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  • 本节包括:期望:定义与性质方差与协方差:方差、标准差、协方差、相关系数、协方差矩阵、矩的定义与性质条件期望:条件期望与条件方差典型随机变量的期望方差期望离散设一离散随机变量 有概率分布 ,若 ,则称 为...

    d0f031806afa4bf25e7acfa4762490a6.png

    本节包括:

    • 期望:定义与性质
    • 方差与协方差:方差、标准差、协方差、相关系数、协方差矩阵、矩的定义与性质
    • 条件期望:条件期望与条件方差
    • 典型随机变量的期望方差

    期望

    离散

    设一离散随机变量
    有概率分布

    ,则称
    为随机变量
    期望

    连续

    设一连续随机变量
    的概率密度函数为
    ,若

    则称
    为随机变量
    期望

    期望的性质
    (1) 期望与概率的关系:

    是一事件,
    的示性函数,则

    (2) 随机向量函数的期望:

    为一随机向量,
    ,若
    有联合概率密度函数
    ,则对于满足
    的实函数
    的期望为

    (3) 期望的线性
    假定

    为固定实数,

    的期望存在,且

    (4) 期望的独立性
    对于独立随机变量


    (5)
    积分定义的期望:

    方差与协方差

    方差与标准差

    若随机变量
    的期望
    有限,称
    方差
    标准差
    计算:

    方差的性质
    (1)


    (2)

    重要不等式

    (1) 马尔科夫不等式


    对任意随机变量
    与固定实数

    (2) 切比雪夫不等式


    对任意方差有限的随机变量

    有时也写成:

    (3) 柯西—施瓦茨不等式


    ,则

    当且仅当存在实数
    使得
    时等号成立

    (4) 琴生不等式


    对于凸函数

    协方差

    ,随机变量
    协方差定义为

    计算:
    ;若
    ,称
    不相关

    相关系数

    ,随机变量
    相关系数定义为

    计算:

    ,称
    存在
    线性关系

    性质

    (1)


    (2)

    (3) 不相关的三种等价定义:
    (4) 独立性强于不相关,但当
    独立等价于不相关

    协方差矩阵

    对于n维随机向量
    ,其
    协方差矩阵定义为:

    注记 协方差矩阵是对称非负定

    阶原点矩:
    阶中心矩:

    注记 期望和方差就是其1阶原点矩和2阶中心矩

    条件期望

    条件期望

    为随机向量,若
    ,则称

    上的
    条件期望
    关于
    条件期望

    注记

    (1) 条件期望就是条件分布的期望,

    函数
    的函数,即
    随机变量

    (2) 条件期望的本质是期望,因而具有期望的一切性质:

    1. 独立时,

    条件方差


    关于
    条件方差

    注记 方差分解公式:

    典型随机变量的期望方差

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  • 在概率论中学到的二维随机变量的协方差公式到底对应什么物理意义呢,为什么就能度量两个随机变量之间之间相关性了呢?这里带着大家,结合随机变量取值图像来实际理解这个公式,从此以后不再是死记硬背,而是通熟易懂...

    在概率论中学到的二维随机变量的协方差公式到底对应什么物理意义呢,为什么就能度量两个随机变量之间之间相关性了呢?这里带着大家,结合随机变量取值图像来实际理解这个公式,从此以后不再是死记硬背,而是通熟易懂的理解了它的实际意义我们就能更好地使用它,这个在统计学,机器学习等方面都有运用。文章简短,一看就会!!!

