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  • 一维随机变量X与二维随机变量(X,Y)(及以上)比较 二维离散型随机变量(X,Y), 联合分布 X和Y的联合概率函数为 P(X=xi,Y=yj)=piji,j=1,2,... P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij} \quad i,j=1,2,... P(X=xi​,Y=yj​)=...

    联合分布和边缘分布

    • 一维随机变量X与二维随机变量(X,Y)(及以上)比较

      • 二维离散型随机变量(X,Y), 联合分布

        • X和Y的联合概率函数为
          P ( X = x i , Y = y j ) = p i j i , j = 1 , 2 , . . . P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij} \quad i,j=1,2,... P(X=xi,Y=yj)=piji,j=1,2,...

          { p i j ≥ 0 ,   i , j = 1 , 2 , . . . ∑ i ∑ j p i j = 1 \begin{cases} p_{ij}\geq 0,\space i,j=1,2,... \\ \sum_i \sum_j p_{ij}=1 \end{cases} {pij0, i,j=1,2,...ijpij=1

      • 二维连续型随机变量(X,Y)

        • X和Y的联合密度函数
          P { ( x , y ) ∈ A } = ∬ A f ( x , y ) d x d y A ⊂ R 2 , f ( x , y ) ≥ 0 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 P\{(x,y)\in A\}=\iint_A f(x,y)dxdy \quad \quad A \subset R_2,f(x,y)\geq 0 \\ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1 P{(x,y)A}=Af(x,y)dxdyAR2,f(x,y)0f(x,y)dxdy=1
      • 二维随机变量(X,Y)里和X和Y的联合分布函数
        F ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) − ∞ < x , y < ∞ F(x,y)=P(X\leq x, Y\leq y) \quad \quad -\infty<x,y<\infty F(x,y)=P(Xx,Yy)<x,y<

      • 一维离散型随机变量X

        • X的概率函数
          P ( X = x k ) = p k , k = 1 , 2 , . . . { p k ≥ 0 , k = 1 , 2 , . . . ∑ k p k = 1 P(X=x_k)=p_k,\quad k=1,2,... \\ \begin{cases} p_k\geq 0,\quad k=1,2,... \\ \sum_k p_k = 1 \end{cases} P(X=xk)=pk,k=1,2,...{pk0,k=1,2,...kpk=1
      • 一维连续型随机变量X

        • X的密度函数

      P { a ≤ X ≤ b } = ∫ a b f ( x ) d x f ( x ) ≥ 0 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 P\{a\leq X \leq b\}=\int_a^bf(x)dx \quad f(x) \geq0 \\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1 P{aXb}=abf(x)dxf(x)0f(x)dx=1

      • 一维随机变量X的分布函数
        F ( x ) = P ( X ≤ x ) − ∞ < x < ∞ F(x)=P(X\leq x) \quad \quad -\infty < x <\infty F(x)=P(Xx)<x<
    • 联合分布与边缘分布的关系

      由联合分布可以确定边缘分布,但由边缘分布一般不能确定联合分布

      • 一般,对二维离散型随机变量(X,Y)

        X和Y的联合概率函数为:
        P ( X = x , Y = y i ) = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P(X=x, Y=y_i)=p_{ij}, \quad i,j=1,2,... P(X=x,Y=yi)=pij,i,j=1,2,...
        则(X,Y)关于X的边缘概率函数为:
        P ( X = x i ) = p i = ∑ j p i j , i = 1 , 2 , . . . P(X=x_i)=p_i=\sum_jp_{ij}, \quad i=1,2,... P(X=xi)=pi=jpij,i=1,2,...
        则(X,Y)关于Y的边缘概率函数为:
        P ( Y = y j ) = p j = ∑ i p i j , j = 1 , 2 , . . . P(Y=y_j)=p_j=\sum_ip_{ij}, \quad j=1,2,... P(Y=yj)=pj=ipij,j=1,2,...
        在这里插入图片描述

    • 对二维连续型随机变量(X,Y)

      X和Y的联合概率密度为:
      f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)
      则(X,Y)关于X的边缘概率函数为:
      f X ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy fX(x)=f(x,y)dy
      (X,Y)关于Y的边缘概率函数为:
      f Y ( y ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x f_Y(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dx fY(y)=f(x,y)dx

