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  • 摘要:本文主要介绍二维随机变量的联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系,并以矿山事故为例,强化对三者关系的认识。

    摘要:本文主要介绍二维随机变量的联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系,并以矿山事故为例,强化对三者关系的认识。

    一、联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系

    1、若已知(X, Y)的联合分布率 => 可以求出X的边缘分布律和Y的边缘分布率
    ● X的边缘分布律为
    在这里插入图片描述
    ● Y的边缘分布律为
    在这里插入图片描述

    2、若已知(X, Y)的联合分布律和X的边缘分布律 => 可以求出Y的条件分布律
    在这里插入图片描述

    3、若已知X的边缘分布律和Y的条件分布律 => 可以求出(X, Y)的联合分布律
    在这里插入图片描述

    4、若已知X的边缘分布率和Y的边缘分布率 => 只有当X和Y相互独立时,才可以求出(X, Y)的联合分布率
    在这里插入图片描述


    ✔   综合应用:若已知X的边缘分布率和Y的条件分布律,如何求X的条件分布律?
            求解分析:只需综合运用上述的几种情况即可,思路如下图所示:
    在这里插入图片描述

            求解过程如下图所示,可以看出,我们始终是根据条件分布律的定义,对分子上的(X, Y)联合分布律和分母上的Y边缘分布律进行变形处理,将等式转化为题目已知的X边缘分布律和Y条件分布律进行表示。
    在这里插入图片描述


    二、问题的引入

            例:某矿山一年内发生的事故总数服从泊松分布X ~ P(λ),其中一个事故是致命的概率为 p (0 < p < 1),事故发生之间相互独立。设一年内发生发生致命事故的次数为Y,求Y的分布律。

    三、问题的分析

            分析:该问题含有两个随机变量:事故总数X和致命事故总数Y。题目所要求的Y的分布律实质上为该二维随机变量的边缘分布律。显然致命事故发生的次数Y与事故总数X之间必然有着某种联系,根据题目给出的其中一个事故是致命的概率为 p,可以求出Y在X = k(k为事故发生的次数)下的条件分布律,注意这里Y的条件分布律服从二项分布,即
    在这里插入图片描述
            由于矿山事故为稀有事件,所以事故总数X服从泊松分布(这与题目所给条件相符),利用泊松分布的公式可以直接得到随机变量X的边缘分布率如下式所示:
    在这里插入图片描述
            求解思路:有了X的边缘分布律和Y的条件分布律,通过式(1.4)我们就可以得到(X, Y)的联合分布律,根据联合分布律由式(1.2)可以进一步求出Y的边缘分布率,求解过程如下图所示:
    在这里插入图片描述

    四、问题的求解

            根据X的边缘分布律和Y的条件分布律,通过乘法公式(式1.4)计算出二维随机变量(X, Y)的联合分布律。(注意致命事故发生的次数m一定小于或者等于事故发生的次数k)
    在这里插入图片描述
           根据联合分布律,遍历完X的所有可能取值,就可以得到Y的边缘分布律。当求P(Y = m)时,注意到隐含的条件是:事故发生的次数k只可能大于或者等于m,即k ≥ m。所以我们只需在Y = m的情况下,将k = m到k = ∞之间的所有联合分布律求和,即可得到P(Y = m)。
    在这里插入图片描述

            结果表明,致命事故发生的次数Y服从泊松分布,这与我们的预想的确是一致的,因为致命事故的发生是比单纯发生矿山事故更稀有的事件,所以自然也服从泊松分布,而泊松分布的均值恰好为λp(矿山事故发生的均值 * 事故发生后致命的概率)。

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  • 2.二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数的关系 3. 联合分布律可以确定边缘分布律,反之不然(即,边缘分布律不能确定联合分布律) 4. 二维连续型随机变量的联合分布函数与边缘分布函数的关系 ...

     

    1. 内容回顾

     

    2. 二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数的关系

     

    3. 联合分布律可以确定边缘分布律,反之不然(即,边缘分布律不能确定联合分布律)

     

    4. 二维连续型随机变量的联合分布函数与边缘分布函数的关系

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  • 文章目录一、为什么是二维随机变量二、二维随机变量的分布函数2.1 二维随机变量分布函数的性质2.2 二维随机变量的边缘分布函数三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法 一、为什么是二维随机变量 还记得我们...

