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    进制转换:二进制、八进制、十六进制、十进制之间的转换

    不同进制之间的转换在编程中经常会用到,尤其是C语言。

    将二进制、八进制、十六进制转换为十进制

    二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易,就是“按权相加”。所谓“权”,也即“位权”。

    假设当前数字是N进制,那么:

    对于整数部分,从右往左看,第i位的位权等于Ni-1

    对于小数部分,恰好相反,要从左往右看,第j位的位权为N-j

    更加通俗的理解是,假设一个多位数(由多个数字组成的数)某位上的数字是1,那么它所表示的数值大小就是该位的位权。

    1) 整数部分

    例如,将八进制数字53627转换成十进制:

    53627 = 5×84 + 3×83 + 6×82 + 2×81 + 7×80 = 22423(十进制)

    从右往左看,第1位的位权为 80=1,第2位的位权为 81=8,第3位的位权为 82=64,第4位的位权为 83=512,第5位的位权为 84=4096 …… n位的位权就为 8n-1。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

    注意,这里我们需要以十进制形式来表示位权。

    再如,将十六进制数字9FA8C转换成十进制:

    9FA8C = 9×164 + 15×163 + 10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964(十进制)

    从右往左看,第1位的位权为160=1,第2位的位权为 161=16,第3位的位权为 162=256,第4位的位权为 163=4096,第5位的位权为 164=65536 …… n位的位权就为16n-1。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

    将二进制数字转换成十进制也是类似的道理:

    11010 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 26(十进制)

    从右往左看,第1位的位权为20=1,第2位的位权为21=2,第3位的位权为22=4,第4位的位权为23=8,第5位的位权为24=16 …… n位的位权就为2n-1。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

    2) 小数部分

    例如,将八进制数字423.5176转换成十进制:

    423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875(十进制)

    小数部分和整数部分相反,要从左往右看,第1位的位权为 8-1=1/8,第2位的位权为 8-2=1/64,第3位的位权为 8-3=1/512,第4位的位权为 8-4=1/4096 …… m位的位权就为 8-m

    再如,将二进制数字 1010.1101 转换成十进制:

    1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125(十进制)

    小数部分和整数部分相反,要从左往右看,第1位的位权为 2-1=1/2,第2位的位权为 2-2=1/4,第3位的位权为 2-3=1/8,第4位的位权为 2-4=1/16 …… m位的位权就为 2-m

    更多转换成十进制的例子:

    二进制:1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9(十进制)

    二进制:101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625(十进制)

    八进制:302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194(十进制)

    八进制:302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375(十进制)

    十六进制:EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751(十进制)

    将十进制转换为二进制、八进制、十六进制

    将十进制转换为其它进制时比较复杂,整数部分和小数部分的算法不一样,下面我们分别讲解。

    1) 整数部分

    十进制整数转换为N进制整数采用“N取余,逆序排列”法。具体做法是:

    N作为除数,用十进制整数除以N,可以得到一个商和余数;

    保留余数,用商继续除以N,又得到一个新的商和余数;

    仍然保留余数,用商继续除以N,还会得到一个新的商和余数;

    ……

    如此反复进行,每次都保留余数,用商接着除以N,直到商为0时为止。

    把先得到的余数作为N进制数的低位数字,后得到的余数作为N进制数的高位数字,依次排列起来,就得到了N进制数字。

    下图演示了将十进制数字36926转换成八进制的过程:

    http://c.biancheng.net/cpp/uploads/allimg/170915/1-1F9151J30K46.png

    从图中得知,十进制数字36926转换成八进制的结果为110076

    下图演示了将十进制数字42转换成二进制的过程:

    http://c.biancheng.net/cpp/uploads/allimg/170915/1-1F9151K641Z0.png

    从图中得知,十进制数字42转换成二进制的结果为101010

    2) 小数部分

    十进制小数转换成N进制小数采用“N取整,顺序排列”法。具体做法是:

    N乘以十进制小数,可以得到一个积,这个积包含了整数部分和小数部分;

    将积的整数部分取出,再用N乘以余下的小数部分,又得到一个新的积;

    再将积的整数部分取出,继续用N乘以余下的小数部分;