    • 对二维随机变量(X,Y)

      X和Y的联合分布函数为
      F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)
      则(X,Y)关于X的边缘分布函数为
      F X ( x ) = l i m y → ∞ F ( x , y ) F_X(x)=lim_{y \to \infty }F(x,y) FX(x)=limyF(x,y)
      (X,Y)关于Y的边缘分布函数为
      F Y ( y ) = l i m x → ∞ F ( x , y ) F_Y(y)=lim_{x \to \infty}F(x,y) FY(y)=limxF(x,y)
      不难看出,对二维连续型随机变量(X,Y),其概率密度与分布函数的关系如下:
      f ( x , y ) = ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y f(x,y)=\frac{\partial ^2F(x,y)}{\partial x \partial y} f(x,y)=xy2F(x,y)
      f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的连续点
      F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x,y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u,v)dudv F(x,y)=xyf(u,v)dudv

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  • 概率论-二维随机变量及其分布

    千次阅读 2020-11-16 11:26:08
    分布函数pmf 定义 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\}F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}叫做X和Y的联合分布。 左图为定义域,右图为概率值: 性质 0≤F(x,y)≤10 \leq F(x,y) \leq 10≤F(x,y)≤1. F(x,y)F(x,y)F...

    定义

    分布函数

    定义

    F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\} F(x,y)=P{Xx,Yy}叫做X和Y的联合分布。
    左图为定义域,右图为概率值:
    左图为定义域,右图为概率值

    性质

    1. 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0 \leq F(x,y) \leq 1 0F(x,y)1.
    2. F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)单调递增。
    3. F ( x , − ∞ ) = F ( − ∞ , y ) = F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 F(x,-\infty) = F(-\infty,y) = F(-\infty,-\infty ) = 0 F(x,)=F(,y)=F(,)=0
    4. F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(+\infty,+\infty ) = 1 F(+,+)=1
    5. F ( x , y ) 关 于 x 和 y 右 连 续 。 F(x,y)关于x和y右连续。 F(x,y)xy
    6. P { x 1 ‘ x ≤ x 2 , y 1 ‘ y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\{x_1 \lq x \leq x2,y_1 \lq y \leq y_2\} = F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) - F(x_1,y_2) + F(x_1, y_1) P{x1xx2,y1yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)

    二维离散型

    联合分布

    联合分布表,表中所有数相加为1.
    分布函数: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∑ x i ≤ x ∑ y i ≤ y P i j F(x,y) = P\{X \leq x,Y\leq y\} = \sum_{x_i\leq x}\sum_{y_i \leq y}P_{ij} F(x,y)=P{Xx,Yy}=xixyiyPij
    联合分布可唯一确定边缘分布。
    边缘分布不能确定联合分布,除非X和Y相互独立。
    判断独立性: P ( X = 1 , Y = 2 ) = P ( X = 1 ) ∗ P ( Y = 2 ) P(X = 1,Y = 2) = P(X = 1)*P(Y = 2) P(X=1,Y=2)=P(X=1)P(Y=2)

    边缘分布

    退化成只含一个变量的分布图

    二维连续型

    定义

    F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∫ − ∞ ∣ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\} = \int_{-\infty|}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(s,t)ds dt F(x,y)=P{Xx,Yy}=xyf(s,t)dsdt
    f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)叫做X和Y的联合密度函数。
    边缘分布函数: F X ( x ) = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d t ] d s F Y ( y ) = lim ⁡ x → + ∞ F ( x , y ) = ∫ − ∞ y [ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s ] d t F_X(x) = \lim_{y \to +\infty}F(x,y) = \int_{-\infty}^x[\int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)dt]ds\\ F_Y(y) = \lim_{x \to +\infty}F(x,y) = \int_{-\infty}^y[\int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)ds]dt FX(x)=y+limF(x,y)=x[+f(s,t)dt]dsFY(y)=x+limF(x,y)=y[+f(s,t)ds]dt
    边缘密度函数:对另一个变元求积分
    f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( s , y ) d s = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_X(x) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,t)dt =\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\\ f_Y(y) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(s,y)ds =\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx fX(x)=+f(x,t)dt=+f(x,y)dyfY(y)=+f(s,y)ds=+f(x,y)dx
    若X和Y相互独立,则 f ( x , y ) = f X ( x ) ∗ f Y ( y ) f(x,y) = f_X(x) * f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y).

