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  • 步,先将前面矩阵的每一行分别与后面矩阵相乘,作为结果矩阵的行列;第出结果即可。矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第矩阵数(column)和第矩阵的行数(row)相同时才有意义 。...

    01

    矩阵相乘需要前面矩阵的行数与后面矩阵的列数相同方可相乘。第一步,先将前面矩阵的每一行分别与后面矩阵的列相乘,作为结果矩阵的行列;第二步算出结果即可。

    矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数(column)和第二个矩阵的行数(row)相同时才有意义 。一般单指矩阵乘积时,指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起,所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。矩阵相乘需要前面矩阵的行数与后面矩阵的列数相同方可相乘。第一步,先将前面矩阵的每一行分别与后面矩阵的列相乘,作为结果矩阵的行列;第二步算出结果即可。

    注意事项:

    1、当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,A与B可以相乘。

    2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数,C的列数等于B的列数。

    3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

    乘法结合律: (AB)C=A(BC)

    乘法左分配律:(A+B)C=AC+BC

    乘法右分配律:C(A+B)=CA+CB

    对数乘的结合性k(AB)=(kA)B=A(kB)

    矩阵乘法在以下两种情况下满足交换律。

    AA*=A*A,A和伴随矩阵相乘满足交换律。

    AE=EA,A和单位矩阵或数量矩阵满足交换律。

    还有其他一些特殊的“乘积”形式被定义在矩阵上,值得注意的是,当提及“矩阵相乘”或者“矩阵乘法”的时候,并不是指代这些特殊的乘积形式,而是定义中所描述的矩阵乘法。在描述这些特殊乘积时,使用这些运算的专用名称和符号来避免表述歧义。

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  • 理解矩阵乘法考研需要考一门课《线性代数》,这门课其实是教矩阵...教科书告诉你,计算规则是,第一个矩阵第一的每个数字(2 和 1),各自乘以第矩阵一列对应位置的数字(1 和 1),然后将乘积相加( 2 x 1...

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    理解矩阵乘法

    考研需要考一门课《线性代数》,这门课其实是教矩阵。

    刚学的时候,还蛮简单的,矩阵加法就是相同位置的数字加一下。

    矩阵乘法也类似,矩阵乘以一个常数,就是所有位置都乘以这个数。

    但是,等到矩阵乘以矩阵的时候,一切就不一样了。

    这个结果是怎么算出来的?

    教科书告诉你,计算规则是,第一个矩阵第一行的每个数字(2 和 1),各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字(1 和 1),然后将乘积相加( 2 x 1 + 1 x 1),得到结果矩阵左上角的那个值 3。

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    也就是说,结果矩阵第

    行与第
    列交叉位置的那个值,等于第一个矩阵第
    行与第二个矩阵第
    列,对应位置的每个值的乘积之和。

    怎么会有这么奇怪的规则?

    我一直没理解这个规则的含义,导致《线性代数》这门课就没学懂。研究生时发现,线性代数是向量计算的基础,很多重要的数学模型都要用到向量计算,所以我做不了复杂模型。这一直让我有点伤心。

    前些日子,受到一篇文章的启发,我终于想通了,矩阵乘法到底是什么东西。关键就是一句话,矩阵的本质就是线性方程式,两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度,理解矩阵乘法就毫无难度。

    下面是一组线性方程式:

    矩阵的最初目的,只是为线性方程组提供一个简写形式。

    老实说,从上面这种写法,已经能看出矩阵乘法的规则了:系数矩阵第一行的 2 和 1,各自与

    的乘积之和,等于 3。不过,这不算严格的证明,只是线性方程式转为矩阵的书写规则。

    下面才是严格的证明:有三组未知数

    ,其中
    的关系如下:

    的关系如下:

    有了这两组方程式,就可以求

    的关系。从矩阵来看,很显然,只要把第二个矩阵代入第一个矩阵即可。

    从方程式来看,也可以把第二个方程组代入第一个方程组:

    上面的方程组可以整理成下面的形式:

    最后那个矩阵等式,与前面的矩阵等式一一对照,就会得到下面的关系。

    矩阵乘法的计算规则,从而得到证明。

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  • 理解矩阵乘法作者:「小海考研人」考研需要考一门课《线性代数》,这门课其实是...教科书告诉你,计算规则是,第一个矩阵第一的每个数字(2 和 1),各自乘以第矩阵一列对应位置的数字(1 和 1),然后将乘...

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    理解矩阵乘法

    作者:「小海考研人」

    考研需要考一门课《线性代数》,这门课其实是教矩阵。

    刚学的时候,还蛮简单的,矩阵加法就是相同位置的数字加一下。

    矩阵乘法也类似,矩阵乘以一个常数,就是所有位置都乘以这个数。

    但是,等到矩阵乘以矩阵的时候,一切就不一样了。

    这个结果是怎么算出来的?

    教科书告诉你,计算规则是,第一个矩阵第一行的每个数字(2 和 1),各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字(1 和 1),然后将乘积相加( 2 x 1 + 1 x 1),得到结果矩阵左上角的那个值 3。

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    也就是说,结果矩阵第

    行与第
    列交叉位置的那个值,等于第一个矩阵第
    行与第二个矩阵第
    列,对应位置的每个值的乘积之和。

    怎么会有这么奇怪的规则?