    一、为什么是二维随机变量

    还记得我们在 Chapter2Chapter 2 里面讨论的都是一维随机变量嘛,但是假如我们举一个例子:

    1. 比如我们要统计人群的身高分布,那容易啊,直接统计一个变量——身高 X 即可
    2. 但是,如果我们要统计的是人群的身材,那你不可能只用身高来衡量,我们需要两个变量——身高 X 和体重 Y。因此,这就是二维随机变量的引入。

    我们一般使用 (X, Y)来表示。可以说是一个向量。

    二、二维随机变量的分布函数

    我们先来看看定义:F(x,y)=P{Xx,Yy} F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\}

    它的意思是由 Xx,YyX ≤x, Y ≤y 所构成的蓝色区域所对应的立体密度函数的体积!!

    这句话怎么理解呢?这得回到一维去,因为我们在一维随机变量里面,F(x)=P{Xx}F(x) = P\{X≤x\}表示的是 XxX≤x 所对应的平面密度函数的面积。那么扩展到二维,它的密度函数是 f(x,y)f(x,y) ,是一个立体的函数,那么对应的自然就是体积了。

    2.1 二维随机变量分布函数的性质

    【1】 0F(x,y)10 ≤ F(x, y) ≤1这个好理解,概率一定小于等于1 .
    【2】F(x,y)F(x, y) 是关于 x 或 y 的不减函数
    【3】F(,y)=0;F(x,)=0;F(,)=0,F(+,+)=1F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0; F(-∞, -∞) = 0, F(+∞, +∞) = 1
    如果我们把二维随机变量的概率密度函数想象成立体草帽,那么在任何一个变量是 -∞ 的时候,还没能切到草帽,所以体积一定是0.

    【4】F(x,y)F(x, y) 分别关于 x, y右连续
    【5】P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)P\{x_1 < X ≤ x_2, y_1 <Y ≤ y_2\} = F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1)

    2.2 二维随机变量的边缘分布函数

    上面我们讲过的:F(x,y)=P{Xx,Yy}F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} 它叫做联合分布函数。下面我们来看看边缘分布函数,其实也好理解:
    FX(x)=P{Xx,Y<+}F_X(x) = P\{X ≤ x, Y< +∞\} 这叫做 X 的边缘分布函数,它的意思是令 X 小于等于 x, y 爱咋地咋地,不限制。同理 FY(y)=P{X<+,Y<y}F_Y(y) = P\{X < +∞, Y < y\}, 这叫做 Y 的边缘分布函数。

    三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法

    这一节只需要一个例子就可以解释明白:我们以下面的表为例:

    X\Y 1 2 3
    1 0 12\frac{1}{2} 18\frac{1}{8}
    2 18\frac{1}{8} 18\frac{1}{8} 18\frac{1}{8}

    这是一个二维离散型随机变量的联合分布表,里面具体的概率值就用我们之前学过的办法计算。

    下面看看如何计算联合分布函数:
    假设要计算:F(1.2,1)F(1.2, 1),那么就是:P{X1.2,Y1)P\{X ≤1.2, Y≤ 1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F(1.2,1)=0F(1.2, 1) = 0

    如果计算 F(2.4,2.1)F(2.4, 2.1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F(2.4,2.1)=0+12+18+18=34F(2.4, 2.1) = 0+\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{4}

    其他情况类似。

    那么,如何计算边缘分布呢?首先我们看看计算 X 的边缘分布:
    在这里插入图片描述
    我们把 每一个 X 所在的行分别相加,就可以得到 X 的边缘分布。如下表:

    X 1 2
    P 58\frac{5}{8} 38\frac{3}{8}

    Y 的边缘分布的计算类似。
    在这里插入图片描述

    最后提几个要点:

    1. 有了联合分布就可以唯一地确定边缘分布。
    2. 但是有了边缘分布并不能唯一地确定联合分布(除了 X, Y 独立的时候)

    四、二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数和边缘分布

    4.1 联合密度函数和联合分布函数

    分布函数的定义还是一样的:F(x,y)=P{Xx,Yy} F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\}
    它的意义我们在前面讨论过了,既然是体积,那么就会涉及到二重积分。我们先回顾一下二重积分的几何意义:

    f(x,y)0f(x, y) ≥ 0 时,Df(x,y)dσ\iint_Df(x,y)dσ 是以区域 D 为底,f(x,y)f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。

    因此,我们就可以通过二重积分计算分布函数:F(x,y)=xyf(s,t)dsdt F(x,y) = \int_{-∞}^{x}\int_{-∞}^{y}f(s,t)dsdt
    下面我们给出几个性质:
    【1】f(x,y)>0f(x,y) >0
    【2】++f(s,t)dsdt=1\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt = 1
    【3】f(x,y)=2F(x,y)xyf(x,y) = \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial {x} \partial {y}}(这时计算联合密度函数的好办法!)
    【4】如果题目给出来一个区域 GG,它是 X, Y 平面的一个区域。那么,我们有:P{(x,y)G}=Gf(x,y)dxdy P\{(x, y)∈G\} = \iint_{G}f(x,y)dxdy
    它也就是把 G 区域沿着 Z 轴拉伸,和 f(x,y)f(x,y) 包围起来的那一部分体积