    ……

    如此反复进行,每次都取出整数部分,用N接着乘以小数部分,直到积中的小数部分为0,或者达到所要求的精度为止。

    把取出的整数部分按顺序排列起来,先取出的整数作为N进制小数的高位数字,后取出的整数作为低位数字,这样就得到了N进制小数。

    下图演示了将十进制小数0.930908203125转换成八进制小数的过程:

    http://c.biancheng.net/cpp/uploads/allimg/170918/1-1F91Q20520335.png

    从图中得知,十进制小数0.930908203125转换成八进制小数的结果为0.7345

    下图演示了将十进制小数0.6875 转换成二进制小数的过程:

    http://c.biancheng.net/cpp/uploads/allimg/170918/1-1F91QHI2I2.png

    从图中得知,十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011

    如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分,那么将整数部分和小数部分开,分别按照上面的方法完成转换,然后再合并在一起即可。例如:

    十进制数字 36926.930908203125 转换成八进制的结果为 110076.7345

    十进制数字 42.6875 转换成二进制的结果为 101010.1011

    下表列出了前17个十进制整数与二进制、八进制、十六进制的对应关系:

    十进制

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    二进制

    0

    1

    10

    11

    100

    101

    110

    111

    1000

    1001

    1010

    1011

    1100

    1101

    1110

    1111

    10000

    八进制

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    20

    十六进制

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    10

    注意,十进制小数转换成其他进制小数时,结果有可能是一个无限位的小数。请看下面的例子:

    十进制0.51对应的二进制为0.100000101000111101011100001010001111010111...,是一个循环小数;

    十进制0.72对应的二进制为0.1011100001010001111010111000010100011110...,是一个循环小数;

    十进制0.625对应的二进制为0.101,是一个有限小数。

    二进制和八进制、十六进制的转换

    其实,任何进制之间的转换都可以使用上面讲到的方法,只不过有时比较麻烦,所以一般针对不同的进制采取不同的方法。将二进制转换为八进制和十六进制时就有非常简洁的方法,反之亦然。

    1) 二进制整数和八进制整数之间的转换

    二进制整数转换为八进制整数时,每三位二进制数字转换为一位八进制数字,运算的顺序是从低位向高位依次进行,高位不足三位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 1110111100 转换为八进制:

    http://c.biancheng.net/cpp/uploads/allimg/170919/1-1F919102I0949.png

    从图中可以看出,二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674

    八进制整数转换为二进制整数时,思路是相反的,每一位八进制数字转换为三位二进制数字,运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制:

    http://c.biancheng.net/cpp/uploads/allimg/170919/1-1F919103A2R7.png

    从图中可以看出,八进制整数 2743 转换为二进制的结果为 10111100011

    2) 二进制整数和十六进制整数之间的转换

    二进制整数转换为十六进制整数时,每四位二进制数字转换为一位十六进制数字,运算的顺序是从低位向高位依次进行,高位不足四位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制:

    http://c.biancheng.net/cpp/uploads/allimg/170919/1-1F919104H9539.png

    从图中可以看出,二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C

    十六进制整数转换为二进制整数时,思路是相反的,每一位十六进制数字转换为四位二进制数字,运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制:

    http://c.biancheng.net/cpp/uploads/allimg/170919/1-1F91910553H50.png

    从图中可以看出,十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110

    C语言编程中,二进制、八进制、十六进制之间几乎不会涉及小数的转换,所以这里我们只讲整数的转换,大家学以致用足以。另外,八进制和十六进制之间也极少直接转换,这里我们也不再讲解了。

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  • 相信十进制对大家而言是相当容易的, 那么接下来我将分别介绍二进制, 八进制, 十六进制以及它们之间的转换 二进制 二进制是由 0 和 1 组成的. 逢二进一. 是计算机非常依赖的 八进制 八进制是由0 ~ 7 这八个数字组成的...

    说起计算机, 相信大家对于二进制, 八进制, 十进制, 十六进制都耳熟能详了吧. 那么它们之间的转换大家是否都了解呢?

    相信十进制对大家而言是相当容易的, 那么接下来我将分别介绍二进制, 八进制, 十六进制以及它们之间的转换

    二进制

    二进制是由 0 和 1 组成的. 逢二进一. 是计算机非常依赖的

    八进制

    八进制是由0 ~ 7 这八个数字组成的, 逢八进一

    十六进制

    十六进制是由 0 ~ 9 A ~ F 组成的, 逢十六进一

    十进制转二进制

    十进制:
    123 = 1 * 10^2 + 2 * 10^1 + 3 * 10^0
    在这里插入图片描述
    目前计算机采用二进制总共32位, 这里我暂且以后8位为例
    二进制 :
    123 = 1 * 2^6 + 1 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0
    在这里插入图片描述
    因为二进制只有0和1, 因此, 没有使用到的位全部补0
    也可以采用最基本的除法运算:
    在这里插入图片描述
    所以123用二进制表示为: 01111011

