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  • 二维随机变量的联合概率密度
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    2021-05-27 15:46:17

    数学公式什么的没有。

    做实验计算联合熵需要使用概率密度。

    函数accumarray不是太行,方阵中很多的0浪费内存,我可没有几百G的内存ε=(´ο`*)))唉。

    Matlab代码实现

    function tong1joint = calmi(u1, u2, wind_size)
    x = [u1, u2];   //% x是2个列向量组成的矩阵
    n = wind_size; // % 列向量长度
    xmax = max(x(:,1));
    tongwidth = xmax;
    tong1 = zeros(2,tongwidth);	// % 这算是桶吧
    for i = 1:n
       if x(i,2) == 1
           tong1(1,x(i,1)) = tong1(1,x(i,1)) +1;
       else
           tong1(2,x(i,1)) = tong1(2,x(i,1)) +1;
       end
    end
    tong1pmf = tong1/n;  													 //% u1和u2的联合概率密度
    tong1joint = (tong1pmf(:))'*log2((tong1pmf(:))+eps);   // % 联合熵
    

    实例

    没有实例。

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  • 联合分布函数

    1.联合分布函数

    定义3 设 ( X , Y ) (X,Y) XY为二维随机变量,对任意的 ( x , y ) ∈ R 2 (x,y)∈R^2 xyR2,称
    F ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) Fxy=PXxYy
    为随机变量 ( X , Y ) (X,Y) XY(联合)分布函数

    在这里插入图片描述

    图3.2 分布函数F(x,y)对应的区域Dxy

    F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的函数值,即随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)在区域 D x y Dxy Dxy中取值的概率。

    2.实例

    实例1

    设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为:
    f ( x , y ) = { c y 2 , 0 < x < 2 y , 0 < y < 1 0 , 其 它 f(x, y)=\begin{cases} cy^2,\quad 0<x<2y, 0<y<1 \\\\ 0,\quad 其它 \end{cases} f(x,y)=cy2,0<x<2y,0<y<10,

    计算:

    • (1)常数 c c c
    • (2)联合分布函数F(x,y);
    • (3)概率P(|X|≤Y).
      解(1)Ω(X,Y)={(x,y):0<x<2y,0<y<1},如图3.9所示.由联合密度函数的规范性得
      1 = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 1 d y ∫ 0 2 y c y 2 d x = c 2 1=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{2y}cy^2dx=\frac{c}{2} 1=++f(x,y)dxdy=01dy02ycy2dx=2c
      解得: c = 2 c=2 c=2
      图
    图3.9

    (2)由已知得,(看不懂的话,就去看定义7)
    x < 0 x<0 x<0 y < 0 y<0 y<0时, F ( x , y ) = 0 F(x, y) = 0 F(x,y)=0
    0 ≤ x < 2 y 0\leq x<2y 0x<2y 0 ≤ y < 1 0\leq y<1 0y<1 时, F ( x , y ) = ∫ 0 x d u ∫ x 2 y 2 v 2 d v = 2 3 x ( y 3 − x 3 32 ) F(x, y) = \int_{0}^{x}du\int_{\frac{x}{2}}^{y}2v^2dv=\frac{2}{3}x(y^3-\frac{x^3}{32}) F(x,y)=0xdu2xy2v2dv=32x(y332x3)

    0 ≤ x < 2 0\leq x<2 0x<2 y ≥ 1 y\geq 1 y1 时, F ( x , y ) = ∫ 0 x d u ∫ x 2 1 2 v 2 d v = 2 3 x ( 1 − x 3 32 ) F(x, y) = \int_{0}^{x}du\int_{\frac{x}{2}}^{1}2v^2dv=\frac{2}{3}x(1-\frac{x^3}{32}) F(x,y)=0xdu2x12v2dv=32x(132x3)

