进制转换：二进制、八进制、十六进制、十进制之间的转换
 
不同进制之间的转换在编程中经常会用到，尤其是C语言。
 
将二进制、八进制、十六进制转换为十进制
 
二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易，就是“按权相加”。所谓“权”，也即“位权”。
 
假设当前数字是N进制，那么：
 
对于整数部分，从右往左看，第i位的位权等于Ni-1
 
对于小数部分，恰好相反，要从左往右看，第j位的位权为N-j。
 
更加通俗的理解是，假设一个多位数（由多个数字组成的数）某位上的数字是1，那么它所表示的数值大小就是该位的位权。
 
1) 整数部分
 
例如，将八进制数字53627转换成十进制：
 
53627 = 5×84 + 3×83 + 6×82 + 2×81 + 7×80 = 22423（十进制）
 
从右往左看，第1位的位权为 80=1，第2位的位权为 81=8，第3位的位权为 82=64，第4位的位权为 83=512，第5位的位权为 84=4096 …… 第n位的位权就为 8n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。
 
注意，这里我们需要以十进制形式来表示位权。
 
再如，将十六进制数字9FA8C转换成十进制：
 
9FA8C = 9×164 + 15×163 + 10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964（十进制）
 
从右往左看，第1位的位权为160=1，第2位的位权为 161=16，第3位的位权为 162=256，第4位的位权为 163=4096，第5位的位权为 164=65536 …… 第n位的位权就为16n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。
 
将二进制数字转换成十进制也是类似的道理：
 
11010 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 26（十进制）
 
从右往左看，第1位的位权为20=1，第2位的位权为21=2，第3位的位权为22=4，第4位的位权为23=8，第5位的位权为24=16 …… 第n位的位权就为2n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。
 
2) 小数部分
 
例如，将八进制数字423.5176转换成十进制：
 
423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875（十进制）
 
小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 8-1=1/8，第2位的位权为 8-2=1/64，第3位的位权为 8-3=1/512，第4位的位权为 8-4=1/4096 …… 第m位的位权就为 8-m。
 
再如，将二进制数字 1010.1101 转换成十进制：
 
1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125（十进制）
 
小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 2-1=1/2，第2位的位权为 2-2=1/4，第3位的位权为 2-3=1/8，第4位的位权为 2-4=1/16 …… 第m位的位权就为 2-m。
 
更多转换成十进制的例子：
 
二进制：1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9（十进制）
 
二进制：101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625（十进制）
 
八进制：302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194（十进制）
 
八进制：302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375（十进制）
 
十六进制：EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751（十进制）
 
将十进制转换为二进制、八进制、十六进制
 
将十进制转换为其它进制时比较复杂，整数部分和小数部分的算法不一样，下面我们分别讲解。
 
1) 整数部分
 
十进制整数转换为N进制整数采用“除N取余，逆序排列”法。具体做法是：
 
将N作为除数，用十进制整数除以N，可以得到一个商和余数；
 
保留余数，用商继续除以N，又得到一个新的商和余数；
 
仍然保留余数，用商继续除以N，还会得到一个新的商和余数；
 
……
 
如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以N，直到商为0时为止。
 
把先得到的余数作为N进制数的低位数字，后得到的余数作为N进制数的高位数字，依次排列起来，就得到了N进制数字。
 
下图演示了将十进制数字36926转换成八进制的过程：
 
 
从图中得知，十进制数字36926转换成八进制的结果为110076。
 
下图演示了将十进制数字42转换成二进制的过程：
 
 
从图中得知，十进制数字42转换成二进制的结果为101010。
 
2) 小数部分
 
十进制小数转换成N进制小数采用“乘N取整，顺序排列”法。具体做法是：
 
用N乘以十进制小数，可以得到一个积，这个积包含了整数部分和小数部分；
 
将积的整数部分取出，再用N乘以余下的小数部分，又得到一个新的积；
 
再将积的整数部分取出，继续用N乘以余下的小数部分；
 
……
 
如此反复进行，每次都取出整数部分，用N接着乘以小数部分，直到积中的小数部分为0，或者达到所要求的精度为止。
 
把取出的整数部分按顺序排列起来，先取出的整数作为N进制小数的高位数字，后取出的整数作为低位数字，这样就得到了N进制小数。
 
下图演示了将十进制小数0.930908203125转换成八进制小数的过程：
 
 
从图中得知，十进制小数0.930908203125转换成八进制小数的结果为0.7345。
 
下图演示了将十进制小数0.6875 转换成二进制小数的过程：
 
 
从图中得知，十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011。
 
如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分，那么将整数部分和小数部分开，分别按照上面的方法完成转换，然后再合并在一起即可。例如：
 
