• 二维正态分布采样置信椭圆绘制-Python
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2021-03-16 10:56:27

# 二维正态分布采样后，绘制置信椭圆

假设二维正态分布表示为：
[ x 1 x 2 ] ∼ N ( [ μ 1 μ 2 ] , [ Σ 11 Σ 12 Σ 21 Σ 22 ] ) \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right] \sim \mathcal{N}\left( \left[\begin{array}{c} \mu_1 \\ \mu_2 \end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} \Sigma_{11} & \Sigma_{12}\\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{array}\right] \right)
下图为两个二维高斯分布采样后的置信椭圆
N ( [ 4 0 ] , [ 1.0 0.9 0.9 0.5 ] ) \mathcal{N}\left( \left[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} 1.0 & 0.9\\ 0.9 & 0.5 \end{array}\right] \right)

N ( [ 5 2 ] , [ 1.0 0.0 0.0 1.0 ] ) \mathcal{N}\left( \left[\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} 1.0 & 0.0\\ 0.0 & 1.0 \end{array}\right] \right)
每个二维高斯分布采样100个数据点，图片为：

代码如下：

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt

def make_ellipses(mean, cov, ax, confidence=5.991, alpha=0.3, color="blue", eigv=False, arrow_color_list=None):
"""
多元正态分布
mean: 均值
cov: 协方差矩阵
ax: 画布的Axes对象
confidence: 置信椭圆置信率 # 置信区间， 95%： 5.991  99%： 9.21  90%： 4.605
alpha: 椭圆透明度
eigv: 是否画特征向量
arrow_color_list: 箭头颜色列表
"""
lambda_, v = np.linalg.eig(cov)    # 计算特征值lambda_和特征向量v
# print "lambda: ", lambda_
# print "v: ", v
# print "v[0, 0]: ", v[0, 0]

sqrt_lambda = np.sqrt(np.abs(lambda_))    # 存在负的特征值， 无法开方，取绝对值

s = confidence
width = 2 * np.sqrt(s) * sqrt_lambda[0]    # 计算椭圆的两倍长轴
height = 2 * np.sqrt(s) * sqrt_lambda[1]   # 计算椭圆的两倍短轴
angle = np.rad2deg(np.arccos(v[0, 0]))    # 计算椭圆的旋转角度
ell = mpl.patches.Ellipse(xy=mean, width=width, height=height, angle=angle, color=color)    # 绘制椭圆

ell.set_alpha(alpha)
# 是否画出特征向量
if eigv:
# print "type(v): ", type(v)
if arrow_color_list is None:
arrow_color_list = [color for i in range(v.shape[0])]
for i in range(v.shape[0]):
v_i = v[:, i]
scale_variable = np.sqrt(s) * sqrt_lambda[i]
# 绘制箭头
"""
ax.arrow(x, y, dx, dy,    # (x, y)为箭头起始坐标，(dx, dy)为偏移量
width,    # 箭头尾部线段宽度
color,    # 箭头颜色
)
"""
ax.arrow(mean[0], mean[1], scale_variable*v_i[0], scale_variable * v_i[1],
width=0.05,
color=arrow_color_list[i])
# ax.annotate("",
#             xy=(mean[0] + lambda_[i] * v_i[0], mean[1] + lambda_[i] * v_i[1]),
#             xytext=(mean[0], mean[1]),
#             arrowprops=dict(arrowstyle="->", color=arrow_color_list[i]))

# v, w = np.linalg.eigh(cov)
# print "v: ", v

# u = w[0] / np.linalg.norm(w[0])
# angle = np.arctan2(u[1], u[0])
# angle = 180 * angle / np.pi
# s = 5.991   # 置信区间， 95%： 5.991  99%： 9.21  90%： 4.605
# v = 2.0 * np.sqrt(s) * np.sqrt(v)
# ell = mpl.patches.Ellipse(xy=mean, width=v[0], height=v[1], angle=180 + angle, color="red")
# ell.set_clip_box(ax.bbox)
# ell.set_alpha(0.5)

