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  • 一范数和二范数
    2022-04-28 09:26:48

    范数是具有“长度”概念的函数。在向量空间内,为所有的向量的赋予非零的增长度或者大小。不同的范数,所求的向量的长度或者大小是不同的。
    举个例子,2维空间中,向量(3,4)的长度是5,那么5就是这个向量的一个范数的值,更确切的说,是欧式范数或者L2范数的值。

    范数就是为了方便度量而定义出的一个概念,主要就是面对复杂空间和多维数组时,选取出一个统一的量化标准,以方便度量和比较。请务必记住,范数是人为定义的一种度量方法。

    对于p-范数,如果
    x=[ x 1 x_1 x1, x 2 x_2 x2,…, x n x_n xn]^T
    那么向量x的p-范数就是
    ∣ ∣ x ∣ ∣ p ||x||_p xp=( ∣ x 1 ∣ p |x_1|^p x1p+ ∣ x 2 ∣ p |x_2|^p x2p+ ∣ x 3 ∣ p |x_3|^p x3p+…+ ∣ x n ∣ p |x_n|^p xnp)^ 1 p \frac{1}{p} p1

    L1范数:所有元素绝对值的和。
    ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 ||x||_1 x1= ∣ x 1 ∣ |x_1| x1+ ∣ x 2 ∣ |x_2| x2+ ∣ x 3 ∣ |x_3| x3+…+ ∣ x n ∣ |x_n| xn
    L2范数:所有元素平方和的开方。
    ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 ||x||_2 x2=( ∣ x 1 ∣ 2 |x_1|^2 x12+ ∣ x 2 ∣ 2 |x_2|^2 x22+ ∣ x 3 ∣ 2 |x_3|^2 x32+…+ ∣ x n ∣ 2 |x_n|^2 xn2)

    特别的,
    L0范数:指向量中非零元素的个数。
    无穷范数:指向量中所有元素的最大绝对值。

    L2范数的好处是什么呢?这里也扯上两点:
    1)学习理论的角度:
    从学习理论的角度来说,L2范数可以防止过拟合,提升模型的泛化能力。
    2)优化计算的角度:
    从优化或者数值计算的角度来说,L2范数有助于处理 condition number不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。(这个不明白)
    L1范数与L2范数的区别

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    #记录一下: 参考博文写的很清楚了: 在优化一个变换矩阵T时,...“误差矩阵”的二范数越小表示越逼近实际值。这就是二范数的作用。 /分割线/ 参考博文很详细,方便起见,给点博文的一部分内容: 这里的矩阵就是表征

    #记录一下:
    参考博文写的很清楚了,忘了一定要看参考博文!
    在优化一个变换矩阵T时,常常用到这样的公式:

    意思是:现在总共有N个三维点p和相机观测值z,那么我们的目标就是寻找一个最佳的位姿T,使得整体误差最小化。

    这时候我们的误差函数(等式右边)是一个矩阵呀,这怎么优化,起码也有一个目标值才能优化吧??

    这就是范数登场的时候了,他就是用来描述等式右边的“误差矩阵”,到底ok不ok。“误差矩阵”的二范数越小表示越逼近实际值。这就是二范数的作用。

    /分割线/
    一个比较常用常用的公式:
    在这里插入图片描述

    参考博文很详细,方便起见,给点博文的一部分内容:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合,而我们通常所说的基,就是这个集合的最一般关系。于是,我们可以这样理解,一个集合(向量),通过一种映射关系(矩阵),得到另外一个几何(另外一个向量)。
    那么向量的范数,就是表示这个原有集合的大小。
    而矩阵的范数,就是表示这个变化过程的大小的一个度量。

    具体怎么用,看不同的领域,看你来自计算机领域 用的比较多的就是迭代过程中收敛性质的判断,如果理解上述的意义,在计算机领域,一般迭代前后步骤的差值的范数表示其大小,常用的是二范数,差值越小表示越逼近实际值,可以认为达到要求的精度,收敛。

    总的来说,范数的本质是距离,存在的意义是为了实现比较。比如,在一维实数集合中,我们随便取两个点4和9,我们知道9比4大,但是到了二维实数空间中,取两个点(1,1)和(0,3),这个时候我们就没办法比较它们之间的大小,因为它们不是可以比较的实数,于是我们引入范数这个概念,把我们的(1,1)和(0,3)通过范数分别映射到实数\sqrt{2} 和 3 ,这样我们就比较这两个点了。所以你可以看到,范数它其实是一个函数,它把不能比较的向量转换成可以比较的实数。

    参考博文:
    https://blog.csdn.net/yangpan011/article/details/79461846

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    • 0 范数:向量中非零元素的个数。
    • 1 范数: 向量中各个元素绝对值之和。
    • 2 范数: 向量中各个元素平方和的 1/2 次方,L2 范数又称 Euclidean 范数或者 Frobenius 范数。
    • p 范数:为 x 向量(或矩阵)各个元素绝对值 p 次方和的 1/p 次方。

    1.l_{p}范数

         首先直观的先抛出定义:一般将向量x的范数l_{p}的定义为,

                                                                             (1)

    如果令p=2,则为l_{2}范数。同时我们知道若已知向量为x=\left [ 1,2,5 \right ],则其欧氏范数为,

                                             \left \| x \right \|_{2}=\sqrt{\left ( 1 \right )^{2}+\left ( 2 \right )^{2}+\left ( 5 \right )^{2}}=5.4772

