为什么八位二进制数表示范围为-128~+127？

在昨天的文章中我们讲解了什么原码反码补码，以及计算机中为什么要使用补码，在文章最后的时候我们说了一个问题，八位二进制（在Java中就是byte类型）的取值范围是从-128到127，为什么呢？
为什么127+1的结果是-128？我们今天来详细说明一下。
昨天虽然我们介绍了什么是补码，但是并没有说明补码的由来，今天我们来讲解一下。
在这里要说到一个概念 模，“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。 时钟的计量范围是0～11，模=12。表示n位的二进制数计量范围是0～2(n)-1，模=2(n)，八位二进制数的模为2^8 。
任何有模的计量器，均可化减法为加法运算（这就是计算机二进制运算的原理）。假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：一种是倒拨4小时，即：10-4=6；另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6 。在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特性。共同的特点是两者相加等于模。
对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再加1成为100000000(9位），但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的模为2^8。在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以了，把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。
对一个正数的原码取反加一，得到这个正数对应负数的补码。例如~6=-7，而且加一之后会多出一个八进制补码1000 0000，而这个补码就对应着原码1000 0000，数字位同时当做符号位即-128  。
所以根据以上我们可以理解为什么八位二进制数表示范围为-128~+127。
八位二进制正数的补码范围是0000 0000 ~ 0111 1111 即0 ~ 127,负数的补码范围是正数的原码0000 0000 ~ 0111 1111 取反加一（也可以理解为负数1000 0000 ~ 1111 1111化为反码末尾再加一）。 所以得到 1 0000 0000 ~ 1000 0001,1000 0001作为补码，其原码是1111 1111（-127），依次往前推，可得到-1的补码为1111 1111，那么补码0000 0000的原码是1000 0000符号位同时也可以看做数字位即表示-128，这也解释了为什么127（0111 1111）+1（0000 0001）=-128（1000 0000）。

计算机对带符号数的表示有三种方法：原码、反码和补码。
	
8位原码和反码能够表示数的范围是-127~127。
	
8位补码能够表示数的范围是 -128~127。
	
范围是-128~127，那肯定是用补码表示的。 10000000-11111111表示-128到-1， 00000000-01111111表示0-127 补码的1111 1111转换成原码就是1000 0001，也就是-1，补码就是二进制表示负数的一种方法。
	
引入了补码概念：负数的补码就是对反码加一，而正数不变,正数的原码反码补码是一样的。在补码中用(-128)代替了(-0)，所以补码的表示范围为：(-128~0~127)共256个。
	
注意:（-128)没有相对应的原码和反码，(-128) = (10000000)。
	
所谓原码就是二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。
	
反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。
	
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。

八位二进制数为什么表示范围是:-128~~+127?
计算机对带符号数的表示有三种方法：原码、反码和补码
8位原码和反码能够表示数的范围是-127~127
8位补码能够表示数的范围是 -128~127
所以既然范围是-128~127，那肯定是用补码表示的。

10000000-11111111表示-128到-1, 00000000-01111111表示0-127

补码的1111 1111转换成原码就是1000 0001，也就是-1。

补码就是二进制表示负数的一种方法

引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:


(-128~0~127)共256个.


注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000)
    

       所谓原码就是二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。





　　反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。





　　补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。
 

从二进制到计算机——手把手造八位CPU
为什么是二进制
二进制表示准确不混淆
二进制成熟的数学分支——布尔代数和逻辑门
$not$(非)
$and$(与)
$or$(或)
$XOR$(异或)
算数逻辑单元(ALU)
算数单元讲解
半加器
无进位(这不是半加器)
有进位(即半加器)
全加器
多位加法器
串行进位加法器
超前进位加法器
溢出
逻辑单元讲解
$ALU$封装
寄存器和内存
"AND-OR"锁存器，
门锁
封装带门锁的锁存器
寄存器
寄存器改进——矩阵放置
多路复用器
封装
$CPU$
部件的创立
步骤
取指令
指令地址寄存器连接$RAM$模块
此值复制到指令寄存器中
解码
解码电路和之前取指电路封装
执行代码
访存取数
写回
指令地址寄存器自增一
参考资料

为什么是二进制
二进制表示准确不混淆
二进制没法表示太多意思，但可以表示开关两种状态，准确表示两个值$"ture"$和$"false"$,那么为何不采取其他进制呢，因为当手机电量不足或者周围有电噪声时信号会混淆，并随着上百万次状态变得越来越糟。把信号放在相对较远的地方——$0$和$1$可以有效解决这个问题


二进制成熟的数学分支——布尔代数和逻辑门
$not$(非)

$and$(与)



$or$(或)
 
$XOR$(异或)
我们可以设置一种对应关系，用多位二进制表示指定字符，如$ASCII$:


算数逻辑单元(ALU)
$ALU$是执行$Arithmetic$和$Logic$的单元，是表示和存储数字是计算机的一个重要功能，但真正的目标是计算，或者以结构和有目的的操作数字，如两个数相加，这些操作由计算机的"算数逻辑单元"处理。
算数单元讲解
半加器
无进位(这不是半加器)

有进位(即半加器)

全加器

全加器可用两个半加器和一个“或“门组成。这个得记住


或者用真值表现推：


$S(和)=(A^{'}B^{'}CI^{'}+A^{'}B*CI+AB^{'}CI+ABCI^{'})^{'}\\CO(进位)=(A^{'}B^{'}+B^{'}CI^{'}+A^{'}CI^{'})^{'}$


多位加法器
串行进位加法器


$(CI)_i=(CO)_{i-1}\\S_i=A_i \oplus B_i \oplus(CI)_i
\\(CO)_i=A_iB_i+(A_i+B_i)(CI)_i$
超前进位加法器

