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  • 进制算术运算

    千次阅读 2019-10-27 11:24:54
    2, 进制算术运算 2.1 进制算术运算 进制算术运算包括加法...从执行加法的过程可知,两个进制相加时,每一位是3个参加运算,除被加位加上加位外,还要加来自低位的进位(进位是0或1)。...

    2, 二进制数的算术运算

    2.1 二进制数的算术运算

    二进制数的算术运算包括加法、减法、乘法和除法。

    1)加法运算

    加法进位规则:逢二进一

    加法运算法则:

    0+0=0

    0+1=1+0=1

    1+1=10(向高位进位)

    例:(1101)2+(1011)2=?,解算如下:

    img7

    从执行加法的过程可知,两个二进制数相加时,每一位是3个数参加运算,除被加数位加上加数位外,还要加来自低位的进位(进位是0或1)。

    2)减法运算

    减法借位规则:借一当二

    减法运算法则:

    0-0=1-1=0

    1-0=1

    0-1=1(向高位借位)

    例:(11000011)2-(00101101)2=?,解算如下:

    img8

    从执行减法的过程可知,两个二进制数相减时,每一位也是3个数参加运算,除被减数位减去减数位外,还要减去来自低位的借位(进位是0或1)。

    3) 乘法运算

    乘法运算法则:

    0×0=0

    0×1=1×0=0

    1×1=1

    例:(1110)2×(1101)2=?,解算如下:

    在这里插入图片描述

    从执行乘法的过程可知,从乘数的低位开始每一位与被乘数相乘得到一个部分积,乘数的相应位是0时,部分积为0,乘数的相应位是1时,部分积为被乘数,每一次的部分积均依次左移一位,部分积的个数是乘数的位数,将各部分积累加起来就得到最终乘积

    4)除法运算

    除法运算法则:

    0÷0=0

    0÷1=0(1÷0无意义)

    1÷1=1

    例:(100110)2÷(110)2=?,解算如下:

    在计算机内部,二进制加法运算是基本运算,减法可以用补码加法来实现,乘法和除法也可以用加法和移位操作来实现。

    img10

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  • 若加数、被加数与低位的进位数为输入,而和数与进位为输出则为全加器。常用作计算机算术逻辑部件,执行逻辑操作、移位与指令调用。 对于1位的进制加法,相关的有五个的量:1,被加数A,2,被加数B,3,前一位的...

    一、什么是加法器

      加法器是为了实现加法的。

      即是产生数的和的装置。加数和被加数为输入,和数与进位为输出的装置为半加器。若加数、被加数与低位的进位数为输入,而和数与进位为输出则为全加器。常用作计算机算术逻辑部件,执行逻辑操作、移位与指令调用。

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     对于1位的二进制加法,相关的有五个的量:1,被加数A,2,被加数B,3,前一位的进位CIN,4,此位二数相加的和S,5,此位二数相加产生的进位COUT。前三个量为输入量,后两个量为输出量,五个量均为1位。

      对于32位的二进制加法,相关的也有五个量:1,被加数A(32位),2,被加数B(32位),3,前一位的进位CIN(1位

    v2-3058b842a972bf75d067df7b0a54d831_b.jpg

    4,此位二数相加的和S(32位),5,此位二数相加产生的进位COUT(1位)。

      要实现32位的二进制加法,一种自然的想法就是将1位的二进制加法重复32次(即逐位进位加法器)。这样做无疑是可行且易行的,但由于每一位的CIN都是由前一位的COUT提供的,所以第2位必须在第1位计算出结果后,才能开始计算;第3位必须在第2位计算出结果后,才能开始计算,等等。而的第32位必须在前31位全部计算出结果后,才能开始计算。这样的方法,使得实现32位的二进制加法所需的时间是实现1位的二进制加法的时间的32倍。