    先上公式:

    协方差:Cov(X,Y) = E[(X-E[X]) (Y-E[Y])]

    相关系数:r(X,Y) = Cov(X,Y) / ( sqrt(Var[X]) * sqrt(Var[Y] )     注:Var[X]代表随机变量X的方差

     

    从相关系数公式可以看出,相关系数公式只是把 协方差算出来的值 除以了 两个方差的开根号值,也就是相关系数跟协方差是一种正比例关系

         注:图中分别有两个随机变量X,Y,其中x1,x2.....xn 是X变量的所有取值,y1,y2.....yn 是Y变量的所有取值

    红色的线代表自己的均值,▲X代表X变量当前取值和自己均值的差,▲Y代表X变量当前取值和自己均值的差

     

    从相关这个词语的意思可以知道,如果两个变量X,Y相关性越大,那么他两的取值方式(都同时取了均值之上呢还是相反呢应该越像:如上图所示

    比如X变量当前取值x1是小于自己的均值E[X]的(▲x1 = x1-E[X] <0),同时Y当前取值y1也是小于自己的均值E[Y]的      (▲y1 = y1-E[X] <0),那我们就说X,Y当前的的取值方式一样,x1,y1两点正相关

    比如X变量当前取值x2是大于自己的均值E[X]的(▲x2 = x2-E[X] >0),同时Y当前取值y2也是大于自己的均值E[Y]的         (▲y2 = y2-E[X] >0),那我们还是说X,Y当前的取值x2,y2正相关,因为取值方式确实还是一样的,都是在均值之上。

    正相关判定性:上述两个式子等价于这个式子▲X*▲Y=(xi-E[X])* (yi-E[Y])>0

    很明显上面图中X,Y两个随机变量所有的取值应该是正相关的,因为X,Y两个随机变量取值与均值差的正负性完全相同,那么总体上肯定就是正相关。就是上下波动性相同

    既然我们知道如何判断正相关,同理,判断负相关就是,两者的取值方式是否刚好相反,

    比如上图所示:xi取值在均值下方,此时的yi在均值上方,那我们就说他们取值方式相反,即负相关

    或者 xi取值在均值上方,此时的yi在均值下方,那我们就说他们取值方式相反,也是负相关

    负相关判定性:就等价于这个式子▲X*▲Y=(xi-E[X])* (yi-E[Y])<0

    很明显上面图中X,Y两个随机变量所有的取值应该是负相关的,因为X,Y两个随机变量取值与均值差的正负性完全相反,那么总体上肯定就是负相关。也就是波动性相反

    由于随机变量X,Y可以取很多个可能的值,上面我们已经得到了每个点的正负相关性,但是我们需要分析X,Y的整体相关性,所以我们需要把他们每个点的相关性都累加起来,然后取个平均值,就可以知道X,Y的整体相关性了

    也就是:( ((x1-E[X])*y1-E[Y]) +  ((x2-E[X])*y2-E[Y]) +........((xn-E[X])*(yn-E[Y]) ) / n          (1)

    其中x1,x2.....xn 是X变量的可能取值,E[X]是X变量的均值,即E[X] = (x1+x2+...xn) / n

    其中y1,y2.....yn 是Y变量的可能取值,E[Y]是X变量的均值,即E[Y] = (y1+y2+...yn) / n

     

    根据 均值 E[Z] = (z1+z2+z3+.....zn) / n 的定义公式,上面这个公式(1)不就是 E[(X-E[X]) (Y-E[Y])] 嘛,这个就是协方差的公式呀,所以协方差就是度量了X,Y两变量的整体相关性,即X,Y取值的方式相似性,都同时取了均值之上呢还是相反呢。

    然后 Cov(X,Y) / ( sqrt(Var[X]) * sqrt(Var[Y] ),就是把协方差除以两个变量各自的方差(方差是常数),

    这样操作后,可以理解为使得相关系数就是协方差被归一化了为【0,1】之间取值了(有兴趣自己去测试一下),更便于我们进行各种计算。

     

    上面两图,如果题目给出了具体的值x1,x2...xn,y1.y2...yn,我们就可以进行计算相关系数了,

    上面第一个图因为两变量取值方式完全相同,即完全正相关,相关系数算出来肯定=1

    上面第二个图因为两变量取值方式完全相反,即完全负相关,相关系数算出来肯定=-1

    如上图所示:如果左边一部分取值负相关,右边一部分正相关,也就是左边X和Y在均值上下取刚好相反,右边部分的同时在均值之上,总体算出来,X,Y相关系数可能是0(即不相关),也可能是0.2等,也可能是-0.3等等,即相关性没那么强。

