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  • 做实验计算联合熵需要使用概率密度。 函数accumarray不是太行,方阵中很多的0浪费内存,我可没有几百G的内存ε=(´ο`*)))唉。 Matlab代码实现 function tong1joint = calmi(u1, u2, wind_size) x = [u1, u2]; //%...

    数学公式什么的没有。

    做实验计算联合熵需要使用概率密度。

    函数accumarray不是太行,方阵中很多的0浪费内存,我可没有几百G的内存ε=(´ο`*)))唉。

    Matlab代码实现

    function tong1joint = calmi(u1, u2, wind_size)
    x = [u1, u2];   //% x是2个列向量组成的矩阵
    n = wind_size; // % 列向量长度
    xmax = max(x(:,1));
    tongwidth = xmax;
    tong1 = zeros(2,tongwidth);	// % 这算是桶吧
    for i = 1:n
       if x(i,2) == 1
           tong1(1,x(i,1)) = tong1(1,x(i,1)) +1;
       else
           tong1(2,x(i,1)) = tong1(2,x(i,1)) +1;
       end
    end
    tong1pmf = tong1/n;  													 //% u1和u2的联合概率密度
    tong1joint = (tong1pmf(:))'*log2((tong1pmf(:))+eps);   // % 联合熵
    

    实例

    没有实例。

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  • 二维正态随机变量概率密度函数三维图的matlab实现 1.二维正态随机变量 二维正态随机变量是最常见的一种二维随机变量分布。其联合概率密度函数为: p(x,y)=12πσXσY1−r2⋅exp{−12(1−r2)[(x−mX2)σX2−2r(x−mX)...

    二维正态随机变量概率密度函数三维图的matlab实现

    1.二维正态随机变量

    二维正态随机变量是最常见的一种二维随机变量分布。其联合概率密度函数为:
    p ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 − r 2 ⋅ e x p { − 1 2 ( 1 − r 2 ) [ ( x − m X 2 ) σ X 2 − 2 r ( x − m X ) ( y − m Y ) σ X σ Y + ( y − m Y 2 ) σ Y 2 ] } p(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma _X\sigma _Y\sqrt{1-r^2}}\cdot exp\{ -\frac{1}{2(1-r^2)}[\frac{(x-m_X^2)}{\sigma_X ^2}-\frac{2r(x-m_X)(y-m_Y)}{\sigma_X\sigma_Y}+\frac{(y-m_Y^2)}{\sigma_Y^2}]\} p(x,y)=2πσXσY1r2 1exp{2(1r2)1[σX2(xmX2)σXσY2r(xmX)(ymY)+σY2(ymY2)]}

    变量含义
    σ X \sigma_X σX随机变量X的方差
    σ Y \sigma_Y σY随机变量Y的方差
    m X m_X mX随机变量X的方差
    m Y m_Y mY随机变量Y的方差
    r随机变量X、Y相关系数

    2.Mtalab画联合概率密度三维图

    σ X = σ Y = 1 , m X = m Y = 5 , r = 0 \sigma_X=\sigma_Y=1,m_X=m_Y=5,r=0 σX=σY=1,mX=mY=5,r=0,画联合概率密度的三维曲面如下:

    • 三维视图

    在这里插入图片描述

    • X-Z视图:
      在这里插入图片描述
    • Y-Z视图:
      在这里插入图片描述
    • 任意视图(体验视觉冲击力)
      在这里插入图片描述

    3.matlab代码

    clc
    close all
    clearvars
    Dx=1;%方差
    Dy=1;%方差
    mx=5;
    my=5;
    r=0;
    x=0:0.05:10;
    y=0:0.05:10;
    [X,Y]=meshgrid(x,y);
    p2=(1/(2*pi*Dx*Dy*sqrt(1-r^2)))*exp((-1/(2*(1-r^2)))*((X-mx).^2/Dx^2)-(2*r*(X-mx).*(Y-my)/(Dx*Dy)+(Y-my).^2/Dy^2));
    mesh(X,Y,p2)
    title('随机变量X、Y的联合概率密度')
    xlabel('X')
    ylabel('Y')
    zlabel('联合概率密度')
    
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  • 本文档通过MATLAB来绘制二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。其中X服从标准正态分布,Y服从均匀分布。 【例题】已知随机变量X与Y相互独立,X~N(0,1);Y在区间[0,2]上服从均匀分布。求: (1)二维随机变量(X,Y)的...