    性质

    1. f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y) \geq 0 f(x,y)0.
    2. ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t = 1 \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)ds dt = 1 ++f(s,t)dsdt=1
    3. ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y} = f(x,y) xy2F(x,y)=f(x,y)
    4. G:XY平面上的一个区域, P ( X , Y ) ∈ G = ∬ G f ( x , y ) d x d y P{(X,Y)\in G} = \iint_G f(x,y)dxdy P(X,Y)G=Gf(x,y)dxdy

    补充

    1. X,Y的边缘分布都是均匀分布时,二维分布不一定是均匀分布。
      例 如 , f ( x , y ) = { 2 x + 2 y − 4 x y , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 0 , o t h e r w i s e 例如,f(x,y) = \left\{ \begin{aligned} &2x+2y-4xy,&0 \leq x \leq1,0\leq y \leq 1\\ &0,&otherwise \end{aligned} \right. f(x,y)={2x+2y4xy,0,0x1,0y1otherwise
    2. 二维正态分布的边缘分布也是正态分布,但两个变量的边缘分布是正态分布时,他们的分布不一定是正态分布。
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  • 概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布 文章目录概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布一.多维随机变量定义:二.二维随机变量及其分布函数1.联合分布函数①定义②性质(1)F(x,y)F(x,y)F(x,y)对x和y都是单调不...

    概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布

    一.多维随机变量

    定义:

    ​ 若 X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega) X1(ω),X2(ω),...Xn(ω)是样本空间 Ω \Omega Ω={ ω \omega ω}上的随机变量,则( X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega) X1(ω),X2(ω),...Xn(ω))构成 Ω \Omega Ω上的n维随机变量,简记为:
    X = ( X 1 , X 2 , . . . X n ) X=(X_1,X_2,...X_n) X=(X1,X2,...Xn)

    二.二维随机变量及其分布函数

    ​ 设E是一个随机试验,S={e}为其样本空间,设 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e) Y = Y ( e ) Y=Y(e) Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)叫做二维随机变量(或二位随机向量)

    1.联合分布函数

    ①定义

    ​ 设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量, x , y x,y x,y为任意实数,称二元函数 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\} F(x,y)=P{Xx,Yy} ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数,or X X X Y Y Y联合分布函数

    F ( x , y ) \\F(x,y) F(x,y)表示事件 { X ≤ x } \left\{X\leq x\right\} {Xx} { Y ≤ y } \left\{Y\leq y\right\} {Yy}同时发生的概率(其实就是把 P { ( X ⩽ x ) ⋂ ( Y ⩽ y ) } P\{(X\leqslant x)\bigcap(Y\leqslant y)\} P{(Xx)(Yy)}记成了 P { X ≤ x , Y ≤ y } P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\} P{Xx,Yy})

    ​ 为什么要研究联合分布呢?因为二位随机变量(X,Y)的性质不仅分别与X和Y有关,也与X与Y之间的相互关系有关,所以单独逐个研究X与Y是不够的,还需要将 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)作为整体进行研究

    ②性质

    (1) F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)对x和y都是单调不减的,即:

    ​ (Ⅰ)固定 x x x,当 y 1 < y 2 y_1<y_2 y1<y2时, F ( x , y 1 ) ⩽ F ( x , y 2 ) F(x,y_1)\leqslant F(x,y_2) F(x,y1)F(x,y2)

    ​ (Ⅱ)固定 y y y,当 x 1 < x 2 x_1<x_2 x1<x2时, F ( x 1 , y ) ⩽ F ( x 2 , y ) F(x_1,y)\leqslant F(x_2,y) F(x1,y)F(x2,y)

    (2)连续性

    F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 x x x右连续,即 F ( x , y ) = F ( x + 0 , y ) F(x,y)=F(x+0,y) F(x,y)=F(x+0,y)

    F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 y y y右连续,即 F ( x , y ) = F ( x , y + 0 ) F(x,y)=F(x,y+0) F(x,y)=F(x,y+0)