     

    总结:所以,协方差是两个变量X,Y相关性的一种度量,而相关系数就是协方差归一化的表现,

    协方差正值越大代表正相关性越强,即X,Y同时取均值之上或者之下的值更多,整体来看,X,Y上下波动性(图像走势)同向(不太严谨,但是便于通俗理解)。

    协方差负值越大代表负相关性越强,即X,Y一个取均值之上,同时另一个取均值之下的值更多(图像走势相反)。

    如果协方差为0,代表不相关,整体来看,X,Y取值方式相反的点相互抵消了,即一部分上下波动同向,一部分反向,总体就相互抵消了

    因此,相关性就是度量了X,Y两变量的整体相关性,即X,Y取值的方式相似性,都同时取了均值之上呢还是相反呢。大概理解上来说,就是指随机变量X,Y取值的上下波动方向性(走势)相同的程度

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  • 戳这里:概率论思维导图 !!! 数学期望 离散型随机变量的数学期望 (这里要求级数绝对收敛,若不绝对收敛,...二维随机变量的数学期望 (1)设(X,Y)是离散型随机变量,联合分布率为: 若绝对收敛,则Z=g(X,Y...

    戳这里:概率论思维导图 !!!

    数学期望


    离散型随机变量的数学期望

    E(X)=\sum_{i}x_{i}p_{i}(这里要求级数\sum_{i}x_{i}p_{i}绝对收敛,若\sum_{i}x_{i}p_{i}不绝对收敛,则E(X)不存在)

    如果有\sum_{i}g(x_{i})p_{i}绝对收敛,则有

    E(g(X))=\sum_{i}g(x_{i})p_{i},其中p_{i}=P\begin{Bmatrix} X=x_{i} \end{Bmatrix},i=1,2,3...

    连续型随机变量的数学期望

    E(X)=\int_{-\infty }^{+\infty}xf(x,y)dx(这里要求\int_{-\infty }^{+\infty}xf(x,y)dx绝对收敛)

    对于连续型随机变量的函数g(X),有如下结论:

    若积分\int_{-\infty }^{+\infty}\begin{vmatrix} g(x) \end{vmatrix}f(x,y)dx收敛,则

    E(g(X))=\int_{-\infty }^{+\infty}g(x)f(x)dx

    二维随机变量的数学期望

    (1)设(X,Y)是离散型随机变量,联合分布率为:P\begin{Bmatrix} X=x_{i},Y=y_{i} \end{Bmatrix}=p_{ij}(i,j=1,2,3...)

    \sum_{i}\sum_{j}g(x_{i},y_{j})p_{ij}绝对收敛,则Z=g(X,Y)的数学期望存在,且有

    E(Z)=E(g(X,Y))=\sum_{i}\sum_{j}g(x_{i},y_{j})p_{ij}

    (2)设(X,Y)为连续型随机变量,联合概率密度函数为f(x,y),若\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛,则Z=g(X,Y)的数学期望存在,且有

    E(Z)=E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy

    特别,

    E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}x\begin{bmatrix} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \end{bmatrix}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{X}(x)dx

    E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}y\begin{bmatrix} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx \end{bmatrix}dy=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_{Y}(y)dy

    数学期望的性质

    (1)设C为常数,则E(C)=C

    (2)设C为常数,则E(CX)=CE(X)

    (3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)

    推论E(\sum_{i=1}^{n}X_{i})=\sum_{i=1}^{n}E(X_{i})

    (4)设随机变量X和Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)

     

    方差


    设X为离散型随机变量,分布律为P\begin{Bmatrix} X=x_{i} \end{Bmatrix}=p_{i},i=1,2,...,则

    D(X)=\sum_{i}(x_{i}-E(X))^{2}p_{i}

    设X为连续型随机变量,概率密度函数为f(x),则

    D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^{2}f(x)dx

    方差的性质

    (1)D(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)

