2，　二进制数的算术运算
2.1　二进制数的算术运算
二进制数的算术运算包括加法、减法、乘法和除法。
1)加法运算
加法进位规则:逢二进一。
加法运算法则:
0+0=0
0+1=1+0=1
1+1=10(向高位进位)
例:(1101)2+(1011)2=?，解算如下:

从执行加法的过程可知，两个二进制数相加时，每一位是3个数参加运算，除被加数位加上加数位外，还要加来自低位的进位(进位是0或1)。
2)减法运算
减法借位规则:借一当二。
减法运算法则:
0－0=1－1=0
1－0=1
0－1=1(向高位借位)
例:(11000011)2－(00101101)2=?，解算如下:

从执行减法的过程可知，两个二进制数相减时，每一位也是3个数参加运算，除被减数位减去减数位外，还要减去来自低位的借位(进位是0或1)。
3)　乘法运算
乘法运算法则:
0×0=0
0×1=1×0=0
1×1=1
例:(1110)2×(1101)2=?，解算如下:

从执行乘法的过程可知，从乘数的低位开始每一位与被乘数相乘得到一个部分积，乘数的相应位是0时，部分积为0，乘数的相应位是1时，部分积为被乘数，每一次的部分积均依次左移一位，部分积的个数是乘数的位数，将各部分积累加起来就得到最终乘积。
4)除法运算
除法运算法则:
0÷0=0
0÷1=0(1÷0无意义)
1÷1=1
例:(100110)2÷(110)2=?，解算如下:
在计算机内部，二进制加法运算是基本运算，减法可以用补码加法来实现，乘法和除法也可以用加法和移位操作来实现。
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一、什么是加法器
　　加法器是为了实现加法的。
　　即是产生数的和的装置。加数和被加数为输入，和数与进位为输出的装置为半加器。若加数、被加数与低位的进位数为输入，而和数与进位为输出则为全加器。常用作计算机算术逻辑部件，执行逻辑操作、移位与指令调用。
　对于1位的二进制加法，相关的有五个的量：1，被加数A，2，被加数B，3，前一位的进位CIN，4，此位二数相加的和S，5，此位二数相加产生的进位COUT。前三个量为输入量，后两个量为输出量，五个量均为1位。
　　对于32位的二进制加法，相关的也有五个量：1，被加数A(32位)，2，被加数B(32位)，3，前一位的进位CIN(1位
4，此位二数相加的和S(32位)，5，此位二数相加产生的进位COUT(1位)。
　　要实现32位的二进制加法，一种自然的想法就是将1位的二进制加法重复32次(即逐位进位加法器)。这样做无疑是可行且易行的，但由于每一位的CIN都是由前一位的COUT提供的，所以第2位必须在第1位计算出结果后，才能开始计算;第3位必须在第2位计算出结果后，才能开始计算，等等。而的第32位必须在前31位全部计算出结果后，才能开始计算。这样的方法，使得实现32位的二进制加法所需的时间是实现1位的二进制加法的时间的32倍。
　　基本方法
　　可以看出，上法是将32位的加法1位1位串行进行的，要缩短进行的时间，就应设法使上叙进行过程并行化。
　　类型
　　以单位元的加法器来说，有两种基本的类型：半加器和全加器。
　　半加器有两个输入和两个输出，输入可以标识为 A、B 或 X、Y，输出通常标识为合 S 和进制 C。A 和 B 经 XOR 运算后即为 S，经 AND 运算后即为 C。
　　全加器引入了进制值的输入，以计算较大的数。为区分全加器的两个进制线，在输入端的记作 Ci 或 Cin，在输出端的则记作 Co 或 Cout。半加器简写为 H.A.，全加器简写为 F.A.。
　　半加器：半加器的电路图半加器有两个二进制的输入，其将输入的值相加，并输出结果到和(Sum)和进制(Carry)。半加器虽能产生进制值，但半加器本身并不能处理进制值。
　　全加器：全加器三个二进制的输入，其中一个是进制值的输入，所以全加器可以处理进制值。全加器可以用两个半加器组合而成。
　　注意，进制输出端的末个 OR闸，也可用 XOR闸来代替，且无需更改其余的部分。因为 OR 闸和 XOR 闸只有当输入皆为 1 时才有差别，而这个可能性已不存在。
　　二、加法器原理
　　设一个n位的加法器的第i位输入为ai、bi、ci，输出si和ci+1，其中ci是低位来的进位，ci+1(i=n-1，n-2，…，1，0)是向高位的进位，c0是整个加法器的进位输入，而cn是整个加法器的进位输出。则和
　　si=aiii+ibii+iici+aibici ，(1)进位ci+1=aibi+aici+bici ，(2)
　　令 gi=aibi， (3)
　　pi=ai+bi， (4)
　　则 ci+1= gi+pici， (5)
　　只要aibi=1，就会产生向i+1位的进位，称g为进位产生函数;同样，只要ai+bi=1，就会把ci传递到i+1位，所以称p为进位传递函数。把式(5)展开，得到：ci+1= gi+ pigi-1+pipi-1gi-2+…+ pipi-1…p1g0+ pipi-1…p0c0(6) 。
　　随着位数的增加式(6)会加长，但总保持三个逻辑级的深度，因此形成进位的延迟是与位数无关的常数。一旦进位(c1~cn-1)算出以后，和也就可由式(1)得出。
　　使用上述公式来并行产生所有进位的加法器就是超前进位加法器。产生gi和pi需要门延迟，ci 需要两级，si需要两级，总共需要五级门延迟。与串联加法器(一般要2n级门延迟)相比，(特别是n比较大的时候)超前进位加法器的延迟时间大大缩短了。
　　三、反相加法器等效原理图
　　反相加法器电路，又称为反相求和电路，是指一路以上输入信号进入反相输入端，输出结果为多路信号相加之(电压极性相反)。如图中的a电路，当R1=R2=R3=R4时，其输出电压=IN1+IN2+IN3的，即构成反相加法器电路。当R4》R1时，电路兼有信号放大作用。
　　图 反相加法器和原理等效图
　　反相加法器的基本电路结构为反相放大器，由其“虚地”特性可知，两输入端俱为0V地电位。这就决定了电路的控制目的，是使反相输入端电位为0V(同相输入端目标值为0V)。以上图a电路电路参数和输入信号值为例进行分析，则可得出如上图b所示的等效图。反相加法器的偏置电路总体上仍为串联分压的电路形式，但输入回路中又涉及了电阻并联分流的电路原理，可列等式：IR4=IR1+IR2+IR3。反相加法器的“机密”由此得以披露。
　　由于反相输入端为地电位0V，因而当输入信号IN3=0V时该支路无信号电流产生，相当于没有信号输入，由此变为IN1+IN2=-OUT。当IR1(1V/10k)=0.1mA，IR2(1V/10k)=0.1mA，此时只有当OUT输出为-2V时，才满足IR4=IR1+IR2的条件。
　　若将原理等效图进一步化简(见图中的c电路)，一个非常熟悉的身影便会映入我们的脑海：这不就是反相放大器电路吗?是的，没错，反相求和(反相加法器)电路，就是反相(含放大和衰减)器啊。
　　实际应用中，因同相加法器存在明显缺陷，因输入阻抗极高，信号输入电流只能经多个IN端自成回路(会造成输入信号电压相互牵涉而变化导致较大的运算误差)，除非各种IN信号源内阻非常小，才不会影响计算精度。因而应用较少。反相求和电路因其“虚地”特性，输入阻抗极低，使各路信号输入电流以“汇流模式”进入输入端，不会造成各输入信号之间的电流流动，故能保障运算精度，应用较多。
　　四、反相加法器电路与原理(图)
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不用算术运算符实现两个数的加法(按位异或)