    (3)

    ​ 随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在矩形区域 ( x 1 , x 2 ] × ( y 1 , y 2 ] (x_1,x_2]×(y_1,y_2] (x1,x2]×(y1,y2]内的概率为
    P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\left\{x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2\right\}\\=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)

    解释

    ​ 若将二维随机变量(X,Y)看成平面上的随机点的坐标,那么 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) ( x , y ) (x,y) (x,y)处的函数值就是随机点 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在以点 ( x , y ) (x,y) (x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率,如图紫色区域,设 A ( x , y ) A(x,y) A(x,y)

    image-20210603202735718

    image-20210603203348658

    (4)

    0 ⩽ F ( x , y ) ⩽ 1 , 且 F ( − ∞ , y ) = F ( x , − ∞ ) = F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 0\leqslant F(x,y) \leqslant 1,且F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0,\quad F(+\infty,+\infty)=1 0F(x,y)1,F(,y)=F(x,)=F(,)=0,F(+,+)=1

    几何解释

    ​ 如(3)中图所示,无穷矩形的右面边界向左无限平移 ( x → − ∞ ) (x→-∞) (x),则“随机点(X,Y)落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件,所以其概率趋于0,即有 F ( − ∞ , y ) = 0 F(-∞,y)=0 F(y)=0

    ​ 当 x → ∞ , y → ∞ x→∞,y→∞ xy时,图中无穷矩形扩展到全平面,随机点(X,Y)落在其中这一事件趋于必然事件,故其概率趋于1,即 F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(+∞,+∞)=1 F(+,+)=1

    三.二维离散型随机变量

    1.联合分布列

    ①定义

    ​ 如果二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的所有可能取值是有限个或可数个,称(X,Y)为二维离散型随机变量, P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,... P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,...称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布列,or X X X Y Y Y的联合分布列(也可用表格表示)

    ②性质

    (1) p i j ⩾ 0 , i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij}\geqslant0,\quad i,j=1,2,... pij0,i,j=1,2,...

    (2) ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 \sum\limits^{\infty}_{i=1}\sum\limits^\infty_{j=1}p_{ij}=1 i=1j=1pij=1

    2.分布函数

    F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y P { X = x i , Y = y j } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y p i j F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}p_{ij} F(x,y)=P{Xx,Yy}=xixyjyP{X=xi,Y=yj}=xixyjypij

    3.边缘分布列

    ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二维离散型随机变量,分布列为
    P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,... P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,...
    (1)关于 X X X的边缘分布列为
    P { X = x i } = ∑ j p i j = p i . , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=\sum_jp_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,... P{X=xi}=jpij=pi.,i=1,2,...
    (2)关于 Y Y Y的边缘分布列为
    P { Y = y j } = ∑ i p i j = p . j , j = 1 , 2 , . . . P\{Y=y_j\}=\sum_ip_{ij}=p_{.j},\quad j=1,2,... P{Y=yj}=ipij=p.j,j=1,2,...

    注:(1)边缘分布列具有一维分布列的性质

    (2)联合分布列唯一决定边缘分布列

    从分布函数角度理解边缘分布列:

    ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)作为整体,具有分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y),而 X X X Y Y Y都是随机变量,各自也有分布函数,分别记为 F X ( x ) , F Y ( y ) F_X(x),F_Y(y) FX(x),FY(y),依次为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)关于 X X X和关于 Y Y Y边缘分布函数,边缘分布函数可以由 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)确定

    F X ( x ) = P { X ⩽ x } = P { X ⩽ x , Y < ∞ } = F ( x , ∞ ) F_X(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{X\leqslant x,Y< \infty\}=F(x,\infty) FX(x)=P{Xx}=P{Xx,Y<}=F(x,),即 F X ( x ) = F ( x , ∞ ) = ∑ x i ⩽ x ∑ j = 1 ∞ p i j F_X(x)=F(x,\infty)=\sum\limits_{x_i\leqslant x}\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij} FX(x)=F(x,)=xixj=1pij

    所以关于 X X X的边缘分布列也可以写为
    P { X = x i } = ∑ j = 1 ∞ p i j = p i . , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,... P{X=xi}=j=1pij=pi.,i=1,2,...
    Y Y Y同理