def plot_2D_gaussian_sampling(mean, cov, ax, data_num=100, confidence=5.991, color="blue", alpha=0.3, eigv=False):
"""
mean: 均值
cov: 协方差矩阵
ax: Axes对象
confidence: 置信椭圆的置信率
data_num: 散点采样数量
color: 颜色
alpha: 透明度
eigv: 是否画特征向量的箭头
"""
if isinstance(mean, list) and len(mean) > 2:
print "多元正态分布，多于2维"
mean = mean[:2]
cov_temp = []
for i in range(2):
cov_temp.append(cov[i][:2])
cov = cov_temp
elif isinstance(mean, np.ndarray) and mean.shape[0] > 2:
mean = mean[:2]
cov = cov[:2, :2]
data = np.random.multivariate_normal(mean, cov, 100)
x, y = data.T
plt.scatter(x, y, s=10, c=color)
make_ellipses(mean, cov, ax, confidence=confidence, color=color, alpha=alpha, eigv=eigv)

def main():
# plt.figure("Multivariable Gaussian Distribution")
plt.rcParams["figure.figsize"] = (8.0, 8.0)
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")
print "ax:", ax

mean = [4, 0]
cov = [[1, 0.9],
[0.9, 0.5]]

plot_2D_gaussian_sampling(mean=mean, cov=cov, ax=ax, eigv=True, color="r")

mean1 = [5, 2]
cov1 = [[1, 0],
[0, 1]]
plot_2D_gaussian_sampling(mean=mean1, cov=cov1, ax=ax, eigv=True)

plt.savefig("./get_pickle_data/pic/gaussian_covariance_matrix.png")
plt.show()

if __name__ == "__main__":
main()


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# 概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布

## 一.多维随机变量

### 定义：

​ 若 X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega) 是样本空间 Ω \Omega ={ ω \omega }上的随机变量，则( X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega) )构成 Ω \Omega 上的n维随机变量，简记为：
X = ( X 1 , X 2 , . . . X n ) X=(X_1,X_2,...X_n)

## 二.二维随机变量及其分布函数

​ 设E是一个随机试验，S={e}为其样本空间，设 X = X ( e ) X=X(e) Y = Y ( e ) Y=Y(e) 是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量 ( X , Y ) (X,Y) 叫做二维随机变量（或二位随机向量）

### 1.联合分布函数

#### ①定义

​ 设 ( X , Y ) (X,Y) 为二维随机变量， x , y x,y 为任意实数，称二元函数 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\} ( X , Y ) (X,Y) 的分布函数，or X X Y Y 联合分布函数

F ( x , y ) \\F(x,y) 表示事件 { X ≤ x } \left\{X\leq x\right\} { Y ≤ y } \left\{Y\leq y\right\} 同时发生的概率(其实就是把 P { ( X ⩽ x ) ⋂ ( Y ⩽ y ) } P\{(X\leqslant x)\bigcap(Y\leqslant y)\} 记成了 P { X ≤ x , Y ≤ y } P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\} )

​ 为什么要研究联合分布呢？因为二位随机变量(X,Y)的性质不仅分别与X和Y有关，也与X与Y之间的相互关系有关，所以单独逐个研究X与Y是不够的，还需要将 ( X , Y ) (X,Y) 作为整体进行研究

#### (1) F ( x , y ) F(x,y) 对x和y都是单调不减的，即：

​ (Ⅰ)固定 x x ,当 y 1 < y 2 y_1<y_2 时， F ( x , y 1 ) ⩽ F ( x , y 2 ) F(x,y_1)\leqslant F(x,y_2)

​ (Ⅱ)固定 y y ,当 x 1 < x 2 x_1<x_2 时， F ( x 1 , y ) ⩽ F ( x 2 , y ) F(x_1,y)\leqslant F(x_2,y)

#### (2)连续性

F ( x , y ) F(x,y) 关于 x x 右连续，即 F ( x , y ) = F ( x + 0 , y ) F(x,y)=F(x+0,y)

F ( x , y ) F(x,y) 关于 y y 右连续，即 F ( x , y ) = F ( x , y + 0 ) F(x,y)=F(x,y+0)

#### (3）

​ 随机变量 ( X , Y ) (X,Y) 落在矩形区域 ( x 1 , x 2 ] × ( y 1 , y 2 ] (x_1,x_2]×(y_1,y_2] 内的概率为
P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\left\{x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2\right\}\\=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)

##### 解释

​ 若将二维随机变量(X,Y)看成平面上的随机点的坐标，那么 F ( x , y ) F(x,y) ( x , y ) (x,y) 处的函数值就是随机点 ( X , Y ) (X,Y) 落在以点 ( x , y ) (x,y) 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率，如图紫色区域，设 A ( x , y ) A(x,y)

