线代基础建议去看看李永乐老师讲的，我这里只是把李永乐老师的笔记做了个总结（因为很实用很详细了）
 其实有很多概念我没写，我写的仅仅是对解题实战有帮助的内容
 关于矩阵的算法：<点这里>
 


 
文章目录
 
一、行列式的概念
1.1 二、三阶行列式
1.2 排列、逆序、逆序数
1.3 n阶行列式的概念
  
二、行列式的性质(行列同理)
经典例题
  
三、行列式按行(列)展开公式
3.1 代数余子式
定理
   
3.2 展开公式
3.2.1 范德蒙德行列式
相关例题
    
3.2.2 拉普拉斯行列式
相关例题
   
  
  
四、克拉默法则

 
一、行列式的概念
 
1.1 二、三阶行列式
 

 三阶的我在概念里面补充
 
1.2 排列、逆序、逆序数
 

 定理.对换改变列的奇偶性
 
任意一个n阶排列可经过一系列兑换变成自然排列
 
 定理.在全部n阶排列中，奇偶排列各占一半
 
1.3 n阶行列式的概念
 
 
二、行列式的性质(行列同理)
 

 我们用第四个性质来举个栗子
 蓝色部分满足性质3
 
 
经典例题
 
 
三、行列式按行(列)展开公式
 
取0最多的一行或一列来展开求解
 
 
3.1 代数余子式
 
 
定理
 
 
3.2 展开公式
 
下面两种行列式求解公式是超级常用的公式，一定要记住
 
3.2.1 范德蒙德行列式
 
 
相关例题
 
 
3.2.2 拉普拉斯行列式
 
 
相关例题
 
 
四、克拉默法则
 
具体解的部分会在写方程组的时候详细叙述，这里只是把与行列式有关的先提一下
 

 
行列式的计算方法有哪些呢?可能大部分同学并不知道。为了普及知识。下面是由出国留学网小编为大家整理的“行列式的计算方法总结”，仅供参考，欢迎大家阅读。
 
行列式的计算方法总结
 
第一、行列式的计算利用的是行列式的性质，而行列式的本质是一个数字，所以行列式的变化都是建立在已有性质的基础上的等量变化，改变的是行列式的“外观”。
 
第二、行列式的计算的一个基本思路就是通过行列式的性质把一个普通的行列式变化成为一个我们可以口算的行列式(比如，上三角，下三角，对角型，反对角，两行成比例等)
 
第三、行列式的计算最重要的两个性质：
 
(1)对换行列式中两行(列)位置，行列式反号
 
(2)把行列式的某一行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式不变
 
对于(1)主要注意：每一次交换都会出一个负号;换行(列)的主要目的就是调整0的位置，例如下题，只要调整一下第一行的位置，就能变成下三角。
 
拓展阅读：行列式的性质有哪些?
 
行列式与它的转置行列式相等;
 
互换行列式的两行(列)，行列式变号;
 
行列式的某一行(列)的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式;
 
行列式如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零;
 
若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和;
 
把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
 
行列式的定义是什么
 
n阶行列式实质上是一个n^2元的函数，当把n^2个元素都代上常数时，自然得到一个数。当我们写的时候，写成一个表是为了方便的反映函数的物性。当然，决不是指任何n^2元函数都是行列式，具体的行列式函数定义你找书一看看。为了让你自己觉得好理解一些，你可以试着照行列式的定义把行列式写成多项式和的常见形式，当然那个形式比较复杂，但本质上与行列式是一样的，只是写成行列式易于直观的做各种运算处理。...