十进制数字 36926.930908203125 转换成八进制的结果为 110076.7345；
 
十进制数字 42.6875 转换成二进制的结果为 101010.1011。
 
下表列出了前17个十进制整数与二进制、八进制、十六进制的对应关系：
 
 
十进制
 
 
0
 
 
1
 
 
2
 
 
3
 
 
4
 
 
5
 
 
6
 
 
7
 
 
8
 
 
9
 
 
10
 
 
11
 
 
12
 
 
13
 
 
14
 
 
15
 
 
16
 
 
二进制
 
 
0
 
 
1
 
 
10
 
 
11
 
 
100
 
 
101
 
 
110
 
 
111
 
 
1000
 
 
1001
 
 
1010
 
 
1011
 
 
1100
 
 
1101
 
 
1110
 
 
1111
 
 
10000
 
 
八进制
 
 
0
 
 
1
 
 
2
 
 
3
 
 
4
 
 
5
 
 
6
 
 
7
 
 
10
 
 
11
 
 
12
 
 
13
 
 
14
 
 
15
 
 
16
 
 
17
 
 
20
 
 
十六进制
 
 
0
 
 
1
 
 
2
 
 
3
 
 
4
 
 
5
 
 
6
 
 
7
 
 
8
 
 
9
 
 
A
 
 
B
 
 
C
 
 
D
 
 
E
 
 
F
 
 
10
 
注意，十进制小数转换成其他进制小数时，结果有可能是一个无限位的小数。请看下面的例子：
 
十进制0.51对应的二进制为0.100000101000111101011100001010001111010111...，是一个循环小数；
 
十进制0.72对应的二进制为0.1011100001010001111010111000010100011110...，是一个循环小数；
 
十进制0.625对应的二进制为0.101，是一个有限小数。
 
二进制和八进制、十六进制的转换
 
其实，任何进制之间的转换都可以使用上面讲到的方法，只不过有时比较麻烦，所以一般针对不同的进制采取不同的方法。将二进制转换为八进制和十六进制时就有非常简洁的方法，反之亦然。
 
1) 二进制整数和八进制整数之间的转换
 
二进制整数转换为八进制整数时，每三位二进制数字转换为一位八进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足三位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 1110111100 转换为八进制：
 
 
从图中可以看出，二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674。
 
八进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位八进制数字转换为三位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制：
 
 
从图中可以看出，八进制整数 2743 转换为二进制的结果为 10111100011。
 
2) 二进制整数和十六进制整数之间的转换
 
二进制整数转换为十六进制整数时，每四位二进制数字转换为一位十六进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足四位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制：
 
 
从图中可以看出，二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C。
 
十六进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位十六进制数字转换为四位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制：
 
 
从图中可以看出，十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。
 
在C语言编程中，二进制、八进制、十六进制之间几乎不会涉及小数的转换，所以这里我们只讲整数的转换，大家学以致用足以。另外，八进制和十六进制之间也极少直接转换，这里我们也不再讲解了。

一、绪论
 
十六进制（Hexadecimal）：在数学中是一种逢16进1的进位制。一般用数字0到9和字母A到F（或a~f）表示，其中:A~F表示10~15。
 
十进制（Decimal System）：每相邻的两个计数单位之间的进率都为十；十进制是中华民族的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。著名的英国科学史学家李约瑟教授曾对中国商代记数法予以很高的评价，"如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了"，李约瑟说："总的说来，商代的数字系统比同一时代的古巴比伦和古埃及更为先进更为科学。"
 
八进制（Octal）：一种以8为基数的计数法，采用0，1，2，3，4，5，6，7八个数字，逢八进1。一些编程语言中常常以数字0开始表明该数字是八进制。八进制的数和二进制数可以按位对应（八进制一位对应二进制三位），因此常应用在计算机语言中。
 
二进制（binary）：在数学和数字电路中指以2为基数的记数系统，以2为基数代表系统是二进位制的。这一系统中，通常用两个不同的符号0（代表零）和1（代表一）来表示。
 
二、进制之间转换原则
 
转换原则：不同进制之间的转换本质就是确定各个不同权值位置上的数码。转换正整数的进制的有一个简单算法，就是通过用目标基数作长除法；余数给出从最低位开始的“数字”
 
基于上述原则详细解释十进制转换成二进制：
 
十进制整数部分转换：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。
 
十进制小数部分转换：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。
 
三、具体代码
 
#include <stdio.h>
#define BASE_SIZE 32
#define HEX 16

int binary_conversion( int value_t , int target_system_t )
{
  int value = value_t;
  int target_system = target_system_t;
  int target_value [BASE_SIZE] = {0};
  int target_value_i = 0;
  while( value )
  {
   target_value[target_value_i] = value % target_system; 
   value = value / target_system;
   target_value_i++;
  }

    if( target_system == HEX )
    {
        for( ; target_value_i >= 0; target_value_i-- )
	    {
		  printf( "%x", target_value[target_value_i] );
	    }
    }else{
	    for( ; target_value_i >= 0; target_value_i-- )
	    {
		  printf( "%d", target_value[target_value_i] );
	    }
	}
	return 0;
}

int mian( void )
{
    int input_value = 0; 
    int target_system = 0;
    scanf( "%d,%d", &input_value, &target_system ); 
    binary_conversion( input_value, target_system );
    return 0;
}
 
int binary_conversion( int value_t , int target_system_t )函数就是实现十进制与其他进制数之间的转换，输入参数value_t就是需要转换的数值， 输入参数target_system_t 就是需要把十进制转换为哪种进制数。