#### (4）

0 ⩽ F ( x , y ) ⩽ 1 , 且 F ( − ∞ , y ) = F ( x , − ∞ ) = F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 0\leqslant F(x,y) \leqslant 1,且F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0,\quad F(+\infty,+\infty)=1

几何解释

​ 如（3）中图所示，无穷矩形的右面边界向左无限平移 ( x → − ∞ ) (x→-∞) ，则“随机点(X,Y)落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件，所以其概率趋于0，即有 F ( − ∞ ， y ) = 0 F(-∞，y)=0

​ 当 x → ∞ ， y → ∞ x→∞，y→∞ 时，图中无穷矩形扩展到全平面，随机点(X,Y)落在其中这一事件趋于必然事件，故其概率趋于1，即 F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(+∞,+∞)=1

## 三.二维离散型随机变量

### 1.联合分布列

#### ①定义

​ 如果二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) 的所有可能取值是有限个或可数个，称(X，Y)为二维离散型随机变量， P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,... 称为 ( X , Y ) (X,Y) 的分布列,or X X Y Y 的联合分布列（也可用表格表示）

#### ②性质

（1） p i j ⩾ 0 , i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij}\geqslant0,\quad i,j=1,2,...

（2） ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 \sum\limits^{\infty}_{i=1}\sum\limits^\infty_{j=1}p_{ij}=1

### 2.分布函数

F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y P { X = x i , Y = y j } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y p i j F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}p_{ij}

### 3.边缘分布列

( X , Y ) (X,Y) 是二维离散型随机变量，分布列为
P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,...
(1)关于 X X 的边缘分布列为
P { X = x i } = ∑ j p i j = p i . , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=\sum_jp_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,...
(2)关于 Y Y 的边缘分布列为
P { Y = y j } = ∑ i p i j = p . j , j = 1 , 2 , . . . P\{Y=y_j\}=\sum_ip_{ij}=p_{.j},\quad j=1,2,...

注：（1）边缘分布列具有一维分布列的性质

（2）联合分布列唯一决定边缘分布列

##### 从分布函数角度理解边缘分布列：

( X , Y ) (X,Y) 作为整体，具有分布函数 F ( x , y ) F(x,y) ，而 X X Y Y 都是随机变量，各自也有分布函数，分别记为 F X ( x ) , F Y ( y ) F_X(x),F_Y(y) ,依次为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) 关于 X X 和关于 Y Y 边缘分布函数，边缘分布函数可以由 ( X , Y ) (X,Y) 的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) 确定

F X ( x ) = P { X ⩽ x } = P { X ⩽ x , Y < ∞ } = F ( x , ∞ ) F_X(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{X\leqslant x,Y< \infty\}=F(x,\infty) ,即 F X ( x ) = F ( x , ∞ ) = ∑ x i ⩽ x ∑ j = 1 ∞ p i j F_X(x)=F(x,\infty)=\sum\limits_{x_i\leqslant x}\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij}

所以关于 X X 的边缘分布列也可以写为
P { X = x i } = ∑ j = 1 ∞ p i j = p i . , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,...
Y Y 同理

## 四.二维连续型随机变量

### 1.联合概率密度

#### ①定义

​ 如果对于 ( X , Y ) (X,Y) 的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) ,若存在非负函数 f ( x , y ) f(x,y) ,对于任意实数 x , y , x,y, 有：
F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x,y)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(u,v)dudv
则称 ( X , Y ) (X,Y) 为二维连续型随机变量，函数 f ( x , y ) f(x,y) 称为 ( X , Y ) (X,Y) 的概率密度，或称 X 与 Y X与Y 的联合概率密度

#### ②性质

​ （1） f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y)\geq 0

​ （2） ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 = F ( + ∞ , + ∞ ) \int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dxdy=1=F(+\infty,+\infty)

​ （3）设G是xOy面上一区域，点 ( X , Y ) \\(X,Y) 落入G内的概率为
P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ ( x , y ) ∈ G f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈G\}=\iint\limits_{(x,y)∈G}f(x,y)dxdy

### 2.边缘概率密度

​ 关于X的边缘概率密度： f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy
​ 关于Y的边缘概率密度： f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x \\f_Y(y)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dx

##### 从分布函数角度理解:

F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y ] d x F_X(x)=F(x,+\infty)=\int^x_{-\infty}[\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy]dx