    (2)设C为常数,则D(C)=0

    (3)设C为常数,则D(CX)=C^{2}D(X)

    (4)设X,Y相互独立,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)

    推论:设X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}相互独立,则

    D(\sum_{i=1}^{n}X_{i})=\sum^{n}_{i=1}D(X_{i})

     

    协方差和相关系数


    协方差(刻画X与Y之间的相互关系):Cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))

    相关系数(标准协方差)\rho _{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}

    E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)

    D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

    Cov(X,X)=D(X)

    若Cov(X,Y)=0,则称X与Y不相关。

    当X与Y相互独立时,X与Y不相关。但是,当X与Y不相关时,未必有X与Y相互独立。

    协方差与相关系数的性质:

    (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

    (2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)

    (3)Cov(X_{1}+X_{2},Y)=Cov(X_{1},Y)+Cov(X_{2},Y)

    (4)\begin{vmatrix} \rho_{XY} \end{vmatrix}\leqslant 1

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  • 二维正态分布中,参数ρ\rhoρ被定义为随机变量X,YX,YX,Y的相关系数,即ρ=r(x,y)\rho=r(x,y)ρ=r(x,y)。由 r(x,y)=Cov(x,y)Var[x]Var[y]Cov(x,y)=E[XY]−E[X]E[Y] r(x,y)=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt{Var[x]Var[y]}} \...

    在二维正态分布中,参数ρ\rho被定义为随机变量X,YX,Y的相关系数,即ρ=r(x,y)\rho=r(x,y)。由

    r(x,y)=Cov(x,y)Var[x]Var[y]Cov(x,y)=E[XY]E[X]E[Y] r(x,y)=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt{Var[x]Var[y]}} \\ Cov(x,y)=E[XY]-E[X]E[Y]

    即可证明。由于E[XY]E[XY]的求解较为繁琐,本文记录此过程。

    假设随机变量(X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho),求E[XY]E[XY]

    解:

    E[XY]=dxxy2πσ1σ21ρ2exp{12(1ρ2)((xμ1)2σ122ρ(xμ1)(yμ2)σ1σ2+(yμ2)2σ22)}dy=12πσ1σ21ρ2xexp{12(1ρ2)((xμ12)σ12)}dxyexp{12(1ρ2)(2ρ(xμ1)(yμ2)σ1σ2+(yμ2)2σ22)}dy \begin{aligned} E[XY]&=\int_{-\infty}^\infty { \text dx\int_{-\infty}^\infty { \frac{xy} { 2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2} } \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left( \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right) \right\} \text dy } } \\ &=\frac{1} { 2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2} } \int_{-\infty}^\infty { x \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left(\frac{(x-\mu_1^2)}{\sigma_1^2}\right) \right\} \text dx\int_{-\infty}^\infty { y \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left( -2\rho\frac {(x-\mu_1)(y-\mu_2)} {\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right) \right\} \text dy } } \end{aligned}

    作代换xσ1x+μ1,yσ2y+μ2x\rightarrow\sigma_1x+\mu_1,y\rightarrow\sigma_2y+\mu_2,则

    E[XY]=12π1ρ2(σ1x+μ1)exp{12(1ρ2)x2}dx(σ2y+μ2)exp{12(1ρ2)(2ρxy+y2)}dy \begin{aligned} E[XY]&=\frac{1} { 2\pi\sqrt{1-\rho^2} } \int_{-\infty}^\infty { (\sigma_1x+\mu_1) \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}x^2 \right\} \text dx\int_{-\infty}^\infty { (\sigma_2y+\mu_2) \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left( -2\rho xy+y^2 \right) \right\} \text dy } } \end{aligned}

