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  • #记录一下: 参考博文写的很清楚了: 在优化一个变换矩阵T时,...“误差矩阵”的二范数越小表示越逼近实际值。这就是二范数的作用。 /分割线/ 参考博文很详细,方便起见,给点博文的一部分内容: 这里的矩阵就是表征

    #记录一下:
    参考博文写的很清楚了,忘了一定要看参考博文!
    在优化一个变换矩阵T时,常常用到这样的公式:

    意思是:现在总共有N个三维点p和相机观测值z,那么我们的目标就是寻找一个最佳的位姿T,使得整体误差最小化。

    这时候我们的误差函数(等式右边)是一个矩阵呀,这怎么优化,起码也有一个目标值才能优化吧??

    这就是范数登场的时候了,他就是用来描述等式右边的“误差矩阵”,到底ok不ok。“误差矩阵”的二范数越小表示越逼近实际值。这就是二范数的作用。

    /分割线/
    一个比较常用常用的公式:
    在这里插入图片描述

    参考博文很详细,方便起见,给点博文的一部分内容:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合,而我们通常所说的基,就是这个集合的最一般关系。于是,我们可以这样理解,一个集合(向量),通过一种映射关系(矩阵),得到另外一个几何(另外一个向量)。
    那么向量的范数,就是表示这个原有集合的大小。
    而矩阵的范数,就是表示这个变化过程的大小的一个度量。

    具体怎么用,看不同的领域,看你来自计算机领域 用的比较多的就是迭代过程中收敛性质的判断,如果理解上述的意义,在计算机领域,一般迭代前后步骤的差值的范数表示其大小,常用的是二范数,差值越小表示越逼近实际值,可以认为达到要求的精度,收敛。

    总的来说,范数的本质是距离,存在的意义是为了实现比较。比如,在一维实数集合中,我们随便取两个点4和9,我们知道9比4大,但是到了二维实数空间中,取两个点(1,1)和(0,3),这个时候我们就没办法比较它们之间的大小,因为它们不是可以比较的实数,于是我们引入范数这个概念,把我们的(1,1)和(0,3)通过范数分别映射到实数\sqrt{2} 和 3 ,这样我们就比较这两个点了。所以你可以看到,范数它其实是一个函数,它把不能比较的向量转换成可以比较的实数。

    参考博文:
    https://blog.csdn.net/yangpan011/article/details/79461846

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  • 什么是范数

    千次阅读 2009-09-26 17:10:00
    什么是范数在介绍主题之前,先来谈一个非常重要的数学思维方法:几何方法。在大学之前,我们学习过一次函数、次函数、三角函数、指数函数、对数函数等,方程则求函数的零点;到了大学,我们学微积分、复变函数、...

     什么是范数

    在介绍主题之前,先来谈一个非常重要的数学思维方法:几何方法。在大学之前,我们学习过一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等,方程则是求函数的零点;到了大学,我们学微积分、复变函数、实变函数、泛函等。我们一直都在学习和研究各种函数及其性质,函数是数学一条重要线索,另一条重要线索——几何,在函数的研究中发挥着不可替代的作用,几何是函数形象表达,函数是几何抽象描述,几何研究“形”,函数研究“数”,它们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。

    函数图象联系了函数和几何,表达两个数之间的变化关系,映射推广了函数的概念,使得自变量不再仅仅局限于一个数,也不再局限于一维,任何事物都可以拿来作映射,维数可以是任意维,传统的函数图象已无法直观地表达高维对象之间的映射关系,这就要求我们在观念中,把三维的几何空间推广到抽象的n维空间。

    由于映射的对象可以是任何事物,为了便于研究映射的性质以及数学表达,我们首先需要对映射的对象进行“量化”,取定一组“”,确定事物在这组基下的坐标,事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点,事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射,而映射本身也是事物,自然也可以抽象为映射空间中的一个点,这就是泛函中需要研究的对象——函数。

