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  • 二维概率密度求解边缘密度

    万次阅读 多人点赞 2016-11-12 19:23:29
    二维概率密度求解边缘密度@(概率论)已知f(x,y)f(x,y),求解fX(x),fY(y)f_X(x),f_Y(y)时,用的是下面的公式:fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dyfY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dx f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \\ f_Y(y) ...

    二维概率密度求解边缘密度

    @(概率论)

    已知 f(x,y) ,求解 fX(x),fY(y) 时,用的是下面的公式:

    fX(x)=+f(x,y)dyfY(y)=+f(x,y)dx

    从形式上很容易理解。但是计算时,要非常注意的是积分范围的确定问题。

    其实在下面这篇文章中:
    http://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53125072

    已经谈到了这个要点。

    总结来说就是:求 fX(x) 时,我们对y进行积分,诚然,y是积分变元,但是x怎么取值呢?是的,我们把x当做常量处理。但是这个常量的范围不是用x的最大最小值作为边界,而是x本身是一个边界,因此,y的取值范围,或者说积分上下限是与x相关的!

    这个概念很小,但是极其重要,会左右计算问题的结果。

    举个例子:

    f(x,y)=15x2y;0<y<1,0<x<y

    fX(x) .

    分析:
    直接代入公式:

    fX(x)=+f(x,y)dy=?

    这里写图片描述

    到这里需要停顿一下,思考这个一元积分真正受到的限制是什么。之前说到用二重积分的观点思考这个问题。现在,我们抽出来看,虽然是对y积分,但是x本身是个变动的范围,因此,二者还在纠缠,是一种二维关系,因此需要锁定一个去求另外一个。

    如图,我们锁定x,画一个红线,表示当X = x时,y可以取得的上下限为:[x,1]

    从而:

    fX(x)=+f(x,y)dy=1xf(x,y)dy=5x323x52

    再求边缘概率分布时,就是简单的一元积分了。

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  • 文章目录关于连续型二维随机变量概率密度函数边缘概率密度条件概率密度独立性来做点练习题吧! 关于连续型二维随机变量 概率密度函数 如果说对于定积分 ∫f(x)dx\int f(x) dx∫f(x)dx ,它所表示的含义如果说是求...

    在上一章节聊完离散型二维随机变量,这一章节我们来到连续型随机变量。由于连续型随机变量的计算过程经常涉及积分运算,而连续型二维随机变量必然涉及到二重积分的运算。所以对于定积分不是很了解的朋友,建议先回去看看线性代数里相关章节的内容。

    关于连续型二维随机变量

    概率密度函数

    如果说对于定积分 ∫ f ( x ) d x \int f(x) dx f(x)dx ,它所表示的含义如果说是求函数面积的话。
    在这里插入图片描述

    那么对于二重积分 ∫ f ( x , y ) d x d y \int f(x, y) dx dy f(x,y)dxdy,它所表达的更多接近于求体积这样一个概念。
    在这里插入图片描述
    对于概率论来说,一维连续型随机变量的基本概念,与二维连续型随机变量的概念,很多是一样或者相似的。所以我在这里不做过多的说明,只是这里涉及到了二重积分,所以对于不明白二重积分怎么使用和运算的朋友,请参考教材或者其他有关线性代数的说明。

    概率求和

    至于说基本性质有几点是需要记住的,其中之一就是对于所有的概率事件,求和后不能大于1.

    ∫ ∫ f ( x , y ) d x d y = 1 \int \int f(x,y) dx dy = 1 f(x,y)dxdy=1

    样本概率 P { ( X , Y ) ∈ D } P \{ (X, Y) \in D \} P{(X,Y)D}
    对于样本(X, Y) 只要它属于样本集合D,那么样本的概率 P { ( X , Y ) } P \{ (X, Y)\} P{(X,Y)} 等于:

    P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P \{ (X, Y) \in D \} = \iint_{D} f(x,y) dx dy P{(X,Y)D}=Df(x,y)dxdy