    四.二维连续型随机变量

    1.联合概率密度

    ①定义

    ​ 如果对于 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y),若存在非负函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),对于任意实数 x , y , x,y, x,y,有:
    F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x,y)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(u,v)dudv F(x,y)=xyf(u,v)dudv
    则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维连续型随机变量,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度,或称 X 与 Y X与Y XY的联合概率密度

    ②性质

    ​ (1) f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y)\geq 0 f(x,y)0

    ​ (2) ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 = F ( + ∞ , + ∞ ) \int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dxdy=1=F(+\infty,+\infty) ++f(x,y)dxdy=1=F(+,+)

    ​ (3)设G是xOy面上一区域,点 ( X , Y ) \\(X,Y) (X,Y)落入G内的概率为
    P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ ( x , y ) ∈ G f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈G\}=\iint\limits_{(x,y)∈G}f(x,y)dxdy P{(X,Y)G}=(x,y)Gf(x,y)dxdy

    2.边缘概率密度

    ​ 关于X的边缘概率密度: f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy fX(x)=+f(x,y)dy
    ​ 关于Y的边缘概率密度: f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x \\f_Y(y)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dx fY(y)=+f(x,y)dx

    从分布函数角度理解:

    F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y ] d x F_X(x)=F(x,+\infty)=\int^x_{-\infty}[\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy]dx FX(x)=F(x,+)=x[+f(x,y)dy]dx

    易看出,X的概率密度为中括号里的表达式,即: f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy fX(x)=+f(x,y)dy

    3.均匀分布

    ​ 设G是平面上的有界区域,其面积为SG,若二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为
    f ( x , y ) = { 1 S G , ( x , y ) ∈ G 0 , o t h e r w i s e f(x,y)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{S_G}, \qquad (x,y)∈G \\ 0,\quad \qquad otherwise\\ \end{array} \right. f(x,y)={SG1,(x,y)G0,otherwise
    则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)在G上服从均匀分布

    ​ 设 G ′ G' G是区域 G G G上的任一子区域,面积为 S G ′ S_{G'} SG,则 P { ( X , Y ) ∈ G ′ } = S G ′ S G P\{(X,Y)∈G'\}=\frac{S_{G'}}{S_G} P{(X,Y)G}=SGSG

    4.正态分布

    (也叫高斯分布)

    image-20210505151607594

    用python生成二维正态分布的概率密度示意图如图所示:

    二维正态分布概率密度图

    五.条件分布

    ​ 对于两个事件,可以讨论它们的条件概率;对于两个随机变量,则可以讨论它们的条件分布

    1.离散型随机变量

    随机变量 X X X在条件 Y = y j Y=y_j Y=yj下的条件分布列:
    P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}},\quad i=1,2,... P{X=xiY=yj}=P{Y=yj}P{X=xi,Y=yj},i=1,2,...
    随机变量 Y Y Y在条件 X = x i X=x_i X=xi下的条件分布列:
    P { Y = y j ∣ X = x i } = P { X = x i , Y = y j } P { X = x i } , j = 1 , 2 , . . . P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}},\quad j=1,2,... P{Y=yjX=xi}=P{X=xi}P{X=xi,Y=yj},j=1,2,...
    条件分布列也是分布列,满足分布列的性质

    2.连续型随机变量

    (1)在 Y = y Y=y Y=y条件下,

    X X X的条件概率密度
    f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y{(y)}} fXY(xy)=fY(y)f(x,y)
    X X X的条件分布函数
    F X ∣ Y ( x ∣ y ) = ∫ − ∞ x f X ∣ Y ( u ∣ y ) d u F_{X|Y}(x|y)=\int^x_{-\infty}f_{X|Y}(u|y)du FXY(xy)=xfXY(uy)du
    (2)在 X = x X=x X=x条件下,

    Y Y Y的条件概率密度
    f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X{(x)}} fYX(yx)=fX(x)f(x,y)
    Y Y Y的条件分布函数
    F Y ∣ X ( y ∣ x ) = ∫ − ∞ y f Y ∣ X ( v ∣ x ) d v F_{Y|X}(y|x)=\int^y_{-\infty}f_{Y|X}(v|x)dv FYX(yx)=yfYX(vx)dv