    由于十进制转八进制和十六进制度需要借助二进制, 因此在这我就说明二进制和八进制, 十六进制之间的转换即可

    二进制转十进制

    123
    二进制: 01111011
    转十进制:
    1 * 2^6 + 1 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 123

    二进制转八进制

    123
    二进制: 01111011
    八进制以3个比特位为一组(二进制有32位, 划分时不够可以补二进制位), 从而对二进制进行划分
    在这里插入图片描述
    由此得到123对应的八进制位为: 173

    二进制转十六进制

    123
    二进制: 01111011
    十六进制是以4个比特位为单位, 对二进制进行划分
    在这里插入图片描述
    所以, 123 对应的十六进制为: 0x7B (0x为十六进制的标志)

    十六进制, 八进制转二进制

    和二进制转十六进制, 八进制相反

    十六进制, 八进制转十进制

    需要借助二进制, 先将其转成二进制, 然后再转换成十进制

    展开全文
  • (二、八、十六进制) → (十进制) 二进制 → 十进制 八进制 → 十进制 十六进制 → 十进制 (十进制) → (二、八、十六进制) 十进制 → 二进制 十进制 → 八进制 十进制 → 十六进制 ...

    一.本文所涉及的内容(Contents)

                         目录

    一.本文所涉及的内容(Contents)

    二.背景(Contexts)

    三.进制转换算法(Convert)

    (一) (二、八、十六进制) → (十进制)

    (二) (十进制) → (二、八、十六进制)

    (三) (二进制) ↔ (八、十六进制)

    (四) (八进制) ↔ (十六进制)

    四.扩展阅读

    五.参考文献(References)


    二.背景(Contexts)

      之前使用SQL把十进制的整数转换为三十六进制,SQL代码请参考:SQL Server 进制转换函数,其实它是基于二、八、十、十六进制转换的计算公式的,进制之间的转换是很基础的知识,但是我发现网络上没有一篇能把它说的清晰、简单、易懂的文章,所以我才写这篇文章的念头,希望能让你再也不用担心、害怕进制之间的转换了。

      下面是二、八、十、十六进制之间关系的结构图:

    wpsC01D.tmp

    (Figure1:进制关系结构图)

    下文会分4个部分对这个图进行分解,针对每个部分会以图文的形式进行讲解:

    1. (二、八、十六进制) → (十进制);
    2. (十进制) → (二、八、十六进制);
    3. (二进制) ↔ (八、十六进制);
    4. (八进制) ↔ (十六进制);

    三.进制转换算法(Convert)

      在数字后面加上不同的字母来表示不同的进位制。B(Binary)表示二进制,O(Octal)表示八进制,D(Decimal)或不加表示十进制,H(Hexadecimal)表示十六进制。例如:(101011)B=(53)O=(43)D=(2B)H

    (一) (二、八、十六进制) → (十进制)

    wpsC01E.tmp

    (Figure2:其他进制转换为十进制)

    • 二进制 → 十进制

      方法:二进制数从低位到高位(即从右往左)计算,第0位的权值是2的0次方,第1位的权值是2的1次方,第2位的权值是2的2次方,依次递增下去,把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

      例:将二进制的(101011)B转换为十进制的步骤如下:

    1. 第0位 1 x 2^0 = 1;

    2. 第1位 1 x 2^1 = 2;

    3. 第2位 0 x 2^2 = 0;

    4. 第3位 1 x 2^3 = 8;

    5. 第4位 0 x 2^4 = 0;

    6. 第5位 1 x 2^5 = 32;

    7. 读数,把结果值相加,1+2+0+8+0+32=43,即(101011)B=(43)D。

    • 八进制 → 十进制

      方法:八进制数从低位到高位(即从右往左)计算,第0位的权值是8的0次方,第1位的权值是8的1次方,第2位的权值是8的2次方,依次递增下去,把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

      八进制就是逢8进1,八进制数采用 0~7这八数来表达一个数。

      例:将八进制的(53)O转换为十进制的步骤如下:

    1. 第0位 3 x 8^0 = 3;

    2. 第1位 5 x 8^1 = 40;