    也就是,对点(X,Y)的积分。

    边缘概率密度

    这里我们从离散型的概念中引入,也就是说对于连续型的来说,它对于X轴和Y轴上的边缘概率密度,分别等于:

    f x ( X ) = ∫ f ( x , y ) d y f_x(X) = \int f(x, y) dy fx(X)=f(x,y)dy

    以及

    f y ( Y ) = ∫ f ( x , y ) d x f_y(Y) = \int f(x, y) dx fy(Y)=f(x,y)dx

    条件概率密度

    从条件概率的一般公式,可以推导出条件概率密度为:

    f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f y ( y ) f_{X | Y} (x | y) = \frac{f(x, y)}{f_y{(y)}} fXY(xy)=fy(y)f(x,y)

    以及:

    f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f x ( x ) f_{Y | X} (y | x) = \frac{f(x, y)}{f_x{(x)}} fYX(yx)=fx(x)f(x,y)

    独立性

    从离散型的独立型条件,我们也可以得出连续型的独立性条件:

    f ( x , y ) ⇋ f x ( x ) f y ( y ) f(x, y) \leftrightharpoons f_x(x) f_y(y) f(x,y)fx(x)fy(y)

    来做点练习题吧!

    设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
    f ( x , y ) = { k ( 6 − x − y ) 0 < x < 2 , 2 < y < 4 0 e l s e f(x, y) = \left\{\begin{matrix} k(6 - x -y) & 0 < x < 2, 2 < y < 4 \\ 0 & else \end{matrix}\right. f(x,y)={k(6xy)00<x<2,2<y<4else
    (1) 确定常数k
    (2) P { X < 1 , Y < 3 } P\{ X < 1, Y < 3 \} P{X<1,Y<3}
    (3)求 (X, Y) 的边缘概率密度
    (4)判断X和Y是否相互独立

    解(1)

    从题干可以得知:

    f ( x , y ) = ∬ k ( 6 − x − y ) d x d y = 1 f(x, y) = \iint k(6 - x - y) dx dy = 1 f(x,y)=k(6xy)dxdy=1

    所以,我们对上式求它的二重定积分(Double Integral Calculation),可以有:

    k ∫ 2 4 d y ∫ 0 2 ( 6 − x − y ) d x k \int_{2}^{4} dy \int_{0}^{2} (6-x-y) dx k24dy02(6xy)dx

    先对X方向求积分,于是有:

    ( 6 − y ) x − 1 2 x 2 ∣ 0 2 = 10 − 2 y (6-y)x - \frac{1}{2}x^2 \bigg|_{0}^{2} = 10 - 2y (6y)x21x202=102y

    得到关于X的定积分后,带入上面的二重积分,于是可以变成这样:

    k ∫ 2 4 ( 10 − 2 y ) d y = k ( 10 y − y 2 ) ∣ 2 4 = 8 k = 1 k \int_{2}^{4} (10 -2 y) dy = k (10y - y^2) \bigg|_2^4 = 8k = 1 k24(102y)dy=k(10yy2)24=8k=1

    于是 k = 1 / 8 k = 1/8 k=1/8

    解(2)
    把问题给出的关于X和Y的范围代入到原题干中,于是我们得到一个新的二重积分:

    P { X < 1 , Y < 3 } = 1 8 ∫ 3 2 ∫ 0 1 ( 6 − x − y ) d x d y P\{ X < 1, Y < 3 \} = \frac{1}{8} \int_3^2 \int_0^1 (6-x-y) dx dy P{X<1,Y<3}=813201(6xy)dxdy

    求解一下于是得到 3 / 8 3/8 3/8

    解(3)

    求二维连续型随机变量的边缘密度,我们直接带入公式:

    由于,X轴的边缘密度公式为:

    f x ( X ) = ∫ f ( x , y ) d y f_x(X) = \int f(x, y) dy fx(X)=f(x,y)dy

    以及Y轴方向的边缘密度公式为:

    f y ( Y ) = ∫ f ( x , y ) d x f_y(Y) = \int f(x, y) dx fy(Y)=f(x,y)dx

    再代入本题中给出的已知参数,于是我们得到:

    f x ( X ) = ∫ 2 4 f ( x , y ) d y = 1 8 ∫ 2 4 ( 6 − x − y ) d y f_x(X) = \int_2^4 f(x,y) dy = \frac{1}{8} \int_2^4 (6 - x - y) dy fx(X)=24f(x,y)dy=8124(6xy)dy
    f y ( Y ) = ∫ 0 2 f ( x , y ) d x = 1 8 ∫ 0 2 ( 6 − x − y ) d x f_y(Y) = \int_0^2 f(x,y) dx = \frac{1}{8} \int_0^2 (6 - x - y) dx fy(Y)=02f(x,y)dx=8102(6xy)dx

    分别求解一下,于是:

    f x ( X ) = 3 − x 4 f_x(X) = \frac{3-x}{4} fx(X)=43x

    f y ( Y ) = 5 − y 4 f_y(Y) = \frac{5-y}{4} fy(Y)=45y

    解(4)
    我们直接把刚才求解出来的边缘函数相乘,化简后看看是不是和原来的函数相同。发现不同,所以X和Y并不互相独立。

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  • 设 (X, Y)(X,Y) 的密度分布是 f(x, y)f(x,y), 那么 Z = X + YZ=X+Y 的分布函数是什么? 密度分布又是什么? 当 X, YX,Y 相互独立的时候,它们的密度分布这么表示? 若 X_i \sim N(\mu_i, \sigma^2)X i ​ ∼N(μ ...

    概率论知识回顾(十三)

    重点:二维连续性随机变量函数的密度函数

    知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:

    1. 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
    2. 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
    3. 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。

    知识回顾

    1. ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的密度分布是 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y), 那么 Z = X + Y Z = X + Y Z=X+Y 的分布函数是什么? 密度分布又是什么?
    2. X , Y X, Y X,Y 相互独立的时候,它们的密度分布这么表示?
    3. X i ∼ N ( μ i , σ 2 ) X_i \sim N(\mu_i, \sigma^2) XiN(μi,σ2), 且 X 1 , X 2 , ⋯ &ThinSpace; , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,,Xn 相互独立,那么 ∑ i = 1 n a i X i ∼ ? \sum_{i=1}^{n} a_iX_i \sim ? i=1naiXi?
    4. X i ∼ Γ ( α i , β ) X_i \sim \Gamma(\alpha_i, \beta) XiΓ(αi,β), 且 X 1 , X 2 , ⋯ &ThinSpace; , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,,Xn 相互独立,那么 ∑ i = 1 n X i ∼ ? \sum_{i=1}^{n} X_i \sim ? i=1nXi?
    5. Z = X Y Z = \frac{X}{Y} Z=YX 的密度函数怎么表示?相互独立情况下呢?
    6. 假设 X 1 , X 1 , ⋯ &ThinSpace; , X n X_1, X_1, \cdots, X_n X1,X1,,Xn相互独立,它们的极大值分布和极小值分布是什么?

    知识解答

    1. ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的密度分布是 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y), 那么 Z = X + Y Z = X + Y Z=X+Y 的分布函数是什么? 密度分布又是什么?

      • F Z ( z ) = P { X + Y ≤ Z } = P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ z − x f ( x , y ) d y d x \begin{aligned}F_Z(z) &amp;= P\begin{Bmatrix} X + Y \le Z \end{Bmatrix} = P\begin{Bmatrix} (X, Y) \in G \end{Bmatrix} \\ &amp;= \iint_G f(x, y) dxdy = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{z-x}f(x, y)dydx\end{aligned} FZ(z)=P{X+YZ}=P{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdy=+zxf(x,y)dydx
        • 其中G表示 x+y < z 的区域
        • 上式变量代换, y = t − x y = t-x y=tx 得: F Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ z f ( x , t − x ) d t d x F_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{z}f(x, t-x)dtdx FZ(z)=+zf(x,tx)dtdx
      • 根据分布函数 F Z ( z ) F_Z(z) FZ(z) 可知, f Z ( z ) = { ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y f_Z(z) =\begin{cases} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x, z-x)dx \\\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y, y)dy \end{cases} fZ(z)={+f(x,zx)dx+f(zy,y)dy
    2. X , Y X, Y X,Y 相互独立的时候,它们的密度分布怎么表示?