    六.随机变量的独立性

    ​ 随机变量的独立性可借助事件的独立性引出

    ​ 设 X , Y X,Y X,Y为两个随机变量,对于任意的实数 x , y , “ X ⩽ x " x,y,“X\leqslant x" x,y,Xx" “ Y ⩽ y " “Y\leqslant y" Yy"为两个事件,根据事件的独立性定义, “ X ⩽ x " , “ Y ⩽ y " “X\leqslant x",“Y\leqslant y" Xx",Yy"相互独立,相当于式
    P { X ⩽ x , Y ⩽ y } = P { X ⩽ x } P { Y ⩽ y } P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=P\{X \leqslant x\}P\{Y \leqslant y\} P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}
    成立,或写为
    F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)

    1.定义

    X ⩽ x X\leqslant x Xx“和“ Y ⩽ y Y\leqslant y Yy”相互独立
       ⟺    P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y }    ⟺    F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) \iff P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}\cdot P\{Y\leq y\} \iff F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}F(x,y)=FX(x)FY(y)

    2.判断方法

    (1)联合分布函数=边缘分布函数的乘积

    F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)

    (2)离散型:联合分布列=边缘分布列的乘积

    P { X = x i , Y = y j } = P { X = x i } ⋅ P { Y = y j } P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}\cdot P\{Y=y_j\} P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}

    (3)连续型:联合概率密度=边缘概率密度的乘积

    f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y)

    3.定理

    ​ 设随机变量 X X X Y Y Y相互独立, g ( x ) , h ( y ) g(x),h(y) g(x),h(y)是连续函数,则随机变量函数 g ( x ) , h ( y ) g(x),h(y) g(x),h(y)也相互独立

    七.二维随机变量函数的分布

    1.离散型随机变量函数的分布: Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

    ​ 设 X , Y X,Y X,Y是离散型随机变量,则随机变量 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y的分布列为
    P { X + Y = m } = ∑ i P { X = i , Y = m − i } P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i,Y=m-i\} P{X+Y=m}=iP{X=i,Y=mi}
    ​ 若 X , Y X,Y X,Y相互独立,则
    P { X + Y = m } = ∑ i P { X = i } P { Y = m − i } P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i\}P\{Y=m-i\} P{X+Y=m}=iP{X=i}P{Y=mi}

    证明:

    ​ 事件 X + Y = m X+Y=m X+Y=m是互不相容事件 A k = { X = k , Y = m − k } A_k=\{X=k,Y=m-k\} Ak={X=k,Y=mk}的和事件,而 P ( A k ) = P { X = k , Y = m − k } P(A_k)=P\{X=k,Y=m-k\} P(Ak)=P{X=k,Y=mk},由此可得
    P { X + Y = m } = ∑ P ( A k ) = ∑ k + l = m P { X = k , Y = l } P\{X+Y=m\}=\sum P(A_k)=\sum_{k+l=m}P\{X=k,Y=l\} P{X+Y=m}=P(Ak)=k+l=mP{X=k,Y=l}

    一些结论

    ​ ①若 X , Y X,Y X,Y相互独立, X ∼ P ( λ 1 ) , Y ∼ P ( λ 2 ) X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2) XP(λ1),YP(λ2),则 X + Y ∼ P ( λ 1 + λ 2 ) X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2) X+YP(λ1+λ2)

    ​ 两个相互独立的泊松变量之和仍是一个泊松变量,且其参数等于相应的随机变量分布参数的和

    ​ ②若 X 1 , X 2 X_1,X_2 X1,X2相互独立, X 1 ∼ B ( n 1 , p ) , X 2 ∼ B ( n 2 , p ) X_1\sim B(n_1,p),X_2\sim B(n_2,p) X1B(n1,p),X2B(n2,p),则 X = X 1 + X 2 ∼ B ( n 1 + n 2 , p ) X=X_1+X_2\sim B(n_1+n_2,p) X=X1+X2B(n1+n2,p)