进制转换
 
1、什么是二进制
 
十进制 0-9 二进制 0 1表述
 
进位规则十进一 二进一
 
位权 一个数码在不同的位置上所代表的值不同
 
2、二进制怎么表述一个数
 
10进制 -8329666
 
10进制 8 3  2 9 6 6 6
 
2进制 1000 0011 0010 1001 0110
 
1000 是2的3次方 0011 最后一个1是2的0次方+ 倒数第二个1是2的1次方 后面的以此类推
 
二进制的表示用法57进行说明
 
才有科学计数法 按权展开
 
111001-----
 
1*2^(6-1)+1*2^(5-1)+1*2^(4-1)+0*2^(3-1)+0*2(2-1)+2^(1-1)=32+16+8+0+0+1=57
 
 
 
 
 
十进制转二进制 采用短除2
 
 
 
除法 商 余数
 
2|57 28 1
 
2|28 14 0
 
2|14 7 0
 
2|7 3 1
 
2|3 1 1
 
2|1 0 1
 
 
 
111001
 
 
 
 
 
3、计算机为什么要用二进制
 
二进制
 
计算机内部采用二进制 运算简单 简化了计算机结构
 
 
 
其它进制
 
八进制 适用于12位和36位的计算器系统 （2的3次方）
 
标志的开头用0表示 用0-7的数字表示
 
16进制 用0-9 A B C D E F (2的4次方)
 
表示表达长度短 变得更常用 标志的开头用0x表示
 
 
 
 
 
 
 
 
 

题目描述：计算在一个 32 位的整数的二进制表式中有多少个 1.
 
样例：给定 32 (100000)，返回 1；给定 5 (101)，返回 2；给定 1023 (111111111)，返回 9
 
很简单的题目，当然可以先对十进制的整数转换成二进制，再统计1的个数。
 
但是通过位运算（其实就是通过分析二进制位上0,1的关系，直接对0,1比特位进行运算）我们可以更快地解决问题。
 
先说一下基本的几种位运算：
 
1. 与（&）：相当于是数学关系中的交，只有全部为真，结果才是真，也就是说，
 
0 & 1 = 1 & 0 = 0 & 0 = 0; 
 
1 & 1 = 1 
 
2. 或（|）：相当于求并，有一个真就是真，
 
0 | 0 = 0
 
1 | 0 = 0 | 1 = 1 | 1 = 1
 
3. 异或（^）：相同则假，相异则真，
 
1 ^ 1 = 0 ^ 0 = 0
 
1 ^ 0 = 0 ^ 1 = 1
 

 
 
当然，还有右移和左移运算，这里不做详细介绍了。以后有机会再同大家分享。
 
回头看这道题，要统计的是整数的二进制中有多少个1. 那么可以考虑一下这个问题，就是整数和它减去1后的数相比，在二进制的形式中，有什么关系呢？
 
我发现，有以下两条：
 
1. 奇数的话，减去1成偶数，二进制形式中，只有最后一位不同（由1变为0）。例如：5：101，4：100
 
2. 偶数的话，减去1成奇数，二进制形式中，偶数尾巴上的所有0（直到倒数第一个1为止），全部变为1，且倒数第一个1变为0. 例如：142：10100000；141：10011111
 
好了，这就算是找到规律了，这个规律怎么用呢？我发现，用“与”运算可以产生很奇妙的效果：不论是奇数还是偶数，“与”运算之后，都会是原先的数的二进制中少一个1.
 
那么思路很清晰了，写一个循环，每次都和减1的值做“与”运算，直到结果等于0，统计循环的次数，就能知道有多少1.
 
代码如下：
 
 
class Solution:
    # @param num: an integer
    # @return: an integer, the number of ones in num
    def countOnes(self, num):
        count = 0
        temp = num
        if num < 0:
            temp = abs(num + 1)
        while temp != 0:
            count += 1
            temp = temp & (temp - 1)
        return count if num >= 0 else (32 - count)
        # write your code here

 

 
 
需要注意的是正负数的二进制问题。7-8行是对负数做的处理。这里，先普及一下负数的二进制是如何生成的，分两步：
 
1. 取反：就是对这个负数的绝对值按位取反，得到的叫做反码（比如，要计算-2的二进制，就要先对2的二进制按位取反）
 
2. 加1：取反后，对这个二进制数加1，得到的叫做补码
 
比如，-24，先对24（二进制数：11000）取反，得到00111；再加1，得到01000
 
所以，我们设一个负数是a，显然，a - 1的二进制表示就是-a的反码。而用32减去(-a)中1的个数就是(a - 1)中1的个数。因此，求一个负数的二进制中1的个数，可以先对这个数（把他看做a - 1）加1，记为b，再求b的绝对值的二进制表示的1的个数，记为n，32 - n就是最后的答案。
 
上面的逻辑稍微有点绕，不过仔细想想应该能明白。