    本文档通过MATLAB来绘制二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。
    第一种类型,X服从标准正态分布,Y服从均匀分布。
    【例题】已知随机变量X与Y相互独立,X~N(0,1);Y在区间[0,2]上服从均匀分布。求:
    (1)二维随机变量(X,Y)的联合概率密度。
    (2)概率P(X ≥ \geq Y)
    解答:
    (1)随机变量X的概率密度为
    f X ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 − ∞ < x < ∞ f_{X} (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-\frac{x^2}{2} } -\infty <x<\infty fX(x)=2π 1e2x2<x<
    随机变量Y的概率密度为
    f Y ( y ) = { 1 2 , y = ( 0 , 2 ) 0 , y = 其 它 f_{Y} (y)=\begin{cases} & \frac{1}{2}, y= (0,2)\\ & 0 , y=其它 \end{cases} fY(y)={21,y=(0,2)0,y=
    因为X与Y相互独立,所以二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为:
    f ( x , y ) = { 1 2 2 π e − x 2 2 , x = − ∞ < x < ∞ , 0 ≤ y ≤ 2 0 , 其 它 f(x,y)=\begin{cases} & \frac{1}{2\sqrt{2\pi } }e^{-\frac{x^2}{2} }, x=-\infty <x<\infty ,0\le y\le 2 \\ & 0, 其它 \end{cases} f(x,y)={22π 1e2x2,x=<x<,0y20,
    此二维随机变量的联合概率密度函数用MATLAB来绘制,其代码如下
    x=-10:0.1:10;
    y=0:0.1:1;
    z=ones(length(y),1)(exp(-x.^2)/2)/(2sqrt(2*pi));
    mesh(x,y,z)
    输出图像为
    在这里插入图片描述
    (2)概率P(X ≥ \geq Y)就是随机点(X,Y)落在平面区域X ≥ \geq Y内的概率。
    在这里插入图片描述

    第二种类型:X与Y均服从正态分布,且不独立。
    【例题】设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
    f ( x , y ) = 5 96 π e − 25 32 [ ( x − 1 ) 2 9 + ( x − 1 ) ( y − 2 ) 10 + ( y − 2 ) 2 16 ] f\left ( x,y \right ) =\frac{5}{96\pi }e ^{-\frac{25}{32}\left [ \frac{\left ( x-1\right )^{2} }{9} +\frac{\left ( x-1 \right )\left ( y-2 \right ) }{10}+\frac{\left ( y-2 \right )^2 }{16} \right ] } f(x,y)=96π5e3225[9(x1)2+10(x1)(y2)+16(y2)2]
    (1)例用MATLAB画出联合密度函数图
    (2)求随机变量函数Z=X/3-Y/4的数学期望和方差
    【解答】
    (1)根据二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布的概率函数
    f ( x , y ) = 1 2 π σ x σ y 1 − r 2 e − 1 2 ( 1 − r 2 ) [ ( x − μ x ) 2 σ x 2 + 2 r ( x − μ x ) ( y − μ y ) σ x σ y + ( y − μ y ) 2 σ y 2 ] f\left ( x,y \right ) =\frac{1}{2\pi\sigma _{x}\sigma _{y}\sqrt{1-r^2} }e ^{-\frac{1}{2\left ( 1-r^2 \right ) }\left [ \frac{\left ( x-\mu _{x} \right )^{2} }{\sigma _{x}^2 } +\frac{2r\left ( x-\mu _{x} \right )\left ( y-\mu _{y} \right ) }{\sigma _{x} \sigma _{y} } +\frac{\left ( y-\mu _{y} \right )^2 }{\sigma _{y}^{2} } \right ] } f(x,y)=2πσxσy1r2 1e2(1r2)1[σx2(xμx)2+σxσy2r(xμx)(yμy)+σy2(yμy)2]
    记作:
    ( X , Y ) ∼ N ( μ X , μ Y , σ X 2 , σ Y 2 , r ) \left ( X,Y \right ) \sim N\left ( \mu _{X} ,\mu _{Y} ,\sigma _{X}^2,\sigma _{Y}^2,r \right ) (X,Y)N(μX,μY,σX2,σY2,r)r的绝对值小于1.
    可知, E ( X ) = 1 , E ( Y ) = 2 , D ( X ) = 9 , D ( Y ) = 16 , R ( X , Y ) = r = − 3 5 E\left ( X \right ) =1,E\left ( Y \right ) =2,D\left ( X \right ) =9,D\left ( Y \right ) =16,R(X,Y)=r=-\frac{3}{5} E(X)=1,E(Y)=2,D(X)=9,D(Y)=16,R(X,Y)=r=53
    程序代码为:
    clc;
    clear;
    x=-4:0.1:6;
    y=-3:0.1:7;
    [X,Y]=meshgrid(x,y);
    Z=5exp(-25((X-1).2+(X-1).*(Y-2)/10+(Y-2).2/16)/32)/(96*pi);
    mesh(X,Y,Z); %绘制三维网格图

