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  • 范数定义

    2016-03-15 20:32:26
      范数(norm)是在向量空间上定义的一个实值函数:V->R,一般用记号||x||表示,它满足以下三个性质: (1) ||x||≥0, ||x||=0 ?=? x=0 (2) ||ax||=|a|?||x|| (a为数域F中的数) (3)||x+y||

    http://trailblizer.blog.163.com/blog/static/5963036420115137435610/

     

    范数(norm)是在向量空间上定义的一个实值函数:V->R,一般用记号||x||表示,它满足以下三个性质:
    (1) ||x||≥0, ||x||=0 ?=? x=0
    (2) ||ax||=|a|?||x|| (a为数域F中的数)
    (3)||x+y||≤||x||+||y|| 
    对于实数p≥1,定义p-范数

    1-范数又被称为“出租车范数”。这个名字很形象,指一个出租车沿着”水平”和”竖直”的街道从向量x起点开到终点所走过的路程。
    2-范数又被称为“欧几里德范数”。在欧式空间里,它表示两点间的距离(向量x的模长)。所以性质(3)在欧式空间里就是我们熟知的“两点之间线段最短”
    此外,定义∞-范数为:

    当看到这个定义时,我们很自然的产生疑问:为什么如此定义∞-范数?它和p-范数有什么关系?
    实际上,它们之间是有关系的。p-范数的定义中,令p->∞便得到∞-范数,也即

    证明:令

    则有

    由于

    所以原命题得证。

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  • 各种范数定义

    2019-07-02 20:12:54
  • 范数定义及tensorflow

    千次阅读 2018-10-21 20:35:18
    向量范数:Vector Norm 给定的向量XXX 和 YYY,只有一个单独的元素xxx 和 yyy 的话,那最直接的距离定义就是 ∣x−y∣|x-y|∣x−y∣,因此定义向量间的距离有相同的性质: p-范数:p-norms 、 lp−norm\mathcal l_p...

    向量范数:Vector Norm

    给定的向量XXYY,只有一个单独的元素xxyy 的话,那最直接的距离定义就是 xy|x-y|,因此定义向量间的距离有相同的性质:

    在这里插入图片描述

    p-范数:p-norms 、 lpnorm\mathcal l_p-norm

    定义:
    pfanshu

    当p为以下值时候的范数值:

    s

    其中L2L_2范数满足Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz不等式:

    在这里插入图片描述

    上面的CS不等式是Holder不等式的特例:

    在这里插入图片描述

    向量的拟合:convergence

    给定任意向量范数,向量序列{X(k)}k=0\{X^{(k)}\}_{k=0}^{\infty}都收敛到向量XX,如果满足以下公式:
    在这里插入图片描述

    即向量(n维情况的话)中的元素满足:
    在这里插入图片描述

    因此我们想判断一个向量序列是否在这个向量范数拟合到一个极限,或者再另一个向量范数拟合到了别的极限,或者根本不会拟合。所以需要判断向量范数之间是否相等(equivalent)。
    在这里插入图片描述

    结论:p范数都是相等的。
    例子:

    在这里插入图片描述

    tensorflow实例

    https://blog.csdn.net/NockinOnHeavensDoor/article/details/83246413

    矩阵范数:Matrix Norms

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  • 向量范数与矩阵范数定义和python相关运算示例1.范数(norm)的意义要更好的理解范数,就要从函数、几何与矩阵的角度去理解。 我们都知道,函数与几何图形往往是有对应的关系,这个很好想象,特别是在三维以下的空间内...