    x ≥ 2 y x\geq 2y x2y 0 ≤ y < 1 0\leq y<1 0y<1时, F ( x , y ) = ∫ 0 y d v ∫ 0 2 y 2 v 2 d u = y 4 F(x, y) = \int_{0}^{y}dv\int_{0}^{2y}2v^2du=y^4 F(x,y)=0ydv02y2v2du=y4
    x ≥ 2 x\geq 2 x2 y ≥ 1 y\geq 1 y1时, F ( x , y ) = 1 F(x, y) = 1 F(x,y)=1
    所以,联合分布函数为,
    F ( x , y ) = { 0 , x < 0 或 y < 0 2 3 x ( y 3 − x 3 32 ) , 0 ≤ x < 2 y , 0 ≤ y < 1 2 3 x ( 1 − x 3 32 ) , 0 ≤ x < 2 , y ≥ 1 y 4 , x ≥ 2 y , 0 ≤ y < 1 1 , x ≥ 2 , y ≥ 1 F(x, y) = \begin{cases} 0,\quad x<0 或y<0\\ \frac{2}{3}x(y^3-\frac{x^3}{32}),\quad 0\leq x<2y, 0\leq y<1 \\\\ \frac{2}{3}x(1-\frac{x^3}{32}), 0\leq x<2, y\geq 1\\ y^4, x\geq 2y, 0\leq y<1\\ 1, x\geq 2, y\geq 1 \end{cases} F(x,y)=0,x<0y<032x(y332x3),0x<2y,0y<132x(132x3),0x<2,y1y4,x2y,0y<11,x2,y1
    (3)
    显然,对二维连续型随机变量使用联合分布函数刻画其统计规律也是比较复杂的,通常我们使用联合密度函数来描述二维连续型随机变量的概率分布.已知二维连续型随机变量的联合密度函数就可以计算任意事件的概率.
    在这里插入图片描述

    实例2

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    实例3

    在这里插入图片描述

    定理

    定理1 联合分布函数的性质

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    定义

    定义6 二维离散型随机变量

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    二维离散型随机变量联合分布律的物理解释:考虑 x o y xoy xoy平面上单位质量的平面薄片,在离散点 ( x i , y j ) (x_i,y_j) xiyj处分布着质点,其质量为 p i j , i , j = 1 , 2 , … . p_{ij},i,j=1,2,…. pijij=12这刻画了平面薄片的质量分布情况.

    定义7 二维连续型随机变量

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    图3.7

    二维连续型随机变量联合密度函数的物理解释:考虑xoy平面上单位质量的平面薄片,其在点(x,y)处的面密度为f(x,y),它刻画了平面薄片的质量分布情况.

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  • 本文档通过MATLAB来绘制二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。其中X服从标准正态分布,Y服从均匀分布。 【例题】已知随机变量X与Y相互独立,X~N(0,1);Y在区间[0,2]上服从均匀分布。求: (1)二维随机变量(X,Y)的...

    本文档通过MATLAB来绘制二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。
    第一种类型,X服从标准正态分布,Y服从均匀分布。
    【例题】已知随机变量X与Y相互独立,X~N(0,1);Y在区间[0,2]上服从均匀分布。求:
    (1)二维随机变量(X,Y)的联合概率密度。
    (2)概率P(X ≥ \geq Y)
    解答:
    (1)随机变量X的概率密度为
    f X ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 − ∞ < x < ∞ f_{X} (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-\frac{x^2}{2} } -\infty <x<\infty fX(x)=2π 1e2x2<x<
    随机变量Y的概率密度为
    f Y ( y ) = { 1 2 , y = ( 0 , 2 ) 0 , y = 其 它 f_{Y} (y)=\begin{cases} & \frac{1}{2}, y= (0,2)\\ & 0 , y=其它 \end{cases} fY(y)={21,y=(0,2)0,y=
    因为X与Y相互独立,所以二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为:
    f ( x , y ) = { 1 2 2 π e − x 2 2 , x = − ∞ < x < ∞ , 0 ≤ y ≤ 2 0 , 其 它 f(x,y)=\begin{cases} & \frac{1}{2\sqrt{2\pi } }e^{-\frac{x^2}{2} }, x=-\infty <x<\infty ,0\le y\le 2 \\ & 0, 其它 \end{cases} f(x,y)={22π 1e2x2,x=<x<,0y20,
    此二维随机变量的联合概率密度函数用MATLAB来绘制,其代码如下
    x=-10:0.1:10;
    y=0:0.1:1;
    z=ones(length(y),1)(exp(-x.^2)/2)/(2sqrt(2*pi));
    mesh(x,y,z)
    输出图像为
    在这里插入图片描述
    (2)概率P(X ≥ \geq Y)就是随机点(X,Y)落在平面区域X ≥ \geq Y内的概率。
    在这里插入图片描述

