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  • 007 二维随机变量分布

    2017-11-28 06:57:19
    007 二维随机变量分布
    007 二维随机变量分布
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  • 摘要:本文主要介绍二维随机变量的联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系,并以矿山事故为例,强化对三者关系的认识。

    摘要:本文主要介绍二维随机变量的联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系,并以矿山事故为例,强化对三者关系的认识。

    一、联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系

    1、若已知(X, Y)的联合分布率 => 可以求出X的边缘分布律和Y的边缘分布率
    ● X的边缘分布律为
    在这里插入图片描述
    ● Y的边缘分布律为
    在这里插入图片描述

    2、若已知(X, Y)的联合分布律和X的边缘分布律 => 可以求出Y的条件分布律
    在这里插入图片描述

    3、若已知X的边缘分布律和Y的条件分布律 => 可以求出(X, Y)的联合分布律
    在这里插入图片描述

    4、若已知X的边缘分布率和Y的边缘分布率 => 只有当X和Y相互独立时,才可以求出(X, Y)的联合分布率
    在这里插入图片描述


    ✔   综合应用:若已知X的边缘分布率和Y的条件分布律,如何求X的条件分布律?
            求解分析:只需综合运用上述的几种情况即可,思路如下图所示:
    在这里插入图片描述

            求解过程如下图所示,可以看出,我们始终是根据条件分布律的定义,对分子上的(X, Y)联合分布律和分母上的Y边缘分布律进行变形处理,将等式转化为题目已知的X边缘分布律和Y条件分布律进行表示。
    在这里插入图片描述


    二、问题的引入

            例:某矿山一年内发生的事故总数服从泊松分布X ~ P(λ),其中一个事故是致命的概率为 p (0 < p < 1),事故发生之间相互独立。设一年内发生发生致命事故的次数为Y,求Y的分布律。

    三、问题的分析

            分析:该问题含有两个随机变量:事故总数X和致命事故总数Y。题目所要求的Y的分布律实质上为该二维随机变量的边缘分布律。显然致命事故发生的次数Y与事故总数X之间必然有着某种联系,根据题目给出的其中一个事故是致命的概率为 p,可以求出Y在X = k(k为事故发生的次数)下的条件分布律,注意这里Y的条件分布律服从二项分布,即
    在这里插入图片描述
            由于矿山事故为稀有事件,所以事故总数X服从泊松分布(这与题目所给条件相符),利用泊松分布的公式可以直接得到随机变量X的边缘分布率如下式所示:
    在这里插入图片描述
            求解思路:有了X的边缘分布律和Y的条件分布律,通过式(1.4)我们就可以得到(X, Y)的联合分布律,根据联合分布律由式(1.2)可以进一步求出Y的边缘分布率,求解过程如下图所示:
    在这里插入图片描述

    四、问题的求解

            根据X的边缘分布律和Y的条件分布律,通过乘法公式(式1.4)计算出二维随机变量(X, Y)的联合分布律。(注意致命事故发生的次数m一定小于或者等于事故发生的次数k)
    在这里插入图片描述
           根据联合分布律,遍历完X的所有可能取值,就可以得到Y的边缘分布律。当求P(Y = m)时,注意到隐含的条件是:事故发生的次数k只可能大于或者等于m,即k ≥ m。所以我们只需在Y = m的情况下,将k = m到k = ∞之间的所有联合分布律求和,即可得到P(Y = m)。
    在这里插入图片描述

            结果表明,致命事故发生的次数Y服从泊松分布,这与我们的预想的确是一致的,因为致命事故的发生是比单纯发生矿山事故更稀有的事件,所以自然也服从泊松分布,而泊松分布的均值恰好为λp(矿山事故发生的均值 * 事故发生后致命的概率)。

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  • 009 二维随机变量分布 min max 习题

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    009 二维随机变量分布 min max 习题

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    二元随机变量,离散型随机变量分布律


    二元随机变量


    定义:EE 是一个随机实验,样本空间 S={e}S=\{e\};设 X=X(e)X=X(e)Y=Y(e)Y=Y(e) 是定义在 SS 上的随机变量,由它们构成的向量 (X,Y)(X,Y) 称为二维随机向量二元随机变量

    image.png

    二元离散型随机变量


    定义: 若二元随机变量 (X,Y)(X,Y) 全部可能取到的不同值是有限时或可列无线对,则称 (X,Y)(X,Y)二元离散型随机变量

    (一)离散型随机变量的联合概率分布律

    (X,Y)(X,Y) 所有可能取值为 (xi,yj)(x_i,y_j),称 P(X=xi,Y=yj)=Piji,j=1,2,P(X=x_i,Y=y_j)=P_{ij},i,j=1,2,\cdots 为二元离散型随机变量 (X,Y)(X,Y)联合概率分布律。也可简称 (X,Y)(X,Y) 的分布律。可以用如下图的表格来表示

    XYy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pi2pij \begin{array}{c|ccccc} _X\bcancel{\quad^Y} &y_1&y_2&\cdots&y_j&\cdots \\ \hline x_1 &p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1j}&\cdots \\ x_2 &p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2j}&\cdots \\ \vdots &\cdots&\quad&\cdots&\quad&\cdots \\ x_i &p_{i1}&p_{i2}&\cdots&p_{ij}& \cdots \\ \vdots &\cdots&\quad&\cdots&\quad&\cdots \end{array}

    联合分布律的性质

    1. pij0,p_{ij}\geq 0,
    2. i=1j=1pij=1\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=1
    3. P((X,Y)D)=(xi,yj)DpijP((X,Y)\in D)=\sum_{(x_i,y_j)\in D}p_{ij}

