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  • 文章目录一、为什么是二维随机变量二、二维随机变量的分布函数2.1 二维随机变量分布函数的性质2.2 二维随机变量边缘分布函数三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法 一、为什么是二维随机变量 还记得我们...

    一、为什么是二维随机变量

    还记得我们在 Chapter2Chapter 2 里面讨论的都是一维随机变量嘛,但是假如我们举一个例子:

    1. 比如我们要统计人群的身高分布,那容易啊,直接统计一个变量——身高 X 即可
    2. 但是,如果我们要统计的是人群的身材,那你不可能只用身高来衡量,我们需要两个变量——身高 X 和体重 Y。因此,这就是二维随机变量的引入。

    我们一般使用 (X, Y)来表示。可以说是一个向量。

    二、二维随机变量的分布函数

    我们先来看看定义:F(x,y)=P{Xx,Yy} F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\}

    它的意思是由 Xx,YyX ≤x, Y ≤y 所构成的蓝色区域所对应的立体密度函数的体积!!

    这句话怎么理解呢?这得回到一维去,因为我们在一维随机变量里面,F(x)=P{Xx}F(x) = P\{X≤x\}表示的是 XxX≤x 所对应的平面密度函数的面积。那么扩展到二维,它的密度函数是 f(x,y)f(x,y) ,是一个立体的函数,那么对应的自然就是体积了。

    2.1 二维随机变量分布函数的性质

    【1】 0F(x,y)10 ≤ F(x, y) ≤1这个好理解,概率一定小于等于1 .
    【2】F(x,y)F(x, y) 是关于 x 或 y 的不减函数
    【3】F(,y)=0;F(x,)=0;F(,)=0,F(+,+)=1F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0; F(-∞, -∞) = 0, F(+∞, +∞) = 1
    如果我们把二维随机变量的概率密度函数想象成立体草帽,那么在任何一个变量是 -∞ 的时候,还没能切到草帽,所以体积一定是0.

    【4】F(x,y)F(x, y) 分别关于 x, y右连续
    【5】P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)P\{x_1 < X ≤ x_2, y_1 <Y ≤ y_2\} = F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1)

    2.2 二维随机变量的边缘分布函数

    上面我们讲过的:F(x,y)=P{Xx,Yy}F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} 它叫做联合分布函数。下面我们来看看边缘分布函数,其实也好理解:
    FX(x)=P{Xx,Y<+}F_X(x) = P\{X ≤ x, Y< +∞\} 这叫做 X 的边缘分布函数,它的意思是令 X 小于等于 x, y 爱咋地咋地,不限制。同理 FY(y)=P{X<+,Y<y}F_Y(y) = P\{X < +∞, Y < y\}, 这叫做 Y 的边缘分布函数。

    三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法

    这一节只需要一个例子就可以解释明白:我们以下面的表为例:

    X\Y 1 2 3
    1 0 12\frac{1}{2} 18\frac{1}{8}
    2 18\frac{1}{8} 18\frac{1}{8} 18\frac{1}{8}

    这是一个二维离散型随机变量的联合分布表,里面具体的概率值就用我们之前学过的办法计算。

    下面看看如何计算联合分布函数:
    假设要计算:F(1.2,1)F(1.2, 1),那么就是:P{X1.2,Y1)P\{X ≤1.2, Y≤ 1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F(1.2,1)=0F(1.2, 1) = 0

    如果计算 F(2.4,2.1)F(2.4, 2.1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F(2.4,2.1)=0+12+18+18=34F(2.4, 2.1) = 0+\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{4}

    其他情况类似。

    那么,如何计算边缘分布呢?首先我们看看计算 X 的边缘分布:
    在这里插入图片描述
    我们把 每一个 X 所在的行分别相加,就可以得到 X 的边缘分布。如下表:

    X 1 2
    P 58\frac{5}{8} 38\frac{3}{8}

    Y 的边缘分布的计算类似。
    在这里插入图片描述

    最后提几个要点:

    1. 有了联合分布就可以唯一地确定边缘分布。
    2. 但是有了边缘分布并不能唯一地确定联合分布(除了 X, Y 独立的时候)

    四、二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数和边缘分布

    4.1 联合密度函数和联合分布函数

    分布函数的定义还是一样的:F(x,y)=P{Xx,Yy} F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\}
    它的意义我们在前面讨论过了,既然是体积,那么就会涉及到二重积分。我们先回顾一下二重积分的几何意义:

    f(x,y)0f(x, y) ≥ 0 时,Df(x,y)dσ\iint_Df(x,y)dσ 是以区域 D 为底,f(x,y)f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。

    因此,我们就可以通过二重积分计算分布函数:F(x,y)=xyf(s,t)dsdt F(x,y) = \int_{-∞}^{x}\int_{-∞}^{y}f(s,t)dsdt
    下面我们给出几个性质:
    【1】f(x,y)>0f(x,y) >0
    【2】++f(s,t)dsdt=1\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt = 1
    【3】f(x,y)=2F(x,y)xyf(x,y) = \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial {x} \partial {y}}(这时计算联合密度函数的好办法!)
    【4】如果题目给出来一个区域 GG,它是 X, Y 平面的一个区域。那么,我们有:P{(x,y)G}=Gf(x,y)dxdy P\{(x, y)∈G\} = \iint_{G}f(x,y)dxdy
    它也就是把 G 区域沿着 Z 轴拉伸,和 f(x,y)f(x,y) 包围起来的那一部分体积

    4.2 边缘密度函数

    我们先定义一下边缘分布函数:FX(x)=F(x,+)=x+f(s,t)dsdtFY(y)=F(+,y)=y+f(s,t)dsdt F_X(x) = F(x, +∞) = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt\\ \quad\\ F_Y(y) = F(+∞, y) = \int_{-∞}^y\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt

    当然,通过联合分布函数 F(x,y)F(x,y) 也可以计算处边缘分布:FX(x)=limy+F(x,y)FY(y)=limx+F(x,y) F_X(x) = \lim_{y\to +∞}F(x, y)\\ \quad\\ F_Y(y) = \lim_{x\to +∞}F(x,y)
    那么,如果要计算 X 的边缘密度函数,我们就对 FX(x)F_X(x) 求导:fX(x)=FX(x)=+f(x,y)dyfY(y)=FY(y)=+f(x,y)dx f_X(x) = F_X'(x) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy\\ \quad\\ f_Y(y) = F_Y'(y) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dx
    简而言之,要计算 fX(x)f_X(x),可以在无穷范围内 f(x,y)f(x,y)yy 积分。要计算 fY(y)f_Y(y),可以在无穷范围内 f(x,y)f(x,y)xx 积分。

    当我们说到这儿的时候,其实给出一道题做,套公式写出来没有任何问题。但是,真正的意义你理解了吗?下面我们看一个例子,博主打算用公式法+画图理解法剖析边缘密度函数的意义:

    已知(X, Y)在椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 所围成的区域上服从均匀分布。其联合密度函数为:φ(x,y)={1πabx2a2+y2b210else φ(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{πab}\quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} ≤1\\ 0\quad else\\ \end{cases}
    求 X ,Y 的边缘密度函数 φX(x),φY(y)φ_X(x), φ_Y(y)

    首先,抛开问题本身,我们一般假设概率密度函数 f(x,y)f(x,y) 就是一个草帽状函数,那么问一个问题:联合分布函数 F(x,y)F(x,y)的意义是什么?—— 根据定义思考一下:F(x,y)=P{Xx,Yy}=xyf(u,v)dudvF(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^yf(u, v)dudv。下面我们看一张图理解一下:

    具体一个 F(x0,y0)F(x_0, y_0)的意义就是分别用 x=x0x = x_0y=y0y = y_0 这两把刀,去切割草帽,里面那部分的体积!

