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概率统计3.4 二维随机变量函数的分布-综合文档
2021-05-22 06:40:49概率统计3.4 二维随机变量函数的分布 -
Matlab求解离散型二维随机变量的概率密度分布
2021-05-27 15:46:17做实验计算联合熵需要使用概率密度。 函数accumarray不是太行，方阵中很多的0浪费内存，我可没有几百G的内存ε=(´ο｀*)))唉。 Matlab代码实现 function tong1joint = calmi(u1, u2, wind_size) x = [u1, u2]; //%...展开全文数学公式什么的没有。
做实验计算联合熵需要使用概率密度。
函数accumarray不是太行，方阵中很多的0浪费内存，我可没有几百G的内存ε=(´ο｀*)))唉。
Matlab代码实现
function tong1joint = calmi(u1, u2, wind_size) x = [u1, u2]; //% x是2个列向量组成的矩阵 n = wind_size; // % 列向量长度 xmax = max(x(:,1)); tongwidth = xmax; tong1 = zeros(2,tongwidth); // % 这算是桶吧 for i = 1:n if x(i,2) == 1 tong1(1,x(i,1)) = tong1(1,x(i,1)) +1; else tong1(2,x(i,1)) = tong1(2,x(i,1)) +1; end end tong1pmf = tong1/n; //% u1和u2的联合概率密度 tong1joint = (tong1pmf(:))'*log2((tong1pmf(:))+eps); // % 联合熵实例
没有实例。
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利用MATLAB来绘制二维随机变量的联合概率密度图像
2021-07-30 15:36:57本文档通过MATLAB来绘制二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。其中X服从标准正态分布，Y服从均匀分布。 【例题】已知随机变量X与Y相互独立，X~N(0,1);Y在区间[0,2]上服从均匀分布。求： （1）二维随机变量(X,Y)的...展开全文本文档通过MATLAB来绘制二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。
第一种类型，X服从标准正态分布，Y服从均匀分布。
【例题】已知随机变量X与Y相互独立，X~N(0,1);Y在区间[0,2]上服从均匀分布。求：
（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度。
（2）概率P(X ≥ \geq ≥Y)
解答：
（1）随机变量X的概率密度为
f X ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 − ∞ < x < ∞ f_{X} (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-\frac{x^2}{2} } -\infty <x<\infty fX(x)=2π1e−2x2−∞<x<∞
随机变量Y的概率密度为
f Y ( y ) = { 1 2 , y = ( 0 , 2 ) 0 , y = 其 它 f_{Y} (y)=\begin{cases} & \frac{1}{2}, y= (0,2)\\ & 0 , y=其它 \end{cases} fY(y)={21,y=(0,2)0,y=其它
因为X与Y相互独立，所以二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为：
f ( x , y ) = { 1 2 2 π e − x 2 2 , x = − ∞ < x < ∞ , 0 ≤ y ≤ 2 0 , 其 它 f(x,y)=\begin{cases} & \frac{1}{2\sqrt{2\pi } }e^{-\frac{x^2}{2} }, x=-\infty <x<\infty ,0\le y\le 2 \\ & 0, 其它 \end{cases} f(x,y)={22π1e−2x2,x=−∞<x<∞,0≤y≤20,其它
此二维随机变量的联合概率密度函数用MATLAB来绘制，其代码如下
x=-10:0.1:10;
y=0:0.1:1;
z=ones(length(y),1)(exp(-x.^2)/2)/(2sqrt(2*pi));
mesh(x,y,z)
输出图像为
（2）概率P(X ≥ \geq ≥Y)就是随机点(X,Y)落在平面区域X ≥ \geq ≥Y内的概率。
第二种类型：X与Y均服从正态分布，且不独立。
【例题】设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为
f ( x , y ) = 5 96 π e − 25 32 [ ( x − 1 ) 2 9 + ( x − 1 ) ( y − 2 ) 10 + ( y − 2 ) 2 16 ] f\left ( x,y \right ) =\frac{5}{96\pi }e ^{-\frac{25}{32}\left [ \frac{\left ( x-1\right )^{2} }{9} +\frac{\left ( x-1 \right )\left ( y-2 \right ) }{10}+\frac{\left ( y-2 \right )^2 }{16} \right ] } f(x,y)=96π5e−3225[9(x−1)2+10(x−1)(y−2)+16(y−2)2]
（1）例用MATLAB画出联合密度函数图
（2）求随机变量函数Z=X/3-Y/4的数学期望和方差
【解答】
（1）根据二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布的概率函数
f ( x , y ) = 1 2 π σ x σ y 1 − r 2 e − 1 2 ( 1 − r 2 ) [ ( x − μ x ) 2 σ x 2 + 2 r ( x − μ x ) ( y − μ y ) σ x σ y + ( y − μ y ) 2 σ y 2 ] f\left ( x,y \right ) =\frac{1}{2\pi\sigma _{x}\sigma _{y}\sqrt{1-r^2} }e ^{-\frac{1}{2\left ( 1-r^2 \right ) }\left [ \frac{\left ( x-\mu _{x} \right )^{2} }{\sigma _{x}^2 } +\frac{2r\left ( x-\mu _{x} \right )\left ( y-\mu _{y} \right ) }{\sigma _{x} \sigma _{y} } +\frac{\left ( y-\mu _{y} \right )^2 }{\sigma _{y}^{2} } \right ] } f(x,y)=2πσxσy1−r21e−2(1−r2)1[σx2(x−μx)2+σxσy2r(x−μx)(y−μy)+σy2(y−μy)2]
记作：
( X , Y ) ∼ N ( μ X , μ Y , σ X 2 , σ Y 2 , r ) \left ( X,Y \right ) \sim N\left ( \mu _{X} ,\mu _{Y} ,\sigma _{X}^2,\sigma _{Y}^2,r \right ) (X,Y)∼N(μX,μY,σX2,σY2,r)r的绝对值小于1.