    第二种类型:X与Y均服从正态分布,且不独立。
    【例题】设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
    f ( x , y ) = 5 96 π e − 25 32 [ ( x − 1 ) 2 9 + ( x − 1 ) ( y − 2 ) 10 + ( y − 2 ) 2 16 ] f\left ( x,y \right ) =\frac{5}{96\pi }e ^{-\frac{25}{32}\left [ \frac{\left ( x-1\right )^{2} }{9} +\frac{\left ( x-1 \right )\left ( y-2 \right ) }{10}+\frac{\left ( y-2 \right )^2 }{16} \right ] } f(x,y)=96π5e3225[9(x1)2+10(x1)(y2)+16(y2)2]
    (1)例用MATLAB画出联合密度函数图
    (2)求随机变量函数Z=X/3-Y/4的数学期望和方差
    【解答】
    (1)根据二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布的概率函数
    f ( x , y ) = 1 2 π σ x σ y 1 − r 2 e − 1 2 ( 1 − r 2 ) [ ( x − μ x ) 2 σ x 2 + 2 r ( x − μ x ) ( y − μ y ) σ x σ y + ( y − μ y ) 2 σ y 2 ] f\left ( x,y \right ) =\frac{1}{2\pi\sigma _{x}\sigma _{y}\sqrt{1-r^2} }e ^{-\frac{1}{2\left ( 1-r^2 \right ) }\left [ \frac{\left ( x-\mu _{x} \right )^{2} }{\sigma _{x}^2 } +\frac{2r\left ( x-\mu _{x} \right )\left ( y-\mu _{y} \right ) }{\sigma _{x} \sigma _{y} } +\frac{\left ( y-\mu _{y} \right )^2 }{\sigma _{y}^{2} } \right ] } f(x,y)=2πσxσy1r2 1e2(1r2)1[σx2(xμx)2+σxσy2r(xμx)(yμy)+σy2(yμy)2]
    记作:
    ( X , Y ) ∼ N ( μ X , μ Y , σ X 2 , σ Y 2 , r ) \left ( X,Y \right ) \sim N\left ( \mu _{X} ,\mu _{Y} ,\sigma _{X}^2,\sigma _{Y}^2,r \right ) (X,Y)N(μX,μY,σX2,σY2,r)r的绝对值小于1.
    可知, E ( X ) = 1 , E ( Y ) = 2 , D ( X ) = 9 , D ( Y ) = 16 , R ( X , Y ) = r = − 3 5 E\left ( X \right ) =1,E\left ( Y \right ) =2,D\left ( X \right ) =9,D\left ( Y \right ) =16,R(X,Y)=r=-\frac{3}{5} E(X)=1,E(Y)=2,D(X)=9,D(Y)=16,R(X,Y)=r=53
    程序代码为:
    clc;
    clear;
    x=-4:0.1:6;
    y=-3:0.1:7;
    [X,Y]=meshgrid(x,y);
    Z=5exp(-25((X-1).2+(X-1).*(Y-2)/10+(Y-2).2/16)/32)/(96*pi);
    mesh(X,Y,Z); %绘制三维网格图