      基本方法

      可以看出,上法是将32位的加法1位1位串行进行的,要缩短进行的时间,就应设法使上叙进行过程并行化。

      类型

    v2-8b54d6596332980b06b1e3f5dc8c94b1_b.jpg

      以单位元的加法器来说,有两种基本的类型:半加器和全加器。

      半加器有两个输入和两个输出,输入可以标识为 A、B 或 X、Y,输出通常标识为合 S 和进制 C。A 和 B 经 XOR 运算后即为 S,经 AND 运算后即为 C。

      全加器引入了进制值的输入,以计算较大的数。为区分全加器的两个进制线,在输入端的记作 Ci 或 Cin,在输出端的则记作 Co 或 Cout。半加器简写为 H.A.,全加器简写为 F.A.。

      半加器:半加器的电路图半加器有两个二进制的输入,其将输入的值相加,并输出结果到和(Sum)和进制(Carry)。半加器虽能产生进制值,但半加器本身并不能处理进制值。

      全加器:全加器三个二进制的输入,其中一个是进制值的输入,所以全加器可以处理进制值。全加器可以用两个半加器组合而成。

      注意,进制输出端的末个 OR闸,也可用 XOR闸来代替,且无需更改其余的部分。因为 OR 闸和 XOR 闸只有当输入皆为 1 时才有差别,而这个可能性已不存在。

      二、加法器原理

      设一个n位的加法器的第i位输入为ai、bi、ci,输出si和ci+1,其中ci是低位来的进位,ci+1(i=n-1,n-2,…,1,0)是向高位的进位,c0是整个加法器的进位输入,而cn是整个加法器的进位输出。则和

    v2-ad33ccb0ade1e04587709440f2663de9_b.jpg

      si=aiii+ibii+iici+aibici ,(1)进位ci+1=aibi+aici+bici ,(2)

      令 gi=aibi, (3)

      pi=ai+bi, (4)

      则 ci+1= gi+pici, (5)

      只要aibi=1,就会产生向i+1位的进位,称g为进位产生函数;同样,只要ai+bi=1,就会把ci传递到i+1位,所以称p为进位传递函数。把式(5)展开,得到:ci+1= gi+ pigi-1+pipi-1gi-2+…+ pipi-1…p1g0+ pipi-1…p0c0(6) 。

      随着位数的增加式(6)会加长,但总保持三个逻辑级的深度,因此形成进位的延迟是与位数无关的常数。一旦进位(c1~cn-1)算出以后,和也就可由式(1)得出。

      使用上述公式来并行产生所有进位的加法器就是超前进位加法器。产生gi和pi需要门延迟,ci 需要两级,si需要两级,总共需要五级门延迟。与串联加法器(一般要2n级门延迟)相比,(特别是n比较大的时候)超前进位加法器的延迟时间大大缩短了。

      三、反相加法器等效原理图

      反相加法器电路,又称为反相求和电路,是指一路以上输入信号进入反相输入端,输出结果为多路信号相加之(电压极性相反)。如图中的a电路,当R1=R2=R3=R4时,其输出电压=IN1+IN2+IN3的,即构成反相加法器电路。当R4》R1时,电路兼有信号放大作用。

    v2-633b51448d4aaede5ad5480f545730a3_b.jpg

      图 反相加法器和原理等效图

      反相加法器的基本电路结构为反相放大器,由其“虚地”特性可知,两输入端俱为0V地电位。这就决定了电路的控制目的,是使反相输入端电位为0V(同相输入端目标值为0V)。以上图a电路电路参数和输入信号值为例进行分析,则可得出如上图b所示的等效图。反相加法器的偏置电路总体上仍为串联分压的电路形式,但输入回路中又涉及了电阻并联分流的电路原理,可列等式:IR4=IR1+IR2+IR3。反相加法器的“机密”由此得以披露。

      由于反相输入端为地电位0V,因而当输入信号IN3=0V时该支路无信号电流产生,相当于没有信号输入,由此变为IN1+IN2=-OUT。当IR1(1V/10k)=0.1mA,IR2(1V/10k)=0.1mA,此时只有当OUT输出为-2V时,才满足IR4=IR1+IR2的条件。