      • 如果独立,则有 f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f(x, y) = f_X(x)f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y)因此有

        f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( z − y ) f Y ( y ) d y f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)dx \\f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y)f_Y(y)dy fZ(z)=+fX(x)fY(zx)dxfZ(z)=+fX(zy)fY(y)dy

    3. X i ∼ N ( μ i , σ 2 ) X_i \sim N(\mu_i, \sigma^2) XiN(μi,σ2), 且 X 1 , X 2 , ⋯ &ThinSpace; , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,,Xn 相互独立,那么 ∑ i = 1 n a i X i ∼ ? \sum_{i=1}^{n} a_iX_i \sim ? i=1naiXi?

      • ∑ i = 1 n a i X i ∼ N ( ∑ i = 1 n a i , ∑ i = 1 n a i 2 σ 2 ) \sum_{i=1}^{n} a_iX_i \sim N(\sum_{i = 1}^{n}a_i, \sum_{i =1}^na_i^2\sigma^2) i=1naiXiN(i=1nai,i=1nai2σ2)
    4. X i ∼ Γ ( α i , β ) X_i \sim \Gamma(\alpha_i, \beta) XiΓ(αi,β), 且 X 1 , X 2 , ⋯ &ThinSpace; , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,,Xn 相互独立,那么 ∑ i = 1 n X i ∼ ? \sum_{i=1}^{n} X_i \sim ? i=1nXi?

      • ∑ i = 1 n X i ∼ Γ ( ∑ i = 1 n α i , β ) \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \Gamma(\sum_{i = 1}^{n}\alpha_i, \beta) i=1nXiΓ(i=1nαi,β)
    5. Z = X Y Z = \frac{X}{Y} Z=YX 的密度函数怎么表示?相互独立情况下呢?

      • f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∣ y ∣ f ( y z , y ) d y f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}|y|f(yz, y)dy fZ(z)=+yf(yz,y)dy
      • 独立情况下 f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∣ y ∣ f X ( y z ) f Y ( y ) d y f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}|y|f_X(yz)f_Y(y)dy fZ(z)=+yfX(yz)fY(y)dy
    6. 假设 X 1 , X 1 , ⋯ &ThinSpace; , X n X_1, X_1, \cdots, X_n X1,X1,,Xn 相互独立,它们的极大值分布和极小值分布是什么?

      • F max ⁡ ( z ) = P { max ⁡ ≤ z } = P { X 1 ≤ z , X 2 ≤ z , ⋯ &ThinSpace; , X n ≤ z } = ∏ i = 1 n F X i ( z ) \begin{aligned} F_{\max}(z) &amp;= P\begin{Bmatrix} \max \le z \end{Bmatrix} \\ &amp;= P\begin{Bmatrix} X_1 \le z, X_2 \le z, \cdots, X_n \le z\end{Bmatrix} \\ &amp;= \prod_{i=1}^{n}F_{X_i}(z) \end{aligned} Fmax(z)=P{maxz}=P{X1z,X2z,,Xnz}=i=1nFXi(z)
      • F min ⁡ ( z ) = P { min ⁡ ≤ z } = 1 − P { min ⁡ &gt; z } = 1 − P { X 1 &gt; z , X 2 &gt; z , ⋯ &ThinSpace; , X n &gt; z } = 1 − ∏ i = 1 n [ 1 − F X i ( x ) ] \begin{aligned}F_{\min}(z) &amp;= P\begin{Bmatrix} \min \le z \end{Bmatrix} \\ &amp;= 1- P\begin{Bmatrix} \min &gt; z \end{Bmatrix} \\ &amp;= 1- P\begin{Bmatrix} X_1 &gt; z, X_2 &gt; z, \cdots, X_n &gt; z \end{Bmatrix} \\ &amp;= 1- \prod_{i=1}^n[1- F_{X_i}(x)] \end{aligned} Fmin(z)=P{minz}=1P{min>z}=1P{X1>z,X2>z,,Xn>z}=1i=1n[1FXi(x)]
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  • 文章目录一、为什么是二维随机变量二、二维随机变量的分布函数2.1 二维随机变量分布函数的性质2.2 二维随机变量边缘分布函数三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法 一、为什么是二维随机变量 还记得我们...

