进制转换：二进制、八进制、十六进制、十进制之间的转换

不同进制之间的转换在编程中经常会用到，尤其是C语言。

将二进制、八进制、十六进制转换为十进制

二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易，就是“按权相加”。所谓“权”，也即“位权”。

假设当前数字是N进制，那么：

对于整数部分，从右往左看，第i位的位权等于Ni-1

对于小数部分，恰好相反，要从左往右看，第j位的位权为N-j。

更加通俗的理解是，假设一个多位数（由多个数字组成的数）某位上的数字是1，那么它所表示的数值大小就是该位的位权。

1) 整数部分

例如，将八进制数字53627转换成十进制：

53627 = 5×84 + 3×83 + 6×82 + 2×81 + 7×80 = 22423（十进制）

从右往左看，第1位的位权为 80=1，第2位的位权为 81=8，第3位的位权为 82=64，第4位的位权为 83=512，第5位的位权为 84=4096 …… 第n位的位权就为 8n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

注意，这里我们需要以十进制形式来表示位权。

再如，将十六进制数字9FA8C转换成十进制：

9FA8C = 9×164 + 15×163 + 10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964（十进制）

从右往左看，第1位的位权为160=1，第2位的位权为 161=16，第3位的位权为 162=256，第4位的位权为 163=4096，第5位的位权为 164=65536 …… 第n位的位权就为16n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

将二进制数字转换成十进制也是类似的道理：

11010 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 26（十进制）

从右往左看，第1位的位权为20=1，第2位的位权为21=2，第3位的位权为22=4，第4位的位权为23=8，第5位的位权为24=16 …… 第n位的位权就为2n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

2) 小数部分

例如，将八进制数字423.5176转换成十进制：

423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875（十进制）

小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 8-1=1/8，第2位的位权为 8-2=1/64，第3位的位权为 8-3=1/512，第4位的位权为 8-4=1/4096 …… 第m位的位权就为 8-m。

再如，将二进制数字 1010.1101 转换成十进制：

1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125（十进制）

小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 2-1=1/2，第2位的位权为 2-2=1/4，第3位的位权为 2-3=1/8，第4位的位权为 2-4=1/16 …… 第m位的位权就为 2-m。

更多转换成十进制的例子：

二进制：1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9（十进制）

二进制：101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625（十进制）

八进制：302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194（十进制）

八进制：302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375（十进制）

十六进制：EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751（十进制）

将十进制转换为二进制、八进制、十六进制

将十进制转换为其它进制时比较复杂，整数部分和小数部分的算法不一样，下面我们分别讲解。

1) 整数部分

十进制整数转换为N进制整数采用“除N取余，逆序排列”法。具体做法是：

将N作为除数，用十进制整数除以N，可以得到一个商和余数；

保留余数，用商继续除以N，又得到一个新的商和余数；

仍然保留余数，用商继续除以N，还会得到一个新的商和余数；

……

如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以N，直到商为0时为止。

把先得到的余数作为N进制数的低位数字，后得到的余数作为N进制数的高位数字，依次排列起来，就得到了N进制数字。

下图演示了将十进制数字36926转换成八进制的过程：



从图中得知，十进制数字36926转换成八进制的结果为110076。

下图演示了将十进制数字42转换成二进制的过程：



从图中得知，十进制数字42转换成二进制的结果为101010。

2) 小数部分

十进制小数转换成N进制小数采用“乘N取整，顺序排列”法。具体做法是：

用N乘以十进制小数，可以得到一个积，这个积包含了整数部分和小数部分；

将积的整数部分取出，再用N乘以余下的小数部分，又得到一个新的积；

再将积的整数部分取出，继续用N乘以余下的小数部分；

……

如此反复进行，每次都取出整数部分，用N接着乘以小数部分，直到积中的小数部分为0，或者达到所要求的精度为止。

把取出的整数部分按顺序排列起来，先取出的整数作为N进制小数的高位数字，后取出的整数作为低位数字，这样就得到了N进制小数。

下图演示了将十进制小数0.930908203125转换成八进制小数的过程：



从图中得知，十进制小数0.930908203125转换成八进制小数的结果为0.7345。

下图演示了将十进制小数0.6875 转换成二进制小数的过程：



从图中得知，十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011。

如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分，那么将整数部分和小数部分开，分别按照上面的方法完成转换，然后再合并在一起即可。例如：

十进制数字 36926.930908203125 转换成八进制的结果为 110076.7345；

十进制数字 42.6875 转换成二进制的结果为 101010.1011。

下表列出了前17个十进制整数与二进制、八进制、十六进制的对应关系：


			
十进制
			
			

			
0
			
			

			
1
			
			

			
2
			
			

			
3
			
			

			
4
			
			

			
5
			
			

			
6
			
			

			
7
			
			

			
8
			
			