易看出，X的概率密度为中括号里的表达式，即： f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy

### 3.均匀分布

​ 设G是平面上的有界区域，其面积为SG,若二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) 的概率密度为
f ( x , y ) = { 1 S G , ( x , y ) ∈ G 0 , o t h e r w i s e f(x,y)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{S_G}, \qquad (x,y)∈G \\ 0,\quad \qquad otherwise\\ \end{array} \right.
则称 ( X , Y ) (X,Y) 在G上服从均匀分布

​ 设 G ′ G' 是区域 G G 上的任一子区域，面积为 S G ′ S_{G'} ，则 P { ( X , Y ) ∈ G ′ } = S G ′ S G P\{(X,Y)∈G'\}=\frac{S_{G'}}{S_G}

### 4.正态分布

(也叫高斯分布)

用python生成二维正态分布的概率密度示意图如图所示：

## 五.条件分布

​ 对于两个事件，可以讨论它们的条件概率；对于两个随机变量，则可以讨论它们的条件分布

### 1.离散型随机变量

随机变量 X X 在条件 Y = y j Y=y_j 下的条件分布列：
P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}},\quad i=1,2,...
随机变量 Y Y 在条件 X = x i X=x_i 下的条件分布列：
P { Y = y j ∣ X = x i } = P { X = x i , Y = y j } P { X = x i } , j = 1 , 2 , . . . P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}},\quad j=1,2,...
条件分布列也是分布列，满足分布列的性质

### 2.连续型随机变量

（1）在 Y = y Y=y 条件下，

X X 的条件概率密度
f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y{(y)}}
X X 的条件分布函数
F X ∣ Y ( x ∣ y ) = ∫ − ∞ x f X ∣ Y ( u ∣ y ) d u F_{X|Y}(x|y)=\int^x_{-\infty}f_{X|Y}(u|y)du
（2）在 X = x X=x 条件下，

Y Y 的条件概率密度
f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X{(x)}}
Y Y 的条件分布函数
F Y ∣ X ( y ∣ x ) = ∫ − ∞ y f Y ∣ X ( v ∣ x ) d v F_{Y|X}(y|x)=\int^y_{-\infty}f_{Y|X}(v|x)dv

## 六.随机变量的独立性

​ 随机变量的独立性可借助事件的独立性引出

​ 设 X , Y X,Y 为两个随机变量，对于任意的实数 x , y , “ X ⩽ x " x,y,“X\leqslant x" “ Y ⩽ y " “Y\leqslant y" 为两个事件，根据事件的独立性定义， “ X ⩽ x " , “ Y ⩽ y " “X\leqslant x",“Y\leqslant y" 相互独立，相当于式
P { X ⩽ x , Y ⩽ y } = P { X ⩽ x } P { Y ⩽ y } P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=P\{X \leqslant x\}P\{Y \leqslant y\}
成立，或写为
F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)

### 1.定义

X ⩽ x X\leqslant x “和“ Y ⩽ y Y\leqslant y ”相互独立
⟺    P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y }    ⟺    F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) \iff P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}\cdot P\{Y\leq y\} \iff F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)

### 2.判断方法

#### （1）联合分布函数=边缘分布函数的乘积

F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)

#### （2）离散型：联合分布列=边缘分布列的乘积

P { X = x i , Y = y j } = P { X = x i } ⋅ P { Y = y j } P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}\cdot P\{Y=y_j\}

#### （3）连续型：联合概率密度=边缘概率密度的乘积

f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)

### 3.定理

​ 设随机变量 X X Y Y 相互独立， g ( x ) , h ( y ) g(x),h(y) 是连续函数，则随机变量函数 g ( x ) , h ( y ) g(x),h(y) 也相互独立

## 七.二维随机变量函数的分布

### 1.离散型随机变量函数的分布： Z = X + Y Z=X+Y

​ 设 X , Y X,Y 是离散型随机变量，则随机变量 Z = X + Y Z=X+Y 的分布列为
P { X + Y = m } = ∑ i P { X = i , Y = m − i } P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i,Y=m-i\}
​ 若 X , Y X,Y 相互独立，则
P { X + Y = m } = ∑ i P { X = i } P { Y = m − i } P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i\}P\{Y=m-i\}