    欧式范式就是l_{2}范数,它用于表示向量(或矩阵)的大小(算术平方和)。

    2.l_{0}范数

         令公式(1)中的p=0,则得到l_{0}范数的数学表达式,

         l_{0}范数表示向量x中非0元素的个数。在很多范例模型中都会遇到l_{0}范数,比如压缩感知中,我们遇到凸优化问题的求解,就会遇到这个典型的问题(虽然实际中大多转化为求解l_{1}范数,下面会讲到什么是l_{1}范数)。正是因为,所以我们想要直接求解它是十分困难的,这个优化模型在数学上被认为是一个NP-hard问题(什么是NP-hard问题,请看这里https://blog.csdn.net/weixin_42368982/article/details/108187284)。这里我们只需要知道,求解一个NP-hard问题是很复杂、也不可能找到解的,所以我们十分需要转化。

    3.l_{1}范数

          l_{1}范数的数学定义同l_{0}范数相似,令p=1,即。我们可以直观的从范数的原始定义公式(1)中找打l_{1}范数的物理意义,l_{1}范数等于向量x中所有元素绝对值之和。从l_{1}范数的优化公式中我们会发现,求解l_{1}范数相比求解l_{0}范数简单太多,我们可以借助现有凸优化算法(线性规划或是非线性规划),找到我们想要的可行解。

         鉴于l_{1}范数的实用性如此之大,现在我们来细细讨论l_{1}范数。而我们的l_{1}范数有两个很值得讨论的点:正则项与稀疏解。在正式进入讨论前,我们先看看什么是过拟合问题?

    3.1过拟合问题

         拟合问题是我们在机器学习过程中一定会面临的问题。那么什么样的问题是拟合问题呢?

         机器学习利用模型对数据进行拟合,机器要对未曾在训练集合出现的样本进行正确预测,这是机器学习的真正目的。而拟合问题又包含欠拟合问题和过拟合问题。机器学习的数据集包含训练集和测试集。欠拟合和过拟合的性能的区别在于过拟合对于训练集的学习能力更强,而在测试集上的性能较差,而欠拟合在训练集和测试集上表现的性能都较差。

         形象的说,若已知两类数据集分别为【请,清,静,婧】;【是,额,时,更】,现在机器来判断“菁”是属于那一类。在过拟合的情况下,机器会把“菁”判断为不是第一类,所以它是第二类。但实际上“菁”存在第一类中都有的“青”,所以实际上应该判断为第一类。过拟合就把这个训练集单个样本自身的特点都捕捉到,并分为一类。,这就是过拟合问题。这样l_{1}范数的正则项的作用就体现出来了,往下看吧!

    3.2l_{1}范数:正则项与稀疏解

    3.2.1正则项

          l_{1}范数会让你的模型变傻一点,相比于记住事物本身,此时机器更倾向于从数据中找到一些简单的模式。例如上面距离的数据集:【请,清,静,婧】;【是,额,时,更】。

         变傻前的机器:【请,清,静,婧】

         变傻后的机器:【青,0,0,0】。相比于原来,它记住了简单的特征,这就是 l_{1}范数正则项的作用。

    为什么正则化可以防止过拟合问题?

         拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小,最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单,能适应不同的数据集,也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程,若参数很大,那么只要数据偏移一点点,就会对结果造成很大的影响;但如果参数足够小,数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响,即抗扰动能力强。

         正则化会使模型偏好于更小的权值。更小的权值意味着更低的模型复杂度;添加 正则化相当于为模型添加了某种先验条件,这个先验条件限制了参数的分布,从而降低了模型的复杂度。

         模型的复杂度降低,意味着模型对于噪声与异常点的抗干扰性的能力增强,从而提高模型的泛化能力。直观来说,就是对训练数据的拟合刚刚好,不会过分拟合训练数据(就向上面判断字符“菁”的问题一样)。

    3.2.2稀疏解

       了解了l_{1}范数的正则项的作用后,稀疏解的问题又出来了。这里解决两个问题:(1)为什么增加l_{1}范数能够保证稀疏?(2)为什么l_{1}范数找到一个稀疏解呢?

    (1)为什么增加l_{1}范数能够保证稀疏? 

         由l_{1}范数的物理意义我们知道,l_{1}范数表示向量(或矩阵)所有元素的绝对值之和。现在就随机选取两个向量x=\left [ 1,0.1 \right ]y=\left [ 100,0 \right ],其中向量x和向量yl_{1}范数分别如下,

    \left \| x \right \|_{1}=|1|+|0.1|=1.1\left \| x \right \|_{2}=|100|+|0|=100。明显向量x不是稀疏向量,且仅仅是看l_{1}范数的数值大小,我们可能很难比较向量的稀疏程度,因此实际需求中我们还需要结合损失函数。所以说增加l_{1}范数能够更大几率的保证稀疏。

    (2)为什么l_{1}范数找到一个稀疏解呢?

         回到前面的问题,Ax=b在平面直角坐标系上,假设一次函数y=ax+b经过(2,5)这一点。所以b=5-2a,参数a,b的解有无数组 (在蓝线上的点都是解)。

          这里先假设向量的l_{1}范数是一个常数c,将其图形化在xy坐标轴上为一个正方形 (红色线;l_{1}范数表示元素的绝对值之和,若绝对值之和为常数,则相加之和为一常数),不过在这些边上只有很少的点是稀疏的,即与坐标轴相交的4个顶点。 这样这些同心正方形们可以和解相交,最终找到我们满足稀疏性要求的解,同时这个交点使得l_{1}范数取得最小值。

     

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    概念

    多维数据度量方式:0范数,向量中非零元素的个数。
    1范数(曼哈顿距离、城市距离):为绝对值之和。
    2范数(欧氏距离):就是通常意义上的模。
    无穷范数,就是取向量的最大值。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    计算题实例

    在这里插入图片描述
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