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  • 通信-随机过程系列第2篇尽管随机实验结果的意义是明确的,但...为何要引入随机变量在这些情况下,如果我们为随机实验的结果分配一个数字或一系列值,通常会更方便。例如,硬币的正面可以对应1,反面可以对应于0。...

    通信-随机过程系列第2篇

    尽管随机实验结果的意义是明确的,但这种结果往往是不利于进行数学分析的。例如,随机实验结果是硬币的正面或反面,这并不是一个方便的数学表示。

    开篇问题:如果一个喷泉每91分钟喷发一次。你随机来到哪里,逗留了20分钟。你看到它喷发的概率是多少?

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    为何要引入随机变量

    在这些情况下,如果我们为随机实验的结果分配一个数字或一系列值,通常会更方便。例如,硬币的正面可以对应1,反面可以对应于0。为随机实验的结果分配一个数字的过程,我们叫做用随机变量表达。

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    图1 抛掷硬币的结果与随机变量

    一个随机试验的样本空间为S,随机实验的结果是s,s是S中的元素,s∈S,定义一个函数X(s),其中定义域为S,值域为实数的子集,这个函数叫叫作随机变量

    图2表述了随机变量的概念。在概率与样本空间之间,添加一个随机变量,这样更有利于数学计算。

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    图2 随机变量的概念

    使用随机变量的好处是,无论随机实验潜在事件的形式如何,现在都可以根据实际值的数量来进行概率分析。随机变量可能是离散的,并且只接受有限的数值,例如在抛硬币实验中。或者,随机变量可以是连续的,并接受一系列的实数。

    举例1:抛3个硬币会得到几个正面?

    X="正面的个数" 是随机变量。可以有0个正面(如果所有硬币都是反面向上)、1个正面、2个正面或3个正面。所以样本空间={0, 1, 2, 3}。

    但现在结果的概率不再完全是相等的了。

    三个硬币可以抛出八个结果:

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    图3 抛3次硬币,H代表正面头像,T代表反面

    在图3里我们可以看到只有1个结果有三个正面,但有 3个结果有两个正面,3个结果有一个正面,和 1个结果没有正面。所以:

    • P(X=3)=1/8
    • P(X=2)=3/8
    • P(X=1)=3/8
    • P(X=0)=1/8

    举例2:2个骰子Dice的点数之和

    现在我们同时抛掷2个骰子Dice,并定义随机变量X="两个骰子点数之和".

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    图4 抛掷2个骰子的试验

    那么一共会有6×6 =36个可能的结果,见图4所示,样本空间S是{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12};

    我们可以数一数样本空间中每个值发生的频率,并计算它们的概率:

    • 2仅出现1次, 所以P(X=2)=1/36;
    • 3出现2次 所以P(X=3)=2/36=1/18;
    • 4出现3次, 所以P(X=4)=3/36=1/12;
    • 5出现4次, 所以P(X=5)=4/36=1/9;
    • 6出现5次, 所以P(X=6)=5/36;
    • 7出现6次, 所以P(X=7)=6/36=1/6;
    • 8出现5次, 所以P(X=8)=5/36;
    • 9出现4次, 所以P(X=9)=4/36=1/9;
    • 10出现3次, 所以P(X=10)=3/36=1/12;
    • 11出现2次,所以P(X=11)=2/36=1/18;
    • 12出现1次, 所以P(X=12)=1/36;

    两个骰子的点数的和是5、6、7或8的概率是多少?

    就是:P(5≤X≤8) 是多少?

    由于随机变量取值是离散的,P(5≤X≤8)=P( X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=(4+5+6+5)/36=20/36=5/9

    同样的,在表示特定时刻噪声电压幅值的随机变量是一个连续的随机变量,因为理论上,它可能具有正负无穷大之间的任意值。随机变量也可能是复值的,但复值随机变量总是被视为两个实值随机变量的向量。

    对于硬币抛掷试验 ,我们可以这样描述:

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    图5 硬币抛掷试验

    x=0对应结果为硬币的反面,x=1对应结果为硬币的正面,P[X=x]表示出现事件x的概率。图5中有2个delta函数,权重为1/2,表示了抛掷硬币的2种结果。

    连续随机变量

    随机变量可以是离散或连续的:

    • 离散数据只能取某些数值(例如 1、2、3、4、5)
    • 连续数据可以取一个范围(值域)里的任何数值(例如人的身高)

    离散的随机变量如举例1和2所示,在这里,我们重点说一下连续随机变量。

    均匀分布(也称为矩形分布)

    在均匀分布中,ab之间所有的随机变量的概率是相等的。不像取值是离散的随机变量,这里a和b之间有无数个取值,是连续的。但不管怎样,所有概率之和一定为1。

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    图6 均与分布

    因为所有概率的和一定是1,所以矩形的面积=1,p×(b−a)=1,所以p=1/(b−a);

    还可以写成:若a≤x≤b,P(X=x)=1/(b−a) ,否则P(X=x)=0

    再看开篇喷泉的问题。

    答案很容易,91分之20是:p=20/91=0.22;