    2. max ⁡ { X , Y } \max\{X,Y\} max{X,Y} min ⁡ { X , Y } \min\{X,Y\} min{X,Y}的分布

    ​ 设 X , Y X,Y X,Y相互独立,分布函数分别为 F X ( x ) F_X(x) FX(x) F Y ( y ) F_Y(y) FY(y),则:

    Z = max ⁡ { X , Y } Z=\max\{X,Y\} Z=max{X,Y}的分布函数为:
    F max ⁡ ( z ) = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_{\max}(z)=F_X(z)\cdot F_Y(z) Fmax(z)=FX(z)FY(z)

    ​ 证明:
    F m a x ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { m a x { X , Y } ⩽ z } F_{max}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{max\{X,Y\}\leqslant z\} Fmax(z)=P{Zz}=P{max{X,Y}z}
    ​ 又因为 Z ⩽ z Z\leqslant z Zz 等价于 X , Y X,Y X,Y ⩽ z \leqslant z z,所以
    F m a x ( z ) = P { X ⩽ z , Y ⩽ z } = P { X ⩽ z } P { Y ⩽ z } = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_{max}(z)=P\{X\leqslant z,Y\leqslant z\}=P\{X\leqslant z\}P\{Y\leqslant z\}=F_X(z)\cdot F_Y(z) Fmax(z)=P{Xz,Yz}=P{Xz}P{Yz}=FX(z)FY(z)

    Z = min ⁡ { X , Y } Z=\min\{X,Y\} Z=min{X,Y}的分布函数为:
    F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_{\min}(z)=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)] Fmin(z)=1[1FX(z)][1FY(z)]

    ​ 证明:
    F m i n ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { m i n { X , Y } ⩽ z } = 1 − P { m i n { X , Y } > z } F_{min}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{min\{X,Y\}\leqslant z\}=1-P\{min\{X,Y\}> z\} Fmin(z)=P{Zz}=P{min{X,Y}z}=1P{min{X,Y}>z}
    ​ 又因为 Z > z Z>z Z>z等价于 X , Y X,Y X,Y > z > z >z,所以
    F m a x ( z ) = 1 − P { X > z , Y > z } = 1 − P { X > z } P { Y > z } = 1 − [ 1 − P { X ⩽ z } ] [ 1 − P { Y ⩽ z } ] = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_{max}(z)=1-P\{X> z,Y> z\}=1-P\{X> z\}P\{Y> z\}\\=1-[1-P\{X\leqslant z\}][1-P\{Y\leqslant z\}]\\=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)] Fmax(z)=1P{X>z,Y>z}=1P{X>z}P{Y>z}=1[1P{Xz}][1P{Yz}]=1[1FX(z)][1FY(z)]

    推广

    ​ 设随机变量 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立,分布函数分别为 F X 1 ( x 1 ) F_{X_1}(x_1) FX1(x1) F X 2 ( x 2 ) , . . . , F X n ( x n ) F_{X_2}(x_2),...,F_{X_n}(x_n) FX2(x2),...,FXn(xn),则:

    max ⁡ { X 1 , X 2 , . . . , X n } \max\{X_1,X_2,...,X_n\} max{X1,X2,...,Xn}的分布函数为:
    F max ⁡ ( z ) = F X 1 ( z ) ⋅ F X 2 ( z ) . . . F X n ( z ) F_{\max}(z)=F_{X_1}(z)\cdot F_{X_2}(z)...F_{X_n}(z) Fmax(z)=FX1(z)FX2(z)...FXn(z)
    min ⁡ { X 1 , X 2 , . . . , X n } \min\{X_1,X_2,...,X_n\} min{X1,X2,...,Xn}的分布函数为:
    F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F X 1 ( z ) ] ⋅ [ 1 − F X 2 ( z ) ] . . . [ 1 − F X n ( z ) ] F_{\min}(z)=1-[1-F_{X_1}(z)]\cdot [1-F_{X_2}(z)]...[1-F_{X_n}(z)] Fmin(z)=1[1FX1(z)][1FX2(z)]...[1FXn(z)]
    X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立,具有相同的分布函数 F ( z ) F(z) F(z),则
    F max ⁡ ( z ) = [ F ( z ) ] n , F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F ( z ) ] n F_{\max}(z)=[F(z)]^n,\qquad F_{\min}(z)=1-[1-F(z)]^n Fmax(z)=[F(z)]nFmin(z)=1[1F(z)]n