　　对于二进制的加法运算，若不考虑进位，则1+1=0,1+0=1,0+1=1,0+0=0,通过对比异或，不难发现，此方法与异或运算类似。因而排出进位，加法可用异或来实现。然后考虑进位，0+0进位为0,1+0进位为1,0+1进位为0，1+1进位为1，该操作与位运算的&操作相似。

　　那么加法运算可以这样实现：

　　1）先不考虑进位，按位计算各位累加（用异或实现），得到值a；

　　2）然后在考虑进位，并将进位的值左移，得值b，若b为0，则a就是加法运算的结果，若b不为0，则a+b即得结果（递归调用该函数）。

　　算法代码如下（非vs平台）：


1 int bitAdd(int a,int b)
2 {
3     if(b==0)
4         return a;
5     int sum = a^b;
6     int carry =(a&b)<<1;
7     return bitAdd(sum,carry);
8 }



技巧题：实现1+2+3+4+……+n的值。

假设n=100;在vs平台下的代码为：


 1 #include <stdio.h>
 2 #include<stdlib.h>
 3 int bitAdd(int a,int b)
 4 {
 5     int sum=0,carry=0;
 6     if(b==0)
 7         return a;
 8     sum = a^b;
 9     carry =(a&b)<<1;
10     return bitAdd(sum,carry);
11 }
12 
13 int main()
14 {
15     int i,sum=0 ,n = 100;
16     for (i = 1;i<=n ;i++ )
17     {
18         sum = bitAdd(sum,i);
19     }
20     printf("1+2+3+…+%d = %d\n",n,sum);
21     system("pause");
22     return 0;
23 }



运行结果为：



程序运行正确。

对于二进制加法运算，若不考虑进位，则1+1=0,1+0=1，0+1=1,0+0=0，通过对比异或，不难发现，此方法与异或类似。因而排除进位，加法可以用异或来实现。
然后考虑进位，0+0的进位为0,1+0的进位为0，只用1+1的进位为1，该操作与位运算的&操作类似。
那么加法运算可以这样实现：
1）先不考虑进位，按位计算各位累加（用异或实现），得a;
2）然后计算进位，并将进位的值左移，得值b,若b为0，则a就是加法运算的结果；若b不为0，则a+b即得结果（递归调用该函数）。