证明：

​ 事件 X + Y = m X+Y=m 是互不相容事件 A k = { X = k , Y = m − k } A_k=\{X=k,Y=m-k\} 的和事件，而 P ( A k ) = P { X = k , Y = m − k } P(A_k)=P\{X=k,Y=m-k\} ,由此可得
P { X + Y = m } = ∑ P ( A k ) = ∑ k + l = m P { X = k , Y = l } P\{X+Y=m\}=\sum P(A_k)=\sum_{k+l=m}P\{X=k,Y=l\}

#### 一些结论

​ ①若 X , Y X,Y 相互独立， X ∼ P ( λ 1 ) , Y ∼ P ( λ 2 ) X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2) ,则 X + Y ∼ P ( λ 1 + λ 2 ) X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)

​ 两个相互独立的泊松变量之和仍是一个泊松变量，且其参数等于相应的随机变量分布参数的和

​ ②若 X 1 , X 2 X_1,X_2 相互独立， X 1 ∼ B ( n 1 , p ) , X 2 ∼ B ( n 2 , p ) X_1\sim B(n_1,p),X_2\sim B(n_2,p) ,则 X = X 1 + X 2 ∼ B ( n 1 + n 2 , p ) X=X_1+X_2\sim B(n_1+n_2,p)

### 2. max ⁡ { X , Y } \max\{X,Y\} 和 min ⁡ { X , Y } \min\{X,Y\} 的分布

​ 设 X , Y X,Y 相互独立，分布函数分别为 F X ( x ) F_X(x) F Y ( y ) F_Y(y) ,则：

Z = max ⁡ { X , Y } Z=\max\{X,Y\} 的分布函数为：
F max ⁡ ( z ) = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_{\max}(z)=F_X(z)\cdot F_Y(z)

​ 证明：
F m a x ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { m a x { X , Y } ⩽ z } F_{max}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{max\{X,Y\}\leqslant z\}
​ 又因为 Z ⩽ z Z\leqslant z 等价于 X , Y X,Y ⩽ z \leqslant z ，所以
F m a x ( z ) = P { X ⩽ z , Y ⩽ z } = P { X ⩽ z } P { Y ⩽ z } = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_{max}(z)=P\{X\leqslant z,Y\leqslant z\}=P\{X\leqslant z\}P\{Y\leqslant z\}=F_X(z)\cdot F_Y(z)

Z = min ⁡ { X , Y } Z=\min\{X,Y\} 的分布函数为：
F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_{\min}(z)=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)]

​ 证明：
F m i n ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { m i n { X , Y } ⩽ z } = 1 − P { m i n { X , Y } > z } F_{min}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{min\{X,Y\}\leqslant z\}=1-P\{min\{X,Y\}> z\}
​ 又因为 Z > z Z>z 等价于 X , Y X,Y > z > z ，所以
F m a x ( z ) = 1 − P { X > z , Y > z } = 1 − P { X > z } P { Y > z } = 1 − [ 1 − P { X ⩽ z } ] [ 1 − P { Y ⩽ z } ] = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_{max}(z)=1-P\{X> z,Y> z\}=1-P\{X> z\}P\{Y> z\}\\=1-[1-P\{X\leqslant z\}][1-P\{Y\leqslant z\}]\\=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)]

#### 推广

​ 设随机变量 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n 相互独立，分布函数分别为 F X 1 ( x 1 ) F_{X_1}(x_1) F X 2 ( x 2 ) , . . . , F X n ( x n ) F_{X_2}(x_2),...,F_{X_n}(x_n) ,则：

max ⁡ { X 1 , X 2 , . . . , X n } \max\{X_1,X_2,...,X_n\} 的分布函数为：
F max ⁡ ( z ) = F X 1 ( z ) ⋅ F X 2 ( z ) . . . F X n ( z ) F_{\max}(z)=F_{X_1}(z)\cdot F_{X_2}(z)...F_{X_n}(z)
min ⁡ { X 1 , X 2 , . . . , X n } \min\{X_1,X_2,...,X_n\} 的分布函数为：
F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F X 1 ( z ) ] ⋅ [ 1 − F X 2 ( z ) ] . . . [ 1 − F X n ( z ) ] F_{\min}(z)=1-[1-F_{X_1}(z)]\cdot [1-F_{X_2}(z)]...[1-F_{X_n}(z)]
X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n 相互独立，具有相同的分布函数 F ( z ) F(z) ，则
F max ⁡ ( z ) = [ F ( z ) ] n ， F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F ( z ) ] n F_{\max}(z)=[F(z)]^n，\qquad F_{\min}(z)=1-[1-F(z)]^n