    向量范数与矩阵范数定义和python向量矩阵运算示例

    1.范数(norm)的意义

    要更好的理解范数,就要从函数、几何与矩阵的角度去理解。 
    我们都知道,函数与几何图形往往是有对应的关系,这个很好想象,特别是在三维以下的空间内,函数是几何图像的数学概括,而几何图像是函数的高度形象化,比如一个函数对应几何空间上若干点组成的图形。 
    但当函数与几何超出三维空间时,就难以获得较好的想象,于是就有了映射的概念,映射表达的就是一个集合通过某种关系转为另外一个集合。通常数学书是先说映射,然后再讨论函数,这是因为函数是映射的一个特例。 
    为了更好的在数学上表达这种映射关系,(这里特指线性关系)于是就引进了矩阵。这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合,而我们通常所说的基,就是这个集合的最一般关系。于是,我们可以这样理解,一个集合(向量),通过一种映射关系(矩阵),得到另外一个几何(另外一个向量)。 
    那么向量的范数,就是表示这个原有集合的大小。 
    而矩阵的范数,就是表示这个变化过程的大小的一个度量。

    总结起来一句话,范数(norm),是具有“长度”概念的函数。

    2.范数满足的三个特性

    1.非负性: ||x||0||x||≥0,且||x||=0||x||=0当且仅当x=0x=0时成立 。 
    2.齐次性: ||kx||=|k|||x||||k⋅x||=|k|⋅||x|| 
    3.三角不等式: ||x+y||||x||+||y||||x+y||≤||x||+||y||

    3.向量的范数

    1-范数,计算方式为向量所有元素的绝对值之和。 

    ||x||1=in|xi|||x||1=∑in|xi|

    2-范数,计算方式跟欧式距离的方式一致。 
    ||x||2=(i=1n|xi|2)12||x||2=(∑i=1n|xi|2)12

    -范数,所有向量元素中的最大值。 
    ||x||=maxi|xi|||x||∞=maxi|xi|

    −∞-范数,所有向量元素中的最小值。 
    ||x||=mini|xi|||x||−∞=mini|xi|

    pp-范数,所有向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂。 
    ||x||p=(i=1n|xi|p)1p||x||p=(∑i=1n|xi|p)1p

    4.矩阵的范数

    首先假设矩阵的大小为mnm∗n,即m行n列。

    1-范数,又名列和范数。顾名思义,即矩阵列向量中绝对值之和的最大值。 

    ||A||1=maxji=1m|aij|||A||1=maxj∑i=1m|aij|

    2-范数,又名谱范数,计算方法为ATAATA矩阵的最大特征值的开平方。 
    ||A||2=λ1||A||2=λ1

    其中λ1λ1ATAATA的最大特征值。

    -范数,又名行和范数。顾名思义,即矩阵行向量中绝对值之和的最大值。 

    ||A||=maxji=1n|aij|||A||∞=maxj∑i=1n|aij|

    F-范数,Frobenius范数,计算方式为矩阵元素的绝对值的平方和再开方。 

    ||A||F=(i=1mj=1n|aij|2)12||A||F=(∑i=1m∑j=1n|aij|2)12

    5.在python里计算范数

    numpy包里的linalg模块,是专门处理基本线性代数问题的模块。借助该模块中的norm()函数可以轻松计算向量与矩阵的范数。

    先看看norm()方法的原型:

    def norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False):
        """
        Matrix or vector norm.
    
        This function is able to return one of eight different matrix norms,
        or one of an infinite number of vector norms (described below), depending
        on the value of the ``ord`` parameter.
    
        Parameters
        ----------
        x : array_like
            Input array.  If `axis` is None, `x` must be 1-D or 2-D.
        ord : {non-zero int, inf, -inf, 'fro', 'nuc'}, optional
            Order of the norm (see table under ``Notes``). inf means numpy's
            `inf` object.
        axis : {int, 2-tuple of ints, None}, optional
            If `axis` is an integer, it specifies the axis of `x` along which to
            compute the vector norms.  If `axis` is a 2-tuple, it specifies the
            axes that hold 2-D matrices, and the matrix norms of these matrices
            are computed.  If `axis` is None then either a vector norm (when `x`
            is 1-D) or a matrix norm (when `x` is 2-D) is returned.
        keepdims : bool, optional
            If this is set to True, the axes which are normed over are left in the
            result as dimensions with size one.  With this option the result will
            broadcast correctly against the original `x`.
    
            .. versionadded:: 1.10.0
    
        Returns
        -------
        n : float or ndarray
            Norm of the matrix or vector(s).
    