    4.2 边缘密度函数

    我们先定义一下边缘分布函数:FX(x)=F(x,+)=x+f(s,t)dsdtFY(y)=F(+,y)=y+f(s,t)dsdt F_X(x) = F(x, +∞) = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt\\ \quad\\ F_Y(y) = F(+∞, y) = \int_{-∞}^y\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt

    当然,通过联合分布函数 F(x,y)F(x,y) 也可以计算处边缘分布:FX(x)=limy+F(x,y)FY(y)=limx+F(x,y) F_X(x) = \lim_{y\to +∞}F(x, y)\\ \quad\\ F_Y(y) = \lim_{x\to +∞}F(x,y)
    那么,如果要计算 X 的边缘密度函数,我们就对 FX(x)F_X(x) 求导:fX(x)=FX(x)=+f(x,y)dyfY(y)=FY(y)=+f(x,y)dx f_X(x) = F_X'(x) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy\\ \quad\\ f_Y(y) = F_Y'(y) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dx
    简而言之,要计算 fX(x)f_X(x),可以在无穷范围内 f(x,y)f(x,y)yy 积分。要计算 fY(y)f_Y(y),可以在无穷范围内 f(x,y)f(x,y)xx 积分。

    当我们说到这儿的时候,其实给出一道题做,套公式写出来没有任何问题。但是,真正的意义你理解了吗?下面我们看一个例子,博主打算用公式法+画图理解法剖析边缘密度函数的意义:

    已知(X, Y)在椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 所围成的区域上服从均匀分布。其联合密度函数为:φ(x,y)={1πabx2a2+y2b210else φ(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{πab}\quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} ≤1\\ 0\quad else\\ \end{cases}
    求 X ,Y 的边缘密度函数 φX(x),φY(y)φ_X(x), φ_Y(y)

    首先,抛开问题本身,我们一般假设概率密度函数 f(x,y)f(x,y) 就是一个草帽状函数,那么问一个问题:联合分布函数 F(x,y)F(x,y)的意义是什么?—— 根据定义思考一下:F(x,y)=P{Xx,Yy}=xyf(u,v)dudvF(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^yf(u, v)dudv。下面我们看一张图理解一下:

    具体一个 F(x0,y0)F(x_0, y_0)的意义就是分别用 x=x0x = x_0y=y0y = y_0 这两把刀,去切割草帽,里面那部分的体积!

    那么,边缘密度函数呢?如果我们还是以 fX(x0)f_X(x_0)为例?

    既然是 fX(x0)f_X(x_0) ,那么也就意味着只用 x=x0x = x_0 这一把刀去切割草帽,我们发现,切割草帽的时候会得到一个切割线,如上图所示。那么 fX(x0)f_X(x_0) 的意义就是这个切割线与 yy 轴所围成的面积!

    那么,如果我们把这样的分析具体化到这道题目上,本题的分布密度函数如下图左图所示。那么一样的道理,如果考虑 fX(x0)f_X(x_0),就是只用 x=x0x = x_0这一把刀去切割分布密度函数图,如果这把刀能够切割到函数体,那么自然就会产生一个切痕,所以就是切痕曲线与 yy 轴所围成的面积!

    很显然,我们发现:这个分布密度函数在中间那个椭圆区域才有值,其他地方都是0.

    现在,我们首先计算 φX(x)φ_X(x),很自然地,我们发现,如果 x=x0x = x_0 这把刀放的太前(xax ≥a)或者太后(xax ≤ -a)我们都无法切到这个函数体,自然就没有切痕。那么 φX(x)φ_X(x) 就会等于 0.即:φX(x)=0if xa φ_X(x) = 0\quad if\space |x| ≥ a

    下面考虑能切到的时候,即 x<a|x| < a,那么刀刃的线如上面左图加粗的地方,切割线也是一样的。然后我们就是要计算切痕与 yy 轴所围成的面积(如上面的右图所示)

    但是我们又发现,这个切痕也是在 yy 处于一定范围的时候才有值,其他时候为0. yy 的范围我们可以通过椭圆的方程很容易求出来,就等于:±b1x2a2 ±b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
    这个面积还不好求?就是一个矩形的面积罢了对吧!所以我们得到:φX(x)=1πab2b1x2a2=2πa1x2a2if x<a φ_X(x) = \frac{1}{πab}2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} =\frac{2}{πa}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \quad if \space |x| < a

    φY(y)φ_Y(y) 的理解方法完全类似。式子的意义理解了,带公式解题也有了底气哈哈!