    那么,边缘密度函数呢?如果我们还是以 fX(x0)f_X(x_0)为例?

    既然是 fX(x0)f_X(x_0) ,那么也就意味着只用 x=x0x = x_0 这一把刀去切割草帽,我们发现,切割草帽的时候会得到一个切割线,如上图所示。那么 fX(x0)f_X(x_0) 的意义就是这个切割线与 yy 轴所围成的面积!

    那么,如果我们把这样的分析具体化到这道题目上,本题的分布密度函数如下图左图所示。那么一样的道理,如果考虑 fX(x0)f_X(x_0),就是只用 x=x0x = x_0这一把刀去切割分布密度函数图,如果这把刀能够切割到函数体,那么自然就会产生一个切痕,所以就是切痕曲线与 yy 轴所围成的面积!

    很显然,我们发现:这个分布密度函数在中间那个椭圆区域才有值,其他地方都是0.

    现在,我们首先计算 φX(x)φ_X(x),很自然地,我们发现,如果 x=x0x = x_0 这把刀放的太前(xax ≥a)或者太后(xax ≤ -a)我们都无法切到这个函数体,自然就没有切痕。那么 φX(x)φ_X(x) 就会等于 0.即:φX(x)=0if xa φ_X(x) = 0\quad if\space |x| ≥ a

    下面考虑能切到的时候,即 x<a|x| < a,那么刀刃的线如上面左图加粗的地方,切割线也是一样的。然后我们就是要计算切痕与 yy 轴所围成的面积(如上面的右图所示)

    但是我们又发现,这个切痕也是在 yy 处于一定范围的时候才有值,其他时候为0. yy 的范围我们可以通过椭圆的方程很容易求出来,就等于:±b1x2a2 ±b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
    这个面积还不好求?就是一个矩形的面积罢了对吧!所以我们得到:φX(x)=1πab2b1x2a2=2πa1x2a2if x<a φ_X(x) = \frac{1}{πab}2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} =\frac{2}{πa}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \quad if \space |x| < a

    φY(y)φ_Y(y) 的理解方法完全类似。式子的意义理解了,带公式解题也有了底气哈哈!

    关于计算边缘分布密度的注记

    在计算边缘分布密度的时候,积分的区间仍然是一个大坑。这里,博主总结了一个避坑方法:
    在给出的联合分布密度函数中,x ,y 的范围有了的时候,我们一定要把这个 x, y 范围所表示的区域画出来,只要把这个区域画出来了,我们在后面对 x 或者 y 积分的时候,它们各自的积分区间一目了然,就不会搞错了。

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  • 概率论知识回顾(十) 重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数 二维连续随机变量的分布函数怎么表示? 分布函数有什么性质? 二维连续随机变量边缘分布...

    概率论知识回顾(十)

    重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数

    知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:

    1. 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
    2. 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
    3. 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。

    知识回顾

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
    2. 分布函数有什么性质?
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
    5. 联合密度函数有什么性质?
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?