串行加法器的不足

我们发现串行进位加法器只有前一全加器输出后一全加器才能计算，这在实际应用中会导致延时。
超前进位加法器原理:第$i$位的进位输入信号是两个加数第$i$位以前各位$(0\sim j-1)$的函数，可在相加前确定





溢出
如果是八位行波进位加法器，注意最后是有进位的输出，如果第九位有进位，就表示两个数的总和太大而超过了$8$位，这称为溢出，溢出通常会导致错误和意外结果。

ALU的减法乘法除法

减法同理可由电路得出。乘法是多个加法的和,或者乘除法也可以设置特有的逻辑单元，具体操作类似于加法

逻辑单元讲解
设置$1$为与门



设置$0$为或门


$ALU$封装
做好之后我们将其封装起来，通常用$V$表示



左上方近正方体是与或电路，右下方平躺长方体是加减电路

故封装后的结果为


寄存器和内存
"AND-OR"锁存器，
接下来我们以建立一个可以存储单个$bit$的电路，之后再扩大成为我们自己的内存模块，先看下面几个电路:

A开始输1后永久为1


A输0后永久为0 
为了进行有效存储，创造出"AND-OR"锁存器，他有两个输入，$set$输$1$置1,$reset$输$1$置$0$,如果输入输出都是$0$则会保持当初存入的内容



这样记住了一个比特的信息，由于他**锁定了一个特定的值并保持状态，所以称之为锁存器**

门锁
两条线设值有点难以理解，所以我们修改一下电路，用一条线输入，另一条线设置“允许写入权限”，由于可以打开和关闭，我们称之为门锁。


封装带门锁的锁存器

寄存器
像这样一组的锁存器称为寄存器，它能存储一个数字，寄存器能存多少$bit$叫位宽，写入前，我们用一根连接到所有启用输入的单线来实现这一点，将其设置为$1$。

这样就存入了一个八位的数字10110101！！！
寄存器改进——矩阵放置
按原本的放置方式，64位寄存器，可能需要129根线，存256位要513根线，解决方式是一个矩阵

只有行线列线同时为1才能导通。

此时256位的数据只需38根线即可。如果这个数据存储在8行12列的话，12=1100，8=1000，所以刚刚用的锁存器地址可以写成11001000
多路复用器
为将地址转换为正确的行或列的内容而用到


封装
要存储一个数字，要输入八位的地址，一条写入线，一条线控制可写，一条线控制可读。

这样排成一行，则一次可存储一个八位数字，即一个字节。我们同时给8个256位内存同样的地址，每个同样的地址都得到一个数，如把11111111存入8行12列，只需地址输入11001000，允许写入，在对应的数据线上输对应的数字即可。

## $RAM$

这个内存的重要特性是随时以随机顺序访问内存位置，因此叫随机存取存储器。
$CPU$
$CPU$是执行程序，程序由一系列单独的操作组成，称为指令。他们指示计算机做什么，指令不仅仅是数学指令(发给ALU),还可能是$内存指令$($CPU$)和内存通信，然后读/写值，接下来我们将专注于功能部分，而不是线的连接。当我们用一条线连接两个组件时，这是所有必要布线的抽象概念，也称其为微体系架构
部件的创立

$RAM$

假设在内存中只有16个位置，每个位置有8位。


寄存器

给处理器四个八位寄存器，称之为"$A,B,C,D$"，用于临时存储值和更改值

- 程序存储

我们已经知道数据可以作为二进制存储在内存中，程序也可以存储在内存中

在这个假设示例中，我们用前四位来储存“操作代码”或者简称“操作码”，后四位填写地址码。可以使寄存器或内存中的地址。





寄存器名称
功能




指令地址寄存器
存储当前指令的内存地址


指令寄存器
$12



当我们第一次启动，所有的寄存器都从0开始


步骤
取指令
指令地址寄存器连接$RAM$模块

此值复制到指令寄存器中

解码
取了指令后，重要的是运行这个指令而不是杀死他。称为解码阶段，接下来，指令由控制单元解码和解释，“控制单元”也是由逻辑门构成，比如为了检验$Load\, A$，需要一个电路检验操作码是否与0010匹配，这可以用一些逻辑门完成。


解码电路和之前取指电路封装
具体分析解码电路太过繁琐，我们这里继续进行封装，把控制单元封装


执行代码

$load\, 1110$到$A$


$load\, 1111$到$B$
$ADD$指令特殊，由于总共有四个寄存器，所以用两位足以，后面是两个寄存器的地址，$00$对应$A$,$01$对应$B$。此时将$ALU$也集成进$CPU$里
控制单元将$A,B$的值作为输入传入，再传入$ADD$操作码来执行$ADD$操作，最后输出值保存到寄存器$A$中，但他不能写入寄存器$A$,因为新值会进入$ALU$反复和自己相加，因此$ALU$用内部寄存器暂时保存输出，关闭$ALU$，然后在正确的寄存器中写入值。

访存取数
根据指令需要，有可能要访问主存，读取操作数，这样就进入访存取数阶段。
写回

store 像往常一样，我们把地址传给$RAM$模块，但不是允许读取而是允许写入，同时打开寄存器$A$的允许读取，这允许我们使用数据行来传递存储在寄存器$A$中的数据。

指令地址寄存器自增一
有个时钟利用脉冲控制指令地址寄存器的自增我们的CPU就做好了！

接下来看看logisim的展示:
-$ALU$



$CLK$


$CPU$



参考资料
二进制，寄存器，指令集

计算机组成原理-用logisim设计ALU（8位算术/逻辑运算）