方法都可以;这题答案给的是第一种求分布函数;对于用卷积公式求,这题来说,因为XX服从正态分布,我们换YY不换XX(所以我们需要对xx积分);同样需要注意积分限的问题,Y(π,π)Y\in (-\pi,\pi),因为Z=X+YZ=X+Y,所以X=ZY(zπ,z+π)X=Z-Y\in(z-\pi,z+\pi);这题还需要对积分进行变换,变换成标准正态分布;

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    主要内容

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    a5c3c01a84daec1d61c81ec456680de2.png

    更多系列视频
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    • 概率微课:第二章(3) 两点分布及伯努利试验

    • 概率微课:第二章(4) 二项分布1

    • 概率微课:第二章(5) 二项分布2_例题讲解

    • 概率微课:第二章(6) 泊松分布

    • 概率微课:第二章(7) 分布函数定义

    • 概率微课:第二章(8) 分布函数例题解析

    • 第二章(9) 离散型随机变量分布函数的求法

    • 第二章(10) 连续型随机变量及概率密度函数

    • 第二章(11) 概率密度函数的理解和习题讲解

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    • 概率微课:第二章(13) 指数分布

    • 概率微课:第二章(13) 指数分布的几个例题

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    • 概率微课:第二章(16) 标准正态分布及其概率求法

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    • 第三章(33) 独立性_连续型例题

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    2016-06-15 17:30:00
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  • 8.5.2 累积分布函数图形 8.5.3 最小二乘拟合直线 8.5.4 绘制正态分布概率图形 8.5.5 样本数据的盒图 8.5.6 参考线绘制 8.5.7 样本概率图形 8.5.8 正态拟合直方图 8.6 本章小结 第3 篇 第9 章偏微分...
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空空如也

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二维随机变量概率密度函数求分布函数