			
9
			
			

			
10
			
			

			
11
			
			

			
12
			
			

			
13
			
			

			
14
			
			

			
15
			
			

			
16
			
		

			
二进制
			
			

			
0
			
			

			
1
			
			

			
10
			
			

			
11
			
			

			
100
			
			

			
101
			
			

			
110
			
			

			
111
			
			

			
1000
			
			

			
1001
			
			

			
1010
			
			

			
1011
			
			

			
1100
			
			

			
1101
			
			

			
1110
			
			

			
1111
			
			

			
10000
			
		

			
八进制
			
			

			
0
			
			

			
1
			
			

			
2
			
			

			
3
			
			

			
4
			
			

			
5
			
			

			
6
			
			

			
7
			
			

			
10
			
			

			
11
			
			

			
12
			
			

			
13
			
			

			
14
			
			

			
15
			
			

			
16
			
			

			
17
			
			

			
20
			
		

			
十六进制
			
			

			
0
			
			

			
1
			
			

			
2
			
			

			
3
			
			

			
4
			
			

			
5
			
			

			
6
			
			

			
7
			
			

			
8
			
			

			
9
			
			

			
A
			
			

			
B
			
			

			
C
			
			

			
D
			
			

			
E
			
			

			
F
			
			

			
10
			
		
注意，十进制小数转换成其他进制小数时，结果有可能是一个无限位的小数。请看下面的例子：

十进制0.51对应的二进制为0.100000101000111101011100001010001111010111...，是一个循环小数；

十进制0.72对应的二进制为0.1011100001010001111010111000010100011110...，是一个循环小数；

十进制0.625对应的二进制为0.101，是一个有限小数。

二进制和八进制、十六进制的转换

其实，任何进制之间的转换都可以使用上面讲到的方法，只不过有时比较麻烦，所以一般针对不同的进制采取不同的方法。将二进制转换为八进制和十六进制时就有非常简洁的方法，反之亦然。

1) 二进制整数和八进制整数之间的转换

二进制整数转换为八进制整数时，每三位二进制数字转换为一位八进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足三位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 1110111100 转换为八进制：



从图中可以看出，二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674。

八进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位八进制数字转换为三位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制：



从图中可以看出，八进制整数 2743 转换为二进制的结果为 10111100011。

2) 二进制整数和十六进制整数之间的转换

二进制整数转换为十六进制整数时，每四位二进制数字转换为一位十六进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足四位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制：



从图中可以看出，二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C。

十六进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位十六进制数字转换为四位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制：



从图中可以看出，十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。

在C语言编程中，二进制、八进制、十六进制之间几乎不会涉及小数的转换，所以这里我们只讲整数的转换，大家学以致用足以。另外，八进制和十六进制之间也极少直接转换，这里我们也不再讲解了。

说起计算机, 相信大家对于二进制, 八进制, 十进制, 十六进制都耳熟能详了吧. 那么它们之间的转换大家是否都了解呢?
相信十进制对大家而言是相当容易的, 那么接下来我将分别介绍二进制, 八进制, 十六进制以及它们之间的转换
二进制
二进制是由 0 和 1 组成的. 逢二进一.  是计算机非常依赖的
八进制
八进制是由0 ~ 7 这八个数字组成的, 逢八进一
十六进制
十六进制是由 0 ~ 9 A ~ F 组成的, 逢十六进一
十进制转二进制
十进制:

123 = 1 * 10^2  +  2 * 10^1  +  3 * 10^0



目前计算机采用二进制总共32位, 这里我暂且以后8位为例

二进制 :

123 = 1 * 2^6 + 1 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0



因为二进制只有0和1, 因此, 没有使用到的位全部补0

也可以采用最基本的除法运算:



所以123用二进制表示为: 01111011
由于十进制转八进制和十六进制度需要借助二进制, 因此在这我就说明二进制和八进制, 十六进制之间的转换即可
二进制转十进制
123

二进制: 01111011

转十进制:

1 * 2^6 + 1 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 123
二进制转八进制
123

二进制: 01111011

八进制以3个比特位为一组(二进制有32位, 划分时不够可以补二进制位), 从而对二进制进行划分



由此得到123对应的八进制位为: 173
二进制转十六进制
123

二进制: 01111011

十六进制是以4个比特位为单位, 对二进制进行划分



所以, 123 对应的十六进制为: 0x7B   (0x为十六进制的标志)
十六进制, 八进制转二进制
和二进制转十六进制, 八进制相反
十六进制, 八进制转十进制
需要借助二进制, 先将其转成二进制, 然后再转换成十进制