    一、为什么是二维随机变量

    还记得我们在 C h a p t e r 2 Chapter 2 Chapter2 里面讨论的都是一维随机变量嘛,但是假如我们举一个例子:

    1. 比如我们要统计人群的身高分布,那容易啊,直接统计一个变量——身高 X 即可
    2. 但是,如果我们要统计的是人群的身材,那你不可能只用身高来衡量,我们需要两个变量——身高 X 和体重 Y。因此,这就是二维随机变量的引入。

    我们一般使用 (X, Y)来表示。可以说是一个向量。

    二、二维随机变量的分布函数

    我们先来看看定义: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy}

    它的意思是由 X ≤ x , Y ≤ y X ≤x, Y ≤y Xx,Yy 所构成的蓝色区域所对应的立体密度函数的体积!!

    这句话怎么理解呢?这得回到一维去,因为我们在一维随机变量里面, F ( x ) = P { X ≤ x } F(x) = P\{X≤x\} F(x)=P{Xx}表示的是 X ≤ x X≤x Xx 所对应的平面密度函数的面积。那么扩展到二维,它的密度函数是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ,是一个立体的函数,那么对应的自然就是体积了。

    2.1 二维随机变量分布函数的性质

    【1】 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0 ≤ F(x, y) ≤1 0F(x,y)1这个好理解,概率一定小于等于1 .
    【2】 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 是关于 x 或 y 的不减函数
    【3】 F ( − ∞ , y ) = 0 ; F ( x , − ∞ ) = 0 ; F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0; F(-∞, -∞) = 0, F(+∞, +∞) = 1 F(,y)=0;F(x,)=0;F(,)=0,F(+,+)=1
    如果我们把二维随机变量的概率密度函数想象成立体草帽,那么在任何一个变量是 -∞ 的时候,还没能切到草帽,所以体积一定是0.

    【4】 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 分别关于 x, y右连续
    【5】 P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\{x_1 < X ≤ x_2, y_1 <Y ≤ y_2\} = F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1) P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)

    2.2 二维随机变量的边缘分布函数

    上面我们讲过的: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy} 它叫做联合分布函数。下面我们来看看边缘分布函数,其实也好理解:
    F X ( x ) = P { X ≤ x , Y < + ∞ } F_X(x) = P\{X ≤ x, Y< +∞\} FX(x)=P{Xx,Y<+} 这叫做 X 的边缘分布函数,它的意思是令 X 小于等于 x, y 爱咋地咋地,不限制。同理 F Y ( y ) = P { X < + ∞ , Y < y } F_Y(y) = P\{X < +∞, Y < y\} FY(y)=P{X<+,Y<y}, 这叫做 Y 的边缘分布函数。

    三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法

    这一节只需要一个例子就可以解释明白:我们以下面的表为例:

    X\Y123
    10 1 2 \frac{1}{2} 21 1 8 \frac{1}{8} 81
    2 1 8 \frac{1}{8} 81 1 8 \frac{1}{8} 81 1 8 \frac{1}{8} 81

    这是一个二维离散型随机变量的联合分布表,里面具体的概率值就用我们之前学过的办法计算。

    下面看看如何计算联合分布函数:
    假设要计算: F ( 1.2 , 1 ) F(1.2, 1) F(1.2,1),那么就是: P { X ≤ 1.2 , Y ≤ 1 ) P\{X ≤1.2, Y≤ 1) P{X1.2,Y1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F ( 1.2 , 1 ) = 0 F(1.2, 1) = 0 F(1.2,1)=0