可知， E ( X ) = 1 , E ( Y ) = 2 , D ( X ) = 9 , D ( Y ) = 16 , R ( X , Y ) = r = − 3 5 E\left ( X \right ) =1,E\left ( Y \right ) =2,D\left ( X \right ) =9,D\left ( Y \right ) =16,R(X,Y)=r=-\frac{3}{5} E(X)=1,E(Y)=2,D(X)=9,D(Y)=16,R(X,Y)=r=−53
程序代码为：
clc;
clear;
x=-4:0.1:6;
y=-3:0.1:7;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=5exp(-25((X-1).2+(X-1).*(Y-2)/10+(Y-2).2/16)/32)/(96*pi);
mesh(X,Y,Z); %绘制三维网格图运行后三维网格图的图像为：
（2） c o v ( X , Y ) = R ( X , Y ) σ x σ y = − 36 5 cov\left ( X,Y \right ) =R\left ( X,Y \right ) \sigma _{x} \sigma _{y}=-\frac{36}{5} cov(X,Y)=R(X,Y)σxσy=−536
E ( Z ) = E ( X 3 − Y 4 ) = − 1 6 E\left ( Z \right ) =E\left ( \frac{X}{3}-\frac{Y}{4} \right ) =-\frac{1}{6} E(Z)=E(3X−4Y)=−61
D ( Z ) = D ( X 3 − Y 4 ) = ( 1 3 ) 2 D ( X ) + ( − 1 4 2 D ( Y ) ) + 2 × 1 4 × ( − 1 4 ) = 16 5 D\left ( Z \right ) =D\left ( \frac{X}{3} -\frac{Y}{4} \right ) =\left ( \frac{1}{3} \right )^2D\left ( X \right ) +\left ( -\frac{1}{4}^2D\left ( Y \right ) \right ) +2\times \frac{1}{4}\times \left ( -\frac{1}{4} \right ) =\frac{16}{5} D(Z)=D(3X−4Y)=(31)2D(X)+(−412D(Y))+2×41×(−41)=516
第三种类型：X与Y均服从标准正态分布，且相互独立
【例题】设随机变量X与Y相互独立，都服从标准正态分布N（0，1），求：
（1）画出该二维随机变量的联合概率密度函数图像。
（2）求出随机变量函数 Z = X 2 + Y 2 Z=X^{2} +Y^{2} Z=X2+Y2 的概率密度
【解答】
（1）相互独立的二维随机变量X与Y的联合概率密度函数为
f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = 1 2 π e − x 2 + y 2 2 f\left ( x,y \right ) =f_X\left ( x \right ) f_Y\left ( y \right ) =\frac{1}{2\pi }e^{-\frac{x^2+y^2}{2} } f(x,y)=fX(x)fY(y)=2π1e−2x2+y2
绘制该函数用到的代码为：
vx=-4:0.1:4;
[X,Y]=meshgrid(vx);
Z=exp(-(X.2+Y.2)/2)/(2*pi);
mesh(X,Y,Z);
绘制的联合概率密度图像为
（2）随机变量 Z = X 2 + Y 2 Z=X^{2} +Y^{2} Z=X2+Y2 的分布函数为
F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P ( X 2 + Y 2 ≤ z ) = ∬ x 2 + y 2 ≤ z e − x 2 + y 2 2 d x d y = 1 − e z 2 F_{Z} \left ( z \right ) =P\left ( Z\le z \right ) =P\left ( X^2+Y^2\le z \right ) =\iint\limits_{x^2+y^2\le z}^{} e^{-\frac{x^2+y^2}{2} dxdy} =1-e^{\frac{z}{2} } FZ(z)=P(Z≤z)=P(X2+Y2≤z)=x2+y2≤z∬e−2x2+y2dxdy=1−e2z
所以Z的分布函数为
F Z ( z ) = { 1 − e − z 2 , z > 0 0 , z ≤ 0 F_{Z} \left ( z \right ) =\begin{cases} & 1-e^{-\frac{z}{2} }, { } z>0 \\ & 0,{ } z\le 0 \end{cases} FZ(z)={1−e−2z,z>00,z≤0
例用matlab绘制图像为
程序代码为
fplot(@(z)1-exp(-z/2),[0,10]);
由Z的分布函数得Z的概率密度函数为
f Z ( z ) = { 1 2 e − z 2 , z > 0 0 , z ≤ 0 f_{Z} \left ( z \right ) =\begin{cases} & \frac{1}{2}e^{-\frac{z}{2} }, { } z>0 \\ & 0,{ } z\le 0 \end{cases} fZ(z)={21e−2z,z>00,z≤0
例用Matlab绘制图像为
程序代码为 fplot(@(z)exp(-z/2)/2,[0,10]);
此时，Z的随机变量函数服从的分布是自由度为2的 χ 2 \chi ^{2} χ2分布
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matlab绘制二维正态随机变量的概率密度函数三维图
2020-05-29 21:22:44二维正态随机变量是最常见的一种二维随机变量分布。其联合概率密度函数为： p(x,y)=12πσXσY1−r2⋅exp{−12(1−r2)[(x−mX2)σX2−2r(x−mX)(y−mY)σXσY+(y−mY2)σY2]} p(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma _X\sigma ...展开全文二维正态随机变量概率密度函数三维图的matlab实现
1.二维正态随机变量
二维正态随机变量是最常见的一种二维随机变量分布。其联合概率密度函数为：
p ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 − r 2 ⋅ e x p { − 1 2 ( 1 − r 2 ) [ ( x − m X 2 ) σ X 2 − 2 r ( x − m X ) ( y − m Y ) σ X σ Y + ( y − m Y 2 ) σ Y 2 ] } p(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma _X\sigma _Y\sqrt{1-r^2}}\cdot exp\{ -\frac{1}{2(1-r^2)}[\frac{(x-m_X^2)}{\sigma_X ^2}-\frac{2r(x-m_X)(y-m_Y)}{\sigma_X\sigma_Y}+\frac{(y-m_Y^2)}{\sigma_Y^2}]\} p(x,y)=2πσXσY1−r21⋅exp{−2(1−r2)1[σX2(x−mX2)−σXσY2r(x−mX)(y−mY)+σY2(y−mY2)]}变量 含义 σ X \sigma_X σX 随机变量X的方差 σ Y \sigma_Y σY 随机变量Y的方差 m X m_X mX 随机变量X的方差 m Y m_Y mY 随机变量Y的方差 r 随机变量X、Y相关系数 2.Mtalab画联合概率密度三维图
取 σ X = σ Y = 1 , m X = m Y = 5 , r = 0 \sigma_X=\sigma_Y=1,m_X=m_Y=5,r=0 σX=σY=1,mX=mY=5,r=0，画联合概率密度的三维曲面如下：
- 三维视图
- X-Z视图：
- Y-Z视图：
- 任意视图（体验视觉冲击力）
3.matlab代码
clc close all clearvars Dx=1;%方差 Dy=1;%方差 mx=5; my=5; r=0; x=0:0.05:10; y=0:0.05:10; [X,Y]=meshgrid(x,y); p2=(1/(2*pi*Dx*Dy*sqrt(1-r^2)))*exp((-1/(2*(1-r^2)))*((X-mx).^2/Dx^2)-(2*r*(X-mx).*(Y-my)/(Dx*Dy)+(Y-my).^2/Dy^2)); mesh(X,Y,p2) title('随机变量X、Y的联合概率密度') xlabel('X') ylabel('Y') zlabel('联合概率密度')
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概率统计学习笔记（１2）——二维随机变量
2019-01-16 21:33:06二维随机变量（向量） 设EEE是一个随机试验，它的样本空间是S=eS={e}S=e,设X=X(e)X=X(e)X=X(e)和Y=Y(e)Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在SSS上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)叫做二维随机向量。 分布函数： ...展开全文二维随机变量（向量）
设 E E E是一个随机试验，它的样本空间是 S = e S={e} S=e,设 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e)和 Y = Y ( e ) Y=Y(e) Y=Y(e)是定义在 S S S上的随机变量，由它们构成的一个向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)叫做二维随机向量。
分布函数：
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二维随机变量，对于任意实数 x , y x,y x,y二元函数
F ( x , y ) = P { ( X ≤ x ) ∩ ( Y ≤ y ) } = 记 为 P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\{(X\le x)\cap(Y\le y)\}\overset{记为}{=}P\{X\le x,Y\le y\} F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=记为P{X≤x,Y≤y}
称为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数，或称为随机变量 X X X和 Y Y Y的联合分布函数性质：
- F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)是变量 x , y x,y x,y的不减函数
-
0
≤
F
(
x
,
y
)
≤
1
0\le F(x,y) \le 1
0≤F(x,y)≤1，且
- 对于任意固定的 y , F ( − ∞ , y ) = 0 , y,F(-\infty,y)=0, y,F(−∞,y)=0,
- 对于任意固定的 x , F ( x , − ∞ ) = 0 , x,F(x,-\infty)=0, x,F(x,−∞)=0,
- F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( ∞ , ∞ ) = 1 F(-\infty,-\infty)=0,F(\infty,\infty)=1 F(−∞,−∞)=0,F(∞,∞)=1
-
F
(
x
,
y
)
F(x,y)
F(x,y)关于
x
x
x右连续，关于
y
y
y也右连续
F ( x + 0 , y ) = F ( x , y ) , F ( x , y + 0 ) = F ( x , y ) F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y) F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y) - 对于任意
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
,
x
1
<
x
2
,
y
1
<
y
2
(x_1,y_1),(x_2,y_2),x_1<x_2,y_1<y_2
(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2下述不等式成立
F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) + F ( x 1 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) ≥ 0 F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2) \ge 0 F(x2,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)−F(x1,y2)≥0
离散型随机变量
定义：