 
行列式的计算方法(课堂讲解版).docx 
 
计算 n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算(按照某一列或某一行展开完全展开式)外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。1利用行列式定义直接计算例 计算行列式 01020nDn解 Dn 中不为零的项用一般形式表示为 .121nnaa该项列标排列的逆序数 t(n1 n21n)等于 ，故12.nn2利用行列式的性质计算例 一个 n 阶行列式 的元素满足 则称 Dn 为反对称nijDa,1,2,ijjia行列式， 证明奇数阶反对称行列式为零.证明由 知 ，即ijjiaii0,12,i n故行列式 Dn 可表示为 ，由行列式的性质 ，12312331230nnnaaaa A1232132312300nn nnnaDaa 123123312300nnnnaaa nD当 n 为奇数时，得 Dn D n，因而得 Dn 0.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。例 1 计算行列式 12313795045612D解 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上(下)三角行列式来计算 23145 2342231311-2310100204- 40552 2-D 4352 52413112310404 16 .0066 例 2 计算 n 阶行列式 1231231nnaaDaaa 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此 n 列之和全同将第 2，3，，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是 1 1223 2311223 231 12,2, 1 11 n n nnin n nniiiinaaaaaDaaaaa 31100 .1nnni i A 例 3 计算 n 阶行列式abbDba 解这个行列式的特点是每行(列)元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，，n 列都加到第 1 列上，行列式不变，得11abbaDnaba 11bbanba 00banab 1nn例 4浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第 2 小题(重庆大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题)的解答中需要计算如下行列式的值1231452121nnDn分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第 1 列开始；每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的，根据行列式的性质，先从第 n-1 列开始乘以1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以1 加到第 2 列。然后把第 1 行乘以1 加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解 112,2, 1121100311 00002120000112iinnnrinr n nDn nnnn 12112nn4降阶法(按行(列)展开法)降阶法是按某一行(或一列)展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例 1、计算 20 阶行列式 201318920276198321D分析这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行(列)展开法逐次降阶直至化许许多多个2 阶行列式计算，需进行 20*201 次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是 n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列(行)的对应元素仅差 1，因此，可按下述方法计算解 1120 2018,2,0 911318920227316 1198322013402210iii crD 8例 2 计算 n 阶行列式010010naDa解 将 Dn 按第 1 行展开1000000nn aa aa .12nnna2na例 3 计算 n(n2)阶行列式 001100aDa 解 按第一行展开，得 100000naD aa 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到 112221nnn nnnDaaaa5递(逆)推公式法递推法是根据行列式的构造特点，建立起 与 的递推关系式，逐步推下去，从而求出 的值。 有时也可以找到 与 ， 的递推关系，最后利用 ， 得到 的值。 注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。例 1 计算行列式 .100010 nD解将行列式按第 列展开,有 ,n 2nnn D11211,n nDD得 。nnnn 232同理得 , nnD1.,;1nn例 2 计算 ayyxxayn 解111 000 nnnnxayDa xaxyaxyy ayxxyaxyaD 同理 1n联立解得 ,yxyxnn )当 时,yx 12112 1n nnn nDaaaDxaxx x 例 3 计算 n 阶行列式 12211000nnnxDxaa 解 首先建立递推关系式按第一列展开，得 1 1111232110000 00n nnn n nnnx xDaxDaxDaxaa ，这里 与 有相同的结构，但阶数是 的行列式1nD 1n现在，利用递推关系式计算结果对此，只需反复进行代换，得 22 122211321 1 nnnnnnnn nnxaxDaxDaxxDaxa ，因 ，故 1 1最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的当 时，显然成立设对 阶的情形结果正确，往证对 n 阶的情形也正确由nn、12 11 21 1 n nn nDxaxaxaxaxa ，可知，对 n 阶的行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数 n，结论成立例 4 证明 n 阶行列式 2100112nDn 证明 按第一列展开，得 2000011212120000n 其中，等号右边的第一个行列式是与 有相同结构但阶数为 的行列式，记作 ；第二nD1n1nD个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与 有相同结构但阶数为 的行列式，记2作 2nD这样，就有递推关系式 12nnD因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当 时， ，结论正确当 时， ，结论正确1n12213D设对 的情形结论正确，往证 时结论也正确 k kn由 可知，对 n 阶行列式结果也成立121nnD根据归纳法原理，对任意的正整数 n，结论成立例 5、2003 年福州大学研究生入学考试试题第二大题第 10 小题要证如下行列式等式001001nD1,n证 明 其 中(虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。 )分析此行列式的特点是除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式 1。从行列式的左上方往右下方看，即知 Dn-1与 Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明D n按第 1 列展开，再将展开后的第二项中 n-1 阶行列式按第一行展开有12nnnD ( ) 这是由 Dn-1 和 Dn-2表示 Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从 n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由 n-1 阶和 n-2 阶行列式表示 n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为 11212nnnnn ( )或 ( )现可反复用低阶代替高阶，有 2311 42 211nnnnnnnDDDD ( ) ( ) ( ) ( ) 同样有 2311 42 212nnnnnnn ( ) ( ) ( ) ( )因此当 时由(1) (2)式可解得 ，证毕。1nD6利用范德蒙行列式根据行列式的特点，适当变形(利用行列式的性质如提取公因式；互换两行(列) ；一行乘以适当的数加到另一行(列)去； ... 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。 例 1 计算行列式122 21121nnnnxxDx解 把第 1 行的1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n1 行的1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式 1221112nijijnnxxDxxx例 2 计算 阶行列式 其1n1211122221211nnnnnnnabaabD 中 1210na解 这个行列式的每一行元素的形状都是 ， 0，1，2，，n即 按降幂排列，nkiiabia按升幂排列，且次数之和都是 n，又因 ，若在第 i 行( 1，2，，n)提出公因子 ，ib 0i ni则 D 可化为一个转置的范德蒙行列式，即 21112221121 112111 .nn jnn nii ijijji jinnnnbbaaba baabbaa 例 3 计算行列式 .xyzyD22解