    我一直没理解这个规则的含义,导致《线性代数》这门课就没学懂。研究生时发现,线性代数是向量计算的基础,很多重要的数学模型都要用到向量计算,所以我做不了复杂模型。这一直让我有点伤心。

    前些日子,受到一篇文章的启发,我终于想通了,矩阵乘法到底是什么东西。关键就是一句话,矩阵的本质就是线性方程式,两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度,理解矩阵乘法就毫无难度。

    下面是一组线性方程式:

    矩阵的最初目的,只是为线性方程组提供一个简写形式。

    老实说,从上面这种写法,已经能看出矩阵乘法的规则了:系数矩阵第一行的 2 和 1,各自与

    的乘积之和,等于 3。不过,这不算严格的证明,只是线性方程式转为矩阵的书写规则。

    下面才是严格的证明:有三组未知数

    ,其中
    的关系如下:

    的关系如下:

    有了这两组方程式,就可以求

    的关系。从矩阵来看,很显然,只要把第二个矩阵代入第一个矩阵即可。

    从方程式来看,也可以把第二个方程组代入第一个方程组:

    上面的方程组可以整理成下面的形式:

    最后那个矩阵等式,与前面的矩阵等式一一对照,就会得到下面的关系。

    矩阵乘法的计算规则,从而得到证明。

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  • 矩阵并不是个数而是可以表示...也就是说,结果矩阵第m与第n交叉位置的那个值,等于第矩阵第m与第矩阵第n,对应位置的每个值的乘积之和。 公式则是:其中cij为A的第i与B的第j对应乘积的和,...

    矩阵并不是一个数而是可以表示一个比较复杂的模型(集合),而集合里封装着任意类型的值,而矩阵乘法则是一个比较重要的一个运算方式。

    先说一下矩阵乘法的定义:

    矩阵乘以矩阵的时候。

    这个结果是怎么算出来的?

     

    也就是说,结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值,等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列,对应位置的每个值的乘积之和。

    公式则是:其中cij为A的第i行与B的第j列对应乘积的和,即:

    Cij =Σaik*bkj(1<=i<=n,1<=j<=n,1<=k<=n)。

    Example(线性方程式)

    矩阵的最初目的,只是为线性方程组提供一个简写形式。

    附矩阵乘法的代码

    const int N=100;  
    int c[N][N];  //c是最终的矩阵
    void multi(int a[][N],int b[][N],int n)  
    {  
        memset(c,0,sizeof c);  
        for(int i=1;i<=n;i++)  
            for(int j=1;j<=n;j++)  
              for(int k=1;k<=n;k++)  
                c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];  
    } 

    快速幂

    求幂时我们常常会因结果太大而导致速度很慢,这时候我们就需要运用倍增的思想特殊的乘法应运而生————快速幂。

    举个例子,如果求a10,我们需要求十次,而如果我们用了快速幂就可以把a10转变为二进制的形式从而加快运算速度。

    而我们又知道ai=(ai/2)2

    因此就有如下代码

    总的来说就是把指数变小,底数变大,让运算次数变小的过程。(感觉我就这句话写的有用

    int fastpow(int a,int i)
    {
        int ans=1;//ans是最后的结果
        int res=a;//res就相当于上文中的a的i-1次方。
        while (i>0)
        {
            if (i%2==1)//因为当I是奇数的时候你就不能再把它分成2进制啦
                ans=ans*res;//这时候就将res乘上去
            res=res*res;//底数不停变大
            i=i/2;指数缩小
        }
        return ans;
    }

    接下来就是矩阵快速幂了。

    根据以上赘述,如果一个数能快速幂。那么一个矩阵也能快速幂。

    原因:只要满足结合律的数学运算就都可以使用快速幂

    把快速幂与矩阵乘法相结合就是矩阵快速幂,其中快速幂的过程并不需要修改,只要定义一个关于矩阵的结构体并重载一下乘法运算符就可以了,为了方便运算,同时尽量满足矩阵乘法的性质,下面的矩阵都是n*n的。

    这就是矩阵乘法代码:

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    long long n,k;
    const long long MOD=1000000007;
    struct Matrix
    {
      long long m[100][100];
    };
    Matrix A,E,ANS;
    Matrix cheng(Matrix X,Matrix Y)
    {
      Matrix C;
      for(long long i=1; i<=n; i++)
        for(long long j=1; j<=n; j++)
          {
            C.m[i][j]=0;
            for(long long l=1; l<=n; l++)
              C.m[i][j]=(C.m[i][j]+(X.m[i][l]*Y.m[l][j]))%MOD;
          }
      return C;
    }
    Matrix qsort(Matrix X,long long p)
    {
      Matrix S=E;
      while(p)
        {
          if(p&1) S=cheng(S,X);
          X=cheng(X,X);
          p>>=1;
        }
      return S;
    }
    int main()
    {
      scanf("%lld%lld",&n,&k);
      for(long long i=1; i<=n; i++)
        E.m[i][i]=1;
      for(long long i=1; i<=n; i++)
        for(long long j=1; j<=n; j++)
          scanf("%lld",&A.m[i][j]);
      ANS=qsort(A,k);
      for(long long i=1; i<=n; i++)
        {
          for(long long j=1; j<=n; j++)
            printf("%lld ",ANS.m[i][j]);
          puts("");
        }
      return 0;
    }

     

    这个有什么用呢,我们下面再说。

    矩阵优化

    利用矩阵,我们可以优化许多有关于递推和动态规划的问题。 我们先看一个简单的例子:斐波那契数列 我们知道斐波那契数列的递推式是

    F[i]=F[i−1]+F[i−2]。

    但是这样递推在i很大的时候效率不高,并且若不用滚动操作,空间消耗也很大。

    所以我们可以转变为:

    求F(n)等于求二阶矩阵的n - 1次方,结果取矩阵第一行第一列的元素。(因为要取矩阵的第一行才是Fn)。

    问题转换为二阶矩阵的n次幂。

    而计算二阶矩阵的N次幂运算,由于矩阵乘法满足结合律,这样,可以快速计算二阶矩阵的n次幂运算。

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/liuwenyao/p/8514920.html

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空空如也

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二行一列矩阵怎么算