    运行后三维网格图的图像为:
    在这里插入图片描述
    (2) c o v ( X , Y ) = R ( X , Y ) σ x σ y = − 36 5 cov\left ( X,Y \right ) =R\left ( X,Y \right ) \sigma _{x} \sigma _{y}=-\frac{36}{5} cov(X,Y)=R(X,Y)σxσy=536
    E ( Z ) = E ( X 3 − Y 4 ) = − 1 6 E\left ( Z \right ) =E\left ( \frac{X}{3}-\frac{Y}{4} \right ) =-\frac{1}{6} E(Z)=E(3X4Y)=61
    D ( Z ) = D ( X 3 − Y 4 ) = ( 1 3 ) 2 D ( X ) + ( − 1 4 2 D ( Y ) ) + 2 × 1 4 × ( − 1 4 ) = 16 5 D\left ( Z \right ) =D\left ( \frac{X}{3} -\frac{Y}{4} \right ) =\left ( \frac{1}{3} \right )^2D\left ( X \right ) +\left ( -\frac{1}{4}^2D\left ( Y \right ) \right ) +2\times \frac{1}{4}\times \left ( -\frac{1}{4} \right ) =\frac{16}{5} D(Z)=D(3X4Y)=(31)2D(X)+(412D(Y))+2×41×(41)=516
    第三种类型:X与Y均服从标准正态分布,且相互独立
    【例题】设随机变量X与Y相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),求:
    (1)画出该二维随机变量的联合概率密度函数图像。
    (2)求出随机变量函数 Z = X 2 + Y 2 Z=X^{2} +Y^{2} Z=X2+Y2 的概率密度
    【解答】
    (1)相互独立的二维随机变量X与Y的联合概率密度函数为
    f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = 1 2 π e − x 2 + y 2 2 f\left ( x,y \right ) =f_X\left ( x \right ) f_Y\left ( y \right ) =\frac{1}{2\pi }e^{-\frac{x^2+y^2}{2} } f(x,y)=fX(x)fY(y)=2π1e2x2+y2
    绘制该函数用到的代码为:
    vx=-4:0.1:4;
    [X,Y]=meshgrid(vx);
    Z=exp(-(X.2+Y.2)/2)/(2*pi);
    mesh(X,Y,Z);
    绘制的联合概率密度图像为
    XY独立且服从标准正态分布
    (2)随机变量 Z = X 2 + Y 2 Z=X^{2} +Y^{2} Z=X2+Y2 的分布函数为
    F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P ( X 2 + Y 2 ≤ z ) = ∬ x 2 + y 2 ≤ z e − x 2 + y 2 2 d x d y = 1 − e z 2 F_{Z} \left ( z \right ) =P\left ( Z\le z \right ) =P\left ( X^2+Y^2\le z \right ) =\iint\limits_{x^2+y^2\le z}^{} e^{-\frac{x^2+y^2}{2} dxdy} =1-e^{\frac{z}{2} } FZ(z)=P(Zz)=P(X2+Y2z)=x2+y2ze2x2+y2dxdy=1e2z
    所以Z的分布函数为
    F Z ( z ) = { 1 − e − z 2 , z > 0 0 , z ≤ 0 F_{Z} \left ( z \right ) =\begin{cases} & 1-e^{-\frac{z}{2} }, { } z>0 \\ & 0,{ } z\le 0 \end{cases} FZ(z)={1e2z,z>00,z0
    例用matlab绘制图像为
    Z的分布函数
    程序代码为
    fplot(@(z)1-exp(-z/2),[0,10]);
    由Z的分布函数得Z的概率密度函数为
    f Z ( z ) = { 1 2 e − z 2 , z > 0 0 , z ≤ 0 f_{Z} \left ( z \right ) =\begin{cases} & \frac{1}{2}e^{-\frac{z}{2} }, { } z>0 \\ & 0,{ } z\le 0 \end{cases} fZ(z)={21e2z,z>00,z0
    例用Matlab绘制图像为
    Z的概率密度函数
    程序代码为 fplot(@(z)exp(-z/2)/2,[0,10]);
    此时,Z的随机变量函数服从的分布是自由度为2的 χ 2 \chi ^{2} χ2分布