### 3.连续型随机变量函数的分布: Z = X + Y Z=X+Y

#### 分布函数法：

设二维连续型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) 的概率密度为 f ( x , y ) f(x,y) ,求 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) 的概率密度
F Z ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { g ( X , Y ) ⩽ z } = ∬ g ( x , y ) ⩽ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{g(X,Y)\leqslant z\}=\iint\limits_{g(x,y)\leqslant z}f(x,y)dxdy
f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) f_Z(z)=F'_Z(z)

### 4.瑞利分布

瑞利分布：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差、均值为0的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布

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• 分布函数pmf 定义 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\}F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}叫做X和Y的联合分布。 左图为定义域，右图为概率值： 性质 0≤F(x,y)≤10 \leq F(x,y) \leq 10≤F(x,y)≤1. F(x,y)F(x,y)F...

# 分布函数

## 定义

F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\} 叫做X和Y的联合分布。
左图为定义域，右图为概率值：

## 性质

1. 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0 \leq F(x,y) \leq 1 .
2. F ( x , y ) F(x,y) 单调递增。
3. F ( x , − ∞ ) = F ( − ∞ , y ) = F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 F(x,-\infty) = F(-\infty,y) = F(-\infty,-\infty ) = 0
4. F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(+\infty,+\infty ) = 1
5. F ( x , y ) 关 于 x 和 y 右 连 续 。 F(x,y)关于x和y右连续。
6. P { x 1 ‘ x ≤ x 2 , y 1 ‘ y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\{x_1 \lq x \leq x2,y_1 \lq y \leq y_2\} = F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) - F(x_1,y_2) + F(x_1, y_1)

# 二维离散型

## 联合分布

联合分布表，表中所有数相加为1.
分布函数： F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∑ x i ≤ x ∑ y i ≤ y P i j F(x,y) = P\{X \leq x,Y\leq y\} = \sum_{x_i\leq x}\sum_{y_i \leq y}P_{ij}
联合分布可唯一确定边缘分布。
边缘分布不能确定联合分布，除非X和Y相互独立。
判断独立性： P ( X = 1 , Y = 2 ) = P ( X = 1 ) ∗ P ( Y = 2 ) P(X = 1,Y = 2) = P(X = 1)*P(Y = 2)

## 边缘分布

退化成只含一个变量的分布图

# 二维连续型

## 定义

F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∫ − ∞ ∣ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\} = \int_{-\infty|}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(s,t)ds dt
f ( x , y ) f(x,y) 叫做X和Y的联合密度函数。
边缘分布函数： F X ( x ) = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d t ] d s F Y ( y ) = lim ⁡ x → + ∞ F ( x , y ) = ∫ − ∞ y [ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s ] d t F_X(x) = \lim_{y \to +\infty}F(x,y) = \int_{-\infty}^x[\int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)dt]ds\\ F_Y(y) = \lim_{x \to +\infty}F(x,y) = \int_{-\infty}^y[\int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)ds]dt
边缘密度函数：对另一个变元求积分
f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( s , y ) d s = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_X(x) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,t)dt =\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\\ f_Y(y) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(s,y)ds =\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx
若X和Y相互独立，则 f ( x , y ) = f X ( x ) ∗ f Y ( y ) f(x,y) = f_X(x) * f_Y(y) .

## 性质

1. f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y) \geq 0 .
2. ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t = 1 \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)ds dt = 1
3. ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y} = f(x,y)
4. G:XY平面上的一个区域， P ( X , Y ) ∈ G = ∬ G f ( x , y ) d x d y P{(X,Y)\in G} = \iint_G f(x,y)dxdy

## 补充

1. X，Y的边缘分布都是均匀分布时，二维分布不一定是均匀分布。
例 如 ， f ( x , y ) = { 2 x + 2 y − 4 x y , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 0 , o t h e r w i s e 例如，f(x,y) = \left\{ \begin{aligned} &2x+2y-4xy,&0 \leq x \leq1,0\leq y \leq 1\\ &0,&otherwise \end{aligned} \right.
2. 二维正态分布的边缘分布也是正态分布，但两个变量的边缘分布是正态分布时，他们的分布不一定是正态分布。
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• 分析正态分布的艺术待解决的概率论题目概率论基本知识解题方法解法一 线性变换法解法 积分法功能快捷键合理的创建标题，有助于目录的生成如何改变文本的样式插入链接与图片如何插入一段漂亮的代码片生成一个适合你...