    知识解答

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
      • 对于二维连续随机变量 (X,Y)(X,Y) 来说,函数 F(x,y)F(x, y) 表示 F(x,y)=P{Xx,Yy}F(x, y) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y \le y\end{Bmatrix} 我们就称 F(x,y)F(x,y) 为 二维连续随机变量 (X,Y)(X, Y) 的分布函数。
    2. 分布函数有什么性质?
      • 对每个自变量单调不减
        • 对任意固定 x, 当 y1&lt;y2y_1 &lt; y_2, 有 F(x,y1)F(x,y2)F(x, y_1) \le F(x, y_2)
        • 对任意固定 y, 当 x1&lt;x2x_1 &lt; x_2, 有 F(x1,y)F(x2,y)F(x_1, y) \le F(x_2, y)
      • 对每个自变量右连续
        • 对任意固定 x, F(x,y0+0)=F(x,y0)F(x, y_0 + 0) = F(x, y_0)
        • 对任意固定 y, F(x0+0,y)=F(x0,y)F(x_0 + 0, y) = F(x_0, y)
      • {F(,)=0F(x,)=0xRF(,y)=0yRF(+,+)=1\begin{cases} F(-\infty, -\infty) = 0 \\ F(x, -\infty) = 0 &amp;\forall x \in R \\ F(-\infty , y) = 0 &amp; \forall y \in R \\ F(+\infty, +\infty) = 1\end{cases}
      • 对任意 x1&lt;x2,y1&lt;y2x_1 &lt; x_2, y_1 &lt; y_2 都有 : P{x1&lt;Xx2,y1&lt;Yy2}=F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)0P\begin{Bmatrix} x_1&lt;X\le x_2, y_1&lt;Y \le y_2 \end{Bmatrix} = F(x_2, y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1) \ge 0
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
      • 二维连续随机变量的边缘分布和离散随机变量的边缘分布类似,都是其组成的单个随机变量的分布律。
      • FX(x)=P{Xx,Y&lt;+}=F(x,+)F_X(x) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y &lt; + \infty \end{Bmatrix}=F(x, +\infty) 表示 二维连续随机变量 (X,Y)(X, Y) 关于 XX 的边缘分布律。从公式来看其实就是排除 Y 之后,只看 x 的分布。
      • 同理 FY=F(+,y)F_Y = F(+ \infty, y)
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
      • 如果对于随机变量 (X,Y)(X, Y) 的分布函数 F(x,y)F(x, y) 的任意取值都有一个非负可积的函数 f(x,y)f(x, y) 使得 F(x)=yxf(u,v)dudvF(x) = \int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^xf(u, v)dudv 。 就称 f(x,y)f(x, y) 为二维随机变量 (X,Y)(X, Y) 的联合密度函数。
    5. 联合密度函数有什么性质?
      • f(x,y)0f(x, y) \ge 0
      • ++f(x,y)dxdy=1\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dxdy = 1
      • 如果 f(x,y)f(x, y)(x,y)(x, y) 处连续,则有 2F(x,y)xy=f(x,y)\frac{\partial^2F(x, y)}{\partial x \partial y} = f(x, y)
      • 对于任何平面区域 GG, 都有 P{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdyP\begin{Bmatrix}(X, Y) \in G\end{Bmatrix} = \iint_Gf(x, y)dxdy
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
      • SG=AS_G = A ,若密度函数 f(x,y)={1A,(x,y)G0,elsef(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{A}, &amp; (x, y) \in G \\ 0, &amp; else \end{cases} 则称为均匀分布。
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?
      • f(x,y)=12πσ1σ21ρ2e12(1ρ2)[(xμ1)2σ122ρ(xμ1)(yμ2)σ1σ2+(yμ2)2σ22]f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho \frac{(x-\mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]}
      • 其中: σ1&gt;0,σ2&gt;0,ρ&lt;1\sigma_1 &gt; 0, \sigma_2 &gt; 0, |\rho| &lt; 1
      • 记作 (X,Y)N(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)(X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho)
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  • 二维随机变量的分布函数: (1)F(X,Y)=P{X<=x,Y<=y}。叫做联合分布函数(由X,Y共同控制),类似于在X=x,Y=y的两个平面上共同截一刀剩余的体积 注意到红框部分是<而不是<=,就如同中一样必须是虚线...

    以下均适用于离散型随机变量和连续型随机变量

    多维随机变量:身材(身高、体重),三维(胸围、腰围、臀围)

