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  • 二维随机变量求数学期望
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    2013-05-10 16:05:41

    想做一个二维变量数学期望实验, 查看若干资料终于找到方法

    先看这篇文章熟悉一下R的函数

    http://www.cyclismo.org/tutorial/R/tables.html

    构造数据

    通过下面的函数构造了,正态分布和泊松分布的两列数据

    A <- data.frame(a=round(rnorm(10,20,9)), b=rpois(10, lambda=10))

    > A <- data.frame(a=round(rnorm(10,20,9)), b=rpois(10, lambda=10))
    > A
        a  b
    1  22 14
    2  21  7
    3  20 11
    4  20 10
    5  12 13
    6  17 15
    7  15  9
    8   3  8
    9  14 12
    10  3  9
    
    

    如何理解这个数据:

      可以这样来, 就是说我拿了一个零件它的长是A,宽是B, 我在a, b 填入这些数据, 我总共查看了10个零件, 就得到上面这些数据

      这样这批零件矩形的长服从正态分布 均值是20, 方差是9,  而宽服从泊松分布 lambda是 10 (我们对正态分布强行取整)

    构造频率表

    用 mytable <-table(A[[1]],A[[2]]) 直接得到

    > mytable <-table(A[[1]],A[[2]])
    > mytable
        
         7 8 9 10 11 12 13 14 15
      3  0 1 1  0  0  0  0  0  0
      12 0 0 0  0  0  0  1  0  0
      14 0 0 0  0  0  1  0  0  0
      15 0 0 1  0  0  0  0  0  0
      17 0 0 0  0  0  0  0  0  1
      20 0 0 0  1  1  0  0  0  0
      21 1 0 0  0  0  0  0  0  0
      22 0 0 0  0  0  0  0  1  0
    
    
    

    如何理解:

       二维随机变量 X,Y 可能值构成矩阵中所有的点, 值表示样本的出现次数

    求列的边沿概率密度

    v = margin.table(mytable,1) /  margin.table(mytable)

    > v = margin.table(mytable,1) /  margin.table(mytable) 
    > v
    
      3  12  14  15  17  20  21  22 
    0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 
    

    求数学期望

    按照定义求, 先分离两个向量

    as.vector(v) 是: 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 
    as.integer(names(v)) 是:3  12  14  15  17  20  21  22 

    求向量内积

    > as.vector(v) %*% as.integer(names(v))
         [,1]
    [1,] 14.7

    貌似差别很大, 可能方差设置太大, 并且我很还对正态分布强行取整

    如果我把样本个数调节到1000, 就与生成数据时设定的 20 很接近了

    > A <- data.frame(a=round(rnorm(1000,20,9)), b=rpois(1000, lambda=10))
    > mytable <-table(A[[1]],A[[2]])
    > v = margin.table(mytable,1) /  margin.table(mytable)
    > as.vector(v) %*% as.integer(names(v))
          [,1]
    [1,] 19.88


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    二维随机变量期望的计算

    @(概率论)

    设随机向量(X,Y)的概率密度f(x,y)满足f(x,y) = f(-x,y),且 ρxy 存在,则 ρxy=?

    分析:主要从EXY, EX,EY的关系求解。
    因为根据定义: ρxy=cov(X,Y)DXDX

    cov(X,Y)=E(XY)EXEY

    这些是最基础的特征。

    再看 EXY 的求法: EXY=++xyf(x,y)dxdy

    更值得注意的是,EX,EY的求法:

    EX=++xf(x,y)dxdy

    也将x看成是g(X,Y),对Z = g(X,Y)求期望,自然是统一的二次积分。

    所以,

    EXY=++xyf(x,y)dxdy=+ydy+xf(x,y)dx=+ydy+tf(t,y)d(t)[x=t]=+ydy+tf(t,y)dt=0[]

    同理,EX= 0也是一样的原因,所以EXY = EXEY = 0,所以相关系数为0。

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    数学期望的性质

    1. E ( c ) = c E(c)=c E(c)=c,其中 c c c为常数
    2. E ( c X ) = c E ( X ) E(cX)=cE(X) E(cX)=cE(X)
    3. E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(X+Y)=E(X)+E(Y)
    4. X X X Y Y Y相互独立,则有 E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) E(XY)=E(X)E(Y) E(XY)=E(X)E(Y)

    常用分布的数学期望

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    两点分布 X ∼ B ( 1 , p ) X\sim B(1,p) XB(1,p) P { X = x } = p x ( 1 − p ) 1 − x P\{X=x\}=p^x(1-p)^{1-x} P{X=x}=px(1p)1x ( x = 0 , 1 ) (x=0,1) (x=0,1) p p p
    二项分布 X ∼ B ( n , p ) X\sim B(n,p) XB(n,p) P { X = k } = C n k p k q n − k P\{X=k\}=C_{n}^{k}p^kq^{n-k} P{X=k}=Cnkpkqnk ( k = 0 , 1 , 2 , . . . , n ; q = 1 − p ) (k=0,1,2,...,n;q=1-p) (k=0,1,2,...,nq=1p) n p np np
    泊松分布 X ∼ P ( λ ) / π ( λ ) X\sim P(\lambda)/\pi(\lambda) XP(λ)/π(λ) P { X = k } = λ k k ! e − λ P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} P{X=k}=k!λkeλ ( k = 0 , 1 , 2 , . . . ; λ &gt; 0 ) (k=0,1,2,...;\lambda &gt; 0) (k=0,1,2,...λ>0) λ \lambda λ
    均匀分布 X ∼ U [ a , b ] X\sim U[a,b] XU[a,b] f ( n ) = { 1 b − a , x ⩾ 0 0 , o t h e r w i s e f(n) =\begin{cases}\frac{1}{b-a}, x\geqslant 0 \\0,otherwise\end{cases} f(n)={ba1x00otherwise a + b 2 \frac{a+b}{2} 2a+b
    指数分布 X ∼ E ( λ ) X\sim E(\lambda) XE(λ) f ( n ) = { λ e − λ x , x ⩾ 0 0 , o t h e r w i s e f(n) =\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, x\geqslant 0 \\0,otherwise\end{cases} f(n)={λeλxx00otherwise ( λ &gt; 0 ) (\lambda &gt; 0) (λ>0) λ − 1 \lambda^{-1} λ1
    正态分布 X ∼ N ( μ , ) X\sim N(\mu, ) XN(μ,) f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} f(x)=2π σ1e2σ2(xμ)2 ( − ∞ &lt; x &lt; + ∞ ) (-\infty &lt; x &lt; +\infty) (<x<+) μ \mu μ
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