# 待解决的概率论题目

来自《概率论与数理统计》荣腾中，第二版上的第四章A组习题11，我觉得这一题有一定难度。

# 概率论基本知识

1. ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π (1) \int _{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}dx}=\sqrt{\pi} \tag{1}
2. f ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 − ρ 2 exp ⁡ ( − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ X ) 2 σ X 2 − 2 ρ ( x − μ X ) ( y − μ Y ) σ X σ Y + ( y − μ Y ) 2 σ Y 2 ] ) f(x,y) = {\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[{\frac {(x-\mu _{X})^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}-{\frac {2\rho (x-\mu _{X})(y-\mu _{Y})}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}+{\frac {(y-\mu _{Y})^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}}\right]\right)
3. E ( a X + b ) = a E ( X ) + b (2) E(aX+b) = aE(X)+b \tag{2}
4. E ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x (3) E(x) = \int _{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx \tag{3}
(1)式可以由夹挤定理和二重积分证明，也可以化为伽马函数 Γ ( x ) \Gamma{(x)} 1进行计算，为了便于计算，这里给出一个广义的版本
∫ − ∞ + ∞ e − a ( x + b ) 2   d x = π a (4) \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}} \tag{4}
第2条是二元正态分布的概率密度函数，不得不说，课本上给出的这个形式让人有一种无法完成积分的感觉，这里稍微改变一下形式
f ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 − ρ 2 exp ⁡ [ − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) ( y − μ Y σ Y − ρ x − μ X σ X ) 2 − ( x − μ X ) 2 2 σ X 2 ] f(x,y) = {\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}} \left( {\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}-\rho{\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)^2 -{\frac {(x-\mu _{X})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right]

# 解题方法

对于这种参数不是(0,1)的正态分布，不妨加强原题目，求解在一般情况下 ( μ , σ ) (\mu,\sigma) 的计算结果

## 解法一 线性变换法

题目已经给出了提示
m a x ( X , Y ) = X + Y + ∣ X − Y ∣ 2 max(X,Y) = \frac{X+Y+|X-Y|}{2}
E ( m a x ( X , Y ) ) = 1 2 E ( X ) + 1 2 E ( Y ) + 1 2 E ( ∣ X − Y ∣ ) = 1 2 μ X + 1 2 μ Y + 1 2 E ( ∣ X − Y ∣ ) E(max(X,Y)) = \frac{1}{2}E(X)+\frac{1}{2}E(Y) +\frac{1}{2}E(|X-Y|) = \frac{1}{2}\mu_{X}+\frac{1}{2}\mu_{Y}+\frac{1}{2}E(|X-Y|)

这里引入一条可以由二重积分和特殊函数证明的引理
正态分布的和或差仍然服从正态分布
所以它的数学期望为 E ( X ± Y ) = E ( X ) ± E ( Y ) E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y)
方差为 D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 E [ ( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) ) ] = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 ρ σ X σ Y D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2E\left[(X-E(X))(Y-E(Y))\right]=D(X)+D(Y)\pm 2\rho\sigma_{X}\sigma_{Y}
这两个式子都可以由数学期望和方差的性质推出

利用性质计算差绝对值的数学期望
令Z=X-Y，这里令E(Z)=02

1 2 E ( ∣ Z ∣ ) = 1 2 ∫ − ∞ + ∞ ∣ z ∣ f ( z ) d z = ∫ 0 + ∞ z 2 π σ Z e x p ( − z 2 2 σ Z 2 ) d z = σ Z 2 π \frac{1}{2}E(|Z|)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}|z|f(z)dz=\int_{0}^{+\infty}\frac{z}{\sqrt{2\pi}\sigma_{Z}}exp \left(-\frac{z^2}{2\sigma_{Z}^2} \right)dz=\frac{\sigma_{Z}}{\sqrt{2\pi}}

σ Z = σ X 2 + σ Y 2 − 2 ρ σ X σ Y \sigma _{Z}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}-2\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}}

代入本题的数据可得
E ( m a x ( X , Y ) ) = 2 + 1 − ρ π E(max(X,Y))=2+\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}}