如果二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)全部可能取到的值是有限对或者可列无限多对，则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是离散型随机变量。联合分布律：
设二维离散随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)所有可能取的值 ( x i , y j ) , i j = 1 , 2 , . . . , (x_i,y_j),ij=1,2,..., (xi,yj),ij=1,2,...,记 P { X = x i , Y = y j } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . , P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,..., P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,则由概率定义有 p i j ≥ 0 , ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 p_{ij}\ge 0,\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=1 pij≥0,∑i=1∞∑j=1∞pij=1
称 ( x i , y j ) , i , j = 1 , 2 , . . . , (x_i,y_j),i,j=1,2,..., (xi,yj),i,j=1,2,...,记 P { X = x i , Y = y j } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . , P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,..., P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,为二维离散型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律或随机变量 X X X和 Y Y Y的联合分布律。连续型的二维随机变量及其联合概率密度：
如果存在非负的函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)使对于任意 x , y x,y x,y有
F ( x , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( μ , υ ) d μ d υ F(x,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(\mu,\upsilon)d\mu d\upsilon F(x,y)=∫−∞y∫−∞xf(μ,υ)dμdυ
则，称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是连续型的二维随机变量，函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度，或称随机变量 X X X和 Y Y Y的联合概率密度。性质：
- f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y)\ge0 f(x,y)≥0
- ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x d y = F ( ∞ , ∞ ) = 1 \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx dy=F(\infty,\infty)=1 ∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy=F(∞,∞)=1
- 设
G
G
G是
x
o
y
xoy
xoy平面内的区域，点
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)落入
G
G
G内的概率为
P { ( X , Y ) ∈ G } = ∫ ∫ G f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)\in G\}=\int\int_{G}f(x,y)dxdy P{(X,Y)∈G}=∫∫Gf(x,y)dxdy - 若
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)在点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)连续，则有
∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y) ∂x∂y∂2F(x,y)=f(x,y)
n n n维随机向量（变量）
定义：
设 E E E是一个随机试验，它的样本空间是 S = { e } S=\{e\} S={e}，设 X 1 = X 1 { e } , X 2 = X 2 { e } , . . . , X n = X n { e } X_1=X_1\{e\},X_2=X_2\{e\},...,X_n=X_n\{e\} X1=X1{e},X2=X2{e},...,Xn=Xn{e}是定义在 S S S上的随机变量，由它们构成一个 n n n维向量 ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) (X_1,X_2,...,X_n) (X1,X2,...,Xn)称为 n n n维随机向量（变量）联合分布函数
对于任意 n n n个实数 x 1 , x 2 , . . , x n , n x_1,x_2,..,x_n,n x1,x2,..,xn,n元函数
F ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P { X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , . . . , X n ≤ x n } F(x_1,x_2,...,x_n)=P\{X_1\le x_1,X_2\le x_2,...,X_n\le x_n\} F(x1,x2,...,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,...,Xn≤xn}
称为 n n n维随机变量的联合分布函数。
ToBeContinued
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