        Notes
        -----
        For values of ``ord <= 0``, the result is, strictly speaking, not a
        mathematical 'norm', but it may still be useful for various numerical
        purposes.
    
        The following norms can be calculated:
    
        =====  ============================  ==========================
        ord    norm for matrices             norm for vectors
        =====  ============================  ==========================
        None   Frobenius norm                2-norm
        'fro'  Frobenius norm                --
        'nuc'  nuclear norm                  --
        inf    max(sum(abs(x), axis=1))      max(abs(x))
        -inf   min(sum(abs(x), axis=1))      min(abs(x))
        0      --                            sum(x != 0)
        1      max(sum(abs(x), axis=0))      as below
        -1     min(sum(abs(x), axis=0))      as below
        2      2-norm (largest sing. value)  as below
        -2     smallest singular value       as below
        other  --                            sum(abs(x)**ord)**(1./ord)
        =====  ============================  ==========================

    我的例子:

    #!/usr/bin/env python
    # coding:utf-8
    import numpy as np
    import numpy.linalg as LA
    
    def compute_norm():
        mat = np.matrix([[1,2],[3,4]])
        print "mat:\n", mat
        inv_mat = np.linalg.inv(mat)
        print "inv_mat:\n",inv_mat
    
    def vector_norm():
        a = np.arange(9) - 4
        print a
        print LA.norm(a, np.inf)  # 无穷范数
        print LA.norm(a, -np.inf)  # 负无穷范数
        print LA.norm(a, 1)  # 1范数
        print LA.norm(a, 2)  # 2范数
    
    def matrix_norm():
        a = np.arange(9) - 4
        print a
        b = a.reshape(3, 3)
        print "b:\n",b
        b_t = np.transpose(b)
        print "b_t:\n",b_t
        b_new = np.dot(b_t, b)  # b_new矩阵为b^t * b
        print "b_new:\n",b_new
    
        x_eigvals = np.linalg.eigvals(b_new)  # 求b_new矩阵的特征值
        print "x_eigvals:\n",x_eigvals
    
        print LA.norm(b, 1)  # 列范数
        print LA.norm(b, 2)  # 谱范数,为x里最大值开平方
        print LA.norm(b, np.inf)  # 无穷范数,行范数
        print LA.norm(b, "fro")  # F范数
    print "数组转换为矩阵及矩阵求逆:\n"
    compute_norm()
    print "向量范数相关运算:\n"
    vector_norm()
    print "矩阵范数相关运算:\n"
    matrix_norm()

    结果如下:

    数组转换为矩阵及矩阵求逆:
    
    mat:
    [[1 2]
     [3 4]]
    inv_mat:
    [[-2.   1. ]
     [ 1.5 -0.5]]
    向量范数相关运算:
    
    [-4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4]
    4.0
    0.0
    20.0
    7.74596669241
    矩阵范数相关运算:
    
    [-4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4]
    b:
    [[-4 -3 -2]
     [-1  0  1]
     [ 2  3  4]]
    b_t:
    [[-4 -1  2]
     [-3  0  3]
     [-2  1  4]]
    b_new:
    [[21 18 15]
     [18 18 18]
     [15 18 21]]
    x_eigvals:
    [  5.40000000e+01   6.00000000e+00   5.99792822e-16]
    7.0
    7.34846922835
    9.0
    7.74596669241
    
    Process finished with exit code 0

    numpy中mat和python的list转换例子

    >>> import numpy
    >>> a=[[1,2],[3,4],[5,6]]
    >>> a
    [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]
    >>> b=numpy.mat(a)
    >>> b
    matrix([[1, 2],
            [3, 4],
            [5, 6]])
    >>> c=b.tolist()
    >>> c
    [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]

    参考:https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51945271

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  • 向量范数和矩阵范数定义

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    作者:魏通 ... 来源:知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得...以下分别列举常用的向量范数和矩阵范数定义。 向量范数 1-范数: ,即向量元素绝对值之和,matlab调用函数norm(x, 1) 。 2-范数
  • https://baijiahao.baidu.com/s?id=1607333156323286278&wfr=spider&for=pc
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