                       行列式计算方法之三角形法
 
三角法计算行列式
 
三角法是一种利用行列式的性质把原有的行列式转换为上三角、下三角、对角线的一种计算方法。
 
按列消除化成三角型
 
计算n+1阶行列式的值
 
 
解答详解 
 
#1 思路:
Step1:观察该行列式，发现内部的规律。
Step2:总结规律不难发现该行列式符合三角型的特点,即行列式上、下脚大量0，行列式第1行、第1列、对角线元素不为0。
Step3: 化成上三角，这里围绕第1列进行消除(即除第一个元素其余元素结尾0)

#2实操
Step1: 第n列的(-cn/an)倍加到第1列上去。
同理第2... n-1列。
 
 
 
Step2: 整理第1行第列的式子（以求和方式写出简化形式）
 
 
Step3:结合上三角角的性质（及行列式的值为对角线元素之积），则
得到最终结果：
 
 
同理如下例子也可以按照列消除化为三角形。
 
这里是n阶行列式D,其中，=max{i，n-j+1}。 
 
 
#1思路
Step1:将第i列的-1倍加到第j列上，这里j=i+1，i>1,j<n+1，则会化成：
 
 
Step2：再结合对角形行列式的性质得到最终结果: 
 
 
按行消除化成三角型
 
计算n+1阶行列式:
 
 
解答详解
 
#思路
第1行的-1倍加到第i行上去，这里 。则得
 
 
Step2不难得到最终结果,即
 
 
提取公因子按行消除化三角形
 
计算如下n阶行列式的值。
 
解答详解
 
#1思路
 
Step 0这里约定i代表行、j代表列，行列式用D(Determinat缩写)表示。
Step1 观察该行列式，发现内部的规律。
Step2 总结规律并用数学语言总结，这里不难发现
      1    D_ij = 0 当i=j时
      2	 D_ij = 1，当i≠j时
      3  某一行或列相加都等于n-1	
Step3 根据以上规律，着手利用行列式性质变换该行列式。
	 1 将每1个行或列加到第1行、列上去（根据性质，行列式值不变）。
	 2 提取公因子，则此时第第1行、列的元素全为1。
	 3 以第1行、列为轴，乘以-1分别加到其它列上去（根据性质，行列式值不变）
     4 化成下三角后，由下三角的性质直接得出结果。
 
#2实操
 
Step1 : 从2到n行执行操作:每一行对应元素加到第1行上去。
 
 
Step2 : 对第1行提取公因子n-1即可如下结果。
 
 
Step3 : 从2到n行执行操作:第1行的-1倍加到每一行对应元素上去。
 
 
 
Step4 : 此时根据上三角的特点，得最终结果即
 
 
提取公因子按列消除化三角形
 
计算4阶行列式的值。
 
 
解答详解
 
#1 思路
Step1 观察该行列式，总结其规律
Step2 不难发现每一列都加到第1列上会产生公因子x
Step3 提取公因子，然后以第1列为轴，分别与其它行做倍数消除。
#2 实操

Step1；第n列加到第1列上去，这里n为2、3、4。
 
 
Step2；提取公因子x，则有
 
 
Step3；第4行的-1倍加到第1、2、3行上去。
 
 
 
Step4；交换第1、4列，第2、3列则有
 
 
注:这里2次交换列是为了计算方便，选作。

Step5；根据上三角的性质，不难得到最终结果为