## 解法二 积分法

直接莽就完事了，强行积分
E ( m a x ( x , y ) ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ m a x ( x , y ) f ( x , y ) d x d y E(max(x,y))=\int_{-\infty}^{+\infty}{\int_{-\infty}^{+\infty}{max(x,y)f(x,y)dxdy}}
= ∫ ∫ x > y x f ( x , y ) d x d y + ∫ ∫ y > x y f ( x , y ) d x d y =\int{\int_{x>y}{xf(x,y)dxdy}}+\int{\int_{y>x}{yf(x,y)dxdy}}
= ∫ ∫ x > y ( x − 2 + 2 ) f ( x , y ) d x d y + ∫ ∫ y > x ( y − 2 + 2 ) f ( x , y ) d x d y =\int{\int_{x>y}{(x-2+2)f(x,y)dxdy}}+\int{\int_{y>x}{(y-2+2)f(x,y)}dxdy}
= 2 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y + ∫ ∫ x > y ( x − 2 ) f ( x , y ) d x d y + ∫ ∫ y > x ( y − 2 ) f ( x , y ) d x d y =2\int_{-\infty}^{+\infty}{\int_{-\infty}^{+\infty}}f(x,y)dxdy+\int{\int_{x>y}{(x-2)f(x,y)dxdy}}+\int{\int_{y>x}{(y-2)f(x,y)dxdy}}
可以看出第一项等于2,第二三项 x x y y 可以轮换，所以只计算一个即可,这里进行换元积分
变 量 代 换 u = x − 2 , v = ( y − 2 ) − ρ ( x − 2 ) 1 − ρ 2 变量代换u=x-2,v=\frac{(y-2)-\rho{(x-2)}}{\sqrt{1-\rho^2}}
则 J ( u , v ) = ∣ ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ∣ = 1 − ρ 2 则J{ \left( {u,v} \right) }=\left|\frac{{ \partial { \left( {x,y} \right) }}}{{ \partial { \left( {u,v} \right) }}} \right|=\sqrt{1-\rho^2}
2 ∫ ∫ x > y ( x − 2 ) f ( x , y ) d x d y = 1 π ∫ ∫ u > 1 + ρ 1 − ρ v u e x p ( − u 2 + v 2 2 ) d u d v 2\int{\int_{x>y}{(x-2)f(x,y)dxdy}}=\frac{1}{\pi}\int{\int_{u>\sqrt{\frac{1+\rho}{1-\rho}}v}{uexp(-\frac{u^2+v^2}{2})dudv}}
= 1 π ∫ − ∞ + ∞ ∣ − e x p ( − u 2 + v 2 2 ) ∣ 1 + ρ 1 − ρ v + ∞ d v = ∫ − ∞ + ∞ e x p ( − 1 + ρ 1 − ρ v 2 + v 2 2 ) d v =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\left| -exp(-\frac{u^2+v^2}{2})\right|_{\sqrt{\frac{1+\rho}{1-\rho}}v}^{+\infty}dv}=\int_{-\infty}^{+\infty}{exp(-\frac{\frac{1+\rho}{1-\rho}v^2+v^2}{2})}dv
= 1 π ∫ − ∞ + ∞ e x p ( − v 2 1 − ρ ) d v = 1 π ( 1 − ρ ) π = 1 − ρ π =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{exp(-\frac{v^2}{1-\rho})}dv=\frac{1}{\pi}\sqrt{(1-\rho)\pi}=\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}}
所 以 E ( m a x ( x , y ) ) = 2 + 1 − ρ π 所以E(max(x,y))=2+\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}}

# 总结

• 概率论与数理统计课程一般不要求掌握这种带相关性的计算，最多也就是两个独立的正态分布求一些期望，这时没有相关系数 ρ \rho 直接积分就可以了，也可以利用独立变量正态分布可加性3来计算

1. Gamma公式 Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! ∀ n ∈ N \Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N 通过欧拉积分，有
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t   . \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,. ↩︎

2. 若E(Z)不等于0，需要用到erf(x)来计算这个积分，这样的积分并不是初等函数可以求解的 e r f ( x ) = 1 π ∫ − x x e − x 2 d x erf(x) = \frac{1}{\sqrt\pi}\int_{-x}^{x}e^{-x^2}dx 这里不展开讨论 ↩︎

3. X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) X\sim N(\mu_1,\sigma_{1}^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_{2}^2) ,且X,Y相互独立,那么
a X + b Y + c ∼ N ( a μ 1 + b μ 2 + c , a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2 ) aX+bY+c \sim N(a\mu_{1}+b\mu_{2}+c,a^2\sigma_{1}^2+b^2\sigma_{2}^2) ↩︎

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