    如果计算 F ( 2.4 , 2.1 ) F(2.4, 2.1) F(2.4,2.1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F ( 2.4 , 2.1 ) = 0 + 1 2 + 1 8 + 1 8 = 3 4 F(2.4, 2.1) = 0+\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{4} F(2.4,2.1)=0+21+81+81=43

    其他情况类似。

    那么,如何计算边缘分布呢?首先我们看看计算 X 的边缘分布:
    在这里插入图片描述
    我们把 每一个 X 所在的行分别相加,就可以得到 X 的边缘分布。如下表:

    X12
    P 5 8 \frac{5}{8} 85 3 8 \frac{3}{8} 83

    Y 的边缘分布的计算类似。
    在这里插入图片描述

    最后提几个要点:

    1. 有了联合分布就可以唯一地确定边缘分布。
    2. 但是有了边缘分布并不能唯一地确定联合分布(除了 X, Y 独立的时候)

    四、二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数和边缘分布

    4.1 联合密度函数和联合分布函数

    分布函数的定义还是一样的: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy}
    它的意义我们在前面讨论过了,既然是体积,那么就会涉及到二重积分。我们先回顾一下二重积分的几何意义:

    f ( x , y ) ≥ 0 f(x, y) ≥ 0 f(x,y)0 时, ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_Df(x,y)dσ Df(x,y)dσ 是以区域 D 为底, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。

    因此,我们就可以通过二重积分计算分布函数: F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t F(x,y) = \int_{-∞}^{x}\int_{-∞}^{y}f(s,t)dsdt F(x,y)=xyf(s,t)dsdt
    下面我们给出几个性质:
    【1】 f ( x , y ) > 0 f(x,y) >0 f(x,y)>0
    【2】 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t = 1 \int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt = 1 ++f(s,t)dsdt=1
    【3】 f ( x , y ) = ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y f(x,y) = \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial {x} \partial {y}} f(x,y)=xy2F(x,y)(这时计算联合密度函数的好办法!)
    【4】如果题目给出来一个区域 G G G,它是 X, Y 平面的一个区域。那么,我们有: P { ( x , y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x d y P\{(x, y)∈G\} = \iint_{G}f(x,y)dxdy P{(x,y)G}=Gf(x,y)dxdy
    它也就是把 G 区域沿着 Z 轴拉伸,和 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 包围起来的那一部分体积

    4.2 边缘密度函数

    我们先定义一下边缘分布函数: F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t F_X(x) = F(x, +∞) = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt\\ \quad\\ F_Y(y) = F(+∞, y) = \int_{-∞}^y\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt FX(x)=F(x,+)=x+f(s,t)dsdtFY(y)=F(+,y)=y+f(s,t)dsdt

    当然,通过联合分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 也可以计算处边缘分布: F X ( x ) = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) F Y ( y ) = lim ⁡ x → + ∞ F ( x , y ) F_X(x) = \lim_{y\to +∞}F(x, y)\\ \quad\\ F_Y(y) = \lim_{x\to +∞}F(x,y) FX(x)=y+limF(x,y)FY(y)=x+limF(x,y)
    那么,如果要计算 X 的边缘密度函数,我们就对 F X ( x ) F_X(x) FX(x) 求导: f X ( x ) = F X ′ ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = F Y ′ ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_X(x) = F_X'(x) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy\\ \quad\\ f_Y(y) = F_Y'(y) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dx fX(x)=FX(x)=+f(x,y)dyfY(y)=FY(y)=+f(x,y)dx
    简而言之,要计算 f X ( x ) f_X(x) fX(x),可以在无穷范围内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) y y y 积分。要计算 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y),可以在无穷范围内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) x x x 积分。

    当我们说到这儿的时候,其实给出一道题做,套公式写出来没有任何问题。但是,真正的意义你理解了吗?下面我们看一个例子,博主打算用公式法+画图理解法剖析边缘密度函数的意义:

    已知(X, Y)在椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 a2x2+b2y2=1 所围成的区域上服从均匀分布。其联合密度函数为: φ ( x , y ) = { 1 π a b x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 0 e l s e φ(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{πab}\quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} ≤1\\ 0\quad else\\ \end{cases} φ(x,y)={πab1a2x2+b2y210else
    求 X ,Y 的边缘密度函数 φ X ( x ) , φ Y ( y ) φ_X(x), φ_Y(y) φX(x),φY(y)

    首先,抛开问题本身,我们一般假设概率密度函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 就是一个草帽状函数,那么问一个问题:联合分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)的意义是什么?—— 根据定义思考一下: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^yf(u, v)dudv F(x,y)=P{Xx,Yy}=xyf(u,v)dudv。下面我们看一张图理解一下:

    具体一个 F ( x 0 , y 0 ) F(x_0, y_0) F(x0,y0)的意义就是分别用 x = x 0 x = x_0 x=x0 y = y 0 y = y_0 y=y0 这两把刀,去切割草帽,里面那部分的体积!

    那么,边缘密度函数呢?如果我们还是以 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0)为例?

    既然是 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0) ,那么也就意味着只用 x = x 0 x = x_0 x=x0 这一把刀去切割草帽,我们发现,切割草帽的时候会得到一个切割线,如上图所示。那么 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0) 的意义就是这个切割线与 y y y 轴所围成的面积!

    那么,如果我们把这样的分析具体化到这道题目上,本题的分布密度函数如下图左图所示。那么一样的道理,如果考虑 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0),就是只用 x = x 0 x = x_0 x=x0这一把刀去切割分布密度函数图,如果这把刀能够切割到函数体,那么自然就会产生一个切痕,所以就是切痕曲线与 y y y 轴所围成的面积!

    很显然,我们发现:这个分布密度函数在中间那个椭圆区域才有值,其他地方都是0.

    现在,我们首先计算 φ X ( x ) φ_X(x) φX(x),很自然地,我们发现,如果 x = x 0 x = x_0 x=x0 这把刀放的太前( x ≥ a x ≥a xa)或者太后( x ≤ − a x ≤ -a xa)我们都无法切到这个函数体,自然就没有切痕。那么 φ X ( x ) φ_X(x) φX(x) 就会等于 0.即: φ X ( x ) = 0 i f   ∣ x ∣ ≥ a φ_X(x) = 0\quad if\space |x| ≥ a φX(x)=0if xa

    下面考虑能切到的时候,即 ∣ x ∣ < a |x| < a x<a,那么刀刃的线如上面左图加粗的地方,切割线也是一样的。然后我们就是要计算切痕与 y y y 轴所围成的面积(如上面的右图所示)

    但是我们又发现,这个切痕也是在 y y y 处于一定范围的时候才有值,其他时候为0. y y y 的范围我们可以通过椭圆的方程很容易求出来,就等于: ± b 1 − x 2 a 2 ±b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} ±b1a2x2
    这个面积还不好求?就是一个矩形的面积罢了对吧!所以我们得到: φ X ( x ) = 1 π a b 2 b 1 − x 2 a 2 = 2 π a 1 − x 2 a 2 i f   ∣ x ∣ < a φ_X(x) = \frac{1}{πab}2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} =\frac{2}{πa}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \quad if \space |x| < a φX(x)=πab12b1a2x2 =πa21a2x2 if x<a

    φ Y ( y ) φ_Y(y) φY(y) 的理解方法完全类似。式子的意义理解了,带公式解题也有了底气哈哈!

    关于计算边缘分布密度的注记

    在计算边缘分布密度的时候,积分的区间仍然是一个大坑。这里,博主总结了一个避坑方法:
    在给出的联合分布密度函数中,x ,y 的范围有了的时候,我们一定要把这个 x, y 范围所表示的区域画出来,只要把这个区域画出来了,我们在后面对 x 或者 y 积分的时候,它们各自的积分区间一目了然,就不会搞错了。

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