    运行后三维网格图的图像为:
    在这里插入图片描述
    (2) c o v ( X , Y ) = R ( X , Y ) σ x σ y = − 36 5 cov\left ( X,Y \right ) =R\left ( X,Y \right ) \sigma _{x} \sigma _{y}=-\frac{36}{5} cov(X,Y)=R(X,Y)σxσy=536
    E ( Z ) = E ( X 3 − Y 4 ) = − 1 6 E\left ( Z \right ) =E\left ( \frac{X}{3}-\frac{Y}{4} \right ) =-\frac{1}{6} E(Z)=E(3X4Y)=61
    D ( Z ) = D ( X 3 − Y 4 ) = ( 1 3 ) 2 D ( X ) + ( − 1 4 2 D ( Y ) ) + 2 × 1 4 × ( − 1 4 ) = 16 5 D\left ( Z \right ) =D\left ( \frac{X}{3} -\frac{Y}{4} \right ) =\left ( \frac{1}{3} \right )^2D\left ( X \right ) +\left ( -\frac{1}{4}^2D\left ( Y \right ) \right ) +2\times \frac{1}{4}\times \left ( -\frac{1}{4} \right ) =\frac{16}{5} D(Z)=D(3X4Y)=(31)2D(X)+(412D(Y))+2×41×(41)=516
    第三种类型:X与Y均服从标准正态分布,且相互独立
    【例题】设随机变量X与Y相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),求:
    (1)画出该二维随机变量的联合概率密度函数图像。
    (2)求出随机变量函数 Z = X 2 + Y 2 Z=X^{2} +Y^{2} Z=X2+Y2 的概率密度
    【解答】
    (1)相互独立的二维随机变量X与Y的联合概率密度函数为
    f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = 1 2 π e − x 2 + y 2 2 f\left ( x,y \right ) =f_X\left ( x \right ) f_Y\left ( y \right ) =\frac{1}{2\pi }e^{-\frac{x^2+y^2}{2} } f(x,y)=fX(x)fY(y)=2π1e2x2+y2
    绘制该函数用到的代码为:
    vx=-4:0.1:4;
    [X,Y]=meshgrid(vx);
    Z=exp(-(X.2+Y.2)/2)/(2*pi);
    mesh(X,Y,Z);
    绘制的联合概率密度图像为
    XY独立且服从标准正态分布
    (2)随机变量 Z = X 2 + Y 2 Z=X^{2} +Y^{2} Z=X2+Y2 的分布函数为
    F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P ( X 2 + Y 2 ≤ z ) = ∬ x 2 + y 2 ≤ z e − x 2 + y 2 2 d x d y = 1 − e z 2 F_{Z} \left ( z \right ) =P\left ( Z\le z \right ) =P\left ( X^2+Y^2\le z \right ) =\iint\limits_{x^2+y^2\le z}^{} e^{-\frac{x^2+y^2}{2} dxdy} =1-e^{\frac{z}{2} } FZ(z)=P(Zz)=P(X2+Y2z)=x2+y2ze2x2+y2dxdy=1e2z
    所以Z的分布函数为
    F Z ( z ) = { 1 − e − z 2 , z > 0 0 , z ≤ 0 F_{Z} \left ( z \right ) =\begin{cases} & 1-e^{-\frac{z}{2} }, { } z>0 \\ & 0,{ } z\le 0 \end{cases} FZ(z)={1e2z,z>00,z0
    例用matlab绘制图像为
    Z的分布函数
    程序代码为
    fplot(@(z)1-exp(-z/2),[0,10]);
    由Z的分布函数得Z的概率密度函数为
    f Z ( z ) = { 1 2 e − z 2 , z > 0 0 , z ≤ 0 f_{Z} \left ( z \right ) =\begin{cases} & \frac{1}{2}e^{-\frac{z}{2} }, { } z>0 \\ & 0,{ } z\le 0 \end{cases} fZ(z)={21e2z,z>00,z0
    例用Matlab绘制图像为
    Z的概率密度函数
    程序代码为 fplot(@(z)exp(-z/2)/2,[0,10]);
    此时,Z的随机变量函数服从的分布是自由度为2的 χ 2 \chi ^{2} χ2分布

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  • 二维随机变量的函数的概率密度公式 设连续型随机变量X,YX,YX,Y的联合概率密度为f(x,y)f\left(x,y\right)f(x,y),设Z=ϕ(X,Y)Z=\phi\left(X,Y\right)Z=ϕ(X,Y)为随机变量X,YX,YX,Y的函数且ZZZ可微,则ZZZ的分布函数 ...

    二维随机变量的函数的概率密度公式

    设连续型随机变量 X , Y X,Y X,Y的联合概率密度为 f ( x , y ) f\left(x,y\right) f(x,y),设 Z = ϕ ( X , Y ) Z=\phi\left(X,Y\right) Z=ϕ(X,Y)为随机变量 X , Y X,Y X,Y的函数且 Z Z Z可微,则 Z Z Z的分布函数
    F Z ( z ) = ∬ D f ( x , y ) d σ F_Z\left(z\right)=\underset{D}{\iint}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma FZ(z)=Df(x,y)dσ
    其中,积分区域 D = { ( x , y ) ∣ ϕ ( x , y ) ≤ z } D=\{\left(x,y\right)|\phi\left(x,y\right)\le z\} D={(x,y)ϕ(x,y)z}.

    Z Z Z的概率密度函数
    f Z ( z ) = ∫ L f ( x , y ) d s ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 f_Z\left(z\right)=\int_L{f\left(x,y\right)}\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}} fZ(z)=Lf(x,y)(xϕ)2+(yϕ)2 ds
    其中,积分曲线 L L L为区域 D D D的边界曲线,即 L = { ( x , y ) ∣ ϕ ( x , y ) = z } L=\{\left(x,y\right)|\phi\left(x,y\right)=z\} L={(x,y)ϕ(x,y)=z}.

