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  • 章 一维随机变量及分布一、随机变量、分布函数及性质 随机变量 分布函数 分布函数的性质 ...离散型随机变量的分布率 称 P{X=xi}=pi,(i=1,2,⋯) P\{X = x_i\} = p_{i, (i = 1, 2, \cdots)} 或 XX x1x_1

    第二章 一维随机变量及分布


    一、随机变量、分布函数及性质

    1. 随机变量
    2. 分布函数
    3. 分布函数的性质

    二、离散型随机变量及分布

    1. 离散型随机变量的定义

    若随机变量 X 的可能取值为有限个或可列个,称 X 为离散型随机变量。

    2. 离散型随机变量的分布率


    P{X=xi}=pi(i=1,2,)

    X x1 x2 xn
    P p1 p2 pn

    为离散型随机变量 X 的分布律。

    3. 离散型随机变量的分布函数

    F(x)=P{Xx}=Xixpi


    三、连续型随机变量及分布

    1. 连续型随机变量的定义

    X 为随机变量,若 X 的分布函数 F(x)=xf(x)dx(其中f(x) 为非负可积函数),称 X 为连续型随机变量,f(x) 为连续型随机变量的密度函数。

    2. 密度函数与分布函数的性质

    1. f(x)0
    2. +f(x)dx=1
    3. F(x) 为连续型随机变量的密度函数;

    四、常见一维随机变量及分布

    (一)离散型

    1. 二项分布XB(n,p)

      P{X=k}=Cpnpk(1p)nk,k=0,1,,n

    2. Poisson 分布XPoisson(k)

      P{X=k}=λkk!eλ

    3. 几何分布XG(x)

      P{X=k}=(1p)k1p,k=1,2,

    4. 超几何分布 XH(N,M,n)

      P{X=m}=CmMCnmNMCnN

      其中 0mminn,M

    (二)连续型

    1. 均匀分布 XU(a,b)
      f(x)={1ba0,a<x<b,other

      F(x)=0xaxb1,x<0,axb,xb
    2. 指数分布 XE(λ)
      f(x)={λeλx0,x0,x0

      F(x)={1eλx0,x0,x<0
    3. 正态分布 XN(μ,σ2)
      f(x)=12πσexp(xμ)22σ2,<x<+

      μ=0,σ=1,则称 X 服从标准正态分布
      φ(x)=12πex22Φ(x)=xφ(t)dt

    注解

    1. XN(μ,σ2),则 F(x)=Φ(xμσ)
    2. XN(μ,σ2),则 xμσN(0,1)

    五、一维随机变量的函数分布

    X 为随机变量,若 Y=φ(X),称 Y 为随机变量 X 的函数,求 Y 的分布通常分为如下几种情形:

    1. X 为离散型随机变量

    P{Y=yi}=P{φ(X)=yi}=φ(xi)=yiPX=xi

    2. X 为连续型随机变量

    情形一:Y 为离散型,先求出 Y 的可能求值,再通过 X 的概率分布求出 Y 的可能取值对应的概率,即求出 Y 的分布律。

    情形二:Y 为连续型随机变量,求 Y 的分布通常方法有:

    定义法:

    FY(y)=P{Yy}=P{φ(X)y}=φ(x)yfX(x)dx

    其密度函数为

    fY(y)=FY(y)

    公式法:

    fY(y)={fX[h(y)]|h(y)|0,α<y<β,other

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  • 多维随机变量(函数)的数学期望和方差若二维随机变量 的分布用联合分布列 或用联合密度函数 表示,下面讨论:1.多维随机变量的数学期望和方差在离散场合: 的数学期望 的方差: 同样可给出 的数学期望和方差。在...

    41331186acb1c80f5c484cb6e9ff031c.png

    学习不易,把知识点讲清楚更是难上加难……

    这一节是将特征数从一维推广到多维的情况。(一维的还没写,如果有时间以后会补充)。先给出理论知识,最后给出一些习题及解答。

    多维随机变量(函数)的数学期望和方差

    若二维随机变量

    的分布用联合分布列
    或用联合密度函数
    表示,下面讨论:

    1.多维随机变量的数学期望和方差

    在离散场合:

    的数学期望

    的方差:

    同样可给出

    的数学期望和方差。

    在连续场合:

    的数学期望

    的方差:

    同样可给出

    的数学期望和方差。

    2.多维随机变量函数的数学期望和方差

    随机变量

    的数学期望为:(这里假设涉及到的数学期望都存在)

    数学期望与方差的运算性质

    1.