    你是随机到达喷泉,如果你等91分钟,那么你便一定会(p=1)看到它喷发。

    所以你到达喷泉处,要么能立马看到喷发,或者在91分钟里的任何时间看到。

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    图7 91分钟内的均匀

    累积均匀分布

    我们也可以有累积均匀分布,如图8所示。

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    图8 累积均匀分布

    这种分布叫 "累积分布函数",英语是 "cumulative distribution function",简称 "CDF"

    现在用以上均匀分布的 "CDF" 来计算概率:

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    图9 CDF计算概率

    a+20,概率累积到大约0.22。

    概率密度函数

    如图9所示,分布函数可以表示为Fx(x),随机变量X取小于或等于x的任何值的概率。公式见图10-1。

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    图10 概率分布函数

    概率分布函数Fx(x)有3个基本的属性:

    1. 概率分布函数Fx(x)取值在0和1之间;
    2. 概率分布函数Fx(x)是一个单调不减函数,如图10公式2;
    3. 如果X是连续随机变量,且Fx(X)是可微的,那么可以定义概率密度函数fx(x),图10公式3

    除了CDF,还有一个英语叫作 "probability density function"的函数,简称 "pdf"

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    图11 PDF

    概率密度函数PDF具有如下4个基本属性:

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    图12 PDF的4个基本属性

    我们考察一个随机变量X位于x1和x2之间的概率,由定义可以得到

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    正态分布

    最重要的连续分布是标准正态分布。它非常重要,连它的随机变量也有独特的名字: Z.

    Z的图形是个对称的钟形曲线,图13:

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    图13 正态分布曲线

    通常我们需要求Z在两个数值之间的概率。如 P(0

    用标准正态分布表来求答案。从0开始,向右去到0.45,答案是 0.1736。

    P(0

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    图14 计算概率

    随机变量的统计量

    随机变量的取值是随机的,让人琢磨不定。但是我们总是要抽取一些确定的数值,才能掌握随机变量的特征。这些确定的数值,就是随机变量的统计量。

    一般地,随机变量的N阶矩定义为

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    一阶矩是随机变量的均值MEAN,二阶矩是功率

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    如果把随机变量的均值减掉,再求N阶矩,得到的是N阶中心矩。

    一阶中心矩一定是零,二阶中心矩叫作方差。

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    方差是非常重要的统计量,它反映的是随机变量偏离均值的程度。

    对于零均值信号,方差也等于信号的功率。对于非零均值信号,方差=功率-均值的平方。

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  • 1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布

    1 二维随机变量
    2 边缘分布
    3 条件分布
    4 相互独立的随机变量
    5 两个随机变量的函数的分布

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  • 2.题目一、知识点概述二维随机变量及其联合分布二维离散型随机变量的分布二维连续性随机变量的密度常见二维随机变量的联合分布随机变量的独立性和相关性两个随机变量简单函数的概率分布重要公式与结论 1.二维随机...

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    概率论与数理统计:【目录】https://zhuanlan.zhihu.com/p/108762528

    本文章分为两部分:1.知识点概述;2.题目

    一、知识点概述

    • 二维随机变量及其联合分布
    • 二维离散型随机变量的分布
    • 二维连续性随机变量的密度
    • 常见二维随机变量的联合分布
    • 随机变量的独立性和相关性
    • 两个随机变量简单函数的概率分布
    • 重要公式与结论

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    1.二维随机变量及其联合分布

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    补充:
    (1)边缘分布

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    (2)条件分布

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    2.二维离散型随机变量的分布

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    离散型的条件分布

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    3.二维连续性随机变量的密度

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    连续型的条件分布

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    4.常见二维随机变量的联合分布

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    5.随机变量的独立性和相关性

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    6.两个随机变量简单函数的概率分布

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    补充:

    (1)二维离散型随机变量函数的分布

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    (2)二维连续型随机变量函数的分布

    7.重要公式与结论

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    二、题目

    在b站看到一个不错的概率论的视频(链接在文章后),在此放些笔记。侵删。

    ------------------------ 【 离散型二维变量与连续型二维变量】 ------------------------

    • 已知二维离散型分布律,求???
    • 已知二维离散型分布律,判断独立性
    • 已知F(x,y),求f(x,y)
    • 已知f(x,y),求F(x,y)
    • 已知F(x,y),求P
    • 已知f(x,y),求P
    • 已知F(x,y) 或 f(x,y) 中含有的未知数
    • 求均匀分布的 f(x,y) 与 P
    • 求边缘分布函数
    • 求边缘密度函数
    • 判断连续型二维变量的独立性
    • 已知 f(x,y), Z=X+Y, 求
      .
    • 已知 f(x,y), Z=X/Y, 求
      .
    • 已知 f(x,y), 且X,Y相互独立,Z=max(X,Y), 求
      .
    • 已知 f(x,y), 且X,Y相互独立,Z=min(X,Y), 求
      .

    1.已知二维离散型分布律,求???