    3. 读数,把结果值相加,3+40=43,即(53)O=(43)D。

    • 十六进制 → 十进制

      方法:十六进制数从低位到高位(即从右往左)计算,第0位的权值是16的0次方,第1位的权值是16的1次方,第2位的权值是16的2次方,依次递增下去,把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

      十六进制就是逢16进1,十六进制的16个数为0123456789ABCDEF。

      例:将十六进制的(2B)H转换为十进制的步骤如下:

    1. 第0位 B x 16^0 = 11;

    2. 第1位 2 x 16^1 = 32;

    3. 读数,把结果值相加,11+32=43,即(2B)H=(43)D。

    (二) (十进制) → (二、八、十六进制)

    wpsC01F.tmp

    (Figure3:十进制转换为其它进制)

    • 十进制 → 二进制

      方法:除2取余法,即每次将整数部分除以2,余数为该位权上的数,而商继续除以2,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数读起,一直到最前面的一个余数。 

      例:将十进制的(43)D转换为二进制的步骤如下:

    1. 将商43除以2,商21余数为1;

    2. 将商21除以2,商10余数为1;

    3. 将商10除以2,商5余数为0;

    4. 将商5除以2,商2余数为1;

    5. 将商2除以2,商1余数为0; 

    6. 将商1除以2,商0余数为1; 

    7. 读数,因为最后一位是经过多次除以2才得到的,因此它是最高位,读数字从最后的余数向前读,101011,即(43)D=(101011)B。

    wpsC02F.tmp

    (Figure4:图解十进制 → 二进制)

    • 十进制 → 八进制

      方法1:除8取余法,即每次将整数部分除以8,余数为该位权上的数,而商继续除以8,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数起,一直到最前面的一个余数。

      例:将十进制的(796)D转换为八进制的步骤如下:

    1. 将商796除以8,商99余数为4;

    2. 将商99除以8,商12余数为3;

    3. 将商12除以8,商1余数为4;

    4. 将商1除以8,商0余数为1;

    5. 读数,因为最后一位是经过多次除以8才得到的,因此它是最高位,读数字从最后的余数向前读,1434,即(796)D=(1434)O。

    wpsC030.tmp

    (Figure5:图解十进制 → 八进制)

      方法2:使用间接法,先将十进制转换成二进制,然后将二进制又转换成八进制;

    wpsC031.tmp

    (Figure6:图解十进制 → 八进制)

    • 十进制 → 十六进制

      方法1:除16取余法,即每次将整数部分除以16,余数为该位权上的数,而商继续除以16,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数起,一直到最前面的一个余数。

      例:将十进制的(796)D转换为十六进制的步骤如下:

    1. 将商796除以16,商49余数为12,对应十六进制的C;

    2. 将商49除以16,商3余数为1;

    3. 将商3除以16,商0余数为3;

    4. 读数,因为最后一位是经过多次除以16才得到的,因此它是最高位,读数字从最后的余数向前读,31C,即(796)D=(31C)H。

    wpsC042.tmp

    (Figure7:图解十进制 → 十六进制)

      方法2:使用间接法,先将十进制转换成二进制,然后将二进制又转换成十六进制;

    wpsC043.tmp

    (Figure8:图解十进制 → 十六进制)

    (三) (二进制) ↔ (八、十六进制)

    wpsC044.tmp

    (Figure9:二进制转换为其它进制)

    • 二进制 → 八进制

      方法:取三合一法,即从二进制的小数点为分界点,向左(向右)每三位取成一位,接着将这三位二进制按权相加,然后,按顺序进行排列,小数点的位置不变,得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左(向右)取三位后,取到最高(最低)位时候,如果无法凑足三位,可以在小数点最左边(最右边),即整数的最高位(最低位)添0,凑足三位。

      例:将二进制的(11010111.0100111)B转换为八进制的步骤如下:

    1. 小数点前111 = 7;

    2. 010 = 2;

    3. 11补全为011,011 = 3;

    4. 小数点后010 = 2;

    5. 011 = 3;

    6. 1补全为100,100 = 4;

    7. 读数,读数从高位到低位,即(11010111.0100111)B=(327.234)O。

    wpsC054.tmp

    (Figure10:图解二进制 → 八进制)

    二进制与八进制编码对应表:

    二进制

    八进制

    000

    0

    001

    1

    010

    2

    011

    3

    100

    4

    101

    5

    110

    6

    111

    7

     