    由于

    exp(x2+2kxl2)dx=exp[(xk)2+k2l2]dx=expk2l2exp(u2l2)du=lexpk2l2exp(v2)dv=lexpk2l2πxexp(x2+2kxl2)dx=xexp[(xk)2+k2l2]dx=expk2l2(u+k)exp(u2l2)du=expk2l2l(vl+k)exp(v2)dv=klexpk2l2π \begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty { \exp \left( \frac{-x^2+2kx}{l^2} \right) \text dx } &= \int_{-\infty}^\infty { \exp \left[ \frac{-(x-k)^2+k^2}{l^2} \right] \text dx } \\ &= \exp\frac{k^2}{l^2} \int_{-\infty}^\infty { \exp \left( -\frac{u^2}{l^2} \right) \text du } \\ &= l\exp\frac{k^2}{l^2} \int_{-\infty}^\infty { \exp \left( -v^2 \right) \text dv } \\ &= l\exp\frac{k^2}{l^2}\sqrt{\pi} \\ \int_{-\infty}^\infty { x\exp \left( \frac{-x^2+2kx}{l^2} \right) \text dx } &= \int_{-\infty}^\infty { x\exp \left[ \frac{-(x-k)^2+k^2}{l^2} \right]\text dx } \\ &= \exp\frac{k^2}{l^2} \int_{-\infty}^\infty { (u+k)\exp(-\frac{u^2}{l^2})\text du } \\ &= \exp\frac{k^2}{l^2}l \int_{-\infty}^\infty { (vl+k)\exp(-v^2)\text dv } \\ &= kl\exp\frac{k^2}{l^2}\sqrt{\pi} \end{aligned}

    因此

    E[XY]=12π(σ1x+μ1)(σ2ρx+μ2)exp{x22}dx=μ1μ2+ρσ1σ2 \begin{aligned} E[XY]&=\frac{1} { \sqrt{2\pi} } \int_{-\infty}^\infty { (\sigma_1x+\mu_1)(\sigma_2\rho x+\mu_2) \exp \left\{ -\frac{x^2}{2} \right\} \text dx } \\ &= \mu_1\mu_2+\rho\sigma_1\sigma_2 \end{aligned}

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  • 切比雪夫不等式二、二维随机变量的数字特征1. 数学期望2. 协方差与相关系数(1)概念(2) 性质三、独立性与相关性的判定 一、一维随机变量的数字特征 1. 数学期望 (1)概念定义 如果 XXX 是离散型随机变量,其...
  • 二:二维随机变量的数字特征 1.数学期望 2.协方差与相关系数 2.1 概念 2.2 性质 3.独立性与相关性的判定 3.1 用分布判定独立性 3.2 用数字特征判定相关性 ...
  • 相关系数与余弦距离

    2019-09-15 13:24:48
    相关系数 协方差是描述二维随机变量两个分量间相互关联程度的一个特征数,如果将协方差相应标准化变量就得到相关系数。 余弦相似度 两个公式一样,其实在数学上是等价的。 转载于:https...
  • 协方差与相关系数介绍

    千次阅读 2020-07-14 10:39:06
    1. 介绍协方差、相关系数定义和性质,并给予证明 2. 针对二维正态随机变量(X,Y),证明变量X,Y不相关与X,Y相互独立是等价的
  • 协方差与相关系数

    2019-09-27 07:23:48
    二维随机变量(X,Y),X与Y之间的协方差定义为: Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 其中:E(X)为分量X的期望,E(Y)为分量Y的期望 协方差Cov(X,Y)是描述随机变量相互关联程度的一个特征数。从协方差的定义可以看出...
  • python3随笔-相关系数

    2019-04-10 09:40:15
    输出结果是一个相关系数矩阵, results[i][j]表示第i个随机变量与第j个随机变量相关系数. np.corrcoef是求两条数据(或者是两个list)之间的相关系数(coefficient) 所以就是求了这两列数的相关系数,结果为一个...
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  • 对于二维随机变量 $(X,Y)$ ,我们除了讨论 $X$ 与 $Y$ 的数学期望和方差除外, 还需要讨论描述$X$ 与 $Y$ 之间相互关系的数字特征。 在《数字特征:方差》方差性质3的证明中,我们已经看到, 如果两个随机变量$X$...
  • 二维随机变量(X,Y),X与Y之间的协方差定义为: Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 其中:E(X)为分量X的期望,E(Y)为分量Y的期望 协方差Cov(X,Y)是描述随机变量相互关联程度的一个特征数,协方差代表了两个变量之间...
  • 协方差与相关系数(标准协方差)