    3.连续型随机变量函数的分布: Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

    分布函数法:

    设二维连续型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),求 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y)的概率密度
    F Z ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { g ( X , Y ) ⩽ z } = ∬ g ( x , y ) ⩽ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{g(X,Y)\leqslant z\}=\iint\limits_{g(x,y)\leqslant z}f(x,y)dxdy FZ(z)=P{Zz}=P{g(X,Y)z}=g(x,y)zf(x,y)dxdy
    f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) f_Z(z)=F'_Z(z) fZ(z)=FZ(z)

    4.瑞利分布

    瑞利分布:当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差、均值为0的正态分布时,这个向量的模呈瑞利分布

    img

    展开全文
  • 二维随机变量分布函数: (1)F(X,Y)=P{X<=x,Y<=y}。叫做联合分布函数(由X,Y共同控制),类似于在X=x,Y=y的两个平面上共同截一刀剩余的体积 注意到红框部分是<而不是<=,就如同中一样必须是虚线...

    以下均适用于离散型随机变量和连续型随机变量

    多维随机变量:身材(身高、体重),三维(胸围、腰围、臀围)

    二维随机变量:E是一个随机试验,Ω是该实验的样本空间,X,Y是同一个样本空间的样本变量。(X,Y)就是二维随机向量或二维随机变量

    二维随机变量的分布函数

    (1)F(X,Y)=P{X<=x,Y<=y}。叫做联合分布函数(由X,Y共同控制),类似于在X=x,Y=y的两个平面上共同截一刀剩余的体积

    注意到红框部分是<而不是<=,就如同中一样必须是虚线而不能是实线,因为在计算的过程中把实线剪掉了

    (2)边缘分布(由X控制或由Y控制),类似于在X=x或Y=y的两个平面上各自截一刀剩余的体积


    离散型随机变量的联合分布和边缘分布


    连续型随机变量的联合密度和边缘密度

    展开全文
  • 2.二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数的关系 3. 联合分布律可以确定边缘分布律,反之不然(即,边缘分布律不能确定联合分布律) 4. 二维连续型随机变量的联合分布函数与边缘分布函数的关系 ...
  • 这个条件分布主要只针对二维的 一、离散型随机变量的条件分布 同理固定一个X为一个常数则可得Y的条件分布律 **注:**离散型的求在什么条件下X或Y的条件分布律,知道他们的联合分布律很重要. 1) 观察这个公式。 ...
  • 摘要:本文主要介绍二维随机变量的联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系,并以矿山事故为例,强化对三者关系的认识。
  • 文章目录一、为什么是二维随机变量二、二维随机变量的分布函数2.1 二维随机变量分布函数的性质2.2 二维随机变量边缘分布函数三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法 一、为什么是二维随机变量 还记得我们...
  • 统计-二维随机变量

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    二维随机变量
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  • 转载于:https://blog.51cto.com/duanzhenyue/1558013
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    概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也顺便巩固巩固基础。 这是基础篇的第六篇知识点总结 知识点 ... - Z = X + Y 分布 Z = XY 分布 Z = max{X, Y} 分布
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  • 1. 二维离散型随机变量的条件分布 2. 二维连续型随机变量的条件分布
  • 一维和二维离散型随机变量函数的分布一维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布 一维离散型随机变量函数的分布 二维离散型随机变量函数的分布
  • 第三章 二维随机变量及其分布

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  • 这一章是上一章的深化,一个是一维空间,一个是多维空间。 联合分布函数 联合分布率 ...二维连续型随机变量 (X,Y)概率密度性质 (X,Y)在G上符合均匀分布 二维正态分布 在这里插入图片描述 ...
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  • 章:一维随机变量及其分布

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  • 文章目录关于连续型二维随机变量概率密度函数边缘概率密度条件概率密度独立性来做点练习题吧! 关于连续型二维随机变量 概率密度函数 如果说对于定积分 ∫f(x)dx\int f(x) dx∫f(x)dx ,它所表示的含义如果说是求...
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空空如也

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二维随机变量的边缘分布