    从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射,可以用一个矩阵来表达,矩阵被看线性作映射,线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得,比如矩阵的反映了线性映射值域空间的维数,可逆矩阵反映了线性映射的可逆,而矩阵的范数又反映了线性映射的哪些方面的性质呢?矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量,向量的“长度”缩放的比例

    范数是把一个事物映射到非负实数,且满足非负性、齐次性、三角不等式,符合以上定义的都可以称之为范数,所以,范数的具体形式有很多种(由内积定义可以导出范数,范数还也可以有其他定义,或其他方式导出),要理解矩阵的算子范数,首先要理解向量范数的内涵。矩阵的算子范数,是由向量范数导出的,由形式可以知:

     d6

     

    由矩阵算子范数的定义形式可知,矩阵A把向量x映射成向量Ax,取其在向量x范数为1所构成的闭集下的向量Ax范数最大值作为矩阵A的范数,即矩阵对向量缩放的比例的上界,矩阵的算子范数是相容的。由几何意义可知,矩阵的算子范数必然大于等于矩阵谱半径(最大特征值的绝对值),矩阵算子范数对应一个取到向量Ax范数最大时的向量x方向,谱半径对应最大特征值下的特征向量的方向。而矩阵的奇异值分解SVD,分解成左右各一个酉阵,和拟对角矩阵,可以理解为对向量先作旋转、再缩放、最后再旋转,奇异值,就是缩放的比例,最大奇异值就是谱半径的推广,所以,矩阵算子范数大于等于矩阵的最大奇异值,酉阵在此算子范数的意义下,范数大于等于1。此外,不同的矩阵范数是等价的。

    范数理论是矩阵分析的基础,度量向量之间的距离、求极限等都会用到范数,范数还在机器学习、模式识别领域有着广泛的应用。

     

     

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  • 什么是范数-学习

    千次阅读 2016-10-13 15:44:08
    一、向量范数  令x为向量:( x1,x2,…,xn)T  常用向量范数有3种  1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│   2-范数:║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…...设An×n矩阵,║A║n维向量范数则   常用的三种向量范数

    一、向量范数 

    对N维度的空间Rn中任意一个向量X,按照一定的法则,有一个确定的实数与之相对应,该实数记作║x║,如果║x║满足下面的三个性质,那么我们就称║x║为向量x的向量范数

     

    ⒈ 非负(正定性:||X||>=0
      
    ,且
     当且仅当x=0的时候║x║=0
    ⒉ 正齐次性:对任意实数λ,均有||
    λX||=|
    λ| ||X||
    ⒊ 次可加性(三角不等式):
     对任意向量y∈Rn||X+Y||<=||X||+||Y||

    令x为向量:( x1,x2,…,xn)T 

    常用向量范数有4种

      ①1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│ 
      ②2-范数:║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2 

      ③∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│) 

     ④p-范数:║x║p=(│x1│^p+│x2│^p+…+│xn│^p)^1/p

    前三种范数都是p-范数的特殊情况,其中,


    向量范数的连续性:

    定理3.3   设f(X)=||X||为Rn上的任一向量范数,则f(X)为X的分量x1,x2,…,xn的连续函数

    定理3.4 ||X||p||X||qRn任意两种范数,则存在C1C2>0,使得对任意X∈Rn,都有:

                    C1||X||p||X||q ≤C2||X||p

    注:同样有下列结论:存在C3,C4>0使得:

                  C3||X||q||X||p ≤C4||X||q

    注:上述性质,称为向量范数的等价性。也就是说,Rn上任意两种范数都是等价的。在讨论向量序列的收敛性时要用到向量范数的等价性。

    向量序列的收敛问题

    定义:假定给定了Rn空间中的向量序列X(1),X(2),...,X(k),...,简记为{X(k)},其中X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T,若X(k)的每一个分量xi(k)都存在极限xi,即

    则称向量X= (x1x2...xn)T为向量序列{X(k)}的极限,或者说向量序列{X(k)}收敛于向量X,记为


    定理3.5   在空间Rn中,向量序列{X(k)}收敛于向量X的充要条件是对X的任意范数||·||,有:

     

    二、矩阵范数

    An阶矩阵,ARn×n     

    X∈Rn||X||Rn中的某数,称

    为矩阵A从属于向量范数范数,或称为矩阵A算子,记为||A||

    设A是n×n矩阵,║A║是n维向量范数则 


      常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是 
      1-范数:║A║1= max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (i=1,2,...n)(列范数,A每一列元素绝对值之和的最大值)
      (其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|ann|,其余类似)


      2-范数:║A║2=( max{ λi(ATA) } ) ^1/2 ( 谱范数,即ATA特征值λi中最大者λm的平方根,其中AT为A的转置矩阵). 


      ∞-范数:║A║∞=max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|ann| } (行范数,A每一行元素绝对值之和的最大值)
      (其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和,其余类似)
      Frobenius范数: 它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数. 
      F-范数:||A||F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (F范数,A全部元素平方和的平方根)

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  • 作者:张家豪 来源:人工智能学习圈1向量范数是什么?两个标量我们可以比较大小,比如1,2,我们知道2比1大。但是现在如果是两个向量(1,2,1) (2,2,0),我们如何比较大小呢?此时我们把一个向量通过不同的方法,映射...

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    作者:张家豪 来源:人工智能学习圈

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    向量范数是什么?

    两个标量我们可以比较大小,比如1,2,我们知道2比1大。但是现在如果是两个向量(1,2,1) (2,2,0),我们如何比较大小呢?此时我们把一个向量通过不同的方法,映射到一个标量,从而可以比较大小,这个标量学名就叫做“范数”。向量范数也可以分为0范数,1范数,2范数,p范数,∞范数等。向量范数为方便理解,在介绍向量范数之前,我们先定义一个简单向量:3bf39f7961e21aa056cbc2f8d7f8c1fd.png0-范数向量0-范数表示向量非零元的个数。ba2b56e683701a67e58bc6ea29a46dda.png1-范数c2b76ab954733b98d058d820524e30f6.png向量1-范数也就是求X向量各元素之和。3108b519f277f892676f76184cf690bc.png2-范数73aa336249540c87aaa937499772a904.png向量2-范数又欧几里德范数,也就是求X向量各元素平方和,再开方。f4828635070be42eb08512bc71c32836.pngp-范数21045d963c9c46a3a1c4fcc5d62c1096.png向量p-范数也就是求X向量各元素绝对值的p次方之和,再开p次方。3954cf2f42c5b708e591ede4fb8ced82.png∞-范数5572a20d7b271a9dc90904245807da90.png所有向量元素绝对值的最大值。3e256e86558efe28d8d2420490f4f9f3.png-∞-范数2c7fd1594ec3390a18bdb28c8fb144f1.png所有向量元素绝对值的最小值。a9d0004328773b21b18322d831b39192.png向量范数毕竟是一维的,总体上来说还是易于理解的,接下来我们看看二维矩阵的范数情况~

    2

    向量范数的性质

    2e3595cc1939a6520faab77e8734c7e0.png

    3

    范数在机器学习中的应用

    机器学习中常用L1范数和L2范数来进行正则化,因为机器学习中往往需要最小化损失函数Loss function,而最小化Loss function的过程中,模型参数不加以限制就容易导致过拟合,所以我们使用L1范数和L2范数把参数向量转化成一个可以度量的标量,同时加上最小化的约束,就达到了控制模型参数的目的从而防止过拟合。
    原文链接: https://zhuanlan.zhihu.com/p/139386468

    854349e2ece79ebb7c21a2f1cf48dd52.png

    25be1fbad238a38e178503d581094961.pngce4fff9f57eb06492ff5565cd16b680f.pngba5ffbb95af7c9ccc26cdc112bd561ee.pngf84d1b26d2d72f0fe3bbf07612bd3b17.png2a6444fface1425d4546cc253820b816.png4b9768bb939605bfd1a27fa8a7dd9b43.png
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