      若将原理等效图进一步化简(见图中的c电路),一个非常熟悉的身影便会映入我们的脑海:这不就是反相放大器电路吗?是的,没错,反相求和(反相加法器)电路,就是反相(含放大和衰减)器啊。

      实际应用中,因同相加法器存在明显缺陷,因输入阻抗极高,信号输入电流只能经多个IN端自成回路(会造成输入信号电压相互牵涉而变化导致较大的运算误差),除非各种IN信号源内阻非常小,才不会影响计算精度。因而应用较少。反相求和电路因其“虚地”特性,输入阻抗极低,使各路信号输入电流以“汇流模式”进入输入端,不会造成各输入信号之间的电流流动,故能保障运算精度,应用较多。

      四、反相加法器电路与原理(图)

    v2-633b51448d4aaede5ad5480f545730a3_b.jpg

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  • 不用算术运算符实现两个加法(按位异或)  对于进制的加法运算,若不考虑进位,则1+1=0,1+0=1,0+1=1,0+0=0,通过对比异或,不难发现,此方法与异或运算类似。因而排出进位加法可用异或来实现。然后考虑...

    不用算术运算符实现两个数的加法(按位异或)

      对于二进制的加法运算,若不考虑进位,则1+1=0,1+0=1,0+1=1,0+0=0,通过对比异或,不难发现,此方法与异或运算类似。因而排出进位,加法可用异或来实现。然后考虑进位,0+0进位为0,1+0进位为1,0+1进位为0,1+1进位为1,该操作与位运算的&操作相似。

      那么加法运算可以这样实现:

      1)先不考虑进位,按位计算各位累加(用异或实现),得到值a;

      2)然后在考虑进位,并将进位的值左移,得值b,若b为0,则a就是加法运算的结果,若b不为0,则a+b即得结果(递归调用该函数)。

      算法代码如下(非vs平台):

    复制代码
    1 int bitAdd(int a,int b)
    2 {
    3     if(b==0)
    4         return a;
    5     int sum = a^b;
    6     int carry =(a&b)<<1;
    7     return bitAdd(sum,carry);
    8 }
    复制代码

    技巧题:实现1+2+3+4+……+n的值。

    假设n=100;在vs平台下的代码为:

    复制代码
     1 #include <stdio.h>
     2 #include<stdlib.h>
     3 int bitAdd(int a,int b)
     4 {
     5     int sum=0,carry=0;
     6     if(b==0)
     7         return a;
     8     sum = a^b;
     9     carry =(a&b)<<1;
    10     return bitAdd(sum,carry);
    11 }
    12 
    13 int main()
    14 {
    15     int i,sum=0 ,n = 100;
    16     for (i = 1;i<=n ;i++ )
    17     {
    18         sum = bitAdd(sum,i);
    19     }
    20     printf("1+2+3+…+%d = %d\n",n,sum);
    21     system("pause");
    22     return 0;
    23 }
    复制代码

    运行结果为:

    程序运行正确。

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  • 对于进制加法运算,若不考虑进位,则1+1=0,1+0=1,0+1=1,0+0=0,通过对比异或,不难发现,此方法与异或类似。因而排除进位加法可以用异或来实现。 然后考虑进位,0+0的进位为0,1+0的进位为0,只用1+1的进位为1...

    对于二进制加法运算,若不考虑进位,则1+1=0,1+0=1,0+1=1,0+0=0,通过对比异或,不难发现,此方法与异或类似。因而排除进位,加法可以用异或来实现。

    然后考虑进位,0+0的进位为0,1+0的进位为0,只用1+1的进位为1,该操作与位运算的&操作类似。

    那么加法运算可以这样实现:

    1)先不考虑进位,按位计算各位累加(用异或实现),得a;

    2)然后计算进位,并将进位的值左移,得值b,若b为0,则a就是加法运算的结果;若b不为0,则a+b即得结果(递归调用该函数)。

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