    关于计算边缘分布密度的注记

    在计算边缘分布密度的时候,积分的区间仍然是一个大坑。这里,博主总结了一个避坑方法:
    在给出的联合分布密度函数中,x ,y 的范围有了的时候,我们一定要把这个 x, y 范围所表示的区域画出来,只要把这个区域画出来了,我们在后面对 x 或者 y 积分的时候,它们各自的积分区间一目了然,就不会搞错了。

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  • 2.题目一、知识点概述二维随机变量及其联合分布二维离散型随机变量的分布二维连续性随机变量的密度常见二维随机变量的联合分布随机变量的独立性和相关性两个随机变量简单函数的概率分布重要公式与结论 1.二维随机...

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    概率论与数理统计:【目录】https://zhuanlan.zhihu.com/p/108762528

    本文章分为两部分:1.知识点概述;2.题目

    一、知识点概述

    • 二维随机变量及其联合分布
    • 二维离散型随机变量的分布
    • 二维连续性随机变量的密度
    • 常见二维随机变量的联合分布
    • 随机变量的独立性和相关性
    • 两个随机变量简单函数的概率分布
    • 重要公式与结论

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    1.二维随机变量及其联合分布

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    补充:
    (1)边缘分布

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    (2)条件分布

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    2.二维离散型随机变量的分布

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    离散型的条件分布

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    3.二维连续性随机变量的密度

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    连续型的条件分布

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    4.常见二维随机变量的联合分布

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    5.随机变量的独立性和相关性

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    6.两个随机变量简单函数的概率分布

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    补充:

    (1)二维离散型随机变量函数的分布

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    (2)二维连续型随机变量函数的分布

    7.重要公式与结论

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    二、题目

    在b站看到一个不错的概率论的视频(链接在文章后),在此放些笔记。侵删。

    ------------------------ 【 离散型二维变量与连续型二维变量】 ------------------------

    • 已知二维离散型分布律,求???
    • 已知二维离散型分布律,判断独立性
    • 已知F(x,y),求f(x,y)
    • 已知f(x,y),求F(x,y)
    • 已知F(x,y),求P
    • 已知f(x,y),求P
    • 已知F(x,y) 或 f(x,y) 中含有的未知数
    • 求均匀分布的 f(x,y) 与 P
    • 求边缘分布函数
    • 求边缘密度函数
    • 判断连续型二维变量的独立性
    • 已知 f(x,y), Z=X+Y, 求
      .
    • 已知 f(x,y), Z=X/Y, 求
      .
    • 已知 f(x,y), 且X,Y相互独立,Z=max(X,Y), 求
      .
    • 已知 f(x,y), 且X,Y相互独立,Z=min(X,Y), 求
      .

    1.已知二维离散型分布律,求???

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    4305df3df1e7be77c22b2288962f284f.png

    2.已知二维离散型分布律,判断独立性

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    3.已知F(x,y),求f(x,y)

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    4.已知f(x,y),求F(x,y)

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    5.已知F(x,y),求P

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    6.已知f(x,y),求P

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    7.已知F(x,y) 或 f(x,y) 中含有的未知数

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    8.求均匀分布的 f(x,y) 与 P

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    1.求边缘分布函数

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    2.求边缘密度函数

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    3.判断连续型二维变量的独立性

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    4.已知 f(x,y), Z=X+Y, 求

    .

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    5.已知 f(x,y), Z=X/Y, 求

    .

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    6.已知 f(x,y), 且X,Y相互独立,Z=max(X,Y), 求

    .

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    7.已知 f(x,y), 且X,Y相互独立,Z=min(X,Y), 求

    .

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    链接:

    《概率论与数理统计》教学视频全集(宋浩)_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibiliwww.bilibili.com
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    【猴博士爱讲课】4小时讲完《概率论与数理统计》/《概率论》/不挂科_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibiliwww.bilibili.com
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  • 第三章 二维随机变量及其分布