    千次阅读 2018-11-12 09:42:57
    设(X,Y)(X,Y)(X,Y)是二维随机变量,若:E[X−E(X)][Y−E(Y)]E[X-E(X)][Y-E(Y)]E[X−E(X)][Y−E(Y)]存在,则称它为随机变量XXX与YYY的协方差,记为cov(X,Y)cov(X,Y)cov(X,Y),有cov(X,Y)=E[X−E(X)][Y−E(Y)]=E(XY)−...
  • 原文地址:https://blog.csdn.net/wanz2/article/details/53036543笔者在...1. 概率论中的标准化、协方差、相关系数和协方差矩阵概念1.1 随机变量的部分数字特征  假设有二维随机向量(X,Y)(X,Y)数字特征意义描述E(...
  • 对于二维随机变量,相关系数的一个矩估计,也是样本相关系数为 提出假设:  H0:总体A的相关系数ρ=0(也就是说假设总体上文盲率和预期寿命没有相关关系)  H1:总体A的相关系数ρ≠0(也就是说总体上文盲率和...
  • gailv论

    2019-03-13 09:08:40
    第六课-二维随机变量的独立性、二维随机变量的函数.mp4 第七课-期望与方差.mp4 第八课-协方差相关系数、切比雪夫不等式、中心极限定理.mp4 第九课-数理统计基础.mp4 第十课-矩估计.mp4 第十一课-最大似然估计量.mp4...
  • 百度网盘下载第一课-事件的概率.mp4第二课-一维随机变量.mp4第三课-一维随机变量函数.mp4第四课-五种常见分布.mp4第五课-二维随机变量.mp4第六课-二维随机变量的独立性、二维随机变量的函数.mp4第七课-期望与方差....
  • 第一章 概率论的基本概念 随机试验 样本...第三章 多维随机变量及其分布 二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量 两个随机变量的函数的分布 第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差及相关系数...
  • 1.常见分布的期望与方差 2.二维随机变量的数字特征: 相关系数: 协方差矩阵及性质 转载于:https://www.cnblogs.com/hyacinthwyd/p/8989486.html
  • 最后以S变换谱的时间和频率构成一个二维随机变量,以整数矩阵中的元素值作为二维随机变量各个采样样本的个数,对二维随机变量进行核密度估计,并最终得到一个二维核密度函数。该核密度函数相当于由S变换谱经过一次...
  • 第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 随机变量的独立性 第五节 两个随机变量的函数的分布 第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差与相关系数 第四节 矩...
  • 概率论部分的主要内容有:随机事件及其概率,一维随机变量及其分布,二维随机变量及其分布,随机变量的数字特征等. 本书可作为函授、远程等成人业余高等教育(工科)的教学用书,也可作为工科院校工程数学的参考用书...
  • 概率统计2

    2019-10-19 10:03:06
    3.2.2二维正态分布 3.3条件分布 3.4相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布 3.5.1 Z=X+Y的分布 4 随机变量的数学特征 4.1数学期望(均值) 4.2方差 4.3协方差及相关系数 4.4矩、...
  • 本文在固定装药密度和通道横截面积的条件下,基于爆炸间隙零门工作机理,将可靠性窗口的两个端点设为二维随机变量,建立了端点阈值的联合分布概率模型.为了分析二维随机变量之间的相关性,本文基于二维联合Logistic...
  • 维随机变量及其分布:离散型与连续型随机变量(分布函数、概率密度等)。 随机变量的数字特征:数学期望、方差、协方差与相关系数。 大数定理和中心极限定理。 样本及抽样分布:样本的分布函数、直方图、样本.....

空空如也

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二维随机变量相关系数