    二维随机变量:E是一个随机试验,Ω是该实验的样本空间,X,Y是同一个样本空间的样本变量。(X,Y)就是二维随机向量或二维随机变量

    二维随机变量的分布函数

    (1)F(X,Y)=P{X<=x,Y<=y}。叫做联合分布函数(由X,Y共同控制),类似于在X=x,Y=y的两个平面上共同截一刀剩余的体积

    注意到红框部分是<而不是<=,就如同中一样必须是虚线而不能是实线,因为在计算的过程中把实线剪掉了

    (2)边缘分布(由X控制或由Y控制),类似于在X=x或Y=y的两个平面上各自截一刀剩余的体积


    离散型随机变量的联合分布和边缘分布


    连续型随机变量的联合密度和边缘密度

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  • n维随机变量的分布函数和独立性

    千次阅读 2019-08-11 20:14:32
    对于n维度空间中的点,若是n维随机变量,也就说记录的每一个字段都是随机变量,然后组成一个由随机变量组成的向量,称为随机向量 ,它的分布函数定义为 , 若 非负可积函数实值函数使得 那么称为随机向量,概率密度...

    对于n维度空间中的点\small A(X_1,X_2,...,X_n),若是n维随机变量,也就说记录的每一个字段都是随机变量,然后组成一个由随机变量组成的向量,称为随机向量   ,它的分布函数定义为   

    \small F(x_1,x_2,...,x_n)=P\{X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,...,X_n\leq x_n\},\small x_1,x_2,...,x_n\epsilon R

    若  非负可积函数 \small f(x_1,x_2,...,x_n)实值函数使得    \small F(x_1,x_2,...,x_n)=\int _{-\infty}^{x_n}\int _{-\infty}^{x_{n-1}}...\int _{-\infty}^{x_{1}}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_{2}...dx_{n}  那么 \small f(x_1,x_2,...,x_n) 称为随机向量\small \overrightarrow{A},概率密度函数。

    有了分布函数,不难表示出随机变量的  \small k (k=1,2,3,...,n)   维边缘分布  

    \small F_{X_1}(x_1)=F(x_1,\infty ,\infty ,...,\infty )=\int_{-\infty}^{x_1} \int _{-\infty}^{+\infty}\int _{-\infty}^{+\infty}...\int _{-\infty}^{+\infty}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_2dx_3...dx_ndx_1

    \small \small F_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=F(x_1,x_2 ,\infty,\infty ,...,\infty )等等。

    相应的边缘密度可以表示为

    \small f_{X_{1}}(x_1)=\int _{-\infty}^{+\infty}\int _{-\infty}^{+\infty}...\int _{-\infty}^{+\infty}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_2dx_3...dx_n

    \small f_{X_{1}}_{X_2}(x_1,x_2)=\int _{-\infty}^{+\infty}\int _{-\infty}^{+\infty}...\int _{-\infty}^{+\infty}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_3dx_4...dx_n

    发现规律:要求某一个维度或者几个维度上的边缘分布,只需要对不包含该一个或者几个维度的其他维度在\small [-\infty,+\infty]上积分即可。

    类似的可以写出边缘密度函数:

    \small F(x_1,x_2,...,x_n)=F_{X_1}(x_1)F_{X_2}(x_1)...F_{X_1}(x_n)那么是随机变量\small X_1,X_2,...,X_n 是独立的。

    这意思,如果n维随机变量的分布等于各个维度的边缘分布的乘积,那么这n个随机变量是独立的。

    若有随机两个随机向量\small \overrightarrow{X}=(X_1,X_2,...,X_m) ,\overrightarrow{Y}=(Y_1,Y_2,...,Y_m) ,满足

    \small F(x_1,x_2,...,x_m;y_1,y_2,...,y_n)=F_{X}(x_1,x_2,...,x_m)F_{Y}(y_1,y_2,...,y_n)

    其中F是随机向量\small (\overrightarrow{X},\overrightarrow{Y}) 的分布函数 ,那么这两个随机向量(两个多维随机变量;两组随机变量),独立的!

    这是两个向量组成二维随机变量。实际上单行矩阵拼接成的 增广矩阵!