    其中 pij=P(X=xj,Y=yj),i,j=1,2,p_{ij}=P(X=x_j,Y=y_j),i,j=1,2,\cdots

    image.png


    例 1: 一盒子中有 10 件产品,其中 6 件正品 ,4 件次品。从中取 1 件产品检验,不放回,再取 1 件检验。引入如下的随机变量 XXYY

    X={0,第 1 次取到次品1,第 1 次取到正品Y={0,第2次取到次品1,第2次取到正品, X=\begin{cases} 0, &\text{第 1 次取到次品} \\ 1, &\text{第 1 次取到正品}, \end{cases} \quad Y=\begin{cases} 0, &\text{第2次取到次品} \\ 1, &\text{第2次取到正品}, \end{cases}

    (X,Y)(X,Y) 的联合分布律。

    解: (XY)(X,Y) 可能的取值数对有:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).

    由乘法公式 P(AB)=P(A)P(BA)P(AB)=P(A)P(B|A) 得:

    P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0X=0)=410×39=215P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=\cfrac{4}{10}\times\cfrac{3}{9}=\cfrac{2}{15}

    同理得:P(X=0,Y=1)=410×69=415P(X=0,Y=1)=\cfrac{4}{10}\times\cfrac{6}{9}=\cfrac{4}{15}

    P(X=1,Y=0)=610×49=415,P(X=1,Y=1)=610×59=515P(X=1,Y=0)=\cfrac{6}{10}\times\cfrac{4}{9}=\cfrac{4}{15},P(X=1,Y=1)=\cfrac{6}{10}\times\cfrac{5}{9}=\cfrac{5}{15}

    XY0102154151415515 \begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 \\ \hline 0 & \cfrac{2}{15} & \cfrac{4}{15} \\ 1 & \cfrac{4}{15} & \cfrac{5}{15} \end{array}


    例 2: 设随机变量 XX 在 1、2、3、4 四个正数中等可能地取一个值,另外一个随机变量 YY1X1\sim X 中等可能地取一整数值,试求 (X,Y)(X,Y) 的联合概率分布及 XYX、Y 的分布。

    解: XYX、Y 的取值情况均为 1,2,3,4;当 i,j=1,,4i,j=1,\cdots,4

    P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=jX=i)={14×1i,ij14×0,i<jP(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=\begin{cases} \cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{i}, &i\geq j \\ \\ \cfrac{1}{4} \times 0, &i<j \end{cases}

    联合概率分布律如下:

    XY12341140002181800311211211204116116116116 \begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ \\ 2 & \cfrac{1}{8} & \cfrac{1}{8} & 0 & 0 \\ \\ 3 & \cfrac{1}{12} & \cfrac{1}{12} & \cfrac{1}{12} & 0 \\ \\ 4 & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} \end{array}

    XYX、Y 分布律

    P(X=i)=1/4,i=1,2,3,4.P(X=i)=1/4, i=1,2,3,4.

    {X=1},,{X=4}事件 \{X=1\},\cdots,\{X=4\}{Y=j}\{Y=j\} 前导事件组,由全概率公式得:

    P(Y=j)=i=14P(X=i)P(Y=jX=i),j=1,2,3,4.P(Y=j)=\sum_{i=1}^{4}P(X=i)P(Y=j|X=i),j=1,2,3,4.

    所以,XYX、Y 分布律就是在联合分布律表中横向、纵向相加!


    例 3: 袋中有 1 个红球, 2 个黑球,3 个白球,现有放回地取两次,每次取一球,以 X,Y,ZX,Y,Z 分别表示两次取球所得的红、黑、白球个数。求:

    (1)P(X=1Z=0)P(X=1|Z=0)

    (2)P(X=1,Z=0)P(X=1,Z=0)

    (3)(X,Y)(X,Y) 概率分布。

    解:

    (1) 这一问表示的意思是取到不是白球的前提下,取到 1 个红球的概率,所以:

    P(X=1Z=0)=13×23+23×13=49\quad P(X=1|Z=0)=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{2}{3}+\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{3}=\cfrac{4}{9}

    (2)这一问表达的是取出 1 个红球跟 0 个白球的概率,所以:
    P(X=1,Z=0)=16×26+26×16=19\quad P(X=1,Z=0)=\cfrac{1}{6}\times\cfrac{2}{6}+\cfrac{2}{6}\times\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{9}

    这里需要注意两问的区别!

    (3)XYX,Y 的取值范围均为 0, 1, 2.

    P(X=0,Y=0)=36×36=14P(X=0,Y=0)=\cfrac{3}{6}\times\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{4}\quad\quad 2 球均为白球

    P(X=0,Y=1)=26×36×2=13P(X=0,Y=1)=\cfrac{2}{6}\times\cfrac{3}{6}\times2=\cfrac{1}{3}\quad\quad 黑白或者白黑

    P(X=1,Y=2)=0P(X=1,Y=2)=0\quad\quad 这里总数超过 2 个,不符合条件。

    P(X=2,Y=0)=16×16=136P(X=2,Y=0)=\cfrac{1}{6}\times\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{36}\quad\quad 两球均为红球

    其余情况类似可得!

    所以 (X,Y)(X,Y) 的概率分布为:

    XY0120141319116190213600 \begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{3} & \cfrac{1}{9} \\ \\ 1 & \cfrac{1}{6} & \cfrac{1}{9} & 0 \\ \\ 2 & \cfrac{1}{36} & 0 & 0 \\ \\ \end{array}


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