一.本文所涉及的内容（Contents）

                     目录

一.本文所涉及的内容（Contents）

二.背景（Contexts）

三.进制转换算法（Convert）

(一) （二、八、十六进制） → （十进制）

(二) （十进制） → （二、八、十六进制）

(三) （二进制） ↔ （八、十六进制）

(四) （八进制） ↔ （十六进制）

四.扩展阅读

五.参考文献（References）

二.背景（Contexts）

　　之前使用SQL把十进制的整数转换为三十六进制，SQL代码请参考：SQL Server 进制转换函数，其实它是基于二、八、十、十六进制转换的计算公式的，进制之间的转换是很基础的知识，但是我发现网络上没有一篇能把它说的清晰、简单、易懂的文章，所以我才写这篇文章的念头，希望能让你再也不用担心、害怕进制之间的转换了。

　　下面是二、八、十、十六进制之间关系的结构图：



（Figure1：进制关系结构图）

下文会分4个部分对这个图进行分解，针对每个部分会以图文的形式进行讲解：

（二、八、十六进制） → （十进制）；
	
（十进制） → （二、八、十六进制）；
	
（二进制） ↔ （八、十六进制）；
	
（八进制） ↔ （十六进制）；
三.进制转换算法（Convert）

　　在数字后面加上不同的字母来表示不同的进位制。B（Binary)表示二进制，O（Octal）表示八进制，D（Decimal）或不加表示十进制，H（Hexadecimal）表示十六进制。例如：(101011)B=(53)O=(43)D=(2B)H

(一) （二、八、十六进制） → （十进制）



（Figure2：其他进制转换为十进制）

二进制 → 十进制
　　方法：二进制数从低位到高位（即从右往左）计算，第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方，第2位的权值是2的2次方，依次递增下去，把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

　　例：将二进制的(101011)B转换为十进制的步骤如下：

1. 第0位 1 x 2^0 = 1；

2. 第1位 1 x 2^1 = 2；

3. 第2位 0 x 2^2 = 0；

4. 第3位 1 x 2^3 = 8；

5. 第4位 0 x 2^4 = 0；

6. 第5位 1 x 2^5 = 32；

7. 读数，把结果值相加，1+2+0+8+0+32=43，即(101011)B=(43)D。

八进制 → 十进制
　　方法：八进制数从低位到高位（即从右往左）计算，第0位的权值是8的0次方，第1位的权值是8的1次方，第2位的权值是8的2次方，依次递增下去，把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

　　八进制就是逢8进1，八进制数采用 0～7这八数来表达一个数。

　　例：将八进制的(53)O转换为十进制的步骤如下：

1. 第0位 3 x 8^0 = 3；

2. 第1位 5 x 8^1 = 40；

3. 读数，把结果值相加，3+40=43，即(53)O=(43)D。

十六进制 → 十进制
　　方法：十六进制数从低位到高位（即从右往左）计算，第0位的权值是16的0次方，第1位的权值是16的1次方，第2位的权值是16的2次方，依次递增下去，把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

　　十六进制就是逢16进1，十六进制的16个数为0123456789ABCDEF。

　　例：将十六进制的(2B)H转换为十进制的步骤如下：

1. 第0位 B x 16^0 = 11；

2. 第1位 2 x 16^1 = 32；

3. 读数，把结果值相加，11+32=43，即(2B)H=(43)D。

(二) （十进制） → （二、八、十六进制）



（Figure3：十进制转换为其它进制）

十进制 → 二进制
　　方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。 

　　例：将十进制的(43)D转换为二进制的步骤如下：

1. 将商43除以2，商21余数为1；

2. 将商21除以2，商10余数为1；

3. 将商10除以2，商5余数为0；

4. 将商5除以2，商2余数为1；

5. 将商2除以2，商1余数为0； 

6. 将商1除以2，商0余数为1； 

7. 读数，因为最后一位是经过多次除以2才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，101011，即(43)D=(101011)B。



（Figure4：图解十进制 → 二进制）

十进制 → 八进制
　　方法1：除8取余法，即每次将整数部分除以8，余数为该位权上的数，而商继续除以8，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数起，一直到最前面的一个余数。

　　例：将十进制的(796)D转换为八进制的步骤如下：

1. 将商796除以8，商99余数为4；

2. 将商99除以8，商12余数为3；

3. 将商12除以8，商1余数为4；

4. 将商1除以8，商0余数为1；

5. 读数，因为最后一位是经过多次除以8才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，1434，即(796)D=(1434)O。



（Figure5：图解十进制 → 八进制）

　　方法2：使用间接法，先将十进制转换成二进制，然后将二进制又转换成八进制；



（Figure6：图解十进制 → 八进制）

十进制 → 十六进制
　　方法1：除16取余法，即每次将整数部分除以16，余数为该位权上的数，而商继续除以16，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数起，一直到最前面的一个余数。