    对于任意的随机变量

    这个结论很强,对于随机变量间的关系没有任何要求。可简单地叙述为和的期望等于期望的和,可以推广到有限的

    维的情形:

    2.

    若随机变量

    独立(可减弱为不相关,后面会解释),则:

    这个结论亦可推广到有限的

    维的情形:若
    相互独立,则

    3.

    若随机变量

    独立(可减弱为不相关),对于任意常数
    ,有:

    该性质只对方差成立,对标准差不成立,标准差应这样计算:

    该性质亦可推广到有限的

    维的情形:若
    相互独立,则对于任意常数列
    和任意常数
    ,有:

    这说明对于独立随机变量来说,它们之间无论是相加或是相减,其方差只增不减。

    特别地,

    个方差均为
    独立同分布的随机变量
    ,其算术平均值的方差:

    这说明若对某个物理量进行测量,可用

    次独立重复测量的平均值来提高测量的精度。

    协方差(Covariance)

    定义随机变量

    协方差(或称相关中心矩)如下:

    若取

    ,则
    。可以看出方差是协方差的特殊情况。我们知道,随机变量:

    被称为随机变量

    中心化随机变量(该随机变量表示
    的每一个取值与
    的差),因而
    的协方差
    。这也是
    相关中心矩的名称的由来。

    我们规定,当

    时,称
    正相关;当
    时,称
    负相关;当
    时,称
    不相关。这里随机变量间的相关性与随机变量间的独立性有相通之处,即都是从严格的数学定义出发的,而非凭借我们的直观印象。

    协方差和方差的性质

    1.

    对于任意的随机变量

    和任意常数

    这个性质的证明很简单。协方差的本质是数学期望,只需按照数学期望的性质将左式展开即可:

    若取

    ,这个性质也说明(3)和(5)的条件为何可减弱为不相关,下面这个性质揭示了其本质原因:

    2.

    独立,则
    不相关,反之不然。即由独立可推出不相关,但由不相关不能推出独立。即“独立”是比“不相关”更强的一个概念:

    8a8978af69e59569de2d51d62211bd8e.png

    这是因为若

    独立,则有:

    按照式(11)

    从而说明

    不相关。

    3.协方差与次序无关:

    4.任意随机变量与常数的协方差为

    5.对于任意的随机变量

    和任意常数

    6.对于任意随机变量

    7.对于任意的随机变量

    和任意常数

    证明从略。这个性质可推广到有限的

    维的情形。对于任意的
    个随机变量
    和任意常数列
    和任意常数

    这里相比(7)虽然条件减弱了,但是结论却复杂了,体现着数学的守恒的美感。

    这里有别于数学期望的线性性质,关于多维随机变量的方差,除了将涉及到的随机变量的方差的加起来之外,还要加上随机变量两两之间的协方差。

    (线性)相关系数((Linear) Correlation Coefficient)

    若随机变量

    的方差非零,定义二维随机变量
    (线性)相关系数(以下简称相关系数):

    因标准差大于零,因而相关系数

    与协方差
    同号,因而从相关系数的符号也可看出两随机变量的相关性(正相关、负相关、不相关)。

    类似用“中心化随机变量乘积的数学期望”来解释协方差,相关系数可用“标准化随机变量的协方差”来解释:

    分别为相应的随机变量的数学期望和方差,均为常数。引入标准化随机变量:

    则:

    Schwarz不等式

    证明:

    1.当

    时,
    几乎处处为常数,因而其与
    的协方差为零。不等式成立。

    2.当

    时,考虑关于
    的二次函数:

    非负,从而判别式非正:

    化简后即得(21)

    利用Schwarz不等式可得到:

    此即说明相关系数有界。

    性质

    的充要条件是
    之间几乎处处有
    线性关系,即存在常数
    ,使得:

    时,我们称
    线性正相关;当
    时,我们称
    线性负相关。
    越接近1,它们之间的线性相关程度越高;
    越接近0,它们之间的线性相关程度越低。

    但是要注意的是,由

    说明的“
    不相关”仅仅表示
    不具有线性关系,但可能具有其他的函数关系(如平方关系、指数关系、对数关系等)。同时也要说明,相关系数比协方差更能反映两随机变量的线性相关程度,因相关系数考虑了两随机变量的标准差,而协方差没有。

    随机向量、协方差矩阵

    维随机向量:

    其每一个分量均为一个随机变量。以下假设所涉及到的量都存在。

    定义随机向量的数学期望

    定义随机向量的协方差矩阵

    结论:协方差阵是非负定的对称阵。(证明从略)


    以上是理论部分,下面给出几个例题:

    e.g.1

    求掷

    颗骰子,点数之和的数学期望和方差。

    解:

    每颗骰子的点数

    独立同分布,
    。设点数之和为
    。则:

    e.g.2

    从数字

    中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望。

    解:

    分别为两次取到的数字,则:

    则所求数学期望:

    e.g.3

    独立同分布于
    ,试证:

    证明:

    的联合密度函数为:

    从而:

    e.g.4

    将一枚硬币重复投掷

    次,以
    分别表示正面向上和反面向上的次数,求
    的协方差和相关系数。

    解:

    ,且
    ,故:

    e.g.5

    已知随机变量

    的相关系数为
    ,求
    的相关系数,其中
    均为非零的正常数。

    解:

    这个例题说明相关系数对伸缩变换和平移不敏感,最多只是改变符号。

    e.g.6

    设随机向量

    的相关系数分别为
    ,证明:

    证明:

    记标准化变量为:

    因:

    则:

    从而

    的协方差阵的行列式为:

    再由协方差的非负定性:

    移项即得:

    “计数器”的应用

    e.g.7

    在区间

    上随机地取
    个点,求相距最远的两点间的距离的数学期望。

    方法一:

    个点将区间
    分为
    个小区间,记它们的长度为随机变量

    e09232620734be862461ecf295c204cc.png

    因这些点是随机选取的,故

    同分布,因而具有相同的数学期望,且
    。则:

    而相距最远的两点间的距离为:

    ,从而所求期望为:

    方法二:

    记这

    个点为
    ,则
    独立同分布于
    。我们的目标是求
    。由最大值和最小值分布的计算方法(见多维随机变量函数的分布),
    的密度函数分别为:

    而:

    从而:

    e.g.8

    个姓名互不相同的人的姓名分别写在
    张完全一样的纸条上,现将纸条随机打乱,每人从中抽取一张纸条,求抽中写有自己姓名的纸条的人数
    的数学期望和方差。

    解:

    随机变量

    的分布十分复杂,因而我们考虑间接的方法。这里引入类似计数器功能的随机变量
    ,用来表示第
    个人是否抽中写有自己姓名的纸条,即记:

    显然有

    因这里是随机抽取,因而“中奖”的概率与抽签顺序无关,则

    同分布于两点分布
    (但不独立),即:

    从而:

    则:

    不独立,则:

    问题转化为求

    ,我们先求
    的分布列:

    所以:

    从而:

    从而:

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  • 本次博客笔记我们将会接触到条件分布(包括离散型和连续型)。关于条件分布,据说是考研很喜欢出一个知识点,所以博主也出来一些解题秘密武器!一起来看看吧!

