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  • R语言:求二维随机变量数学期望

    千次阅读 2013-05-10 16:05:41
    想做一个二维变量数学期望实验, 查看若干资料终于找到方法 先看这篇文章熟悉一下R的函数 http://www.cyclismo.org/tutorial/R/tables.html 构造数据 通过下面的函数构造了,正态分布和泊松分布的两列数据 A > A (a...

    想做一个二维变量数学期望实验, 查看若干资料终于找到方法

    先看这篇文章熟悉一下R的函数

    http://www.cyclismo.org/tutorial/R/tables.html

    构造数据

    通过下面的函数构造了,正态分布和泊松分布的两列数据

    A <- data.frame(a=round(rnorm(10,20,9)), b=rpois(10, lambda=10))

    > A <- data.frame(a=round(rnorm(10,20,9)), b=rpois(10, lambda=10))
    > A
        a  b
    1  22 14
    2  21  7
    3  20 11
    4  20 10
    5  12 13
    6  17 15
    7  15  9
    8   3  8
    9  14 12
    10  3  9
    
    

    如何理解这个数据:

      可以这样来, 就是说我拿了一个零件它的长是A,宽是B, 我在a, b 填入这些数据, 我总共查看了10个零件, 就得到上面这些数据

      这样这批零件矩形的长服从正态分布 均值是20, 方差是9,  而宽服从泊松分布 lambda是 10 (我们对正态分布强行取整)

    构造频率表

    用 mytable <-table(A[[1]],A[[2]]) 直接得到

    > mytable <-table(A[[1]],A[[2]])
    > mytable
        
         7 8 9 10 11 12 13 14 15
      3  0 1 1  0  0  0  0  0  0
      12 0 0 0  0  0  0  1  0  0
      14 0 0 0  0  0  1  0  0  0
      15 0 0 1  0  0  0  0  0  0
      17 0 0 0  0  0  0  0  0  1
      20 0 0 0  1  1  0  0  0  0
      21 1 0 0  0  0  0  0  0  0
      22 0 0 0  0  0  0  0  1  0
    
    
    

    如何理解:

       二维随机变量 X,Y 可能值构成矩阵中所有的点, 值表示样本的出现次数

    求列的边沿概率密度

    v = margin.table(mytable,1) /  margin.table(mytable)

    > v = margin.table(mytable,1) /  margin.table(mytable) 
    > v
    
      3  12  14  15  17  20  21  22 
    0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 
    

    求数学期望

    按照定义求, 先分离两个向量

    as.vector(v) 是: 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 
    as.integer(names(v)) 是:3  12  14  15  17  20  21  22 

    求向量内积

    > as.vector(v) %*% as.integer(names(v))
         [,1]
    [1,] 14.7

    貌似差别很大, 可能方差设置太大, 并且我很还对正态分布强行取整

    如果我把样本个数调节到1000, 就与生成数据时设定的 20 很接近了

    > A <- data.frame(a=round(rnorm(1000,20,9)), b=rpois(1000, lambda=10))
    > mytable <-table(A[[1]],A[[2]])
    > v = margin.table(mytable,1) /  margin.table(mytable)
    > as.vector(v) %*% as.integer(names(v))
          [,1]
    [1,] 19.88


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  • 二维随机变量--数学期望

    万次阅读 2019-05-24 21:25:06
    性质: 对于4,反过来说是不正确的 例题:

    性质:

    对于4,反过来说是不正确的

    例题:

     

     

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  • 随机变量数学期望

    万次阅读 多人点赞 2018-11-09 20:02:17
    离散型随机变量数学期望 连续型随机变量数学期望

    离散型随机变量的数学期望

    定义:
    设离散型随机变量XX的分布律为:P{X=xk}=pkk=1,2,...P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,...若级数k=1xkpk\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k绝对收敛,则称级数k=1xkpk\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_kXX的数学期望(简称期望或均值)。记为E(X)E(X)。即:E(X)=k=1xkpkE(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k

    连续型随机变量的数学期望

    设连续型随机变量XX的密度函数为f(x)f(x),若积分+xf(x)\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)绝对收敛,称该积分值为随机变量XX的数学期望,记为E(X)E(X)。即:E(X)=+xf(x)dxE(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx

    随机变量函数的数学期望

    XX是随机变量,g(x)g(x)为实值函数,则Y=g(X)Y=g(X)也是随机变量。
    有:
    xx为离散型、连续型随机变量:
    E[g(x)]=i=1g(xi)piE[g(x)]=\sum_{i=1}^{\infty}g(x_i)p_iE[g(x)]=+g(x)f(x)dxE[g(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dxxx为二维离散型、连续型随机变量:E[g(x,y)]=i=1j=1g(xi,yi)pijE[g(x,y)]=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_i)p_{ij}E[g(x,y)]=++g(x,y)f(x,y)dxdyE[g(x,y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy

    数学期望的性质

    1. E(c)=cE(c)=c,其中cc为常数
    2. E(cX)=cE(X)E(cX)=cE(X)
    3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)
    4. XXYY相互独立,则有E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)

    常用分布的数学期望

    分布函数 分布律或概率密度函数 数学期望
    两点分布XB(1,p)X\sim B(1,p) P{X=x}=px(1p)1xP\{X=x\}=p^x(1-p)^{1-x}(x=0,1)(x=0,1) pp
    二项分布XB(n,p)X\sim B(n,p) P{X=k}=CnkpkqnkP\{X=k\}=C_{n}^{k}p^kq^{n-k}(k=0,1,2,...,nq=1p)(k=0,1,2,...,n;q=1-p) npnp
    泊松分布XP(λ)/π(λ)X\sim P(\lambda)/\pi(\lambda) P{X=k}=λkk!eλP\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}(k=0,1,2,...λ&gt;0)(k=0,1,2,...;\lambda &gt; 0) λ\lambda
    均匀分布XU[a,b]X\sim U[a,b] f(n)={1bax00otherwisef(n) =\begin{cases}\frac{1}{b-a}, x\geqslant 0 \\0,otherwise\end{cases} a+b2\frac{a+b}{2}
    指数分布XE(λ)X\sim E(\lambda) f(n)={λeλxx00otherwisef(n) =\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, x\geqslant 0 \\0,otherwise\end{cases}(λ&gt;0)(\lambda &gt; 0) λ1\lambda^{-1}
    正态分布XN(μ,)X\sim N(\mu, ) f(x)=12πσe(xμ)22σ2f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}(&lt;x&lt;+)(-\infty &lt; x &lt; +\infty) μ\mu
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  • 二维随机变量期望的计算

    万次阅读 2016-11-02 11:21:38
    二维随机变量期望的计算@(概率论)设随机向量(X,Y)的概率密度f(x,y)满足f(x,y) = f(-x,y),且ρxy\rho_{xy}存在,则ρxy=?\rho_{xy} = ?分析:主要从EXY, EX,EY的关系求解。 因为根据定义:ρxy=cov(X,Y)DX√DX√\rho...

    二维随机变量期望的计算

    @(概率论)

    设随机向量(X,Y)的概率密度f(x,y)满足f(x,y) = f(-x,y),且ρxy存在,则ρxy=?

    分析:主要从EXY, EX,EY的关系求解。
    因为根据定义:ρxy=cov(X,Y)DXDX

    cov(X,Y)=E(XY)EXEY

    这些是最基础的特征。

    再看EXY的求法:EXY=++xyf(x,y)dxdy

    更值得注意的是,EX,EY的求法:

    EX=++xf(x,y)dxdy

    也将x看成是g(X,Y),对Z = g(X,Y)求期望,自然是统一的二次积分。

    所以,

    EXY=++xyf(x,y)dxdy=+ydy+xf(x,y)dx=+ydy+tf(t,y)d(t)[x=t]=+ydy+tf(t,y)dt=0[]

    同理,EX= 0也是一样的原因,所以EXY = EXEY = 0,所以相关系数为0。

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  • 这里写目录标题3.1二维随机变量及其联合分布 3.1二维随机变量及其联合分布
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    千次阅读 2018-04-14 13:14:34
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空空如也

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二维随机变量求数学期望