    如果有\small \overrightarrow{X}=(X_1,X_2,...,X_m) ,\overrightarrow{Y}=(Y_1,Y_2,...,Y_m) , 两个随机向量是独立的,那么对于\small X_i,Y_j \\(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)  都是独立的。又有h,g 两个连续函数,那么随机变量的函数\small h(X_1,X_2,...,X_n)=h(\overrightarrow{X}),g(Y_1,Y_2,...,Y_n)=g(\overrightarrow{Y})也是随机变量且是独立的。

    显然任何的多元初等函数,都可以充当函数h,g            因为他们是连续的。 

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    千次阅读 多人点赞 2019-06-19 23:16:00
    概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也... - 概率密度 边缘概率密度 条件概率密度 独立性 需要有二重积分相关知识 - Z = X + Y 分布 Z = XY 分布 Z = max{X, Y} 分布
  • 在本系列前4章节,我们快速的过了一遍概率论对于一维随机变量的定义与分类。 从最原始直观的经典概率类型出发,...文章目录关于二维概率事件关于离散型二维随机变量分布律(Probability Function / Distribution Law).
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  • 二维随机变量 联合分布函数 定义 性质 边缘分布函数 联合密度 边缘密度 期望 方差
  • 一维随机变量X与二维随机变量(X,Y)(及以上)比较 二维离散型随机变量(X,Y), 联合分布 X和Y的联合概率函数为 P(X=xi,Y=yj)=piji,j=1,2,... P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij} \quad i,j=1,2,... P(X=xi​,Y=yj​)=...
  • 简单介绍一元多元随机变量的内容 一下所有的内容都是对应到这个来写的。 这是我的问题,也是学习概率论之后应该掌握的问题。 一维的 为什么要引进随机变量?...多维随机变量分布函数和一维随机变量分布函数之...
  • 联合分布函数 边缘分布函数
  • 分布函数pmf 定义 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\}F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}叫做X和Y的联合分布。 左图为定义域,右图为概率值: 性质 0≤F(x,y)≤10 \leq F(x,y) \leq 10≤F(x,y)≤1. F(x,y)F(x,y)F...
  • 第一节整理了一下常用的连续随机变量密度函数,并以一张图给出它们之间的关系。接下来回顾了计算密度函数的基本方法,最后以第一节中的 3 个密度函数的推导作为例题。1.随机变量分布及特征1.1 常用连续分布的联系...
  • 这个条件分布主要只针对二维的 一、离散型随机变量的条件分布 同理固定一个X为一个常数则可得Y的条件分布律 **注:**离散型的求在什么条件下X或Y的条件分布律,知道他们的联合分布律很重要. 1) 观察这个公式。 ...
  • $已知二维随机向量的概率密度函数,求边缘概率密度函数$ 1. 设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为: 若X和Y相互独立。 (1)填写上表空白部分;(1)填写上表空白部分;(1)填写上表空白部分; (2)求U=...
  • 二维随机变量的联合分布函数性质) (2) 求联合概率密度 对联合分布函数求二阶混合偏导数即可。 2.给出二维连续性随机变量的带参联合概率密度函数 1.利用负无穷到正无穷积分等于1求出参数 2.x的边缘概率...
  • 二维概率密度求解边缘密度

    万次阅读 多人点赞 2016-11-12 19:23:29
    二维概率密度求解边缘密度@(概率论)已知f(x,y)f(x,y),求解fX(x),fY(y)f_X(x),f_Y(y)时,用的是下面的公式:fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dyfY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dx f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \\ f_Y(y) ...
  • 二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数二维离散型随机变量的概率分布:二维随机变量的概率分布二维离散型随机变量的边缘分布:二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的条件分布:二维...
  • 二维正态分布的概率密度边缘分布(数1了解、数3掌握)三、第3章考研必做习题第3章习题:1、2、3、6、9、10、13、14、15、16、17、18、20第二节 边缘分布一、边缘分布函数二、离散型随机变量边缘分布律三、连...
  • 随机变量的独立性 两随机变量独立的定义(各种情况): 两事件A,B独立的定义:若有 P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立。 设X,Y是两个随机变量,若对任意的x,y,有 P(X≤x,Y...

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二维随机变量边缘密度函数