    一、条件分布的定义

    F(xA)=P{XxA}F(x|A) = P\{X≤x|A\}
    至于这个定义,其实就是条件概率嘛:P{XxA}=P{Xx,A}P(A) P\{X≤x|A\} = \frac{P\{X ≤ x, A\}}{P(A)}

    二、二维离散型条件分布的计算

    我们直接上具体的例子,难度其实是不大的:已知 X, Y 的联合分布表如下:

    X\Y 0 1
    0 0.1 0.3
    1 0.3 0.3

    需要计算各种条件分布。

    因为是离散型的随机变量,X 或者 Y 的取值被限定在了那几个值里面。所以各种条件概率就可以表示为:P{X=0Y=0};P{X=1Y=0};P{X=0Y=1};P{X=1Y=1}P{Y=0X=0};P{Y=1X=0};P{Y=0X=1};P{Y=1X=1} P\{X=0|Y=0\};P\{X=1|Y=0\};P\{X=0|Y=1\};P\{X=1|Y=1\}\\ P\{Y=0|X=0\};P\{Y=1|X=0\};P\{Y=0|X=1\};P\{Y=1|X=1\}

    这种题目有固定解法:
    【1】先把 X, Y 的边缘分布求出来(这在上一篇 BlogBlog 里面涉及了)也就是说,通过这一步,我们可以计算得到:P{X=0},P{X=1},P{Y=0},P{Y=1}P\{X=0\}, P\{X=1\}, P\{Y=0\}, P\{Y=1\}

    【2】我们举一个例子说明:如果要求的是 P{X=1Y=0}P\{X=1|Y=0\},那么根据定义可以表示为:P{X=1Y=0}=P{X=1,Y=0}P{Y=0} P\{X=1|Y=0\} = \frac{P\{X=1,Y=0\}}{P\{Y=0\}}
    我们发现:P{X=1,Y=0}P\{X=1,Y=0\} 就是联合分布表里面 X = 1, Y = 0 的概率嘛,直接从上表找到即可(为0.3)

    【3】除一下秒得结果

    三、连续型随机变量的条件分布和条件密度

    同样,我们先简单给出定义:
    对于 X, Y 两个随机变量,其联合密度函数已知:f(x,y)f(x,y),又已知了它们的边缘密度函数 fX(x),fY(y)f_X(x), f_Y(y)
    如果 fY(y)>0f_Y(y)>0,那么在 Y = y 的条件下 X 的条件分布函数即为:F(xy)=xf(u,y)fY(y)du F(x|y) = \int_{-∞}^x\frac{f(u, y)}{f_Y(y)}du
    两边一同时求导就可以得到 X 的条件密度函数了(值得一提的是,对等式右边是一个变上限积分的求导)得到f(xy)=F(xy)=f(x,y)fY(y)(1) f(x|y) = F'(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\tag{1}
    同理,Y 的条件密度函数也是一样的:f(yx)=f(x,y)fX(x)(2) f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}\tag{2}

    不过大家在计算的时候要注意一点:如果题目是这样问的:求 f(yx=2)f(y|x = 2),那么我们的计算公式就应该变成:f(2,y)fX(2) \frac{f(2, y)}{f_X(2)}

    好啦,这就是本次 BlogBlog 的全部内容,下一篇 BlogBlog 我们将会学习二维随机变量函数的分布和分布密度(包括离散型和连续型)

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  • 1.一维随机变量的函数 随机变量函数,指的是用某一个普通的实函数g(⋅)g(\cdot)g(⋅)作用于随机变量XXX,这样无论随机变量XXX取什么值xxx,g(X)g(X)g(X)都可以取相应的g(x)g(x)g(x),显然g(X)g(X)g(X)也是随机变量,...

    第二章 随机变量与分布函数(5)

    1.一维随机变量的函数

    随机变量函数,指的是用某一个普通的实函数g()g(\cdot)作用于随机变量XX,这样无论随机变量XX取什么值xxg(X)g(X)都可以取相应的g(x)g(x),显然g(X)g(X)也是随机变量,它的分布跟XX存在联系。

