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  • 二范数的定义
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    2021-01-13 23:51:17

    范数的定义

    X

    是数域

    K

    上线性空间,称

    ║˙║

    X

    上的范数

    (norm)

    ,若它满足:

    1.

    正定性:

    ║x║≥0

    ,且

    ║x║=0

    <=>

    x=0

    2.

    齐次性:

    ║cx║=│c│║x║

    3.

    次可加性

    (

    三角不等式

    )

    ║x+y║≤║x║+║y║

    注意到

    ║x+y║≤║x║+║y║

    中如令

    y=-x

    ,再利用

    -

    x║=║x║

    可以得到

    ║x║≥0

    ,即

    ║x║≥0

    在定

    义中不是必要的。

    如果线性空间上定义了范数,则称之为

    赋范线性空间

    注记:范数与内积,度量,拓扑是相互联系的。

    1.

    利用范数可以诱导出度量:

    d(x,y)=║x

    -

    y║

    ,进而诱导出拓扑,因此赋范线性空间是

    量空间

    但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。

    2.

    如果赋范线性空间作为

    (

    由其范数自然诱导度量

    d(x,y)=║x

    -

    y║

    )

    度量空间是完备的,

    任何柯西

    (Cauchy)

    序列在其中都收敛,则称这个赋范线性空间为

    巴拿赫

    (Banach)

    空间

    3.

    利用内积

    可以诱导出范数:

    ║x║=^{1/2}

    反过来,范数不一定可以由内积来诱导。当范数满足平行四边形公式

    ║x+y║^2+║x

    -

    y║^2=

    2(║x║^2+║y║^2)

    时,这个范数一定可以由内积来诱导。

    完备的内积空间成为

    希尔伯特

    (Hilbert)

    空间

    4.

    如果去掉范数定义中的正定性,

    那么得到的泛函称为半范数

    (seminorm

    或者叫准范数

    )

    相应的完备空间称为

    Fréchet

    空间

    对于

    X

    上的两种范数

    ║x║α,║x║β

    ,若存在正常数

    C

    满足

    ║x║β≤C║x║α

    那么称

    ║x║β

    弱于

    ║x║α

    。如果

    ║x║β

    弱于

    ║x║α

    ║x║α

    弱于

    ║x║β

    ,那么称这两种范数等

    价。

    可以证明,有限维空间上的范数都等价,无限维空间上至少有阿列夫

    1(

    实数集的基数

    )

    不等价的范数。

    算子范数

    如果

    X

    Y

    是巴拿赫空间,

    T

    X->Y

    的线性算子,那么可以按下述方式定义

    ║T║

    ║T║

    =

    sup{║Tx║

    ║x║<=1}

    根据定义容易证明

    ║Tx║

    <=

    ║T║║x║

    对于多个空间之间的复合算子,也有

    ║XY║

    <=

    ║X║║Y║

    如果一个线性算子

    T

    的范数满足

    ║T║

    <

    +∞

    ,那么称

    T

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    矩阵A的2范数就是 A乘以A的转置矩阵特征根 最大值的开根号。

    m = magic(3)
    
    m =
    
         8     1     6
         3     5     7
         4     9     2
    
    >> m*m'
    
    ans =
    
       101    71    53
        71    83    71
        53    71   101
    
    >> [V,D]=eig(m*m')
    
    V =
    
       -0.4082   -0.7071    0.5774
        0.8165    0.0000    0.5774
       -0.4082    0.7071    0.5774
    
    
    D =
    
       12.0000         0         0
             0   48.0000         0
             0         0  225.0000
    
    >> norm(m,2)
    
    ans =
    
       15.0000
    

    其中V是特征向量,D是特征值(对角)。

    展开全文
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    万次阅读 多人点赞 2020-09-22 21:11:18
    #记录一下: 参考博文写的很清楚了: 在优化一个变换矩阵T时,...“误差矩阵”的二范数越小表示越逼近实际值。这就是二范数的作用。 /分割线/ 参考博文很详细,方便起见,给点博文的一部分内容: 这里的矩阵就是表征

    #记录一下:
    参考博文写的很清楚了,忘了一定要看参考博文!
    在优化一个变换矩阵T时,常常用到这样的公式:

    意思是:现在总共有N个三维点p和相机观测值z,那么我们的目标就是寻找一个最佳的位姿T,使得整体误差最小化。

    这时候我们的误差函数(等式右边)是一个矩阵呀,这怎么优化,起码也有一个目标值才能优化吧??