    千次阅读 2017-02-23 16:01:31
    第三章 二维随机变量及其分布一、二维随机变量的联合分布与边缘分布 二维随机变量 设 XX, YY 为随机变量,称 (X,Y)(X, Y) 为二维随机变量。 联合分布函数 F(x,y)=P{X⩽x,Y⩽y} F(x, y) = P\{X \leqslant x, Y \...
  • 1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布
  • 1. 联合分布函数与边缘分布函数 2. 边缘分布函数求解示例 3. 联合分布函数的性质(单调不减性;有界性;右连续性;相容性) 4. n维随机变量的联合分布函数 ...
  • 一维随机变量X与二维随机变量(X,Y)(及以上)比较 二维离散型随机变量(X,Y), 联合分布 X和Y联合概率函数为 P(X=xi,Y=yj)=piji,j=1,2,... P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij} \quad i,j=1,2,... P(X=xi​,Y=yj​)=...
  • 二维随机变量的联合分布函数:二维随机变量的联合分布函数二维离散型随机变量的概率分布:二维随机变量的概率分布二维离散型随机变量的边缘分布:二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的条件分布:二维...
  • 二维随机变量 联合分布函数 定义 性质 边缘分布函数 联合密度 边缘密度 期望 方差
  • 概率论知识回顾(十) 重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数 二维连续随机变量的分布函数怎么表示? 分布函数有什么性质? 二维连续随机变量的边缘分布...
  • 通信-随机过程系列第2篇尽管随机实验结果意义是明确,但...为何要引入随机变量在这些情况下,如果我们为随机实验结果分配一个数字或一系列值,通常会更方便。例如,硬币正面可以对应1,反面可以对应于0。...
  • 文章目录3.2 边缘分布边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘分布 边缘分布函数 定义: 已知分布函数:这个取无穷就是消除这个随机变量对分布函数的影响。用图形解释:对y取+∞+\infty+∞...
  • $已知二维随机向量概率密度函数,求边缘概率密度函数$ 1. 设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为: 若X和Y相互独立。 (1)填写上表空白部分;(1)填写上表空白部分;(1)填写上表空白部分; (2)求U=...
  • 联合分布函数 边缘分布函数
  • 二维连续型随机变量的相关计算,比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点,考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。最后是要会计算二维随机变量简单函数...
  • 离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的分布律为: P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2…P(X=xi)=∑j=1+∞pij,i=1,2…P(X=x_i,Y=y_j) = p_{ij},\quad i,j=1,2…\\ P(X=x_i) = \sum_{j=1}^{+\infty}p_...
  • 二维正态分布的概率密度和边缘分布(数1了解、数3掌握)三、第3章考研必做习题第3章习题:1、2、3、6、9、10、13、14、15、16、17、18、20第二节 边缘分布一、边缘分布函数二、离散型随机变量的边缘分布律三、连...
  • Box-Muller算法的主要原理就是利用需生成分布的cdf中形如x2+y2x^2+y^2x2+y2的部分进行三角换元,然后将换元后的联合分布函数积分成RRR和θ\thetaθ各自的边缘分布函数,再求反函数,找到两个随机变量的函数,则可以...
  • 已知二维随机变量X,Y的分布律如下表XY12300.20.10.110.30.20.1求:(1)P(X=0),P(Y=2)(2)P(X<1,Y≤2)(3)P(X+Y=2)(4)X,Y的分布律(5)Z=X+Y的分布律解:(1)P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4P(Y=2)=...
  • 概率论知识回顾(八) 重点:二维离散随机变量 什么是n维随机变量二维离散随机变量又是什么? 二维离散随机变量的联合分布律是什么?有什么性质? 什么是边缘...
  • 概率论基础(6)连续型二维随机变量

    千次阅读 多人点赞 2019-06-19 23:16:00
    概率论对于学习 NLP 方向人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也顺便巩固巩固基础。 这是基础篇第六篇知识点总结 知识点 ... - Z = X + Y 分布 Z = XY 分布 Z = max{X, Y} 分布
  • 本章主要讨论二维随机变量及其分布(包括离散型和连续型)、边缘分布及条件分布、随机变量的独立性、多个随机变量函数的分布。
  • 二维随机变量的联合分布函数性质) (2) 求联合概率密度 对联合分布函数求二阶混合偏导数即可。 2.给出二维连续性随机变量的带参联合概率密度函数 1.利用负无穷到正无穷积分等于1求出参数 2.x的边缘概率...
  • 均匀分布墨文昱:均匀分布​zhuanlan.zhihu.com离散随机变量的均匀分布:假设 X 有 k 个取值:x1, x2, ..., xk 则均匀分布的概率密度函数为: 连续随机变量的均匀分布:假设 X 在 [a, b] 上均匀分布,则其概率密度...
  • 首先根据二维随机变量均匀分布可以直接得到联合概率密度函数,然后再根据公式可以得到X和Y的边缘密度函数,公式一会用图贴出来,但是此时问题来了,为什么X的密度函数是对dy求积分还有积分的上下限怎么确定?...
  • 第一节 二维随机变量第二节 边缘分布第三节 条件分布第四节 相互独立的随机变量第五节 两个随机变量的函数的分布

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