    如果XX是离散型随机变量,则XX的所有取值是可列的,那么Y=g(X)Y=g(X)的所有取值也是可列的,故YY也是离散型随机变量,且YY的分布列为
    P(Y=y)=xi:g(xi)=yp(xi). P(Y=y)=\sum_{x_i:g(x_i)=y}p(x_i).
    如果XX连续型随机变量,要求Y=g(X)Y=g(X)的分布函数G(y)G(y),有
    G(y)=P(Yy)=P(g(x)y)=Bp(x)dx, G(y)=P(Y\le y)=P(g(x)\le y)=\int_B p(x) dx,
    这里BB是满足g(x)yg(x)\le yxx的取值集合,也是一个一维Borel集。这个形式并不常用,但如果g(x)g(x)唯一的反函数x=g1(y)x=g^{-1}(y),则YY的密度函数可以写成
    qY(y)=pX(g1(y))dg1(y)dyI(yf(x)). q_Y(y)=p_X(g^{-1}(y))\left|\frac{dg^{-1}(y)}{dy}\right|I_{(y\in f(x)的值域)}.
    为便于计算,也可以写成
    qY(y)dy=pX(x)dx,x=g1(y). q_Y(y)|dy|=p_X(x)|dx|,\quad x=g^{-1}(y).
    一般xx可以通过y=g(x)y=g(x)直接反解出唯一x=g1(y)x=g^{-1}(y)。但也有xx对应的反函数不唯一的情况(如y=x2I(1x1)y=x^2I_{(-1\le x\le 1)},此时有x1=yx_1=\sqrt yx2=yx_2=-\sqrt y两种情况。假设XX的密度为p(x)p(x),则此时
    q(y)=p(x1)dx1dy+p(x2)dx2dy=p(y)+p(y)2yI(0y1). q(y)=p(x_1)\left|\frac{dx_1}{dy}\right|+p(x_2)\left|\frac{dx_2}{dy}\right|=\frac{p(\sqrt y)+p(-\sqrt y)}{2\sqrt y}I_{(0\le y\le 1)}.
    XU(1,1)X\sim U(-1,1),则q(y)=12yI(0y1)q(y)=\frac{1}{2\sqrt y}I_{(0\le y\le 1)}。也就是说,反函数不唯一的情况下,直接把几种情况相加就好了。

    2.随机向量函数

    对于(X1,,Xn)(X_1,\cdots,X_n),随机向量函数是f(X1,,Xn)f(X_1,\cdots ,X_n),这里ff是多元函数,即给定x1,,xnx_1,\cdots,x_n的输入能输出一个单值。如果X1,,XnX_1,\cdots,X_n都是离散的,那显然Y=f(X1,,Xn)Y=f(X_1,\cdots,X_n)也是离散的,分布列可以用类似于离散随机变量函数的方式写出。

    如果X1,,XnX_1,\cdots,X_n是连续的,则
    FY(y)=f(x1,,xny)p(x1,,xn)dx1dxn. F_Y(y)={\int\cdots\int}_{f(x_1,\cdots,x_n\le y)}p(x_1,\cdots,x_n)dx_1\cdots dx_n.
    这个这个式子比较少应用,但有一些特例需要了解。

    Y=X1+X2Y=X_1+X_2的分布函数是
    FY(y)=x1+x2yp(x1,x2)dx1dx2=dx1yx1p(x1,x2)dx2=z=x1+x2x2=zx1dx1yp(x1,zx1)dz=y[p(x1,zx1)dx1]dz. \begin{aligned} F_Y(y)=&\iint\limits_{x_1+x_2\le y}p(x_1,x_2)dx_1dx_2\\ =&\int_{-\infty}^\infty dx_1\int_{-\infty}^{y-x_1}p(x_1,x_2)dx_2\\ \xlongequal[z=x_1+x_2]{x_2=z-x_1}&\int_{-\infty}^\infty dx_1\int_{-\infty}^{y}p(x_1,z-x_1)dz\\ =&\int_{-\infty}^y \left[\int_{-\infty}^\infty p(x_1,z-x_1)dx_1\right] dz. \end{aligned}
    所以YY的密度函数是pY(y)=p(x,yx)dxp_Y(y)=\int_{-\infty}^\infty p(x,y-x)dx