    这就是范数登场的时候了,他就是用来描述等式右边的“误差矩阵”,到底ok不ok。“误差矩阵”的二范数越小表示越逼近实际值。这就是二范数的作用。

    /分割线/
    一个比较常用常用的公式:
    在这里插入图片描述

    参考博文很详细,方便起见,给点博文的一部分内容:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合,而我们通常所说的基,就是这个集合的最一般关系。于是,我们可以这样理解,一个集合(向量),通过一种映射关系(矩阵),得到另外一个几何(另外一个向量)。
    那么向量的范数,就是表示这个原有集合的大小。
    而矩阵的范数,就是表示这个变化过程的大小的一个度量。

    具体怎么用,看不同的领域,看你来自计算机领域 用的比较多的就是迭代过程中收敛性质的判断,如果理解上述的意义,在计算机领域,一般迭代前后步骤的差值的范数表示其大小,常用的是二范数,差值越小表示越逼近实际值,可以认为达到要求的精度,收敛。

    总的来说,范数的本质是距离,存在的意义是为了实现比较。比如,在一维实数集合中,我们随便取两个点4和9,我们知道9比4大,但是到了二维实数空间中,取两个点(1,1)和(0,3),这个时候我们就没办法比较它们之间的大小,因为它们不是可以比较的实数,于是我们引入范数这个概念,把我们的(1,1)和(0,3)通过范数分别映射到实数\sqrt{2} 和 3 ,这样我们就比较这两个点了。所以你可以看到,范数它其实是一个函数,它把不能比较的向量转换成可以比较的实数。

    参考博文:
    https://blog.csdn.net/yangpan011/article/details/79461846

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  • 范数定义

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    定义 设 E E E 是实(或复)线性空间,如果对于 E E ...b]) 则 ∥ ⋅ ∥ \Vert \cdot\Vert ∥⋅∥ 满足范数的全部条件,因此 C [ a , b ] C[a,b] C[a,b] 按照上述定义范数是一个赋范线性空间。 2022年4月11日20:38:21

    定义

    E E E 是实(或复)线性空间,如果对于 E E E 中的每个元素 x x x,都有一个实数,记为 ∥ x ∥ \Vert x\Vert x,与之对应,且满足:

    1. ∥ x ∥ ⩾ 0 , ∥ x ∥ = 0 \Vert x\Vert\geqslant0,\Vert x\Vert=0 x0,x=0 的充分必要条件是 x = θ x=\theta x=θ
    2. ∥ α x ∥ = ∣ α ∣ ∥ x ∥ \Vert \alpha x\Vert = \vert \alpha\vert\Vert x\Vert αx=αx,这里 α \alpha α 是实(或复)数
    3. ∥ x + y ∥ ⩽ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ \Vert x+y\Vert\leqslant\Vert x\Vert+\Vert y\Vert x+yx+y (设 y ∈ E y\in E yE

    则称 E E E 为 实(或复)赋范线性空间, ∥ x ∥ \Vert x\Vert x 称为元素 x x x 的范数


    举例

    C [ a , b ] C[a,b] C[a,b] 上定义线性运算如下:

    x , y x,y x,y 均为 C [ a , b ] C[a,b] C[a,b] 中的元素, α \alpha α 为数,令

    ( x + y ) ( t ) = x ( t ) + y ( t ) (x+y)(t)=x(t)+y(t) (x+y)(t)=x(t)+y(t)

    ( α x ) ( t ) = α x ( t ) (\alpha x)(t)=\alpha x(t) (αx)(t)=αx(t)

    C [ a , b ] C[a,b] C[a,b] 按照上述线性运算是一个线性空间。再在 C [ a , b ] C[a,b] C[a,b] 中令

    ∥ x ∥ = max ⁡ a ⩽ t ⩽ b ∣ x ( t ) ∣ ( x ∈ C [ a , b ] ) \Vert x\Vert=\max_{a\leqslant t\leqslant b}\vert x(t)\vert\quad(x\in C[a,b]) x=atbmaxx(t)(xC[a,b])

    ∥ ⋅ ∥ \Vert \cdot\Vert 满足范数的全部条件,因此 C [ a , b ] C[a,b] C[a,b] 按照上述定义的范数是一个赋范线性空间。


    2022年4月11日20:38:21

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