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  • 二维随机变量的条件概率密度
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    2021-05-27 15:46:17

    数学公式什么的没有。

    做实验计算联合熵需要使用概率密度。

    函数accumarray不是太行,方阵中很多的0浪费内存,我可没有几百G的内存ε=(´ο`*)))唉。

    Matlab代码实现

    function tong1joint = calmi(u1, u2, wind_size)
    x = [u1, u2];   //% x是2个列向量组成的矩阵
    n = wind_size; // % 列向量长度
    xmax = max(x(:,1));
    tongwidth = xmax;
    tong1 = zeros(2,tongwidth);	// % 这算是桶吧
    for i = 1:n
       if x(i,2) == 1
           tong1(1,x(i,1)) = tong1(1,x(i,1)) +1;
       else
           tong1(2,x(i,1)) = tong1(2,x(i,1)) +1;
       end
    end
    tong1pmf = tong1/n;  													 //% u1和u2的联合概率密度
    tong1joint = (tong1pmf(:))'*log2((tong1pmf(:))+eps);   // % 联合熵
    

    实例

    没有实例。

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    二维随机变量的函数的概率密度公式

    设连续型随机变量 X , Y X,Y X,Y的联合概率密度为 f ( x , y ) f\left(x,y\right) f(x,y),设 Z = ϕ ( X , Y ) Z=\phi\left(X,Y\right) Z=ϕ(X,Y)为随机变量 X , Y X,Y X,Y的函数且 Z Z Z可微,则 Z Z Z的分布函数
    F Z ( z ) = ∬ D f ( x , y ) d σ F_Z\left(z\right)=\underset{D}{\iint}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma FZ(z)=Df(x,y)dσ
    其中,积分区域 D = { ( x , y ) ∣ ϕ ( x , y ) ≤ z } D=\{\left(x,y\right)|\phi\left(x,y\right)\le z\} D={(x,y)ϕ(x,y)z}.

    Z Z Z的概率密度函数
    f Z ( z ) = ∫ L f ( x , y ) d s ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 f_Z\left(z\right)=\int_L{f\left(x,y\right)}\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}} fZ(z)=Lf(x,y)(xϕ)2+(yϕ)2 ds
    其中,积分曲线 L L L为区域 D D D的边界曲线,即 L = { ( x , y ) ∣ ϕ ( x , y ) = z } L=\{\left(x,y\right)|\phi\left(x,y\right)=z\} L={(x,y)ϕ(x,y)=z}.

    证明

    由连续性随机变量概率密度函数的定义,有
    f Z ( z ) = d [ F Z ( z ) ] d z = d [ ∬ D f ( x , y ) d σ ] d z f_Z\left(z\right)=\frac{\mathrm{d}\left[F_Z\left(z\right)\right]}{\mathrm{d}z}=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\mathrm{d}z} fZ(z)=dzd[FZ(z)]=dzd[Df(x,y)dσ]
    根据全微分,有
    d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y = ∂ ϕ ∂ x d x + ∂ ϕ ∂ y d y \mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y=\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial\phi}{\partial y}\mathrm{d}y dz=xzdx+yzdy=xϕdx+yϕdy

    f Z ( z ) = d [ ∬ D f ( x , y ) d σ ] ∂ ϕ ∂ x d x + ∂ ϕ ∂ y d y = d [ ∬ D f ( x , y ) d σ ] d [ ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 n ] = d [ ∬ D 1 ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 f ( x , y ) d σ ] d n \begin{aligned} f_Z\left(z\right)&=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial\phi}{\partial y}\mathrm{d}y} \\ &=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\mathrm{d}\left[\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}\boldsymbol{n}\right]} \\ &=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\mathrm{d}\boldsymbol{n}} \end{aligned} fZ(z)=xϕdx+yϕdyd[Df(x,y)dσ]=d[(xϕ)2+(yϕ)2 n]d[Df(x,y)dσ]=dnd[D(xϕ)2+(yϕ)2 1f(x,y)dσ]
    其中 n \boldsymbol{n} n为曲线 L L L ( x , y ) \left(x,y\right) (x,y)的正向单位法向量,则可以证明,对某一可微函数在区域 D D D上的二重积分,求其边界上每一点处的法向量方向的方向导数,该导数的值就等于曲线 L L L上对该函数对弧长的积分,因此
    f Z ( z ) = ∫ L f ( x , y ) d s ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 f_Z\left(z\right)=\int_L{f\left(x,y\right)}\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}} fZ(z)=Lf(x,y)(xϕ)2+(yϕ)2 ds

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  • 这个条件分布主要只针对二维的 一、离散型随机变量条件分布 同理固定一个X为一个常数则可得Y的条件分布律 **注:**离散型的求在什么条件下X或Y的条件分布律,知道他们的联合分布律很重要. 1) 观察这个公式。 ...

    这个条件分布主要只针对二维的

    一、离散型随机变量的条件分布

    在这里插入图片描述
    同理固定一个X为一个常数则可得Y的条件分布律

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    **注:**离散型的求在什么条件下X或Y的条件分布律,知道他们的联合分布律很重要.
    1)

    在这里插入图片描述
    观察这个公式。
    在这里插入图片描述
    注:必须知道P{X=1}的概率,然后固定X=1,Y变化变化全部取值。同理Y固定时也是一样。
    在这里插入图片描述

    连续型随机变量条件分布

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    注:任意的x,y P{X=x}=0 P{Y =y} =0,所以不能直接用条件概率公式得到条件分布。而是用极限的方法推导出来,我就不再深推了。

    在这里插入图片描述

    不管是求条件概率密度函数还是条件概率,首先必须做的是求出两个边缘密度函数,这个是公式用到的。

    在这里插入图片描述
    这两个就是根据上图求出来的边缘密度函数
    在这里插入图片描述
    这一步也就是根据边缘密度函数结合公式求出来的条件概率密度函数
    在这里插入图片描述
    直接带公式就行了,但一定要注意积分的区间限制
    在这里插入图片描述

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