    证明

    由连续性随机变量概率密度函数的定义,有
    f Z ( z ) = d [ F Z ( z ) ] d z = d [ ∬ D f ( x , y ) d σ ] d z f_Z\left(z\right)=\frac{\mathrm{d}\left[F_Z\left(z\right)\right]}{\mathrm{d}z}=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\mathrm{d}z} fZ(z)=dzd[FZ(z)]=dzd[Df(x,y)dσ]
    根据全微分,有
    d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y = ∂ ϕ ∂ x d x + ∂ ϕ ∂ y d y \mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y=\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial\phi}{\partial y}\mathrm{d}y dz=xzdx+yzdy=xϕdx+yϕdy

    f Z ( z ) = d [ ∬ D f ( x , y ) d σ ] ∂ ϕ ∂ x d x + ∂ ϕ ∂ y d y = d [ ∬ D f ( x , y ) d σ ] d [ ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 n ] = d [ ∬ D 1 ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 f ( x , y ) d σ ] d n \begin{aligned} f_Z\left(z\right)&=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial\phi}{\partial y}\mathrm{d}y} \\ &=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\mathrm{d}\left[\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}\boldsymbol{n}\right]} \\ &=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint}{\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma}\right]}{\mathrm{d}\boldsymbol{n}} \end{aligned} fZ(z)=xϕdx+yϕdyd[Df(x,y)dσ]=d[(xϕ)2+(yϕ)2 n]d[Df(x,y)dσ]=dnd[D(xϕ)2+(yϕ)2 1f(x,y)dσ]
    其中 n \boldsymbol{n} n为曲线 L L L ( x , y ) \left(x,y\right) (x,y)的正向单位法向量,则可以证明,对某一可微函数在区域 D D D上的二重积分,求其边界上每一点处的法向量方向的方向导数,该导数的值就等于曲线 L L L上对该函数对弧长的积分,因此
    f Z ( z ) = ∫ L f ( x , y ) d s ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 f_Z\left(z\right)=\int_L{f\left(x,y\right)}\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2}} fZ(z)=Lf(x,y)(xϕ)2+(yϕ)2 ds

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    二维随机变量
  • 概率论基础(6)连续型二维随机变量

    千次阅读 多人点赞 2019-06-19 23:16:00
    概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也... - 概率密度 边缘概率密度 条件概率密度 独立性 需要有二重积分相关知识 - Z = X + Y 分布 Z = XY 分布 Z = max{X, Y} 分布
  • 二维随机变量

    千次阅读 2021-04-04 12:09:56
    什么是二维随机变量? 设EEE是一个随机试验,它的样本空间是S={e}S=\{e\}S={e},设X=X(e)X=X(e)X=X(e)和Y=Y(e)Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在SSS上的随机变量 由他们构成的一个向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机...
  • 概率论-二维随机变量及其分布

    千次阅读 2020-11-16 11:26:08
    F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\}F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}叫做X和Y的联合分布。 左图为定义域,右图为概率值: 性质 0≤F(x,y)≤10 \leq F(x,y) \leq 10≤F(x,y)≤1. F(x,y)F(x,y)F(x,y)单调递增。 F...
  • >> x=0:6.5:650;y=0:27:2700;[x,y]=meshgrid(x,y);F=(669126134152931648175758856558983806728427764752864631.*35184372088832.^(1819./5000).*3695207012694701.^(3181./5000).*gamma(3181./5000))./642775...
  • '''生成(X,Y)的联合分布律''' '''返回值:distributionXY,二维随机变量(X,Y)的联合分布律''' ######################################################### def CreateDistribution( X, Y ): #sampleCount is ...
  • 概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布 文章目录概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布一.多维随机变量定义:二.二维随机变量及其分布函数1.联合分布函数①定义②性质(1)F(x,y)F(x,y)F(x,y)对x和y都是单调不...
  • 龙源期刊网http://www.qikan.com.cn雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中的应用作者:赵微来源:《新教育时代》2014年第12期摘要:为了使二维随机变量函数概率密度计算公式得到简化,本文首先利用雅克比行列...
  • 3.1二维随机变量及其函数分布 二维随机变量 分布函数 注意:联合分布与x和y都有关 性质 二维离散型的联合分布及边缘分布 分布表 长成这样的就是离散型的联合分布表 性质 表格中每一个数>=0 表格中每一个数...
  • 二维概率密度求解边缘密度

    万次阅读 多人点赞 2016-11-12 19:23:29
    二维概率密度求解边缘密度@(概率论)已知f(x,y)f(x,y),求解fX(x),fY(y)f_X(x),f_Y(y)时,用的是下面的公式:fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dyfY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dx f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \\ f_Y(y) ...
  • 随机变量函数的概率密度函数求解方法

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二维随机变量的联合概率密度