    对于Y=X1/X2Y=X_1/X_2,要区分X2X_2符号,它的分布函数是
    FY(y)=x1/x2yp(x1,x2)dx1dx2=0dx2yx2p(x1,x2)dx1+0dx2yx2p(x1,x2)dx1=z=x1/x2x1=zx20dx2yp(zx2,x2)x2dz+0dx2yp(zx2,x2)x2dz=y[0p(zx2,x2)x2dx20p(zx2,x2)x2dx2]dz. \begin{aligned} F_Y(y)=&\iint\limits_{x_1/x_2\le y}p(x_1,x_2)dx_1dx_2\\ =&\int_0^{\infty }dx_2\int_{-\infty }^{yx_2}p(x_1,x_2)dx_1+\int_{-\infty }^0dx_2\int_{yx_2}^\infty p(x_1,x_2)dx_1\\ \xlongequal[z=x_1/x_2]{x_1=zx_2}&\int_0^\infty dx_2 \int_{-\infty }^y p(zx_2,x_2)x_2dz+\int_{-\infty}^0 dx_2 \int_{y}^{-\infty} p(zx_2,x_2)x_2dz\\ =&\int_{-\infty }^y \left[ \int_0^\infty p(zx_2,x_2)x_2dx_2-\int_{-\infty}^0 p(zx_2,x_2)x_2 dx_2\right]dz. \end{aligned}
    所以YY的密度函数为pY(y)=[0p(zx,x)xdx0p(zx,x)xdx]=p(zx,x)xdxp_Y(y)=[\int_0^\infty p(zx,x)xdx-\int_{-\infty}^0 p(zx,x)xdx]=\int_{-\infty}^\infty p(zx,x)|x|dx

    3.随机向量的变换

    现有两个等长随机向量(X1,,Xn),(Y1,,Yn)(X_1,\cdots,X_n),(Y_1,\cdots,Y_n),如果存在一族函数f1,,fnf_1,\cdots,f_n使得Yi=fi(X1,,Xn)Y_i=f_i(X_1,\cdots,X_n),则称为随机向量的变换。离散型的依然是简单的分布列,现在还是讨论连续情形。

    已知(X1,,Xn)(X_1,\cdots,X_n)的密度函数是p(x1,,xn)p(x_1,\cdots,x_n),要求(Y1,,Yn)(Y_1,\cdots,Y_n)的联合密度q(y1,,yn)q(y_1,\cdots,y_n),首先对于函数变换要有唯一的反函数组
    {y1=f1(x1,,xn)yn=fn(x1,,xn){x1=g1(y1,,yn)xn=gn(y1,,yn), \left\{ \begin{array}l y_1=f_1(x_1,\cdots,x_n)\\ \vdots\\ y_n=f_n(x_1,\cdots,x_n) \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}l x_1=g_1(y_1,\cdots,y_n)\\ \vdots\\ x_n=g_n(y_1,\cdots,y_n) \end{array} \right.,

    J=(x1,,xn)(y1,,yn)=x1y1x1y2x1xnx2y1x2y2x2y2xny1xny2xnyn. J=\frac{\partial(x_1,\cdots,x_n)}{\partial (y_1,\cdots,y_n)}=\left| \begin{matrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1}&\frac{\partial x_1}{\partial y_2}&\cdots&\frac{\partial x_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1}&\frac{\partial x_2}{\partial y_2}&\cdots&\frac{\partial x_2}{\partial y_2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial x_n}{\partial y_1}&\frac{\partial x_n}{\partial y_2}&\cdots&\frac{\partial x_n}{\partial y_n} \end{matrix} \right|.
    则有
    q(y1,,yn)=p(g1(y1,,yn),,gn(x1,,xn))J; q(y_1,\cdots,y_n)=p\left(g_1(y_1,\cdots,y_n),\cdots,g_n(x_1,\cdots,x_n)\right)|J|;
    也可简记为
    q(y1,,yn)(y1,,yn)=p(x1,,xn)(x1,,xn). q(y_1,\cdots,y_n)|\partial (y_1,\cdots,y_n)|=p(x_1,\cdots,x_n)|\partial (x_1,\cdots,x_n)|.
    如果反函数组不止一个,也和一维随机变量变换类似,将所有情况直接加起来即可。

    随机向量的变换是非常重要的工具,它可以用来求复杂随机变量的分布函数,即通过构造另外的辅助随机变量,通过随机向量变换求得联合分布,再对其辅助随机变量积分,得到复杂随机变量的边际分布。

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二维随机变量的分布列