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    2.已知二维离散型分布律,判断独立性

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    3.已知F(x,y),求f(x,y)

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    4.已知f(x,y),求F(x,y)

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    5.已知F(x,y),求P

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    6.已知f(x,y),求P

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    7.已知F(x,y) 或 f(x,y) 中含有的未知数

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    8.求均匀分布的 f(x,y) 与 P

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    1.求边缘分布函数

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    2.求边缘密度函数

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    3.判断连续型二维变量的独立性

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    4.已知 f(x,y), Z=X+Y, 求

    .

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    5.已知 f(x,y), Z=X/Y, 求

    .

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    6.已知 f(x,y), 且X,Y相互独立,Z=max(X,Y), 求

    .

    71f4a46331e4be238a3449d5bbb489dc.png

    7.已知 f(x,y), 且X,Y相互独立,Z=min(X,Y), 求

    .

    bfe8df5a6b4ff1471141b63259b9134b.png

    链接:

    《概率论与数理统计》教学视频全集(宋浩)_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibiliwww.bilibili.com
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    【猴博士爱讲课】4小时讲完《概率论与数理统计》/《概率论》/不挂科_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibiliwww.bilibili.com
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    均匀分布

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    17eb53843e5a8c9f254e6fb5bd4a7caf.png
    • 离散随机变量的均匀分布:假设 X 有 k 个取值:x1, x2, ..., xk 则均匀分布的概率密度函数为:

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    • 连续随机变量的均匀分布:假设 X 在 [a, b] 上均匀分布,则其概率密度函数为:

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    伯努利分布

    伯努利分布:参数为 p∈[0,1],设随机变量 X ∈ {0,1},则概率分布函数为:

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    期望为p,方差为p(1-p)

    二项分布

    独立重复地进行 n 次试验中,成功 x 次的概率:

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    期望为np,方差为np(1-p)

    高斯分布

    我们在做模型训练的之后,随机变量取值范围是实数,大多数情况下都假设变量服从高斯分布,原因:

    • 随机变量大多数情况下有若干个因素组合而成,中心极限定理表明,多个独立随机变量的和近似正态分布
    • 在具有相同方差的所有可能的概率分布中,正态分布的熵最大(即不确定性最大);熵大带来的信息量多

    典型的一维正态分布的概率密度函数为 :

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    拉普拉斯分布

    概率密度函数:

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    期望为u,方差为

    拉普拉斯分布比高斯分布更加尖锐和狭窄,在正则化中通常会利用该性质

    泊松分布

    假设已知事件在单位时间(或者单位面积)内发生的平均次数为λ,则泊松分布描述了:事件在单位时间(或者单位面积)内发生的具体次数为 k 的概率。 概率密度函数:

    期望:λ,方差为:λ

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  • 概率论复习笔记——卷积公式

    万次阅读 多人点赞 2018-12-03 00:04:49
    概统笔记——多维随机变量及其分布、卷积公式二维随机变量边缘概率密度条件分布相互独立的随机变量两个随机变量的函数的分布(一)Z=X+Y的分布(二)Z=X/Y的分布、Z=XY的分布(三)M=max{X,Y} 及 N=min{X,Y}的分布 ...
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  • 基本知识结构 一:二维(n维)随机变量 ...2.边缘概率密度 3.条件概率密度 4.二维均匀分布 5.二维正态分布 四:独立性 1.概念 2.相互独立的充要条件 3.性质 五:函数的...
  • 分布函数 边缘分布函数 条件分布函数 概率密度 1:二维离散型随机变量 2:二维连续型随机变量 3:边缘分布 4:条件分布 5:条件概率密度
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  • 概率到贝叶斯滤波

    2021-01-12 12:32:37
    0 前言 1 概率基础概念拾遗 1.1 随机变量 1.1.1 定义 1.1.2 离散型随机变量 1.1.3 连续型随机变量 ...1.6.2 二维连续型随机变量边缘概率密度函数 1.7 条件概率 1.7.1 二维离散型随机变量的条件概率质量.
  • 第一章 概率论的基本概念 随机试验 样本...第三章 多维随机变量及其分布 二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量 两个随机变量的函数的分布 第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差及相关系数...
  • 边缘分布

    千次阅读 2019-05-24 18:04:07
    1.离散型: 2.连续型: 二维正态随机变量边缘概率密度
  • 2019-12-26

    2019-12-26 14:05:09
    3,二维随机变量概率密度(类似)。 边缘分布 1,对于二维随机变量(X,Y)的分布函数,X,Y的分布函数称为二维随机变量边缘分布函数。 2,边缘分布函数:在连续型随机变量,对于X的分布函数为对联合概率分布...
  • 概率论-随机向量及其分布

    千次阅读 2017-07-11 21:15:23
    (1)联合分布函数设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数: 则称二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。(2)边缘分布函数:边缘分布密度边缘分布函数: (3...
  • 概率统计2

    2019-10-19 10:03:06
    3.2.1边缘概率密度: 3.2.2二维正态分布 3.3条件分布 3.4相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布 3.5.1 Z=X+Y的分布 4 随机变量的数学特征 4.1数学期望(均值) 4.2方差 4.3协方差及相关系数 4.4...
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空空如也

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二维随机变量边缘概率密度