    • 八进制 → 二进制

      方法:取一分三法,即将一位八进制数分解成三位二进制数,用三位二进制按权相加去凑这位八进制数,小数点位置照旧。

      例:将八进制的(327)O转换为二进制的步骤如下:

    1. 3 = 011;

    2. 2 = 010;

    3. 7 = 111;

    4. 读数,读数从高位到低位,011010111,即(327)O=(11010111)B。

    wpsC055.tmp

    (Figure11:图解八进制 → 二进制)

    • 二进制 → 十六进制

      方法:取四合一法,即从二进制的小数点为分界点,向左(向右)每四位取成一位,接着将这四位二进制按权相加,然后,按顺序进行排列,小数点的位置不变,得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左(向右)取四位后,取到最高(最低)位时候,如果无法凑足四位,可以在小数点最左边(最右边),即整数的最高位(最低位)添0,凑足四位。

      例:将二进制的(11010111)B转换为十六进制的步骤如下:

    1. 0111 = 7;

    2. 1101 = D;

    3. 读数,读数从高位到低位,即(11010111)B=(D7)H。

    wpsC056.tmp

    (Figure12:图解二进制 → 十六进制)

    • 十六进制 → 二进制

      方法:取一分四法,即将一位十六进制数分解成四位二进制数,用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数,小数点位置照旧。

      例:将十六进制的(D7)H转换为二进制的步骤如下:

    1. D = 1101;

    2. 7 = 0111;

    3. 读数,读数从高位到低位,即(D7)H=(11010111)B。

    wpsC057.tmp

    (Figure13:图解十六进制 → 二进制)

    (四) (八进制) ↔ (十六进制)

    wpsC058.tmp

    (Figure14:八进制与十六进制之间的转换)

    • 八进制 → 十六进制

      方法:将八进制转换为二进制,然后再将二进制转换为十六进制,小数点位置不变。

      例:将八进制的(327)O转换为十六进制的步骤如下:

    1. 3 = 011;

    2. 2 = 010;

    3. 7 = 111;

    4. 0111 = 7;

    5. 1101 = D;

    6. 读数,读数从高位到低位,D7,即(327)O=(D7)H。

    wpsC069.tmp

    (Figure15:图解八进制 → 十六进制)

    • 十六进制 → 八进制

      方法:将十六进制转换为二进制,然后再将二进制转换为八进制,小数点位置不变。

      例:将十六进制的(D7)H转换为八进制的步骤如下:

    1. 7 = 0111;

    2. D = 1101;

    3. 0111 = 7;

    4. 010 = 2;

    5. 011 = 3;

    6. 读数,读数从高位到低位,327,即(D7)H=(327)O。

    wpsC06A.tmp

    (Figure16:图解十六进制 → 八进制)

    四.扩展阅读

      1. 包含小数的进制换算:

    (ABC.8C)H=10x16^2+11x16^1+12x16^0+8x16^-1+12x16^-2

    =2560+176+12+0.5+0.046875

    =(2748.546875)D

      2. 负次幂的计算:

    2^-5=2^(0-5)=2^0/2^5=1/2^5

    同底数幂相除,底数不变,指数相减,反过来

    3. 我们需要了解一个数学关系,即23=8,24=16,而八进制和十六进制是用这关系衍生而来的,即用三位二进制表示一位八进制,用四位二进制表示一位十六进制数。接着,记住4个数字8、4、2、1(23=8、22=4、21=2、20=1)。

    五.参考文献(References)

    二进制、八进制、十进制、十六进制之间转换

    二进制如何转换成八进制

    展开全文
  • ---恢复内容开始--- 图1 eg:十进制转换二进制 eg:二进制转换十进制 二进制 八进制 十六进制 记住(图2) 轻轻松松 ...

    ---恢复内容开始---

                                                                      图1

     

     eg:十进制转换二进制

     

     

     

     eg:二进制转换十进制

     

     

     二进制  八进制  十六进制 记住(图2)  轻轻松松                                            

                                                                                            

                                                                                                                    图2

     

     

     

     

    eg:八进制转二进制 展开后参考图二对号入座就OK了

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

                                                                                                            

                                                                                                                                    

     

     

     

     

                                                                                                            

                                                                                                                                    

     

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  • ''' 如何表示不同进制的数值 ''' n10 = 123 #十进制 n2 = 0b101011101 #二进制 ...进制之间的转换 ''' #二进制八进制十六进制转为十进制 print(int('10010', 2)) print(int('0o2574',8)) print(int

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二进制八进制十六进制之间的转换