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  • 二维随机变量的函数的概率密度公式 设连续型随机变量X,YX,YX,Y的联合概率密度为f(x,y)f\left(x,y\right)f(x,y),设Z=ϕ(X,Y)Z=\phi\left(X,Y\right)Z=ϕ(X,Y)为随机变量X,YX,YX,Y的函数且ZZZ可微,则ZZZ的分布函数 ...

    二维随机变量的函数的概率密度公式

    设连续型随机变量 X , Y X,Y X,Y的联合概率密度为 f ( x , y ) f\left(x,y\right) f(x,y),设 Z = ϕ ( X , Y ) Z=\phi\left(X,Y\right) Z=ϕ(X,Y)为随机变量 X , Y X,Y X,Y的函数且 Z Z Z可微,则 Z Z Z的分布函数
    F Z ( z ) = ∬ D f ( x , y ) d σ F_Z\left(z\right)=\underset{D}{\iint}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma FZ(z)=Df(x,y)dσ
    其中,积分区域 D = { ( x , y ) ∣ ϕ ( x , y ) ≤ z } D=\{\left(x,y\right)|\phi\left(x,y\right)\le z\} D={(x,y)ϕ(x,y)z}.

    Z Z Z的概率密度函数
    f Z ( z ) = ∫ L f ( x , y ) d s ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 f_Z\left(z\right)=\int_L{f\left(x,y\right)}\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}} fZ(z)=Lf(x,y)(xϕ)2+(yϕ)2 ds
    其中,积分曲线 L L L为区域 D D D的边界曲线, L = { ( x , y ) ∣ ϕ ( x , y ) = z } L=\{\left(x,y\right)|\phi\left(x,y\right)=z\} L={(x,y)ϕ(x,y)=z}.

    证明

    由连续性随机变量概率密度函数的定义,有
    f Z ( z ) = d [ F Z ( z ) ] d z = d [ ∬ D f ( x , y ) d σ ] d z f_Z\left(z\right)=\frac{\mathrm{d}\left[F_Z\left(z\right)\right]}{\mathrm{d}z}=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\mathrm{d}z} fZ(z)=dzd[FZ(z)]=dzd[Df(x,y)dσ]
    根据全微分,有
    d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y = ∂ ϕ ∂ x d x + ∂ ϕ ∂ y d y \mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y=\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial\phi}{\partial y}\mathrm{d}y dz=xzdx+yzdy=xϕdx+yϕdy

    f Z ( z ) = d [ ∬ D f ( x , y ) d σ ] ∂ ϕ ∂ x d x + ∂ ϕ ∂ y d y = d [ ∬ D f ( x , y ) d σ ] d [ ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 n ] = d [ ∬ D 1 ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 f ( x , y ) d σ ] d n \begin{aligned} f_Z\left(z\right)&=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial\phi}{\partial y}\mathrm{d}y} \\ &=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\mathrm{d}\left[\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}\boldsymbol{n}\right]} \\ &=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\mathrm{d}\boldsymbol{n}} \end{aligned} fZ(z)=xϕdx+yϕdyd[Df(x,y)dσ]=d[(xϕ)2+(yϕ)2 n]d[Df(x,y)dσ]=dnd[D(xϕ)2+(yϕ)2 1f(x,y)dσ]
    其中 n \boldsymbol{n} n为曲线 L L L ( x , y ) \left(x,y\right) (x,y)的正向单位法向量,则可以证明,对某一可微函数在区域 D D D上的二重积分,求其边界上每一点处的法向量方向的方向导数,该导数的值就等于曲线 L L L上对该函数对弧长的积分,因此
    f Z ( z ) = ∫ L f ( x , y ) d s ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 f_Z\left(z\right)=\int_L{f\left(x,y\right)}\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}} fZ(z)=Lf(x,y)(xϕ)2+(yϕ)2 ds

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空空如也

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二维随机变量的条件概率密度