　　例：将十进制的(796)D转换为十六进制的步骤如下：

1. 将商796除以16，商49余数为12，对应十六进制的C；

2. 将商49除以16，商3余数为1；

3. 将商3除以16，商0余数为3；

4. 读数，因为最后一位是经过多次除以16才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，31C，即(796)D=(31C)H。



（Figure7：图解十进制 → 十六进制）

　　方法2：使用间接法，先将十进制转换成二进制，然后将二进制又转换成十六进制；



（Figure8：图解十进制 → 十六进制）

(三) （二进制） ↔ （八、十六进制）



（Figure9：二进制转换为其它进制）

二进制 → 八进制
　　方法：取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每三位取成一位，接着将这三位二进制按权相加，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足三位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足三位。

　　例：将二进制的(11010111.0100111)B转换为八进制的步骤如下：

1. 小数点前111 = 7；

2. 010 = 2；

3. 11补全为011，011 = 3；

4. 小数点后010 = 2；

5. 011 = 3；

6. 1补全为100，100 = 4；

7. 读数，读数从高位到低位，即(11010111.0100111)B=(327.234)O。



（Figure10：图解二进制 → 八进制）

二进制与八进制编码对应表：


			
二进制
			
			

			
八进制
			
		

			
000
			
			

			
0
			
		

			
001
			
			

			
1
			
		

			
010
			
			

			
2
			
		

			
011
			
			

			
3
			
		

			
100
			
			

			
4
			
		

			
101
			
			

			
5
			
		

			
110
			
			

			
6
			
		

			
111
			
			

			
7
			
		
 

八进制 → 二进制
　　方法：取一分三法，即将一位八进制数分解成三位二进制数，用三位二进制按权相加去凑这位八进制数，小数点位置照旧。

　　例：将八进制的(327)O转换为二进制的步骤如下：

1. 3 = 011；

2. 2 = 010；

3. 7 = 111；

4. 读数，读数从高位到低位，011010111，即(327)O=(11010111)B。



（Figure11：图解八进制 → 二进制）

二进制 → 十六进制
　　方法：取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每四位取成一位，接着将这四位二进制按权相加，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左（向右）取四位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足四位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足四位。

　　例：将二进制的(11010111)B转换为十六进制的步骤如下：

1. 0111 = 7；

2. 1101 = D；

3. 读数，读数从高位到低位，即(11010111)B=(D7)H。



（Figure12：图解二进制 → 十六进制）

十六进制 → 二进制
　　方法：取一分四法，即将一位十六进制数分解成四位二进制数，用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数，小数点位置照旧。

　　例：将十六进制的(D7)H转换为二进制的步骤如下：

1. D = 1101；

2. 7 = 0111；

3. 读数，读数从高位到低位，即(D7)H=(11010111)B。



（Figure13：图解十六进制 → 二进制）

(四) （八进制） ↔ （十六进制）



（Figure14：八进制与十六进制之间的转换）

八进制 → 十六进制
　　方法：将八进制转换为二进制，然后再将二进制转换为十六进制，小数点位置不变。

　　例：将八进制的(327)O转换为十六进制的步骤如下：

1. 3 = 011；

2. 2 = 010；

3. 7 = 111；

4. 0111 = 7；

5. 1101 = D；

6. 读数，读数从高位到低位，D7，即(327)O=(D7)H。



（Figure15：图解八进制 → 十六进制）

十六进制 → 八进制
　　方法：将十六进制转换为二进制，然后再将二进制转换为八进制，小数点位置不变。

　　例：将十六进制的(D7)H转换为八进制的步骤如下：

1. 7 = 0111；

2. D = 1101；

3. 0111 = 7；

4. 010 = 2；

5. 011 = 3；

6. 读数，读数从高位到低位，327，即(D7)H=(327)O。



（Figure16：图解十六进制 → 八进制）

四.扩展阅读

　　1. 包含小数的进制换算：

(ABC.8C)H=10x16^2+11x16^1+12x16^0+8x16^-1+12x16^-2

=2560+176+12+0.5+0.046875

=(2748.546875)D

　　2. 负次幂的计算：

2^-5=2^(0-5)=2^0/2^5=1/2^5

同底数幂相除，底数不变，指数相减，反过来

3. 我们需要了解一个数学关系，即23=8，24=16，而八进制和十六进制是用这关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。接着，记住4个数字8、4、2、1（23=8、22=4、21=2、20=1）。

五.参考文献（References）

二进制、八进制、十进制、十六进制之间转换

二进制如何转换成八进制

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                                                                  图1
 
 eg：十进制转换二进制

 
 
 
 eg:二进制转换十进制

 
 
 二进制  八进制  十六进制 记住（图2）  轻轻松松                                            
                                                                                        
                                                                                                                图2
 
 
 
 
eg：八进制转二进制 展开后参考图二对号入座就OK了
 

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                                                                        
                                                                                                                                
 
 
 
 
                                                                                                        
                                                                                                                                
 
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